第七单元《倍数与因数》（学习单）-2026-2027学年五年级上册数学北师大版

该小学数学《倍数与因数》预习单围绕倍数与因数概念、2/5/3的倍数特征、质数合数、最大公因数与最小公倍数等核心内容，以“概念理解—特征探索—方法掌握—综合应用”为脉络，通过课前回顾衔接旧知，探索活动引导自主探究，核心结论提炼规律，即学即练巩固应用，搭建递进式学习支架。 资料突出探究式学习设计，如百数表圈画倍数、埃拉托色尼筛法找质数等活动，培养数学眼光的抽象能力与创新意识。通过有序找因数倍数、短除法推理等环节，发展数学思维的运算能力和推理意识。即学即练结合生活实际问题，提升数学语言的应用意识，习题分层设计兼顾基础与综合，有效助力学生掌握知识。

第七单元 《倍数与因数》预习单 第1课时　《倍数与因数》 一、学习目标 1. 结合具体情境，认识倍数和因数，理解倍数和因数的含义。 2. 掌握找一个数的倍数和因数的方法，知道一个数的倍数的个数是无限的，因数的个数是有限的。 3. 感受数学与生活的密切联系，培养观察、分析、概括能力。 二、学习重难点 重点：理解倍数和因数的概念，掌握找倍数和因数的方法。 难点：理解倍数与因数的相互依存关系，规范有序地找一个数的所有因数。 三、课前回顾 写出下面两道乘法算式中各数之间的关系： ● 3×4=12，我们说（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）的倍数。 ● 5×6=30，我们说（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）和（ ）的倍数。 四、探索活动一（教材P89—P90） 1. 用乘法认识倍数和因数 观察12=3×4，你能说说3和4与12有什么关系吗？ ________________________________ 试一试：根据18=2×9填空。 （ ）和（ ）是18的因数，18是（ ）和（ ）的倍数。 2. 找一个数的倍数 找2的倍数：2×1=2，2×2=4，2×3=6，2×4=8，…… 想一想：一个数的倍数有多少个？用（ ）法找，从（ ）开始依次乘自然数。 3. 找一个数的因数 找18的因数：想一想几乘几等于18？ 18=1×18，18=2×9，18=3×6 所以18的因数有：（ ），共有（ ）个。 想一想：找因数用（ ）法，从1开始一对一对地找，这样不重复也不遗漏。 五、核心结论 1. 倍数和因数是相互（ ）的，不能单独说一个数是倍数或因数。 2. 一个数的倍数的个数是（ ）的，最小的倍数是（ ），（ ）最大的倍数。 3. 一个数的因数的个数是（ ）的，最小的因数是（ ），最大的因数是（ ）。 六、即学即练 1. 写出36的全部因数。 ________________________________ 2. 写出50以内7的倍数。 ________________________________ 七、预习疑惑记录 在预习过程中，你遇到了哪些疑惑？请写下来，课上与同学和老师交流。 ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ 第2课时　《2和5的倍数特征》 一、学习目标 1. 经历探索2和5的倍数特征的过程，理解2和5的倍数的特征。 2. 理解偶数和奇数的含义，能判断一个数是奇数还是偶数。 3. 能运用所学知识解决简单的实际问题。 二、学习重难点 重点：掌握2和5的倍数的特征，认识奇数和偶数。 难点：理解既是2的倍数又是5的倍数的数的特征。 三、课前回顾 观察下面各数的个位数字，你有什么发现？ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20…… 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40…… 这些数的个位分别有什么规律？ ________________________________ 四、探索活动二（教材P91—P92） 1. 在百数表中圈出2的倍数和5的倍数 在下面的百数表中，用△圈出2的倍数，用○圈出5的倍数。 百数表（1—100）： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 观察圈出的数，你有什么发现？ ________________________________ 五、核心结论 1. 2的倍数的特征：个位上是（ ）、（ ）、（ ）、（ ）或（ ）。 2. 5的倍数的特征：个位上是（ ）或（ ）。 3. 是2的倍数的数叫作（ ），不是2的倍数的数叫作（ ）。 4. 既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上一定是（ ）。 六、即学即练 面包店有85个面包。 （1）如果每2个装一袋，能正好装完吗？为什么？ ________________________________ （2）如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？ ________________________________ 七、预习疑惑记录 在预习过程中，你遇到了哪些疑惑？请写下来，课上与同学和老师交流。 ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ 第3课时　《3的倍数特征》 一、学习目标 1. 经历探索3的倍数特征的过程，理解3的倍数的特征。 2. 能正确判断一个数是不是3的倍数。 3. 能运用所学知识解决简单的实际问题。 二、学习重难点 重点：掌握3的倍数的特征。 难点：理解"各位数字的和是3的倍数"这一判断方法。 三、课前回顾 回顾2和5的倍数特征：判断一个数是不是2或5的倍数，只看（ ）位就可以了。 那么怎样判断一个数是不是3的倍数？还看个位吗？ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21……这些数的个位有哪些数字？你发现了什么？ ________________________________ 四、探索活动三（教材P93—P94） 1. 在百数表中找出3的倍数，看看它们有什么规律。 百数表（1—100）： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 观察：3的倍数在百数表中排列成什么形状？它们的个位上有统一规律吗？ ________________________________ 2. 计算各位数字之和 以12为例：1+2=3，3是3的倍数，所以12是3的倍数。 以27为例：2+7=9，9是3的倍数，所以27是3的倍数。 再试一个：45，4+5=（ ），（ ）是3的倍数，所以45（ ）3的倍数。 五、核心结论 一个数各位上的数字的（ ）是3的倍数，这个数就是3的倍数。 注意：判断一个数是不是3的倍数，不能只看个位，要看（ ）。 六、即学即练 1. 下面哪些数是3的倍数？请圈出来。 56　87　36　65　60　128　453 ________________________________ 2. 在□中填上合适的数字，使2□5成为3的倍数。 可以填的数字有（ ），共有（ ）种填法。 七、预习疑惑记录 在预习过程中，你遇到了哪些疑惑？请写下来，课上与同学和老师交流。 ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ 第4课时　《最大公因数和最小公倍数》 一、学习目标 1. 理解公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的含义。 2. 掌握求最大公因数和最小公倍数的方法（列举法、韦恩图法、短除法）。 3. 能运用公因数和公倍数的知识解决实际问题。 二、学习重难点 重点：理解公因数和公倍数的含义，掌握求最大公因数和最小公倍数的方法。 难点：熟练运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。 三、课前回顾 1. 写出12的因数和18的因数。 12的因数：________________________________ 18的因数：________________________________ 2. 写出4的倍数和6的倍数（各写出5个）。 4的倍数：________________________________ 6的倍数：________________________________ 四、探索活动四（教材P95—P96） 1. 公因数和最大公因数 （1）列举法 12的因数：1, 2, 3, 4, 6, 12 18的因数：1, 2, 3, 6, 9, 18 12和18的公因数有：________________ 最大公因数是（ ）。 （2）韦恩图法 左圈写12独有的因数，右圈写18独有的因数， 中间重叠部分写12和18的公因数。 （3）短除法 用短除法求12和18的最大公因数： 2 | 12 18 3 | 6 9 2 3 最大公因数 = 2 × 3 = （ ） 2. 公倍数和最小公倍数 4的倍数：4, 8, 12, 16, 20, 24…… 6的倍数：6, 12, 18, 24, 30…… 4和6的公倍数有：________________ 最小公倍数是（ ）。 五、核心结论 1. 几个数（ ）的因数，叫作这几个数的公因数，其中最大的一个叫作它们的（ ）。 2. 几个数（ ）的倍数，叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个叫作它们的（ ）。 3. 用短除法求两个数的最大公因数，把（ ）相乘。 用短除法求两个数的最小公倍数，把（ ）和（ ）相乘。 六、即学即练 1. 求9和15的最大公因数。 ________________________________ 2. 求6和8的最小公倍数。 ________________________________ 七、预习疑惑记录 在预习过程中，你遇到了哪些疑惑？请写下来，课上与同学和老师交流。 ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ 第5课时　《质数与合数》 一、学习目标 1. 理解质数和合数的含义，能正确判断一个数是质数还是合数。 2. 掌握分解质因数的方法。 3. 了解1的特殊性——既不是质数也不是合数。 二、学习重难点 重点：理解质数和合数的概念，能正确判断一个数是质数还是合数。 难点：正确分解质因数，理解每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 三、课前回顾 用两个相同的小正方形可以拼成什么长方形？用三个、四个、五个呢？ 想一想：一个数能拼成几种不同的长方形，和它的因数个数有什么关系？ ________________________________ 四、探索活动五（教材P97—P98） 1. 认识质数和合数 （1）写出2, 3, 5, 7, 11的全部因数，看看它们的因数有什么特点？ 2的因数：________________（ ）个 3的因数：________________（ ）个 5的因数：________________（ ）个 7的因数：________________（ ）个 11的因数：________________（ ）个 （2）写出4, 6, 8, 9, 10的全部因数，看看它们的因数又有什么特点？ 4的因数：________________（ ）个 6的因数：________________（ ）个 8的因数：________________（ ）个 9的因数：________________（ ）个 10的因数：________________（ ）个 2. 分解质因数 把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫作分解质因数。 例如：12 = 2 × 2 × 3 试一试：把15和30分解质因数。 15 = ________________ 30 = ________________ 五、核心结论 1. 一个数只有（ ）和（ ）两个因数，这个数叫作质数（也叫作素数）。 2. 一个数除了（ ）和（ ）还有别的因数，这个数叫作合数。 3. （ ）既不是质数也不是合数。 4. 最小的质数是（ ），最小的合数是（ ）。 六、即学即练 将下面各数按质数和合数分类。 27　23　29　11　9　33　14　25　99 质数：________________________________ 合数：________________________________ 七、预习疑惑记录 在预习过程中，你遇到了哪些疑惑？请写下来，课上与同学和老师交流。 ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ 第6课时　《寻找质数》 一、学习目标 1. 了解埃拉托色尼筛法，能运用筛法找出100以内的质数。 2. 熟记100以内的质数，特别是20以内的质数。 3. 感受数学文化，体会数学探究的方法和乐趣。 二、学习重难点 重点：用筛法找出100以内的质数。 难点：理解筛法的原理，熟记100以内的25个质数。 三、探索活动六（教材P99） 用埃拉托色尼筛法找出100以内的质数。 百数表（1—100）： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 操作步骤： ● 划去1（1既不是质数也不是合数） ● 保留2，划去所有2的倍数（4, 6, 8, 10……） ● 保留3，划去所有3的倍数（6, 9, 12, 15……）（已划去的可以跳过） ● 保留5，划去所有5的倍数（10, 15, 20, 25……） ● 保留7，划去所有7的倍数（14, 21, 28, 35……） ● 最后没有被划去的数就是质数。 四、核心结论 100以内的质数共有（ ）个。 依次为：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。 记忆小窍门： ● 除了2和5，个位是5的数都是合数（个位5是5倍数） ● 除了2、3、5、7，个位是偶数、个位是5的数都可以先排除 ● 重点记忆11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 五、即学即练 写出20以内的所有质数。 ________________________________ ________________________________ 六、预习疑惑记录 在预习过程中，你遇到了哪些疑惑？请写下来，课上与同学和老师交流。 ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ 第7课时　《整理与复习》 一、复习目标 1. 整理本单元知识结构，形成知识网络。 2. 巩固倍数、因数、倍数特征、质数、合数、最大公因数、最小公倍数等核心知识。 3. 能综合运用所学知识解决实际问题。 二、复习重难点 重点：梳理本单元知识结构，构建知识网络。 难点：灵活运用本单元知识解决综合性问题。 三、知识结构梳理 请根据所学内容，完成下面的知识结构图。 第七单元　倍数与因数 ● 倍数：一个数的倍数的个数是（ ）的，最小的倍数是（ ）。 ● 因数：一个数的因数的个数是（ ）的，最小的因数是（ ），最大的因数是（ ）。 ● 倍数特征： 2的倍数：个位是（ ） 5的倍数：个位是（ ） 3的倍数：各位数字之和是（ ） ● 偶数与奇数：是2的倍数的数是（ ），不是2的倍数的数是（ ）。 ● 质数与合数： 质数：只有（ ）和（ ）两个因数 合数：除了（ ）和（ ），还有别的因数 1既不是（ ）也不是（ ）。 ● 最大公因数和最小公倍数： 最大公因数：几个数公有的因数中最大的那个 最小公倍数：几个数公有的倍数中最小的那个 四、综合练习 1. 将下列各数按要求分类。 2, 4, 9, 15, 17, 18, 20, 25, 27, 30 偶数：________________________________ 奇数：________________________________ 质数：________________________________ 合数：________________________________ 2的倍数：________________________________ 3的倍数：________________________________ 5的倍数：________________________________ 2. 一个数既是6的倍数，又是24的因数，这个数可能是多少？ ________________________________ 3. 哥德巴赫猜想：任何一个大于2的偶数都可以写成两个质数的和。 请举例说明（至少写出3个例子）。 例如：4 = 2 + 2 ________________________________ ________________________________ ________________________________ 五、预习疑惑记录 在本单元预习过程中，你还有哪些疑惑？请写下来，课上与同学和老师交流。 ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ 参考答案 第1课时《倍数与因数》 课前回顾：3和4是12的因数，12是3和4的倍数；5和6是30的因数，30是5和6的倍数。 探索活动一：2和9是18的因数，18是2和9的倍数。找倍数用乘法法，从1开始依次乘自然数。 18的因数：1, 2, 3, 6, 9, 18（共6个）。找因数用成对法。 核心结论：1.相互依存；2.无限、它本身、没有；3.有限、1、它本身。 即学即练： 1. 36的全部因数：1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36。 2. 50以内7的倍数：7, 14, 21, 28, 35, 42, 49。 第2课时《2和5的倍数特征》 核心结论：1. 0, 2, 4, 6, 8；2. 0, 5；3. 偶数、奇数；4. 0。 即学即练： （1）85是奇数，不是2的倍数，所以每2个装一袋不能正好装完。 （2）85个位是5，是5的倍数，所以每5个装一袋能正好装完。 第3课时《3的倍数特征》 核心结论：各位数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。不能只看个位，要看各位数字之和。 即学即练： 1. 3的倍数有：87, 36, 60, 453。（56-不是，65-不是，128-不是） 2. 2□5，各位数字之和=2+□+5=7+□，需要是3的倍数。 □可以填：2, 5, 8，共3种填法。 第4课时《最大公因数和最小公倍数》 核心结论：1. 公有、最大公因数；2. 公有、最小公倍数；3. 除数；4. 除数和商。 即学即练： 1. 9的因数：1, 3, 9；15的因数：1, 3, 5, 15。9和15的最大公因数是3。 2. 6的倍数：6, 12, 18, 24……；8的倍数：8, 16, 24, 32……。6和8的最小公倍数是24。 第5课时《质数与合数》 核心结论：1. 1、它本身；2. 1、它本身；3. 1；4. 2、4。 分解质因数：15=3×5；30=2×3×5。 即学即练： 质数：23, 29, 11。（27是合数，9是合数，33是合数，14是合数，25是合数，99是合数） 合数：27, 9, 33, 14, 25, 99。 第6课时《寻找质数》 核心结论：100以内的质数共有25个。 即学即练：20以内的质数有：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19（共8个）。 第7课时《整理与复习》 知识结构：倍数个数无限，最小倍数是它本身；因数个数有限，最小因数是1，最大因数是它本身。 倍数特征：2倍数个位0,2,4,6,8；5倍数个位0,5；3倍数各位数字之和是3的倍数。 偶数奇数：偶数=2的倍数，奇数≠2的倍数。 质数合数：质数只有1和它本身两个因数；合数除了1和它本身还有别的因数；1既不是质数也不是合数。 综合练习： 1. 偶数：2, 4, 18, 20, 30；奇数：9, 15, 17, 25, 27； 质数：2, 17；合数：4, 9, 15, 18, 20, 25, 27, 30； 2的倍数：2, 4, 18, 20, 30；3的倍数：9, 15, 18, 27, 30；5的倍数：15, 20, 25, 30。 2. 6的倍数有：6, 12, 18, 24……；24的因数有：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24。 既是6的倍数又是24的因数：6, 12, 24。 3. 哥德巴赫猜想示例： 6=3+3；8=3+5；10=3+7=5+5；12=5+7；14=3+11=7+7；16=3+13=5+11；18=5+13=7+11；20=3+17=7+13。 学科网（北京）股份有限公司 $