第3章 章末检测（三） 函数的概念与性质（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了函数的概念、性质及应用，涵盖定义域、解析式、幂函数、奇偶性、单调性等核心内容，通过基础题到综合题的梯度设计，串联起函数定义、性质判定与实际应用的逻辑脉络。 其亮点在于融合数学思维与数学语言，通过错题解析（如分段函数求值）、实际情境题（如足浴盆干扰度优化）培养学生逻辑推理与数学建模能力，分层设计满足不同水平学生需求，助力教师精准复习，提升学生知识应用与问题解决能力。

章末检测（三）　函数的概念与性质 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数f（x）＝（x－1）0＋ ＋ 的定义域为（　　） A. （1，2） B. （2，＋∞） C. （1，2）∪（2，＋∞） D. （－∞，－2）∪（1，2） 解析：由题意得 解得x＞1，且x≠2，所以函数的定义域 为（1，2）∪（2，＋∞），故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 2. 已知函数f（x）满足f（1＋x）＝2x＋1.若f（a）＝5，则a＝（　　） A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 解析：　令x＋1＝a⇒x＝a－1，因为f（1＋x）＝2x＋1，且f（a）＝ 5，所以f（a）＝2（a－1）＋1＝2a－1＝5，可得a＝3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 3. 已知幂函数f（x）＝（3m2－7m－5）x3m－1是定义域上的奇函数，则 m＝（　　） A. － 或3 B. 3 C. D. － 解析：　因为函数为幂函数，所以3m2－7m－5＝1⇒（m－3）（3m＋ 2）＝0，所以m＝3或m＝－ .当m＝3时，f（x）＝x8为偶函数，故m＝ 3不合题意；当m＝－ 时，f（x）＝x－3为奇函数，故m＝－ 满足题意. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 4. 已知函数f（x）＝ 则f（f（－4））＝（　　） A. －1 B. 3 C. －3 D. 24 解析：由题意可得，当x＝－4＜－2时，f（－4）＝－4＋3＝－1，当x＝－1＞－2时，f（－1）＝（－1）2－2×（－1）＝3，所以f（f（－4））＝3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 5. 若函数f（x）＝ax4＋（a－2b）x＋a－1是定义在（－a，0）∪ （0，2a－2）上的偶函数，则f ＝（　　） A. 1 B. C. D. 3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析：　∵f（x）＝ax4＋（a－2b）x＋a－1是定义在（－a，0）∪ （0，2a－2）上的偶函数，∴f（－x）＝f（x），即a（－x）4－（a－ 2b）x＋a－1＝ax4＋（a－2b）x＋a－1，∴a－2b＝0，又定义域关于 原点对称，∴2a－2＝a，∴a＝2，b＝1，∴f（x）＝2x4＋1， ∴f ＝f（1）＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 6. 若f（x）是偶函数且在[0，＋∞）上单调递增，又f（－2）＝1，则不 等式f（x－1）＜1的解集为（　　） A. {x｜－1＜x＜3} B. {x｜x＜－1或x＞3} C. {x｜x＜－1或0＜x＜3} D. {x｜x＞1或－3＜x＜0} 解析：　由于函数y＝f（x）为偶函数，则f（2）＝f（－2）＝1，且函 数y＝f（x）在[0，＋∞）上单调递增，由f（x－1）＜1，可得f（｜x －1｜）＜f（2），∴｜x－1｜＜2，即－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3. 因此，不等式f（x－1）＜1的解集为{x｜－1＜x＜3}. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 7. 若函数f（x）＝ 是R上的减函数，则a的取值 范围是（　　） A. [－3，－1] B. （－∞，－1] C. [－1，0） D. [－2，0） 解析：　因为函数f（x）是R上的减函数，所以有 解得－3≤a≤－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 8. 定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足 ＜0，且f （2）＝4，则不等式f（x）－ ＞0的解集为（　　） A. （4，＋∞） B. （0，4） C. （0，2） D. （2，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析：　由题意，设g（x）＝xf（x），因为 ＜0， 即 ＜0，所以函数g（x）是减函数，不等式f（x）－ ＞ 0，即 ＞0，因为x∈（0，＋∞），所以不等式等价于xf（x）－8 ＞0，即xf（x）＞8，又f（2）＝4，则g（2）＝2·f（2）＝8，所以不等 式xf（x）＞8的解集为（0，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有（　　） A. f（0）＝0 B. 若f（x）在[0，＋∞）上有最小值－1，则f（x）在（－∞，0]上有最 大值1 C. 若f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则f（x）在（－∞，－1]上单调 递减 D. 若x＞0，f（x）＝x2－2x，则当x＜0时，f（x）＝－x2－2x √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析：对于A，函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，A正确；对于B，若f（x）在[0，＋∞）上有最小值－1，即x≥0时，f（x）≥－1，则有－x≤0，f（－x）＝－f（x）≤1，即f（x）在（－∞，0]上有最大值1，B正确；对于C，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，则若f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则f（x）在（－∞，－1]上单调递增，C错误；对于D，设x＜0，则－x＞0，则f（－x）＝（－x）2－2（－x）＝x2＋2x，则f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x）＝－x2－2x，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 10. 某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影 人数记为x，y关于x的函数图象如图1所示.由于目前该片盈利未达到预 期，相关人员提出了两种调整方案， 图2、图3中的实线分别为调整后y 关于x的函数图象.给出下列四种说 法，其中正确的说法是（　　） A. 图2对应的方案是：提高票价，并提高固定成本 B. 图2对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本 C. 图3对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变 D. 图3对应的方案是：提高票价，并降低固定成本 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析：由图1可设y关于x的函数为y＝kx＋b，k＞0，b＜0，k为票价，当k＝0时，y＝b，则－b为固定成本；由图2知，直线向上平移，k不变，即票价不变，b变大，则－b变小，固定成本减小，故A错误，B正确；由图3知，直线与y轴的交点不变，直线斜率变大，即k变大，票价提高，b不变，即－b不变，固定成本不变，故C正确，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 11. 对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－ 1.08]＝－2，定义函数f（x）＝x－[x]，则下列命题中正确的是（　　） A. f（－3.9）＝f（4.1） B. 函数f（x）的最大值为1 C. 函数f（x）的最小值为0 D. 方程f（x）－ ＝0有无数个根 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析：　根据符号[x]的意义，讨论当自变量x取不 同范围时函数f（x）＝x－[x]的解析式：当－1≤x＜0 时，[x]＝－1，则f（x）＝x＋1；当0≤x＜1时，[x]＝0，则f（x）＝x；当1≤x＜2时，[x]＝1，则f（x）＝x－1；当2≤x＜3时，[x]＝2，则f（x）＝x－2.画函数f（x）＝x－[x]的部分图象如图所示，根据定义可知，f（－3.9）＝－3.9－（－4）＝0.1，f（4.1）＝4.1－4＝0.1，即f（－3.9）＝f（4.1），所以A正确；从图象可知，函数f（x）＝x－[x]最高点处取不到，所以B错误；函数图象最低点处函数值为0，所以C正确；从图象可知y＝f（x）与y＝ 的图象有无数个交点，即f（x）＝ 有无数个根，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 已知函数f（x）＝ 如果f（x0）＝4，那么实数x0的 值为 ⁠. 解析：因为f（x）＝ 又f（x0）＝4，所以 或 解得x0＝2或x0＝－3. 2或－3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 13. 已知函数f（x）＝2x3＋3x且关于x的不等式f（kx2）＋f（1－kx）＞ 0恒成立，则实数k的取值范围为 ⁠. 解析：易知f（x）＋f（－x）＝2x3＋3x＋2（－x）3＋3（－x）＝0， 即f（x）为奇函数，由幂函数的单调性知f（x）在R上是增函数，所以f （kx2）＋f（1－kx）＞0⇔f（kx2）＞－f（1－kx）＝f（kx－1），则 得kx2－kx＋1＞0在R上恒成立，若k＜0时，显然不成立，若k＝0时，显 然恒成立，若k＞0时，则当且仅当Δ＝k2－4k＜0⇔0＜k＜4时成立，综 上：实数k的取值范围为[0，4）. [0，4） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 14. 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：①如不超过200元， 则不予优惠；②如超过200元但不超过500元的按标价给予9折优惠；③如 超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分，给予8折优 惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样的 商品，则应付款 元. 560.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析：由题意可知，设消费金额为x元，应付款为y元，则y＝ 由168＜200，得第一次购物的消费金 额为168元.由200＜423＜450，得第二次购物的消费金额为 ＝470 （元）.所以x＝168＋470＝638＞500，则y＝0.8×（638－500）＋450＝ 560.4（元）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知函数f（x＋1）＝2x2＋4x＋3. （1）求函数f（x）的解析式； 解：由题意，函数f（x＋1）＝2x2＋4x＋3，令t＝x＋1，则f（t） ＝2（t－1）2＋4（t－1）＋3＝2t2＋1，所以f（x）＝2x2＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）求关于x的不等式f（x）－2ax＞a＋1－x的解集.（其中a∈R） 解：由（1）知f（x）＝2x2＋1， 即不等式转化为2x2＋（1－2a）x－a＞0， 则（x－a）（2x＋1）＞0， 当a＞－ 时，不等式的解集为{x｜x＜－ 或x＞a}； 当a＜－ 时，不等式的解集为{x｜x＜a或x＞－ }； 当a＝－ 时，不等式的解集为 ； 综上所述，当a＞－ 时，不等式的解集为{x｜x＜－ 或x＞a}； 当a＜－ 时，不等式的解集为{x｜x＜a或x＞－ }； 当a＝－ 时，不等式的解集为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 16. （本小题满分15分）对于任意x∈R，函数f（x）表示－x＋3， x＋ ，x2－4x＋3中的较大者，求f（x）的最小值. 解：“函数f（x）表示－x＋3， x＋ ，x2－4x＋3中的较 大者”是指对某个区间而言，函数f（x）表示－x＋3， x ＋ ，x2－4x＋3中最大的一个. 如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A（0， 3），B（1，2），C（5，8）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 从图象观察可得函数f（x）的表达式： f（x）＝ f（x）的图象是图中的实线部分， 图象的最低点是点B（1，2），所以f（x）的最小值是2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 17. （本小题满分15分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f （2）＝3. （1）若f（x）在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解：由题意，得函数f（x）是二次函数，且f（0）＝f（2），可得 函数f（x）的对称轴为x＝1， 又由最小值为1，可设f（x）＝a（x－1）2＋1， 又f（0）＝3，即a×（0－1）2＋1＝3，解得a＝2， 所以函数的解析式为f（x）＝2（x－1）2＋1＝2x2－4x＋3. 要使f（x）在区间[2a，a＋1]上不单调，则满足2a＜1＜a＋1，解得0＜ a＜ ， 即实数a的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）在区间[－1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上 方，试确定实数m的取值范围. 解：由在区间[－1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的 图象上方， 可得2x2－4x＋3＞2x＋2m＋1在区间[－1，1]上恒成立， 化简得m＜x2－3x＋1在区间[－1，1]上恒成立， 设函数g（x）＝x2－3x＋1， 则g（x）在区间[－1，1]上单调递减， 所以g（x）在区间[－1，1]上的最小值为g（1）＝－1， 所以m＜－1. 所以实数m的取值范围为（－∞，－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 18. （本小题满分17分）某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具 体原理是：在足浴盆右侧离中心x（0＜x＜18）厘米处安装臭氧发生孔， 产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对 泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度 与x2成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与1 350－x2成反比，比例系 数为k，且当x＝10时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； 解：由题意y＝ ＋ ，0＜x＜18， 因为x＝10时，y＝0.06，所以 ＋ ＝0.06⇒k＝50， 所以y＝ ＋ ，0＜x＜18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x 的值. 解：因为0＜x＜18，所以1 350－x2＞0， 所以y＝ ＋ ＝ [x2＋（1 350－x2）] ＝ ［2＋50＋ ＋ ］≥ ［52＋ 2 ］＝ （52＋20）＝ ，当且仅当 ＝ ，即x＝15时取“＝”. 所以当x＝15时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 19. （本小题满分17分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数f（x）的取 值区间恰为 ，就称区间[a，b]为f（x）的一个“倒域区间”.已知 定义在[－2，2]上的奇函数g（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝－x2＋ 2x. （1）求g（x）的解析式； 解：当x∈[－2，0）时，则－x∈（0，2]，由奇函数的定义可得g （x）＝－g（－x）＝－[－（－x）2＋2（－x）]＝x2＋2x， 所以g（x）＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）求函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”； 解：设g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为[a，b]，则1≤a＜ b≤2，因为函数g（x）在[1，2]上单调递减，且g（x）在[a，b]上的值 域为 ， 所以解得 所以函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （3）求函数g（x）在定义域内的所有“倒域区间”. 解：因为g（x）在x∈[a，b]时，函数值g（x）的取值区间恰为 ，其中a≠b且a≠0，b≠0，所以 则 只考虑0＜a＜b≤2或－2≤a＜b＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 ①当0＜a＜b≤2时，因为函数g（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上 单调递减， 故当x∈[0，2]时，g（x）max＝g（1）＝1，则 ≤1，所以1≤a＜2，所 以1≤a＜b≤2， 由（2）知g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为 ； ②当－2≤a＜b＜0时，g（x）在[－2，－1]上单调递减，在[－1，0]上 单调递增， 故当x∈[－2，0）时，g（x）min＝g（－1）＝－1，所以 ≥－1，所以 －2＜b≤－1. 所以－2≤a＜b≤－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 因为g（x）在[－2，－1]上单调递减，则 解得 所以g（x）在[－2，－1]内的“倒域区间”为 . 综上所述，函数g（x）在定义域内的“倒域区间”为 和 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 THANKS 演示完毕 感谢观看 $