精品解析：黑龙江哈尔滨市第十二中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学学试题

哈十二中学高二学年下学期期中考试数学学科试题 满分150分 考试用时120分钟 考试时间：2026年5月19日13:00-15:00 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（ ）． A. 83 B. 108 C. 75 D. 63 4. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 5. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 随机变量的分布列如下，则（　　） 0 1 2 A. B. C. D. 8. 已知函数，（是自然对数的底数），若对，，使得成立，则正数的最小值为 A. B. 1 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 等差数列的前项和为，若，公差，且，则下列命题正确的有（ ） A. 是数列中的最大项 B. 是数列中的最大项 C. D. 满足的的最大值为 10. 已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分，，，，则（ ） A. 这次考试标准分不低于180分的约有450人 B. 这次考试标准分在内的人数约为997 C. 甲、乙、丙三人恰有2人的标准分不低于180分的概率为 D. 11. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 时，取得最大值 D. 时，取得最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为_____________. 13. 数列的前项和为，，，则______. 14. 已知函数，其中，若不等式恒成立，则实数的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是由正数组成的等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 16. 某翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. （1）若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； （2）若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望、方差. 17. 为提高哈尔滨市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名，从这10名导游中随机选择4人参加比赛. （1）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率； （2）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望、方差. 18. 记为数列的前n项和，已知，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前n项和． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）当时，证明：函数有且仅有两个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈十二中学高二学年下学期期中考试数学学科试题 满分150分 考试用时120分钟 考试时间：2026年5月19日13:00-15:00 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得出全集，即可根据集合的补集运算得出答案. 【详解】解得， 全集， 则， 故选：D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，得到，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由复数对应的点的坐标是，可得，所以的共轭复数为. 故选：B. 3. 一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（ ）． A. 83 B. 108 C. 75 D. 63 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列前项和的性质可求前项的和. 【详解】设等比数列前项和为， 因为等比数列前项的和为48且不为零，则成等比数列， 故，故， 故选：D. 4. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 5. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接对求导，列出等式求出的值，再代入到中求即可． 【详解】因为，所以，所以， 所以，则，所以． 故选：B． 6. 已知函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求，进而求，即切线方程为即可求解. 【详解】由题意有， 所以切线方程为，即， 故选：C. 7. 随机变量的分布列如下，则（　　） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分布列性质求出，再由分布列计算期望、方差，再由方差性质求解. 【详解】由分布列性质可知，，解得， 所以， , 所以. 故选：D 8. 已知函数，（是自然对数的底数），若对，，使得成立，则正数的最小值为 A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，，使得成立，说明，分别求出与的最小值，建立不等关系求解. 【详解】“，，使得成立”等价于 当时，令，解得：， 在上单调递减，上单调递增 当时，令，解得： 在上单调递减，上单调递增 当时，此时在上单调递增，上单调递增减 ，，无最小值，不合题意 综上所述：， 令，解得： 在上单调递减，在上单调递增 本题正确选项： 【点睛】本题考查导数中的恒成立和能成立的综合问题，关键在于通过成立条件，将问题转化为最值之间的比较；难点在于求解时，需要对的范围进行讨论，才能最终确定取值. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 等差数列的前项和为，若，公差，且，则下列命题正确的有（ ） A. 是数列中的最大项 B. 是数列中的最大项 C. D. 满足的的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由得出，代入与，对选项依次判断即可. 【详解】∵，∴，∴，∴， ∴， ， 对于A，，∵，∴当时，取最大值，∴是数列中的最大项，故选项A正确； 对于B，∵，，所以等差数列是递减数列，数列中的最大项为，故选项B错误； 对于C，，故选项C正确； 对于D，∵，∴，解得， ∵，∴满足的的最大值为，故选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分，，，，则（ ） A. 这次考试标准分不低于180分的约有450人 B. 这次考试标准分在内的人数约为997 C. 甲、乙、丙三人恰有2人的标准分不低于180分的概率为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】依题意得，，，根据正态分布的3个特殊概率逐个计算可判断ABD；根据独立重复试验的概率公式计算可判断C. 【详解】依题意得，，，因为， 所以这次考试标准分不低于180分的约有 人，故A不正确； ， 所以这次考试标准分在内的人数约为人，故B正确； 依题意可知，每个人的标准分不低于180分的概率为， 所以甲、乙、丙三人恰有2人的标准分不低于180分的概率为，故C正确； ，故D错误. 11. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 时，取得最大值 D. 时，取得最小值 【答案】AB 【解析】 【分析】由图象可确定的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】由图象可知：当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减； 对于A，，，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误； 对于D，由单调性知，D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】设出各个事件，根据条件，结合全概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件为“选取苹果”，B为“选取香蕉”，C为 “选取猕猴桃”，D为“选取的一个水果新鲜”， 则， 根据全概率公式可知 . 故答案为： 13. 数列的前项和为，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先通过将换为得到新等式，再与原式作差并结合化简，最后根据等差数列定义求出通项公式. 【详解】已知 ，当时，将换为得：  两式作差可得： ， 又因为，所以 ， 整理得： ， 因为时 ，两边约去得： ，即是首项、公差的等差数列， 由等差数列通项公式可得：  ， 当时也满足，故. 14. 已知函数，其中，若不等式恒成立，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】恒成立求参数的取值范围，分离参数转化为求函数的最值问题求解即可. 【详解】函数，因为在恒成立， 所以，在恒成立， 在恒成立， 令，所以， ，得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是由正数组成的等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式联立两个方程即可求得结果. （2）根据题干中的条件先求出，再用分组求和即可求得结果. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由， 得，∵是由正数组成的等比数列，则，， 则，解得或（舍），又，所以， 解得，所以 【小问2详解】 ， 所以 16. 某翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. （1）若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； （2）若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望、方差. 【答案】（1） （2）分布列 0 1 2 3 ， 【解析】 【分析】（1）借助对立事件概率公式，先计算两次翻牌均未翻出花色牌的概率，再用减去该概率得到甲获得精美礼品的概率. （2）先判断随机变量服从二项分布，利用二项分布概率公式求出各取值对应的概率，列出分布列，再套用二项分布的期望、方差公式完成计算. 【小问1详解】 甲获得一份精美礼品的概率为. 【小问2详解】 由题意得， 则，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 ,. 17. 为提高哈尔滨市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名，从这10名导游中随机选择4人参加比赛. （1）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率； （2）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望、方差. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 ，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用组合计数问题求出古典概率. （2）求出的可能值，求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望、方差. 【小问1详解】 依题意，这10名导游中随机选择4人，有种不同选法， 当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法， 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法， 所以事件发生的概率. 【小问2详解】 依题意，随机变量的所有可能取值为， ，，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望为， 方差. 18. 记为数列的前n项和，已知，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用得到与的递推关系，再根据等比数列的定义得证； （2）结合（1）得，进而得，再根据裂项求和法即得. 【小问1详解】 证明：由，得， 则， 所以， 因为，所以， 故数列是以2为首项，2为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）可知，，所以． ， 故． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）当时，证明：函数有且仅有两个零点． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求在处的导数和函数值，代入直线方程即可求出切线方程； （2）将问题转化为在上有解问题，再求解即可； （3）根据导数求得单调性，结合零点存在性定理即可证明． 【小问1详解】 当时，，则， 所以，所以切线方程为，即． 【小问2详解】 由题意得， 若函数存在单调递减区间，则在上有解， 所以在上有解， 因为函数在上单调递减， 所以，故． 【小问3详解】 由题意得，则， 令，则， 令可得，（舍）或， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又，，， 所以存在，使得，即， 所以当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 因为时，，， 所以存在，使得， 又， 所以存在，使得， 所以函数有且仅有两个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $