26.4实际问题与二次函数（第2课时 生活中的最值问题）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与二次函数”第二课时生活中的最值问题，核心是利用二次函数解决商品销售等场景的最大利润及最优定价问题。课堂导入通过复习二次函数顶点性质和销售公式，结合商品调价时利润与销量的矛盾设问，搭建前后知识联系的学习支架。 此导学案以“分析情境—梳理关系—建立模型—限定范围—求解最值”完整流程培养数学建模能力，通过分类讨论、数形结合分析变量范围与最值关系。习题结合生活实际与中考真题，助力学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理问题、用数学语言表达模型，提升自主学习与综合应用素养。

26.4实际问题与二次函数 （第二课时 生活中的最值问题） （导学案） （1）熟记商品销售利润等核心公式；能在涨价、降价情境中精准建立利润的二次函数解析式；能结合自变量实际范围，利用二次函数顶点公式求解最大利润与最优售价；能对比不同调价方案选择最优销售策略. （2）经历“分析销售情境—梳理数量关系—建立函数模型—限定变量范围—求解最值方案”的完整探究过程，掌握二次函数解决优化问题的通用流程，提升综合建模与最值运算能力. （3）感受二次函数在商业销售、生活优化中的实用价值，体会数学模型解决实际决策问题的优势，培养严谨的数学思维和理性的方案决策意识，提升数学应用素养. 重点：掌握商品销售问题的数量关系，正确建立利润与调价金额的二次函数模型；利用二次函数顶点最值性质，求解商品最大利润及对应最优定价. 难点：根据涨价、降价情境，准确分析单件利润、销售数量的变化规律，避免数量关系列式错误；结合自变量实际取值范围判定最值，理解：当顶点横坐标在取值范围内时，顶点为最值点；超出范围时，最值出现在区间端点；对比涨价、降价两种方案，综合实际销售情况选择最优策略. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾：（1）二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)，当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最大值点，顶点横坐标 .(2)销售公式：单件利润 = 售价 − 进价,总利润 = 单件利润 × 销售数量. 设问导入：商品涨价利润会升高，但销量会降低；降价销量升高，但单件利润降低。如何定价才能获得最大利润？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第52-53页的内容 【学法指导】自研课本P52-53页内容 （一）调价情境下的利润变化规律 活动1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 学生合作交流，完成下列问题： 追问1：调整价格有几种情况？ 调整价格包括涨价和降价两种情况. 追问2.本问题我们要分几种情况讨论？ 先来看涨价的情况，再考虑降价的情况. 追问3.设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润随之变化.怎样来确定y随x变化的函数解析式. 每件涨价x元时，每星期要少卖10x件，实际卖出（300－10x）件，销售额为(60+x)（300－10x）元，买进商品需付40(300－10x）元.因此，所得利润 y=(60+x)(300－10x）－40(300－10x)， 即y=-10x²+100x+6 000，其中，0≤x≤30，x为整数. 追问4.根据上面的函数，当x= 时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定 价 元时，利润最大，最大利润是 元？ 5、5、65、6250 追问5.根据以上探究过程，考虑在降价的情况下，最大利润是多少？ 降价2.5元，定价为57.5元，最大利润是6150元. 追问6.根据以上讨论及现在的销售状况，你知道如何定价才能使利润最大了吗？ 定价为65元才能使利润最大，最大利润是6250元. （二）归纳通用解题步骤 根据以上解答过程，归纳解题步骤 ① 辨情境：区分涨价/降价，梳理单件利润、销量变化； ② 建模型：根据总利润公式列二次函数解析式； ③ 定范围：根据销量、价格非负确定自变量范围； ④ 求最值：利用顶点公式求最值，验证顶点是否在取值范围. 【自研自探】 自研课本P52-53页内容 典型例题 例1.小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于进价，而每件的利润不高于成本价的． (1)设小明每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得1500元的利润？ (3)当销售单价定为多少元时，每月可获行最大利润？ 【分析】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题； （1）由题意得，根据利润= （定价进价） 销售量，从而列出关系式； （2）令，解方程即可； （3）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可； 【详解】（1）由题意，得：或 ， ， ． （2）解：令，即， 解得：． ， ， 答：当销售单价定为20元时，每月可获得利润1500元； （3）解：， 对称轴直线． ， 抛物线开口向下． 其对称轴为直线， 当时，最大， 答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润． 例2.某风景区统计了近三年国庆节的游客人数．据统计，2023年国庆节游客人数约为3万，2025年国庆节游客人数约为4.32万． (1)求2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率． (2)已知该风景区有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 元/人 元/人 元/人 据预测，2026年国庆节选择甲、乙、丙三种购票方式的游客各有2万人，当甲、乙两种门票的价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有名原计划购买甲种门票的游客和名原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票，当丙种门票的价格下降多少元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 【分析】（1）设2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为，则2025年该风景区国庆节游客人数人为，根据2025年国庆节游客人数约为万人，再列方程，解方程可得答案； （2）设丙种门票价格下降元，该风景区国庆节的门票总收入为万元，，再列出与的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大值即可． 本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，利用二次函数的性质求解最大值是解题的关键． 【详解】（1）解：设2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为， 由题意，得， 解这个方程，得（舍去） 答：2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率20%． （2）设丙种门票价格下降元，该风景区国庆节的门票总收入为万元， 由题意，得 化简，得， ， ∴当时，取最大值，为万元． 答：当丙种门票价格下降元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值，最大值是万元． 第二环节 合作探究 1.讨论调价情境下的利润变化规律. 2.讨论生活中的最值问题通用解题步骤. 拓展提升： 1．今年中秋节前夕，江津区新世纪超市从某厂家分两次购进蛋黄月饼、甜蜜月饼，两次进货时，两种月饼的进价不变．第一次购进蛋黄月饼60袋和甜蜜月饼袋，总费用为元；第二次购进蛋黄月饼袋和甜安月饼袋，总费用为元． (1)求蛋黄月饼、甜蜜月饼每袋的进价各是多少元？ (2)当蛋黄月饼销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，新世纪超市决定对蛋黄月饼进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄月饼每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润为元． (3)在（2）的条件下，若蛋黄月饼每天销售价为多少元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润最大．最大利润是多少？ 【详解】（1）解：描点，连线，如图所示：    （2）解：观察函数图象可知，s与t的关系可近似看成二次函数，              设s与t的函数关系式为，                          将代入，得：  ， 解得：， ∴s与t的函数关系式可近似地表示为； （3）解：把代入得：，     ∴， 解得：（舍去），                       答：推测滑雪者滑行的时间是10秒． 课本P53课堂练习. 1．（2025•内江）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【解答】解：（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 （400﹣m）个， 由题意得，40（400﹣m）+20m≤12000， 解得m≥200， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）由题意得，W＝（a﹣40）[200﹣5（a﹣60）] ＝（a﹣40）（200﹣5a+300） ＝（a﹣40）（500﹣5a） ＝500a﹣20000﹣5a2+200a ＝﹣5（a﹣70）2+4500， ∵﹣5＜0，60≤a≤100， ∴当a﹣70＝0，即a＝70时，W最大，最大值为4500． 2．（2025•南充）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用（3200﹣50m）元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【解答】解：（1）设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为（x﹣15）人， 根据题意得：， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意， ∴x﹣15＝60﹣15＝45（人）． 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人； （2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车（10﹣m）辆， 根据题意得：60m+45（10﹣m）≥530， 解得：m， 设本次研学活动学校的租车总费用为w元，则w＝（3200﹣50m）m+3000×0.8（10﹣m）＝﹣50m2+800m+24000， ∵抛物线的对称轴为直线m8， ∴m≤8时，w随着m的增大而增大， ∵m取正整数，且， ∴当m＝6时，w取得最小值，最小值为﹣50×62+800×6+24000＝27000（元）． 答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元． 3．（2025.四川）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　 　 件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 （60+10x） 件， 故答案为：（60+10x）； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：（40﹣30﹣x）（60+10x）＝630， 整理可得：x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， 由于要让利于游客，x＝1 舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则W＝（40﹣30﹣x）（60+10x） ＝（10﹣x）（60+10x） ＝﹣10x2+40x+600 ＝﹣10（x﹣2）2+640， ∵﹣10＜0， ∴当x＝2时，W取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 知识技能：（1）核心公式：总利润=（售价−进价）×销售量；（2）核心模型：涨跌价销售问题均可建立开口向下的二次函数模型，存在最大值；（3）解题规范：建模→定自变量实际范围→求顶点最值→验证区间有效性→得出最优定价与最大利润. 思想方法：（1）数学建模思想：将复杂销售实际问题抽象为二次函数最值模型；（2）分类讨论思想：区分涨价、降价两种情境分类求解；（3）数形结合思想：利用抛物线开口、顶点、区间范围判定实际最值； （4）优化决策思想：通过数学计算对比方案，选择最优实际策略. 易错提醒：（1）数量关系易错：涨价单件利润增加、销量减少；降价单件利润减少、销量增加，切勿写反； （2）范围易错：自变量必须满足价格、销量、利润非负，不能取全体实数；（3）最值易错：顶点横坐标必须验证是否在取值区间内，不在区间内则最值取端点值；（4）结论易错：答题必须写明对应定价+最大利润，不可只算利润不写定价等. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.4实际问题与二次函数 （第二课时 生活中的最值问题） （导学案） （1）熟记商品销售利润等核心公式；能在涨价、降价情境中精准建立利润的二次函数解析式；能结合自变量实际范围，利用二次函数顶点公式求解最大利润与最优售价；能对比不同调价方案选择最优销售策略. （2）经历“分析销售情境—梳理数量关系—建立函数模型—限定变量范围—求解最值方案”的完整探究过程，掌握二次函数解决优化问题的通用流程，提升综合建模与最值运算能力. （3）感受二次函数在商业销售、生活优化中的实用价值，体会数学模型解决实际决策问题的优势，培养严谨的数学思维和理性的方案决策意识，提升数学应用素养. 重点：掌握商品销售问题的数量关系，正确建立利润与调价金额的二次函数模型；利用二次函数顶点最值性质，求解商品最大利润及对应最优定价. 难点：根据涨价、降价情境，准确分析单件利润、销售数量的变化规律，避免数量关系列式错误；结合自变量实际取值范围判定最值，理解：当顶点横坐标在取值范围内时，顶点为最值点；超出范围时，最值出现在区间端点；对比涨价、降价两种方案，综合实际销售情况选择最优策略. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾：（1）二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)，当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最大值点，顶点横坐标 .(2)销售公式：单件利润 = 售价 − 进价,总利润 = 单件利润 × 销售数量. 设问导入：商品涨价利润会升高，但销量会降低；降价销量升高，但单件利润降低。如何定价才能获得最大利润？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第52-53页的内容 【学法指导】自研课本P52-53页内容 （一）调价情境下的利润变化规律 活动1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 学生合作交流，完成下列问题： 追问1：调整价格有几种情况？ 追问2.本问题我们要分几种情况讨论？ 追问3.设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润随之变化.怎样来确定y随x变化的函数解析式. 追问4.根据上面的函数，当x= 时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定 价 元时，利润最大，最大利润是 元？ 追问5.根据以上探究过程，考虑在降价的情况下，最大利润是多少？ 追问6.根据以上讨论及现在的销售状况，你知道如何定价才能使利润最大了吗？ （二）归纳通用解题步骤 根据以上解答过程，归纳解题步骤 【自研自探】 自研课本P52-53页内容 典型例题 例1.小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于进价，而每件的利润不高于成本价的． (1)设小明每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得1500元的利润？ (3)当销售单价定为多少元时，每月可获行最大利润？ 例2.某风景区统计了近三年国庆节的游客人数．据统计，2023年国庆节游客人数约为3万，2025年国庆节游客人数约为4.32万． (1)求2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率． (2)已知该风景区有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 元/人 元/人 元/人 据预测，2026年国庆节选择甲、乙、丙三种购票方式的游客各有2万人，当甲、乙两种门票的价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有名原计划购买甲种门票的游客和名原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票，当丙种门票的价格下降多少元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 第二环节 合作探究 1.讨论调价情境下的利润变化规律. 2.讨论生活中的最值问题通用解题步骤. 拓展提升： 1．今年中秋节前夕，江津区新世纪超市从某厂家分两次购进蛋黄月饼、甜蜜月饼，两次进货时，两种月饼的进价不变．第一次购进蛋黄月饼60袋和甜蜜月饼袋，总费用为元；第二次购进蛋黄月饼袋和甜安月饼袋，总费用为元． (1)求蛋黄月饼、甜蜜月饼每袋的进价各是多少元？ (2)当蛋黄月饼销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，新世纪超市决定对蛋黄月饼进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄月饼每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润为元． (3)在（2）的条件下，若蛋黄月饼每天销售价为多少元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润最大．最大利润是多少？ 课本P53课堂练习. 1．（2025•内江）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 2．（2025•南充）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用（3200﹣50m）元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 3．（2025.四川）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　 　 件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司 每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 知识技能：（1）核心公式：总利润= ；（2）核心模型：涨跌价销售问题均可建立 ， ；（3）解题规范： → → → → . 思想方法：（1）数学建模思想：将复杂销售实际问题抽象为 ； （2）分类讨论想： 、 （3）数形结合思想：利用 最值； （4）优化决策思想：通过 策略. 易错提醒：（1）数量关系易错： ，切勿写反；（2）范围易错： ；（3）最值易错： ；（4）结论易错： 等. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $