第1章 1.4 基本不等式（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式专题，覆盖推导过程、最值问题及实际应用等核心考点，按“概念梳理-重要不等式-求最值方法-参数与应用”逻辑架构知识，通过考点辨析（判断正误）、方法指导（配凑/常数代换/消元法）、真题训练（含上海卷等实例）等环节，帮助学生系统突破难点。 讲义突出数学思维与建模能力培养，如用常数代换法解析多选例题，引导学生推理不等关系；设计实际应用问题（人形机器人成本利润），训练用数学语言构建模型。设置分层练习（基础判断、能力提升、综合应用），配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考技能，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

§1.4　基本不等式 ★[考试要求] 1．了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用． 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：　a>0，b>0　. (2)等号成立的条件：当且仅当　a＝b　时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的　算术平均数　，叫做正数a，b的　几何平均数　. 2．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值　2　. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值　S2　. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2(a，b∈R)． (4)≥2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x＋的最小值是2.(×) (2)ab≤2成立的条件是ab>0.(×) (3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(×) (4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(×) 2．已知x＞1，则x＋的最小值为(　　) A．2　　 B．3 C．4　　 D．5 解析：B　[因为x＞1，所以x－1＞0， 所以，x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝时等号成立，即x＝2时等号成立， 所以，x＋的最小值为3.] 3．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为　________. 解析：∵xy＝1，∴x2＋2y2≥2＝2·＝2，当且仅当x2＝2y2，xy＝1时，等号成立． 答案：2 4．(2025·上海卷)设a，b>0，a＋＝1，则b＋的最小值为______． 解析：∵a＞0，b＞0，a＋＝1，∴0＜a＜1，b＞1，∴a＝1－＝＞0， ∴b＋＝b＋＝b－1＋＋2≥2＋2＝4. 当且仅当＝b－1，即b＝2，a＝时，等号成立． 答案：4 　　　　利用基本不等式求最值 ►[角度1]　配凑法　 [例1－1]　(1)函数f(x)＝的最小值为　________　. [解析]　函数f(x)＝的定义域为(1，＋∞)，f(x)＝＝＋≥ ＝4，当且仅当＝，即x＝5时取等号，故当x＝5时，f(x)取得最小值，且最小值为4. [答案]　4 (2)已知0＜x＜，则x的最大值为　________　. [解析]　因为0＜x＜，所以1－2x2＞0，x＝·x·≤·＝，当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时等号成立． [答案]　 ►[角度2]　常数代换法　 [例1－2]　[多选]已知a，b为正实数，且a＞1，b＞1，(a－1)(b－1)＝1，则(　　) A．ab的最大值为4 B．2a＋b的最小值为3＋2 C．a＋b的最小值为3－2 D.＋的最小值为2 [解析]　对于A，∵(a－1)(b－1)＝1，∴ab＝a＋b， 因为ab＝a＋b≥2，≥2，ab≥4(当且仅当a＝b＝2时取“＝”)， 所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由ab＝a＋b，得＋＝1,2a＋b＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2(当且仅当a＝1＋，b＝1＋时取“＝”)，B正确； 对于C，a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥4(当且仅当a＝b＝2时，取“＝”)，C错误； 对于D，∵(a－1)(b－1)＝1，∴＋≥2＝2(当且仅当a＝b＝2时，取“＝”)，D正确． [答案]　BD ►[角度3]　消元法　 [例1－3]　(1)已知x＞2，则的最小值为(　　) A．6　　 B．10 C．12　　 D．14 [解析]　因为x＞2，令t＝x－2(t＞0)，则x＝t＋2， 所以＝＝＝t＋＋4≥2＋4＝10， 当且仅当t＝，即t＝3时，等号成立， 所以当x＝t＋2＝5时，≥10，故的最小值为10. [答案]　B (2)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　) A．9 B．1 C. D．3 [解析]　∵x2－3xy＋4y2－z＝0， ∴z＝x2－3xy＋4y2，又x，y，z均为正实数， ∴＝＝ ≤＝1 (当且仅当x＝2y时取“＝”)， ∴max＝1，此时x＝2y. ∴z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－3×2y×y＋4y2＝2y2， ∴＋－＝＋－＝－2＋1≤1，当且仅当y＝1时取得“＝”，满足题意． ∴＋－的最大值为1. [答案]　B 基本不等式求最值的常用方法 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一配凑法；二将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三消元法． 1．[多选]设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A.＋有最小值4 B.有最小值 C.＋有最大值 D．a2＋b2有最小值 解析：AD　[对于A，正实数a，b满足a＋b＝1， 所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当a＝b＝时取等号，A正确； 对于B，因为≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号， 此时取得最大值，B错误； 对于C，＋≤2×＝，当且仅当a＝b＝时取等号，C错误； 对于D，a2＋b2≥2×2＝，当且仅当a＝b＝时取等号，D正确．] 2．已知a＞b＞0，则的最小值为(　　) A．2 B．1＋2 C．4 D．2＋2 解析：D　[由a＞b＞0，得＞1，令＝t＞1， 则＝＝＝t－1＋＋2≥2＋2＝2＋2， 当且仅当t－1＝，即t＝1＋时取等号， 所以的最小值为2＋2.] 　 利用基本不等式求参数的值或取值范围 [例2]　(1)若正实数x，y满足x＋y＝3，且不等式＋＞m2－2m＋3恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|－3＜m＜1} B．{m|m＜－3，或m＞1} C．{m|－1＜m＜3} D．{m|m＜－1，或m＞3} [解析]　因x＋y＝3，由＋＝(x＋y) ＝≥＝6，当且仅当＝时取等号， 即当x＝1，y＝2时，＋取得最小值6. 因不等式＋＞m2－2m＋3恒成立，故m2－2m＋3＜6， 即m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. [答案]　C (2)若两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，且不等式x＋＜m2－m有解，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1,2) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(－2,1) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [解析]　由两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，得＋＝2， 则x＋＝ ＝≥＝2， 当且仅当＝，即y＝4x＝4时取等号， 由不等式x＋＜m2－m有解，得m2－m＞2，解得m＜－1或m＞2， 所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)． [答案]　D 利用基本不等式求参数的值或取值范围的方法 (1)根据基本不等式等号成立的条件，求参数的值或取值范围． (2)转化为求最值问题，利用基本不等式求解． 已知正数x、y满足(x－1)(y－2)＝2，不等式3x＋2y＞m恒成立．则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，4＋6) B．(6＋4，＋∞) C．(－∞，7＋4) D．(8＋4，＋∞) 解析：C　[因为(x－1)(y－2)＝2，x＞0，y＞0， 所以xy＝2x＋y，即＋＝1， 所以由基本不等式可得3x＋2y＝(3x＋2y)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4， 等号成立当且仅当 ，即， 综上所述，3x＋2y的最小值为7＋4. 因为不等式3x＋2y＞m恒成立， 所以实数m的取值范围是(－∞，7＋4)．] 　　基本不等式的实际应用 [例3]　数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本1 000万元；②材料成本万元，x为每月生产人形机器人的个数． (1)该企业每月的产量为多少个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本． [解]　(1)设平均每个人形机器人的成本为y万元，根据题意有y＝＝＋＋10≥2＋10＝30， 当且仅当＝，即x＝100时取等号． 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元． (2)设月利润为W万元，则有W＝x－1 000－10x－＝＋13x－1 000， 由题知＋13x－1 000≥400，整理得x2＋130x－14 000≥0，解得x≥70. 所以该企业每月生产不少于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元． 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． (4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝ (1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？ (2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ 解：(1)当x∈[50,80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，当x＝65时，y有最小值，为×675＝9；当x∈[80,120]时，函数y＝12－单调递减，故当x＝120时，y有最小值，为10.因为9＜10，所以该型号汽车的速度为65 km/h时，每小时耗油量最低． (2)设总耗油量为l，由题意可知l＝y·，当x∈[50,80)时，l＝y·＝≥＝16，当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16；当x∈[80,120]时，l＝y·＝－2为减函数，故当x＝120时，l取得最小值，最小值为10.因为10＜16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少. 学科网（北京）股份有限公司 $