第1章 1.2 常用逻辑用语（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦常用逻辑用语，覆盖充分必要条件判定、全称与存在量词命题及否定等核心考点，以概念梳理（表格呈现关系）、方法提炼（定义法、集合法）、真题精讲（高考题及变式）为教学环节，帮助学生构建逻辑知识体系，突破条件判定与命题否定难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如通过集合包含关系直观理解充分必要条件，对比全称与存在量词命题的否定规律强化符号意识。设置基础判断、能力提升、高考真题分层练习，配合即时方法总结，确保学生高效掌握逻辑推理技能，为教师精准把控复习节奏提供清晰教学路径。

§1.2　常用逻辑用语 ★[考试要求] 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定． 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的　充分　条件，q是p的　必要　条件 p是q的　充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的　必要不充分　条件 p q且q⇒p p是q的　充要　条件 p⇔q p是q的　既不充分也不必要　条件 p q且q p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“　∀　”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“　∃　”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，使p(x)成立 简记 　∀x∈M，p(x)　 　∃x∈M，p(x)　 否定 　∃x∈M，綈p(x)　 　∀x∈M，綈p(x)　 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． ①若p是q的充分条件，则A⊆B； ②若p是q的充分不必要条件，则AB； ③若p是q的必要不充分条件，则BA； ④若p是q的充要条件，则A＝B. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词．(√) (2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√) (3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题．(×) (4)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(√) 2．[多选]下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是(　　) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．一定存在没有最大值的二次函数 解析：AC　[A选项中，“任何”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题；B选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，由于0是自然数，不是正整数，故该命题是假命题；C选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题；D选项中，“存在”是存在量词，它是存在量词命题．] 3．(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则(　　) A．x＝－3是a⊥b的必要条件 B．x＝－3是a∥b的必要条件 C．x＝0是a⊥b的充分条件 D．x＝－1＋是a∥b的充分条件 解析：C　[若a⊥b，则x(x＋1)＋2x＝0， 即x2＋3x＝0，解得x＝0或x＝－3， ∴A错，C对；若a∥b，则2(x＋1)－x2＝0，即x2－2x－2＝0，解得x＝1±，故B、D错．] 4．“x≥a”是“x≥2”的必要不充分条件，则a的取值范围为(　　) A．(3，＋∞)　　　　　 B．(－∞，2) C．(－∞，2] D．[0，＋∞) 解析：B　[由题意得，{x|x≥2}是{x|x≥a}的真子集，故a＜2.] 　　　充分、必要条件的判定 [例1]　(1)“a3＜b3”是“2026a＜2026b＜1”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　因为y＝x3在定义域R上单调递增，由a3＜b3可得a＜b， 因为y＝2026x在定义域R上单调递增，由2026a＜2026b＜1可得a＜b＜0， 所以由a3＜b3推不出2026a＜2026b＜1，即充分性不成立； 由2026a＜2026b＜1推出a3＜b3，即必要性成立； 所以“a3＜b3”是“2026a＜2026b＜1”成立的必要不充分条件． [答案]　B (2)祖暅原理是一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p是q的(　　) A．充分必要条件　　 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　已知A，B为两个等高的几何体，由祖暅原理知q⇒p，而p不能推出q，可举反例，两个相同的圆锥，一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不相等，则p是q的必要不充分条件． [答案]　C 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：指对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． 1．不等式2x2－5x－3＜0成立的一个必要不充分条件是(　　) A．－3＜x＜　　　 B．－＜x＜3 C．－1＜x＜3 D.＜x＜3 解析：C　[∵2x2－5x－3＜0，∴－＜x＜3， 观察四个选项可知是(－1,3)的真子集，故“－1＜x＜3”是“不等式2x2－5x－3＜0”成立的一个必要不充分条件．] 2．(2025·天津卷)设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[由x＝0⇒sin 2x＝sin 0＝0，由sin 2x＝0⇒2x＝kπ，x＝，k∈Z不一定为x＝0 ∴sin 2x＝0x＝0 ∴x＝0是sin 2x＝0的充分不必要条件．] 　　　充分、必要条件的应用 [例2]　(1)命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5 [解析]　命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题，可化为“∀x∈[1,2]，a≥x2”恒成立，即只需a≥(x2)max＝4，即“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的是一个充分不必要条件，即为集合{a|a≥4}的真子集，由选项可知C符合题意． [答案]　C (2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________． [解析]　由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10， 故P＝{x|－2≤x≤10}， 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P. 则∴0≤m≤3. ∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]． [答案] [0,3] 根据充要条件求解参数范围应注意的2点 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 1．已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，－1) C．[1，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：A　[因为q：|x＋2a|<3， 所以q：－2a－3<x<－2a＋3， 记A＝{x|－2a－3<x<－2a＋3}， p：x≥a，记为B＝{x|x≥a}． 因为p是q的必要不充分条件，所以A⊆B， 所以a≤－2a－3，解得a≤－1.] 2．若不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件是1<x<2，则实数a的取值范围是________． 解析：由(x－a)2<1得a－1<x<a＋1. 因为1<x<2是不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件， 所以满足且等号不能同时取得， 即解得1≤a≤2. 答案：[1,2] 　　　全称量词与存在量词 ►[角度1]　含量词的命题的否定　 [例3－1]　(1)命题“∃x≥0，ex－1≥x”的否定是(　　) A．∃x＜0，ex－1＜x B．∃x≥0，ex－1＜x C．∀x＜0，ex－1＜x D．∀x≥0，ex－1＜x [解析]　命题“∃x≥0，ex－1≥x”的否定是“∀x≥0，ex－1＜x”． [答案]　D (2)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　) A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x＜0 B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x＜0 D．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0 [解析]　全称量词命题的否定是存在量词命题，所以，命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是∃x∈[0，＋∞)，x3＋x＜0. [答案]　C ►[角度2]　含量词的命题的真假判断　 [例3－2]　[多选]下列命题中，为真命题的是(　　) A．∀x∈R,2x－1>0 B．∃x∈R，x2＋1＜2x C．∀xy>0，x＋y≥2 D．∃x，y∈R，sin(x＋y)＝sin x＋sin y [解析]　对于A项，∀x∈R,2x－1>0，A项正确；对于B项，∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0， ∴x2＋1≥2x，B项错误；对于C项，当x＜0，y＜0时，x＋y＜0＜2，C项错误；对于D项，取x＝ y＝0时，则sin(x＋y)＝sin (0＋0)＝sin 0＋sin 0＝sin x＋sin y，D项正确． [答案]　AD ►[角度3]　含量词的命题的应用　 [例3－3]　(1)若命题“∃x∈R，x2－2x＋m＜0”为真命题，则实数m的取值范围为________． [解析]　由题意可知，不等式x2－2x＋m＜0有解，∴Δ＝4－4m>0，m＜1，∴实数m的取值范围为(－∞，1)． [答案]　(－∞，1) (2)已知命题“∀x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是______． [解析]　由题意得不等式ax2－ax＋1>0对x∈R恒成立．①当a＝0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意． ②当a≠0时，若不等式ax2－ax＋1>0对x∈R恒成立，则解得0＜a＜4. 综上，实数a的取值范围是[0,4)． [答案]　[0,4) 含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题． 1．已知命题p：∀x∈R，ex＋e－x≥2，命题q：∃x∈(0,10)，＞5，则(　　) A．命题p与q均为真命题 B．命题p与q均为真命题 C．命题p与q均为真命题 D．命题p与q均为真命题 解析：B　[∀x∈R，ex＞0，e－x＞0，则ex＋e－x≥2＝2，当且仅当x＝0时取等号，故p为真命题； 当x∈(0,10)时，≤＝5，当且仅当x＝5时取等号，故q为假命题，q为真命题，所以命题p与q均为真命题，B正确．] 2．[多选]以下说法正确的是(　　) A．“∀x∈R,3x2－2≥0”的否定是“∃x∈R,3x2－2＜0” B．“x＞3”是“log3(2x＋1)＞2”的充分不必要条件 C．若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是(－1,3) D．“∀x∈R,2ax2＋ax－≤0”是真命题，则－3≤a≤0 解析：AD　[对于A，“∀x∈R,3x2－2≥0”的否定是“∃x∈R,3x2－2＜0”，故A正确； 对于B，log3(2x＋1)＞2，即log3(2x＋1)＞log39，解得x＞4， 因为x＞4⇒x＞3所以“x＞3”是“log3(2x＋1)＞2”的必要不充分条件，故B错误； 对于C，命题的否定是假命题，则命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，即Δ＝(a－1)2－4>0，解得a>3或a<－1，故C错误； 对于D，因为“∀x∈R,2ax2＋ax－≤0”是真命题，即2ax2＋ax－≤0，对∀x∈R恒成立．当a＝0时，命题成立；当a≠0时，，解得－3≤a＜0，综上可得，－3≤a≤0，故D正确．] 学科网（北京）股份有限公司 $