精品解析：甘肃省临洮中学2025-2026学年高二下学期期末考试卷(一) 数学

甘肃省临洮中学高二年级期末考试卷（一） 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以对应点的坐标为. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合，由此求得. 【详解】， ， 所以. 故选：B 3. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由向量，可得， 所以. 故选：B. 4. 平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件结合椭圆的定义进行求解. 【详解】由题知，， 由椭圆的定义可知，的轨迹方程是焦点在轴上的椭圆， 其中，则， 方程为：. 故选：D 5. 为弘扬中华文化，提高学生对诗词的兴趣，某高中举办了“中华诗词大会”活动．活动中，每道选择题有4个选项．选手若掌握该诗词，则一定答对；若未掌握，则从4个选项中随机猜一个．已知某选手答对题目的概率为0.55，则他掌握该诗词的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【详解】记事件A表示“选手掌握该诗词”，事件B表示“选手答对题目”， 由题意知，，， 由全概率公式得， 所以，解得. 6. 已知等差数列的前项和为，公差，若，且，，成等比数列，则的值为（ ） A. 11 B. 13 C. 19 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质由等差数列的求和公式和等差中项可得，再由等比中项可得，两式联立可得和，然后求出数列的通项可得. 【详解】，即， 又因为，，成等比数列，则， 即，整理可得， 再与联立可得，， 所以，， 故选：C． 7. 在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图，过作垂足为，取中点， 过作交于点，在上取点，连接， 由题意可知平面平面，且平面平面， 平面，，所以平面， 同理平面， 在中，为的外接圆圆心， 所以设四面体的外接球的球心为， 因为，，所以，，， 所以，，， 所以， 因为，即， 所以，解得， 所以四面体的外接球的半径， 所以四面体的外接球的体积. 8. 甲、乙、丙等8人围成一圈就坐，已知甲、乙两人相邻，甲、丙两人不相邻，则不同的坐法共有（ ） A. 1200种 B. 1440种 C. 7200种 D. 9600种 【答案】A 【解析】 【分析】先安排甲，再安排乙和丙，最后安排剩余的5人，结合排列知识进行求解. 【详解】因为环状排列没有首尾之分，8人围成一圈就坐没有首尾之分， 故可先固定甲位置，乙与甲相邻则有种坐法；丙与甲不相邻，则有种坐法， 余下5人有种坐法，故所求坐法为种， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随机变量服从正态分布，若，则下列结论错误的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】正态分布曲线关于直线对称，根据已知条件可确定对称轴，进而判断各选项的正误. 【详解】根据正态分布曲线的对称性可知，正态分布曲线关于直线对称，所以， 对于选项A：由上述计算可知，而不是，所以选项A错误； 对于选项B：正态分布曲线关于直线对称，所以，选项B正确； 对于选项C：由于正态分布曲线关于直线对称， 所以，选项C错误； 对于选项D：因为，当时，， 此时，选项D错误. 10. 阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线，是抛物线上的动点，焦点，，下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的方程为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】由焦点易得抛物线的方程为，设准线为，过作交于点，过作交于点，交于点，连接，通过抛物线的定义结合图象可得，即可求得答案. 【详解】由题可得，即的方程为， 设准线为，过作交于点，过作交于点，交于点，连接， 将代入可得， 所以， 于是， 当与重合时，取得最小值. 故选：BD. 11. 函数的定义域为，已知是奇函数，，当时，，则（ ） A. 一定是周期函数 B. 在单调递减 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】AC选项根据两个对称性可得；B先求出，根据在上的单调性和对称性判断；D根据周期性和上的解析式判断. 【详解】因为是奇函数，所以的图象关于点中心对称， 则，且，故C正确； 因为，所以，则， 则，则， 得，故是的一个周期，故A正确； 因为，所以，则当时，， 则在上单调递减， 因为关于点中心对称，所以在单调递减，故B正确； ，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径，列绝对值不等式求解即可 【详解】由题意得圆C的标准方程为 ， 可得圆心坐标为，圆的半径  而直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于圆的半径，即 ， 由题意得 ，得到， 整理得，解得 ， 因此实数的取值范围为. 13. 若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则______. 【答案】 【解析】 【分析】对于根据导数的几何意义可得在处的切线是；对于：，结合导数的几何意义列式求解即可. 【详解】对于：，可得， 当，则， 可知曲线在处的切线是； 对于：，可得， 令得， 由切点在曲线上得. 故答案为：. 14. 已知函数（）在上有最小值没有最大值，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由恒等变换公式可得，然后结合条件列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】， 当时，，若在上有最小值没有最大值， 则，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 定义运算．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足． （1）证明：； （2）若，证明：为钝角三角形． 【答案】（1）由题意得，，即， 由正弦定理得； （2）由以及正弦定理得，则，， 则， 因为，所以，故为钝角三角形. 【解析】 【分析】（1）利用新定义结合正弦定理可得； （2）利用正弦定理得出，，再利用余弦定理可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，在正三棱柱中，，，为的中点，P在线段上，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明：在正三棱柱中，因为为的中点，所以， 如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由，，可知：，，，，，， 所以，，， 因为，所以， 又因为，所以， 由于平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用正三棱柱的性质，建立空间直角坐标系，利用向量法再证明线线垂直，再证线面垂直； （2）利用空间向量法来计算线面角正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，，设平面的法向量为， 则，令， 所以可取法向量为， 由，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 17. 为调研AI技术在各个行业的应用效果，某科研机构在智能医疗、金融、智能交通、教育、智能制造等行业进行问卷调查，统计了200人对AI技术应用效果所持态度的结果如下表： 男性 女性 合计 支持AI技术 70 50 120 不支持AI技术 30 50 80 合计 100 100 200 （1）依据小概率值的独立性检验，判断对AI技术应用效果所持态度是否与性别有关； （2）按性别用分层抽样的方法从对AI技术应用效果持支持态度的人员中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取2人，记表示抽取的女性人员数量，求的分布列和数学期望． 附：，． 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，认为对AI技术应用效果所持态度与性别有关； （2） 0 1 2 数学期望 【解析】 【分析】（1） 代入列联表数据计算卡方统计量，与临界值比较得出独立性检验结论； （2）先按分层抽样规则确定抽取样本的男女人数，再根据超几何分布求的分布列和数学期望 【小问1详解】 设零假设：对AI技术应用效果所持态度与性别无关， 由列联表得， 代入卡方公式：  ， 已知对应的临界值 ，由于， 因此拒绝零假设， 所以依据的独立性检验，认为对AI技术应用效果所持态度与性别有关； 【小问2详解】 持支持态度人员中男女比例为， 按分层抽样抽取12人时，抽取男性 人，抽取女性人，  的可能取值为， 服从超几何分布：  ，  ，   ， 故分布列为： 0 1 2 数学期望，或由超几何分布期望公式. 18. 已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点． （1）求双曲线的方程； （2）求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值； （3）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值． 【答案】（1）； （2）证明见解析；； （3）. 【解析】 【分析】（1）由渐近线方程和虚轴长列方程即可得到双曲线的方程； （2）设，利用点到直线距离公式即可求解； （3）根据题意求出的表达式，进而利用二次函数的单调性求最小值即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 因此，双曲线的方程为 【小问2详解】 证明：设，则，渐近线为， P到两条渐近线的距离之积 . 所以P到两条渐近线的距离之积为定值，即定值为. 【小问3详解】 由已知，得，设或， 在双曲线上，所以，， 因此 或， 函数对称轴为， 于是在上单调递减，在上单调递增， ，， 所以当时，取得最小值为. 19. 已知函数． （1）求的最小值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若是函数的极值点，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，得出函数的单调区间，进而求得函数最小值； （2）根据题意，转化为在恒成立，令，求得，得出函数的单调性，求得的最小值，即可得到答案. 令，解得， （3）由函数，求得，令，求得在上恒成立，得到函数在上单调递增，根据是的极值点，得到，结合，即可证得. 【小问1详解】 解：由函数，可得其定义域为，且， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以. 【小问2详解】 解：由，其中 可得，即， 由对任意恒成立，即在恒成立， 令，可得， 令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：由，可得， 令，可得在上恒成立， 所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增， 因为是的极值点，所以存在使得，即， 又由，所以， 则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省临洮中学高二年级期末考试卷（一） 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. D. 4. 平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 5. 为弘扬中华文化，提高学生对诗词的兴趣，某高中举办了“中华诗词大会”活动．活动中，每道选择题有4个选项．选手若掌握该诗词，则一定答对；若未掌握，则从4个选项中随机猜一个．已知某选手答对题目的概率为0.55，则他掌握该诗词的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 6. 已知等差数列的前项和为，公差，若，且，，成等比数列，则的值为（ ） A. 11 B. 13 C. 19 D. 17 7. 在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙等8人围成一圈就坐，已知甲、乙两人相邻，甲、丙两人不相邻，则不同的坐法共有（ ） A. 1200种 B. 1440种 C. 7200种 D. 9600种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随机变量服从正态分布，若，则下列结论错误的有（ ） A. B. C. D. 10. 阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线，是抛物线上的动点，焦点，，下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的方程为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 函数的定义域为，已知是奇函数，，当时，，则（ ） A. 一定是周期函数 B. 在单调递减 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 13. 若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则______. 14. 已知函数（）在上有最小值没有最大值，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 定义运算．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足． （1）证明：； （2）若，证明：为钝角三角形． 16. 如图，在正三棱柱中，，，为的中点，P在线段上，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 17. 为调研AI技术在各个行业的应用效果，某科研机构在智能医疗、金融、智能交通、教育、智能制造等行业进行问卷调查，统计了200人对AI技术应用效果所持态度的结果如下表： 男性 女性 合计 支持AI技术 70 50 120 不支持AI技术 30 50 80 合计 100 100 200 （1）依据小概率值的独立性检验，判断对AI技术应用效果所持态度是否与性别有关； （2）按性别用分层抽样的方法从对AI技术应用效果持支持态度的人员中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取2人，记表示抽取的女性人员数量，求的分布列和数学期望． 附：，． 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 18. 已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点． （1）求双曲线的方程； （2）求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值； （3）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值． 19. 已知函数． （1）求的最小值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若是函数的极值点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $