精品解析：江西景德镇一中2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

景德镇一中25-26学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】复数的除法运算，共轭复数的概念以及虚部的定义，首先对复数进行除法运算，再求其共轭复数，即可得到虚部. 【详解】， 则共轭复数为，虚部为. 2. 已知向量，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合平面向量的运算律即可求解. 【详解】由 故. 3. 设，为两个不同平面，，为两条不同直线，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若与，所成角相等，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系及面面位置关系判断各个选项即可. 【详解】由题意知,若,但可能就在平面内，此时,而非，故A错误； 过作平面分别与，交于直线，，由线面平行性质得,， 所以.又,,且，则,都平行,故，故B正确； 取为过上一点且垂直于的直线，但让它在外倾斜，则成立，但不与垂直，故C错误； 当时，与，的夹角都为，此时与平行，并不垂直，故D错误. 4. 已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，， 故. 5. 已知，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】向量在上的投影向量为 ，其中为与的夹角， 代入已知条件，，，， 得​. 6. 在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过中位线得到异面直线与所成角的平面角,根据题意结合余弦定理即可求解. 【详解】如图，分别取的中点, 分别连接,则平行于. 平行于,所以(或其补角)即为直线与所成角, 设,则. 在中,可得,为中位线，所以. 在中,可得,为中位线，所以. 在中,. 在中,. 在中,由余弦定理,， 由于与所成角为锐角,故直线与所成角的余弦值为. 7. 若函数在区间内没有最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最值性质，结合正弦型函数的周期性进行求解即可. 【详解】当时，因为，所以， 因为函数在区间内没有最小值， 所以有或， 由， 当时，，而，所以， 当，时，因为，所以不等式组的解集为空集； 由， 当时，， 当，时，因为，所以不等式组的解集为空集， 综上所述：的取值范围为. 8. 已知，分别是，轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点，向轴作垂线，垂足依次为，，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，利用和表达四边形周长，进而利用三角函数求解最值. 【详解】设 ()，因为正方形的边长， 所以, ,， 四边形周长为, 因为，且存在使得，所以的最大值为 1, 因此，周长 L 的最大值为：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，与的夹角为钝角 【答案】ABC 【解析】 【详解】已知，. 选项A ：若，根据向量平行的坐标公式​，代入得，解得，A正确； 选项B：对两边平方，展开得，化简得， 即，解得，B正确； 选项C：，​，不等式，即​， 两边平方得，即，解得，C正确； 选项D ：与夹角为钝角的条件是，且不反向共线. 由得，但当时，且反向，夹角为，不是钝角，D错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数的最大值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换公式将化简为余弦型函数， 再利用三角函数的周期性、对称性、单调性、最值等性质逐一判断选项即可. 【详解】， 对于A选项，的最小正周期，A正确； 对于B选项，将代入得， 因此函数的对称中心为，B错误； 对于C选项，当时，， 又因为余弦函数在单调递减，所以在区间上单调递减，C正确； 对于D选项，因为最大值为1，所以，D正确. 11. 如图，正方体的棱长为4，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 若平面，则的轨迹长度为4 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面面积是18 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥的外接球体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：先找平行的平行平面，确定过且与该平面平行的平面和底面的交线，该交线即为点的轨迹，再计算轨迹长度；对于B：先找过，，三点的平面与正方体各棱的交点，确定截面的形状，再用对应多边形面积公式计算截面面积.对于C：利用等体积法将三棱锥的体积转化为的体积，判断点到平面的距离是否为定值，即可判断体积是否为定值；对于D：先求外接球半径，再代入球的体积公式计算； 【详解】对于A：取的中点，连接， 因为是中点，是中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 要想平面，只需在平面内运动即可，又因为在平面内运动， 所以点的轨迹为平面与平面在正方体内部的交线，， 即点的轨迹长为4，A正确； 对于B：，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以，且，所以四点共面， 所以截面即为梯形，并且， 所以等腰梯形的高， 故其面积，B正确. 对于C：为定值，C正确； 对于D：三棱锥的外接球即为长宽高为的长方体的外接球， 半径， 则三棱锥的外接球体积为，D错误； 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 是边长为的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是，则的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由等边三角形面积公式求的面积，进而根据的直观图的面积，可得答案． 【详解】已知是边长为的正三角形， 所以的面积， 所以的面积为. 13. 已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是，则体积为________． 【答案】 【解析】 【详解】如图所示，，， 过点分别作于点， 则，由勾股定理得， 所以正四棱台的体积为(). 14. 如图，八面体的每一个面都是边长为的正三角形，且顶点，，，，在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，则点的轨迹的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】取线段的中点，连接、交于点，连接、，取线段的中点，连接、，由直角三角形的几何性质得出，结合勾股定理得出，于是得出点的轨迹是正方形区域内以点为圆心，半径为的圆弧，数形结合可得出圆心角的大小，结合扇形弧长公式可得结果. 【详解】取线段的中点，连接、交于点，连接、， 取线段的中点，连接、，如下图所示： 在正四棱锥中，平面， 因为、分别为、的中点，所以，且， 因为四边形是边长为的正方形，则， 又因为，所以， 则，故， 因为，平面，所以平面， 因为，由直角三角形的几何性质可得， 故点在以点为球心，且半径为的球面上， 又因为点在四边形内（包含边界）运动，接下来考虑四边形与球的交线长， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以点的轨迹是正方形区域内以点为圆心，半径为的圆弧，如下图所示： 分别取线段、的中点、，连接、，则且， 同理可得，， 所以，，，，故四边形是边长为的正方形， 所以，故， 所以圆分别交线段、于点、，且、、三点共线， 所以圆弧的圆心角为，故点的轨迹的长度为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数满足： （1）求复数； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数相等的条件列方程组求解，即可得到复数； （2）将第一问求得的代入待求表达式，对两个分项分别分母实数化化简后合并计算，即可得到最终结果. 【小问1详解】 设，， ; 【小问2详解】 原式. 16. 如图：正方体中，点，为上两点，点G，H分别为，的中点，且． （1）求证：平面 （2）求证：平面平面 【答案】（1）如图，取的中点，连接，． 在中，，分别为，的中点，所以，且． 因为，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以． 又平面，平面， 所以平面. （2）因为、在上，所以平面与平面是同一平面， 因为正方体， 所以平面，又平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，即平面， 又平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，．根据线面平行的判定即可求证； （2）根据面面垂直的判定即可证明； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知内角，B，C的对边分别为，满足． （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角得到，再由余弦定理即可求解； （2）由正弦定理得到，，再结合正弦函数求值域即可解题. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理， 得， 则，即， 整理得：，又， 因此，又，所以 根据余弦定理，得， 即，整理得，解得或（舍去）． 所以； 【小问2详解】 由，得，， 因为，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以，则， 所以，即取值范围为， 所以的周长范围为. 18. 如图，长方体的底面ABCD是正方形，，点在棱上，平面BDM. （1）求证：为的中点； （2）求直线与平面BDM所成角的正弦值； （3）求点到平面BDM的距离. 【答案】（1）证明：连接， 因为底面是正方形，所以是的中点， 因为点在棱上，平面， 平面，且平面平面， 所以， 所以为的中点. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理平面得出即可得证； （2）设直线与平面所成角为，则，其中为点到平面的距离，利用等体积法求出，进而得到答案； （3）根据线面垂直的判定定理，证明面，进而得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线与平面所成角为，则， 其中为点到平面的距离， 因为，，，，， 所以， ， 所以为等边三角形，为直角三角形， 所以，， 又因为, 即，即， 所以， 所以直线与平面BDM所成角的正弦值为 【小问3详解】 连接，，, 因为为等边三角形， 所以，， 又因为，， 所以为等腰三角形， 所以，， 又因为，面， 所以面， 又因为面， 所以， 又因为，，， 所以，即， 又因为，面， 所以面， 求点到平面BDM的距离为. 19. 已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． （1）求的解析式． （2）函数在内的零点个数为3，求的最小值． （3）已知函数的最小值为；若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】根据余弦函数的对称性、周期以及最值求解可得 （2）先写出的表达式，令其为0可得对应的三角方程，因为，所以可确定相位的取值范围，结合零点个数为3的条件，列出相位区间的边界不等式，进而求解的最小值； （3）先利用将转化为关于的二次函数，结合和最小值为的条件求出的值，进而得到的值域，再根据的区间求出的值域，得到的值域，因为对任意，存在满足等式，所以的值域是值域的子集，据此列不等式求解的范围. 【小问1详解】 ，， ， 【小问2详解】 ，， 即在内的 解的个数为3个， ， ，，又取最小值， ，且， 解得. 【小问3详解】 ． 设，， ，∴抛物线开口向下，对称轴为， 结合二次函数性质知， 本问题等价于的值域是函数值域的子集． 由可得的值域为 设，，， 当时，，． 当时，，． 综上，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇一中25-26学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，为两个不同平面，，为两条不同直线，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若与，所成角相等，则 4. 已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间内没有最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别是，轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点，向轴作垂线，垂足依次为，，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，与的夹角为钝角 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数的最大值为1 11. 如图，正方体的棱长为4，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 若平面，则的轨迹长度为4 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面面积是18 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥的外接球体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 是边长为的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是，则的面积是__________． 13. 已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是，则体积为________． 14. 如图，八面体的每一个面都是边长为的正三角形，且顶点，，，，在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，则点的轨迹的长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数满足： （1）求复数； （2）求的值． 16. 如图：正方体中，点，为上两点，点G，H分别为，的中点，且． （1）求证：平面 （2）求证：平面平面 17. 已知内角，B，C的对边分别为，满足． （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，，求的周长的取值范围． 18. 如图，长方体的底面ABCD是正方形，，点在棱上，平面BDM. （1）求证：为的中点； （2）求直线与平面BDM所成角的正弦值； （3）求点到平面BDM的距离. 19. 已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． （1）求的解析式． （2）函数在内的零点个数为3，求的最小值． （3）已知函数的最小值为；若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $