精品解析：黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

龙东十校联盟高二学年数学期末试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，可得，即， 又，所以图中阴影部分表示的集合为． 2. 若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质分析判断即可. 【详解】充分性：当，若时，为递减数列，故充分性不成立； 必要性：当为递增数列，若时，则，所以必要性不成立， 故“”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 3. 已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 4. 已知，且，则下列情况不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】考虑函数的图象， 可得当，函数单调递增， 当时，一定有． 5. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的“三角垛”如图所示，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，┄┄，以此类推，则第层小球的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设第层小球的个数为，则，，，，以此类推， 将上述式子累加可得，， 所以． 6. 已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数（且）的图象恒过定点可知函数恒过定点，代入直线可得，由于，，再利用均值不等式求出的最小值. 【详解】因为函数（且）的图象恒过定点，所以函数恒过定点，因为点在直线上，所以， 因为，， 所以，， 当且仅当即时取等号. 7. 已知关于的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为的解集为，所以，方程的两个根分别为， 所以，，即，， 所以不等式为， 因为，得，解得． 8. 若函数和它的导函数定义域都是，函数和都是偶函数，又，当时，恒成立，则当时，一定有（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性、对称性以及周期性，分析导函数和原函数的单调性，即可得到结果. 【详解】因为是偶函数，且是奇函数， 所以是奇函数，即， 由此可得的图象关于点对称，所以， 所以， 两边求导得，，即， 则的图象关于直线对称， 因为，所以， 又因为是偶函数， 所以函数的图象关于直线对称， 即的图象关于点对称， 又因为，所以，， 由此可得，函数是周期为的周期函数， 当时，， 由时，，关于对称， 可得时，，， 所以，又， 所以时，， 由时，，单调递增且， 所以时，， 所以时，， 可得，所以， 又等价于，所以， 综上，时，，且. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 若，，则恒成立 B. 若，，则恒成立 C. 数列一定是等差数列 D. 若数列的前项和，则一定是等差数列 【答案】BCD 【解析】 【详解】设等差数列的公差为， 因为是等差数列，且，，所以， 选项A错误； 由，可得， ，可得，所以， 因此，数列单调递减，前项均为正，从​开始为负， 故前项和的最大值为​，即恒成立，选项B正确； ，记， 则为常数， 因此该数列是等差数列，C正确； 设，则，则， 则， 又符合上式，所以，所以一定是等差数列，D正确． 10. 已知，函数，则（ ） A. 若的两个实数根为，（），则在区间上单调递减 B. 的图象一定关于点对称 C. 过函数图象上一点，可能作曲线的两条切线 D. 若有三个实数根，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三次函数的对称性、导数性质，逐一判断各选项的正确性． 【详解】对于A，因为的两个实根为，（）， 当时，时，，在区间上单调递减； 当时，时，，在区间上单调递增，A错误； 对于B，设， 得， 整理得， 根据多项式恒等对应系数相等，可得且， 从而三次函数是中心对称曲线，且由知其对称中心仍然在曲线上． 故对称中心为，B正确； 对于C，取图象上一点，设过点的切线切点为， 则切线的斜率为， 又切线的斜率也可表示成 整理得：， 则， 当时，方程有两个不同的实数根，例如取，取， 可求过点有两条切线和，C正确； 对于D，若有三个实数根，，，则 ，所以，即，D错误． 11. 已知，符号表示不小于的最小的整数，例如，，则（ ） A. 对于，都有 B. 函数的值域为 C. 不等式的解集是 D. 若，且方程有且仅有两个相异实根，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用符号的定义表示不小于的最小的整数，对于A：使用特殊值即可判断；对于B：，使得时，，，即可判断；对于C：先求解不等式可解得，再根据，判断的取值范围；对于D：当时，考虑函数和函数的图象的交点即可判断． 【详解】对于A：当时，，，，选项A错误； 对于B：，时，，所以，即的值域为，选项B正确； 对于C：由可解得，又因为，所以或者，所以，选项C正确； 对于D：当时，方程，函数的图象如图所示，当，两个函数图象仅有一个公共点，故选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域是______________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，即函数的值域是. 13. 若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 【答案】 【解析】 【分析】设则，将代入已知正区间函数式求出，再利用奇函数化简，得到时的表达式． 【详解】当时，， ， 所以， 即时，． 14. 若，函数和的公切线斜率为，则的取值范围是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】分别设切点，求切线方程，化简可得，构造函数研究单调性即可. 【详解】设上的切点为， 因为，所以在点的切线方程为， 即， 设上的切点为， 因为，所以在点的切线方程为， 即， 则， 将两边取对数得， 将代入，得，所以， 令，则， 所以当时，，单调递增； 时，，单调递减， 又因为，，所以， 所以的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，都有，求实数的取值范围； （2）若，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出的取值范围； （2）变形，令，将其看作关于的一次函数，，使得，从而得到不等式，求出答案 【小问1详解】 当时，，符合题意； 当时，的对称轴为，故在区间上单调， 当时，开口向上，在区间上单调递减，只需， 即，解得，故； 当时，开口向下，在区间上单调递增，只需， 即，解得，故， 综上，且， 综上所述，实数的取值范围是． 【小问2详解】 ，即，， ，令， 将其看作关于的一次函数，，使得， 只需或， 由可得，解得， 由可得，解得， 因为，所以实数的取值范围是． 16. 已知数列中，，，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列中，，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分为奇数、为偶数两种情况讨论，结合等差数列和等比数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）计算得出，再利用错位相减法可求得的表达式. 【小问1详解】 当为奇数时，设，则，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 故； 当为偶数时，设，则，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 综上所述，. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， ①， ②， ①②得， 化简得. 17. 已知函数的图象关于点对称． （1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）； （2）当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）根据得到方程，求出； （2）变形后得到在区间单调递减，从而得到不等式，由根的判别式分两种情况，求出不等式的解集 【小问1详解】 因为的图象关于点对称， 所以恒成立 即， 所以， 所以，即， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 由此可知，函数在区间单调递减， 因为，， 所以，即， 其中， 当时，，不等式的解集为R； 当时，，不等式的解集为． 18. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”．已知正项数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）判断数列是不是“速增数列”？请说明理由； （3）若数列是“速增数列”，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）数列是“速增数列”． 因为 所以数列是“速增数列”． （3） 【解析】 【分析】（1）将递推关系因式分解，得到，利用累乘法求解； （2）根据速增数列定义得，即可证明； （3）由（2）问及是“速增数列”得，代入得到关于的不等式，进而求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，所以， 由此可得，即， 所以时，， 又当时，也满足， 所以数列的通项公式． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若是“速增数列”， 则对于恒成立， 即， 整理得对于恒成立， 所以，即． 19. 已知函数． （1）若是函数的极大值点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，求证：函数有且仅有1个零点． 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以． （3）证明：由（1）可知，①当时，在上单调递增，且， 所以函数有且仅有1个零点； ②当时，在和上单调递增，在上单调递减， 且，所以在区间无零点， 由， 令， 则， 设， 则， 所以在上单调递减， 所以， 所以在上单调递减， 所以 由， 则 所以，即， 又因为，， 所以函数有且仅有1个零点在区间内； 综上所述，若，函数有且仅有1个零点． 【解析】 【分析】（1）利用函数导数与单调性以及函数极值的定义分析求解即可； （2）结合函数单调性分析即可证明； （3）根据函数导数与单调性，函数零点的定义，利用分类讨论分析证明即可. 【小问1详解】 因为，定义域为 所以， ①若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 此时是函数的极大值点，符合题意； ②若，则，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以是函数的极大值点，符合题意； ③若，则，当时，，单调递增， 此时不是函数的极值点，不符合题意； ④若，则，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 时，，单调递增， 此时是函数的极小值点，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙东十校联盟高二学年数学期末试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则下列情况不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的“三角垛”如图所示，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，┄┄，以此类推，则第层小球的个数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数和它的导函数定义域都是，函数和都是偶函数，又，当时，恒成立，则当时，一定有（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 若，，则恒成立 B. 若，，则恒成立 C. 数列一定是等差数列 D. 若数列的前项和，则一定是等差数列 10. 已知，函数，则（ ） A. 若的两个实数根为，（），则在区间上单调递减 B. 的图象一定关于点对称 C. 过函数图象上一点，可能作曲线的两条切线 D. 若有三个实数根，，，则 11. 已知，符号表示不小于的最小的整数，例如，，则（ ） A. 对于，都有 B. 函数的值域为 C. 不等式的解集是 D. 若，且方程有且仅有两个相异实根，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域是______________． 13. 若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 14. 若，函数和的公切线斜率为，则的取值范围是____________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，都有，求实数的取值范围； （2）若，使得，求实数的取值范围． 16. 已知数列中，，，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列中，，求的前项和． 17. 已知函数的图象关于点对称． （1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集． 18. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”．已知正项数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）判断数列是不是“速增数列”？请说明理由； （3）若数列是“速增数列”，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）若是函数的极大值点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，求证：函数有且仅有1个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $