第1章 1.5 一元二次方程、不等式（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学讲义围绕一元二次方程、不等式核心考点，按二次函数与方程、不等式的对应关系（通过判别式表格梳理解集），延伸至分式、绝对值不等式转化及恒成立问题，构建知识体系。通过考点梳理、分类讨论方法指导、真题训练（多选、解答题示例）等环节，帮助学生突破含参不等式等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以“三个二次”关系为核心，通过真题案例（如由不等式解集反推方程系数）培养数学思维，设计分层练习（判断正误、选择、解答）和即时反馈。采用分类讨论解含参不等式策略（先定二次项系数，再比较根大小），用数学语言精准表达解集，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

§1.5　一元二次方程、不等式 ★[考试要求] 1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 1．二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 　{x|x<x1或x>x2}　 R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 　{x|x1<x<x2}　 　∅　 　∅　　 2.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔　f(x)g(x)>0(<0)　； (2)≥0(≤0)⇔　f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0　. 3．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为　(－∞，－a)∪(a，＋∞)　， |x|<a(a>0)的解集为　(－a，a)　. (1)一元二次不等式恒成立问题 ①不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； ②不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； ③若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． (2)对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． (3)当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(√) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(×) (3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(×) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(√) 2．不等式≤0的解集是(　　) A．(－∞，1)∪[3，＋∞) B．(－∞，1]∪(3，＋∞) C．[1,3) D．[1,3] 解析：C　[≤0⇔⇔1≤x<3，所以不等式≤0的解集为[1,3)．] 3．不等式x2－ax－b＜0的解集为(2,3)，则a＋b＝　________. 解析：由不等式x2－ax－b＜0的解集为(2,3)，知方程x2－ax－b＝0的解为2或3， 由韦达定理，得，解得a＝5，b＝－6， 所以a＋b＝－1. 答案：－1 4．不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：当m＝0时，显然成立；当m≠0时，由已知得解得0<m<4.综上知，实数m的取值范围是[0,4)． 答案：[0,4) 　　　一元二次不等式的求解 ►[角度1]　不含参的不等式　 [例1－1]　[多选]下列选项中，正确的是(　　) A．不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|x<－2，或x>1} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 [解析]　因为方程－x2－x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|－2<x<1}，故A错误； 因为－1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1，或x≥3}，故C错误； 由|x－1|<1，可得－1<x－1<1，解得0<x<2，由<0，可得－4<x<5，因此，“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确． [答案]　BD ►[角度2]　含参不等式　 [例1－2]　解不等式12x2－ax＞a2(a∈R)． [解]　原不等式可化为12x2－ax－a2＞0， 即(4x＋a)(3x－a)＞0， 令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得x1＝－，x2＝. 当a＞0时，原不等式的解集为∪； 当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a＜0时，原不等式的解集为∪. 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法 (1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 1．(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　) A．{x|－2≤x≤1}　　　　 B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1} 解析：C　[由≥2⇔≥0⇔≤0⇔⇔－2≤x<1.] 2．解关于x的不等式： ax2－(2a－1)x－2≥0. 解：不等式ax2－(2a－1)x－2≥0可化为(ax＋1)(x－2)≥0， 当a＝0时，x－2≥0，不等式的解集为[2，＋∞)； 当a＞0时，不等式化为(x－2)≥0，其解集为∪[2，＋∞)； 当a＜0时，不等式化为(x－2)≤0， (ⅰ)当－＜2，即a＜－时，不等式的解集为； (ⅱ)当－＝2，即a＝－时，不等式的解集为{2}； (ⅲ)当－＞2，即－＜a＜0时，不等式的解集为. 　　　三个二次之间的关系 [例2]　[多选]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x＜－2，或x＞4}，则下列说法正确的是(　　) A．a＞0 B．a＋b＜c C．bx＋c＞0的解集是{x|x＞－4} D．cx2－bx＋a＜0的解集是 [解析]　因为关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x＜－2或x＞4}， 所以ax2＋bx＋c＝0的两个根为－2和4，且a＞0， 所以－2＋4＝－，－2×4＝，得b＝－2a，c＝－8a，所以A正确， 对于B，因为a＋b－c＝a＋(－2a)－(－8a)＝7a＞0，所以a＋b＞c，所以B错误， 对于C，因为b＝－2a，c＝－8a，所以bx＋c＞0可化为－2ax－8a＞0，因为a＞0，所以x＋4＜0，得x＜－4，所以bx＋c＞0的解集为{x|x＜－4}，所以C错误， 对于D，因为b＝－2a，c＝－8a，所以cx2－bx＋a＜0可化为－8ax2＋2ax＋a＜0，因为a＞0，所以8x2－2x－1＞0，(2x－1)(4x＋1)＞0，得x＜－或x＞，所以原不等式的解集为，所以D正确． [答案]　AD 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负． [多选]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则(　　) A．a＞0 B．a＋b＋c＞0 C．bx＋c＞0的解集是 D．cx2－bx＋a＜0的解集是 解析：CD　[由题意可得1和5是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0， 由韦达定理可得1＋5＝－，1×5＝， 得b＝－6a，c＝5a， 对于A，因为a＜0，故A错误；对于B，a＋b＋c＝a－6a＋5a＝0，故B错误；对于C，不等式bx＋c＞0，即－6ax＋5a＞0，即6x－5＞0，得x＞，∴不等式bx＋c＞0的解集是，故C正确；对于D，由不等式cx2－bx＋a＜0，得a(5x2＋6x＋1)＜0，即5x2＋6x＋1＞0，则(5x＋1)(x＋1)＞0，得x＞－或x＜－1，即解集为，故D正确．] 　　　一元二次不等式恒成立问题 [例3]　已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围； (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立，求x的取值范围． [解]　(1)不等式f(x)<1， 即mx2－(m－1)x＋m－2<0， 当m＝0时，x－2<0，解得x<2，不符合题意； 当m≠0时， 有 解得m<， 综上所述，m的取值范围为. (2)不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立， 即m(x2－x＋1)≥1－x对一切x∈恒成立， 因为x2－x＋1＝2＋>0， 则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立， 由x∈， 得＝＝ ＝≤＝1， 当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立， 所以max＝1， 所以m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞)． (3)不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立， 即(x2－x＋1)m＋x－3>0对一切m∈(0,2)恒成立， 令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3， 因为x2－x＋1＝2＋>0， 所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0,2)上单调递增， 则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3， 所以x的取值范围为[3，＋∞)． 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 已知函数f(x)＝x2－3x＋a. (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若f(x)<0在x∈(－1,2)上恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)f(x)＝x2－3x＋a＝2＋a－， 则f(x)min＝f＝a－， f(x)>0在x∈R上恒成立，即f(x)min＝a－>0，故a>. 故实数a的取值范围是. (2)f(x)＝x2－3x＋a＝2＋a－， f(x)在[－1,2]上的最大值为f(x)max＝f(－1)＝2＋a－＝4＋a， 故f(x)在x∈(－1,2)上满足f(x)<4＋a，故4＋a≤0，解得a≤－4. 故实数a的取值范围是(－∞，－4]． 学科网（北京）股份有限公司 $