河北唐山市玉田县2025-2026学年第二学期质量调研高一数学试题

**基本信息** 聚焦高一数学核心内容，通过基础巩固与综合应用梯度设计，考查抽象能力、推理能力及模型意识 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题/60分|三角函数图像变换、不等式解法|基础题占比60%，突出符号意识与抽象能力| |填空题|4题/20分|数列递推关系、立体几何体积|融入文化传承素材，体现几何直观与空间观念| |解答题|6题/70分|函数单调性证明、实际测量建模|分层设计，综合考查推理能力与模型意识，贴合真题命题趋势|

2025~2026学年度高一年级第二学期期末考试 数学参考答案 一、选择题 1~4 CBAB 5~8 BCDA 二、选择题 9.ABD 10.BC 11.ACD 三、填空题 12.213.(0,1)14.2 9 四、解答题：（若有其他解法，请参照给分）】 15.解： (1)已知平面向量a与b的夹角为150°，且a=1,b=3, 则ab=a1b1os150°=1×5×(-)=-三 ……………………………………4分 (2)a-4b2=|a2-8a·b+16b12=61, 所以a-4b|=√6T.… 8分 (3)由题意可知，(a+b)·(a-2b)=a2+(k一2)a·b-2kb12=0, 解得：k= 8 ………………………13 16.解： (1)根据频率分布直方图可知众数为8士10=9， 2 2分 根据频率分布直方图可得 (0.02+0.04+a+0.10+0.13+a+0.03+0.02+0.01)×2=1, 解得a=0.075.…5分 (2)由频率分布直方图可知，每户居民月用水量不低于14t的频率为 (0.02十0.01)X2=006.…7分 由此可估计全市80万户居民中月用水量不低于14t的户数约为 800000X0.06=48000(户).…10分 (3)因为前6组的频率之和为(0.02十0.04十0.075十0.10+0.13十0.075)×2=0.88>0.85， 前5组的频率之和为(0.02十0.04+0.075十0.10+0.13)×2=0.73<0.85， 所以10≤x<12.由0.075×(x-10)=0.85-0.73,解得x=11.6.…13分 因此，估计月用水量标准为11.6t时，85%的居民每月的用水量不超过标准. 该户居民某月用水量为14t时，应缴水费为 5X11.6+(14-11.6)X6.75=74.2(元).…… …15分 高一数学参考答案第1页（共4页） 17.解： ①由正弦定理A=sB得sinB=,a。 3分 0<B<π，B= 2 C=π一A一B=工」 3心…6分 (2)由余弦定理得a2=b2十c2-2bcc0sA,即4十√5bc=b2十c2.…8分 我们知道十2≥26c,则4+5c≥2c,得c≤2- =4(2+3). …12分 当且仅当b=c=√2十√6时，等号成立.… …13分 则S=2 -bcsinA=-子c<2+5. 因此，当b为√W2十√6时，△ABC的面积S取得最大值2十√3.…15分 18.解： (1):在平行四边形ABCD中，AB⊥AC, .AB1⊥AC,CD⊥AC. 设AB=AC=1,则AB1=1,AD=√2，BD=√3， .AB12+AD2=B1D,即AB1⊥AD.… 2分 ,'ACC平面ACD,ADC平面ACD,AC∩AD=A, .AB1⊥平面ACD. .CDC平面ACD, AB1⊥CD.……………4分 又，'AB,C平面AB,C,ACC平面AB,C,AB1∩AC=A, CD⊥平面AB1C.“ …5分 (2)过A作AH⊥EC,垂足为H. B 由(1)知CD⊥平面AB1C,且CDC平面ECD, .平面ECD⊥平面ABC. D .平面ECD∩平面AB,C=EC,AHC平面ABC, .AH⊥平面ECD,∠ACH即为直线AC与平面ECD所成角， ……………8分 设AB=AC=2,则AE=1,EC=√5， △ACE中，SaE=7AC·AE=2CE·AH, 高一数学参考答案第2页（共4页） 解得AH=25 sin∠ACH=AH-E AC 5 …10分 (3)方法一： B 存在，当B,M=3时，PM∥平面ACD. MC D 连接B1P并延长交AD于F点，连接CF B .PM∥平面ACD,PMC平面BCF,平面B1CF∩平面ACD= CF, ∴.PM∥CF.…… ……13分 取AF中点G,连接EG,由于E是B1A中点，P是DE中点， .PF是△DEG的中位线，EG是△AB1F的中位线. ∴PF=2EG=BR. …15分 ∴，P为B1F靠近F的四等分点. .M为B1C靠近C的四等分点，即B3.17 MC 方法二： 存在，当-3时，PM/平面ACD, 过P作PN∥AD,交AB1于N点，连接MN, .PN中平面ACD,ADC平面ACD, M D B .PN∥平面ACD.…………12分 又，PM∥平面ACD,PMC平面PMN,PNC平面PMN,PM∩PN=P, .平面PMN∥平面ACD. .平面AB1C∩平面PMN=MN,平面AB1C∩平面ACD=AC, MN/∥AC…15分 P为ED中点， N为EA中点，即B1A靠近A的四等分点. 高一数学参考答案第3页（共4页） M为B,C靠近C的四等分点，即B,M-3. MC 17分 19.解： (1)设△ABC的三边BC,CA,AB的中点分别为D,E,F. 由B市=D心得GD-GB=G式-GD,则G第十G式=2Gd.…2分 由GA+GB+GC=0得GB+GC=-GA=AG,则AG=2G方. 因此，点G在边BC的中线AD上.…………4分 同理可得BG=2G龙，CG=2G市， 即点G在边CA的中线BE上，还在边AB的中线CF上. 因此，点G为△ABC各边中线的交点，即为△ABC的重心.…6分 (2)由H才.H谚=H心.HA得AH.(H心-H)=0, 则A疗.BC=0,即点H在边BC的高线上.…8分 同理可得B产·C才=0，C方·AB=0, 即点H在边CA的高线上，还在边AB的高线上. 因此，点H为△ABC各边高线的交点，即为△ABC的垂心.…10分 (3)若点O为△ABC的外心，则1OA|=|O谚1=|O心1. 设m=Oi-(Oi+Oi+O心)， 则m·BC=Ai.B心+(O+OC)·(O心-O谚)=O-O心=0. 同理，m·C才=0. 由于BC与CA不共线，则m=0. 因此，O庐=O才+O谚+OC.…15分 由(1)证明过程可知：(1)的逆命题也成立，即G为△ABC的重心，有GA+G谚+GC=0. 则OA+Oi+O心=30G. 因此，Oi=3O心，则点O与△ABC的重心和垂心在同一条直线上.…17分 高一数学参考答案第4页（共4页） 河北省唐山市玉田县2025——2026学年度高一第二学期期末考试 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，若，则 A． B． C． D． 2．复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．某公司生产的一批零件有、、三种不同型号，产量分别为，300，200件，现用分层抽样的方法从这批零件中抽取45件进行检验，若种零件被抽取20件，则 A．400 B．300 C．250 D．200 4．某校春季运动会男子100米项目有8名同学进入决赛，其成绩（单位：秒）分别为：12.1，12.3，12.7，12.7，12.9，13.1，13.5，14.4．则这8名同学百米成绩的第60百分位数是 A．12.7 B．12.9 C．12.8 D．13.1 5．在正四棱台中，，高为，则该四棱台的体积为 A． B． C． D． 6．将一枚质地均匀的硬币在光滑平面上连续抛掷3次，设事件“至少出现一次正面向上”，则 A． B． C． D． 7．已知，，是空间中三条不同的直线，，为空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是 A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，，则 D．若，是异面直线，，，，，则 8．如图，水平放置的圆台上底半径为1，下底半径为2，高为，一只蚂蚁从底部点沿侧面爬到中点，则它爬行路线的最短长度为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是关于的方程（，）的一个根，另一个根记作，则 A．， B． C． D． 10．设，为两个互斥事件，且，，则下列结论一定正确的有 A． B． C． D． 11．已知正方体的棱长为2，点在该正方体表面上移动．下列说法正确的有 A．若点在线段上，则 B．若点在线段上，则的最小值为 C．若与所成角为，则点的轨迹长度为 D．若点是线段的中点，则三棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知5个数为：1，2，3，4，5，则这5个数的方差为________． 13．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为________． 14．在中，的平分线交于点，若，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知平面向量与的夹角为，且，． （1）求； （2）求； （3）若与垂直，求的值． 16．（15分） 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在该市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（单位：），月用水量不超过的部分按平价收费，每吨收费5元；超出的部分按议价收费，每吨6.75元．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民某年的月均用水量（单位：），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图估计这组数据的众数（最高矩形底边中点的横坐标）并求的值； （2）已知该市有80万户居民，估计全市居民中月均用水量不低于的户数； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准，估计的值；若该市某户居民某月用水量为，求该户居民本月应缴水费多少元？ 17．（15分） 在中，角，，对应的边分别为，，，，． （1）若，求； （2）当为何值时，的面积最大？并求出的最大值． 18．（17分） 如图，平行四边形中，且，将沿翻折至，使得，是的中点，是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 三角形各边中线交点为重心，各边高线交点为垂心，各边垂直平分线交点为外心． （1）在中，若满足：，证明：点为的重心； （2）在中，若满足：，证明：点为的垂心； （3）在中，为外心，为重心，为垂心，证明：，，共线． 学科网（北京）股份有限公司 $