精品解析：河北省NT20名校联合体2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

河北省NT20名校联合体2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题 考试说明：1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助复数运算法则与共轭复数定义计算即可得. 【详解】由已知，得，所以. 故选：A. 2. 若A、B相互独立，，则（    ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】由概率的加法公式和相互独立事件的定义列式求解. 【详解】， 因为事件A、B相互独立，所以，所以. 故选：B. 3. 设一组样本的容量为60，经过数据整理，得出了如下所示的频数分布表，则该组样本的第75百分位数为（    ） 数据分组区间 频数 16 20 12 6 6 A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义和公式进行求解即可. 【详解】因为，，， 故第75百分位数必在内， 设第75百分位数为，则有，解得. 故选：C. 4. 在中，是BC上一点，且，点满足，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的推论，由向量的线性运算，可得答案. 【详解】， . 故选：A. 5. 若圆锥甲和等边圆柱乙（轴截面是正方形的圆柱）的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出圆锥与圆柱的底面半径与高，利用体积公式与侧面积公式计算即可得. 【详解】设圆锥甲的底面圆半径为，高为，圆柱乙的底面圆半径为，高为， 则，， 又，则，圆锥的母线， . 故选：D. 6. 高一年级举行“校园安全伴你行”知识能力竞赛，男生队40人，女生队60人，按照比例分配的分层抽样的方法从两队共抽取20人，相关统计情况如下：男生队答对题目的平均数为5，方差为1；女生队答对题目的平均数为4，方差为2，则这20人答对题目的方差为（    ） A. 1.8 B. 1.82 C. 1.84 D. 1.86 【答案】C 【解析】 【分析】借助分层抽样的平均数与方差公式计算即可得. 【详解】根据题意，按照比例分配分层抽样的方法从男生队中抽取人， 从女生队中抽取人， 这20人答对题目的平均数为， 所以这20人答对题目的方差为. 故选：C. 7. 在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理得，结合三角形面积公式得，由余弦定理结合基本不等式可得，进一步可得，进而求出范围得解. 【详解】因为边上的高为， 所以，即， ，当且仅当取等号， ，即，即， ，则， ，故角的最大值为. 故选：B. 8. 如图1，在等腰梯形中，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示.则当二面角的平面角的大小为时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，易得，过作交于，则为的中点，过作交于，则为二面角的平面角，求得的外接圆半径，过的外接圆的圆心作平面的垂线，过的外心作平面的垂线，两条垂线的交点即为球心，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径得解. 【详解】在图1中，延长AD、BC交于点，如图所示： 因为，且，所以， 即，所以， 所以是边长为4的等边三角形， 所以D、C分别为、的中点，所以， 所以， 易知. 过作交于，则为的中点， 过作交于，则为二面角的平面角. 所以. 记为外接球球心，半径为的外接圆半径，过的外接圆的圆心作平面的垂线， 过的外心作平面的垂线，两条垂线的交点即为球心，其截面如下： 则，所以， 所以球的表面积为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 盒子里有2个白球，2个黑球和1个红球，从中不放回地依次取出2个球.设事件“第1次取出的球是白球”，“两个球颜色相同”，“第2次取出的球是黑球”，“两个球中有一个是红球”.则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 与相互独立 D. 与是对立事件 【答案】AB 【解析】 【分析】依次列出样本空间，事件A、B、C、D包含的基本事件，由事件的基本关系及概率公式一一判定选项即可. 【详解】依题意可设2个白球为个黑球为个红球为，则样本空间为： ， 共20个基本事件. 事件，共8个基本事件. 事件，共4个基本事件. 事件，共8个基本事件. 事件共8个基本事件. 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，又，故与不相互独立，故C错误； 对于D，注意到，但，所以与互斥而不对立，故D错误. 故选：AB. 10. 设的内角所对的边为，则下列命题正确的有（    ） A. 若，则为直角三角形 B. 若，则为直角三角形 C. 若，则为直角三角形 D. 若，则为直角三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦定理，求得，求得，可判定A正确；根据正弦定理，得到，得到或，可判定B错误；根据正弦定理，化简得到，可得判定C错误；根据余弦定理，求得，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，可得， 所以，即， 可得，所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以为直角三角形，所以A正确； 对于B中，因为，所以， 即，所以，即，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，所以B错误； 对于C中，因为， 所以， 即，即， 因为，所以或，所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，所以C错误； 对于D中，因为， 整理可得，所以的形状一定是直角三角形，所以D正确. 故选：AD. 11. 如图，在长方体中，，动点在长方体的表面上运动（含边界），且，点的轨迹形成的封闭图形为，则（    ） A. 点的轨迹长度为 B. 点到所在平面的距离为 C. 所在的平面将长方体分成的大小两部分体积比为11:1 D. 若与所在的平面交于点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，当点在平面上时，可证，此时点的轨迹为，同理，当点在底面上时，为的中点，点的轨迹形成的封闭图形为，运算得解；对 B，由等体积法运算得解；对C，由长方体的体积为，求解判断；对D，连接，则为平面与平面的交线，则点即为与的交点，由运算得解. 【详解】如图， 对于A，当点在平面上时，因为平面平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 若，则点的轨迹为，长度为； 当点在底面上时，因为平面平面， 故，又，则平面平面，所以. 设与AB交于点P，由知，所以. 此时为的中点，所以的轨迹为， 连接，则，所以点的轨迹形成的封闭图形为，周长为.故A正确； 对于B，在中，，故面积， 设点到所在平面的距离为，由得，解得，故B错误； 对于C，长方体的体积为，剩余的部分体积为，故体积比为11:1，故C正确； 对于D，连接，则为平面与平面的交线，则点即为与的交点， 由知，由知，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 随着暑期临近，旅游也进入了旺季.某城市为预测今年7月18，19，20日这三天因游客人数而导致的交通拥堵情况，用计算机生成了25组随机数，结果如下： 若用表示交通拥堵，用4，5，6，7，8，9表示交通不拥堵，则这3天中恰有2天交通拥堵的概率估计是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率计算，利用列举法，可得答案. 【详解】若用0，1，2，3表示交通拥堵，用4，5，6，7，8，9表示交通不拥堵， 则这3天中恰有2天交通拥堵的随机数分别为： 015，802，631，135，134，206，371，141，153共9组， 因为一共有25组，所以概率估计为. 故答案为：. 13. 如图，直四棱柱所有棱长均为1，，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，可得，在直四棱柱的左侧再补一个相同的直四棱柱，易得即为异面直线与所成角或其补角，在 中，由余弦定理求得答案. 【详解】由题，，可得,解得， 在直四棱柱的左侧再补一个相同的直四棱柱，连接， 则，所以即为异面直线与所成角或其补角， 在中，由， 由余弦定理得，所以， 又因为异面直线所成角的范围是，所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 在直角三角形中，角所对的边分别为，是所在平面内一点.若，则以下说法正确的是___________（填写序号）. ①若为的重心，则 ②若为的外心，则 ③若为的垂心，则 ④若为的内心，则 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对①，根据重心的性质结合向量线性运算求解；对②，由题可知为中点，利用向量线性运算求解；对③，根据题意，与点重合，易求解判断；对④，设内切圆半径为，由面积法可得，再由，运算得解. 【详解】对于①，直角三角形中，为中点，的重心为，如图所示， ， 则，故①错误； 对于②，直角三角形中，的外心为，则为中点，如图所示， ，则，故②正确； 对于③，直角三角形中，的垂心为，则与点重合，， 则，故③正确； 对于④，直角三角形中，的内心为，则点是三角形内角平分线交点，直角三角形中，角的对边分别为，设内切圆半径为， 则，得， ， 则，故④正确. 故答案为：②③④. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为坚持健康第一的教育理念，帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志，某校高一年级体育组开展“一分钟跳绳比赛”活动，甲班两位同学的近期训练中的跳绳数（单位：次／分钟）如下： A同学：124、140、130、132、136、104、130 B同学：130、136、126、130、120、124、130 （1）分别求两组数据的众数、中位数、极差； （2）根据两组数据的平均数和方差的计算结果（结果保留两位小数），比较两位同学的跳绳水平. 【答案】（1） A同学跳绳数的众数为130，中位数为130，极差为36， B同学跳绳数的众数为130，中位数为130，极差为16. （2）B同学发挥较稳定 【解析】 【分析】（1）将题目中的数据由小到大的顺序排列，根据众数、中位数与极差的概念，可得答案； （2）根据平均数与方差的计算公式，结合其意义，可得答案. 【小问1详解】 由题目中的数据，按照从小到大排列可得： A同学：104、124、130、130、132、136、140 B同学：120、124、126、130、130、130、136 A同学跳绳数的众数为130，中位数为130，极差为36， B同学跳绳数的众数为130，中位数为130，极差为16. 【小问2详解】 A同学跳绳数的平均数为， 方差 B同学跳绳数的平均数为， 方差 因为，所以两位同学的平均水平相当，但B同学发挥较稳定. 16. 如图，四棱锥中，底面，，，，为上一点. （1）证明：平面平面； （2）若为的中点，求二面角的平面角的正切值. 【答案】（1）证明：连接、，设， 因为，，，所以， 所以，故， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，因此平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）连接，过点在平面内作于，连接，证明出平面，可知即为二面角的平面角，求出、的长，即可求出的正切值，即为所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当为的中点时，连接， 由（1）可知，因为，则为的中点，所以， 因为平面，所以底面， 因为平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面. 过点在平面内作于，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 因为，在直角三角形中，， ， 因为底面，平面，所以， 所以， 因为，由等面积法可得， 所以，故二面角的正切值为. 17. 象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛.初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，并整理得到如图频率分布直方图： （1）根据直方图，求的值，并估计这次知识能力竞赛的平均数； （2）决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率. 【答案】（1），78 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图各组频率之和等于1求出，由频率分布直方图估算平均数计算得解； （2）由题，甲最终获胜，比分可能是，，分别求出概率，再根据互斥事件的概率公式求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图，的频率为的频率为的频率为0.42，的频率为0.08， 所以的频率为， 所以， 根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数： 分. 【小问2详解】 因为甲最终获胜，比分可能是，， 设甲获胜为事件A，获胜为事件， 若甲获胜，则概率为， 若甲获胜，则概率为， 又A，B两个事件互斥，则甲最终获胜的概率为. 18. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若是边的中点，.过点的一条直线分别交线段，于点E，F（包含端点），求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角正弦公式和正弦定理边化角，再结合余弦定理和三角恒等变换化简求得答案； （2）设，则，则，利用三点共线，得，解得，，令，利用对勾函数单调性求出的范围得解. 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ， 又， 又. 【小问2详解】 设，则， ， 三点共线，， 解得，那么， 即，所以， 令，则 所以 当时，xy的最小值为，当或3时，xy的最大值为 ， 故的取值范围是. 19. 如图是由6个边长为2的正三角形拼接而成的六面体，M，N分别为PC，AB的中点. （1）求该六面体的体积； （2）求证：； （3）求直线MN与平面ABQ所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 连接CN，PN 为正三角形，为AB中点，， 又平面，平面PCN， 又平面. （3） 【解析】 【分析】（1）根据正四面体的几何性质，根据三棱锥的体积公式，可得答案； （2）根据正三角形的性质可得线线垂直，由线面垂直的判定与性质，可得答案； （3）根据线面角的定义，由线面位置关系明确线面角，利用三角函数的恒等式，可得答案. 【小问1详解】 由题可知该六面体是由两个正四面体组成，在底面ABC的射影位于底面中心， 在中，， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 平面，同理可得平面，三点共线， 又，与CN交于点，四点共面， 连接QN，过作直线NQ的垂线交QN于点， 可知平面PCN，由（2）知， 又平面， 即为直线MN与平面ABQ所成的角， 因为，在中， ，， ，， ， 即直线MN与平面ABQ所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省NT20名校联合体2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题 考试说明：1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（    ） A. B. C. D. 2. 若A、B相互独立，，则（    ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 3. 设一组样本的容量为60，经过数据整理，得出了如下所示的频数分布表，则该组样本的第75百分位数为（    ） 数据分组区间 频数 16 20 12 6 6 A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 4. 在中，是BC上一点，且，点满足，则（    ） A. B. C. D. 5. 若圆锥甲和等边圆柱乙（轴截面是正方形的圆柱）的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（    ） A. B. C. D. 6. 高一年级举行“校园安全伴你行”知识能力竞赛，男生队40人，女生队60人，按照比例分配的分层抽样的方法从两队共抽取20人，相关统计情况如下：男生队答对题目的平均数为5，方差为1；女生队答对题目的平均数为4，方差为2，则这20人答对题目的方差为（    ） A. 1.8 B. 1.82 C. 1.84 D. 1.86 7. 在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（    ） A. B. C. D. 8. 如图1，在等腰梯形中，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示.则当二面角的平面角的大小为时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 盒子里有2个白球，2个黑球和1个红球，从中不放回地依次取出2个球.设事件“第1次取出的球是白球”，“两个球颜色相同”，“第2次取出的球是黑球”，“两个球中有一个是红球”.则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 与相互独立 D. 与是对立事件 10. 设的内角所对的边为，则下列命题正确的有（    ） A. 若，则为直角三角形 B. 若，则为直角三角形 C. 若，则为直角三角形 D. 若，则为直角三角形 11. 如图，在长方体中，，动点在长方体的表面上运动（含边界），且，点的轨迹形成的封闭图形为，则（    ） A. 点的轨迹长度为 B. 点到所在平面的距离为 C. 所在的平面将长方体分成的大小两部分体积比为11:1 D. 若与所在的平面交于点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 随着暑期临近，旅游也进入了旺季.某城市为预测今年7月18，19，20日这三天因游客人数而导致的交通拥堵情况，用计算机生成了25组随机数，结果如下： 若用表示交通拥堵，用4，5，6，7，8，9表示交通不拥堵，则这3天中恰有2天交通拥堵的概率估计是___________. 13. 如图，直四棱柱所有棱长均为1，，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 14. 在直角三角形中，角所对的边分别为，是所在平面内一点.若，则以下说法正确的是___________（填写序号）. ①若为的重心，则 ②若为的外心，则 ③若为的垂心，则 ④若为的内心，则 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为坚持健康第一的教育理念，帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志，某校高一年级体育组开展“一分钟跳绳比赛”活动，甲班两位同学的近期训练中的跳绳数（单位：次／分钟）如下： A同学：124、140、130、132、136、104、130 B同学：130、136、126、130、120、124、130 （1）分别求两组数据的众数、中位数、极差； （2）根据两组数据的平均数和方差的计算结果（结果保留两位小数），比较两位同学的跳绳水平. 16. 如图，四棱锥中，底面，，，，为上一点. （1）证明：平面平面； （2）若为的中点，求二面角的平面角的正切值. 17. 象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛.初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，并整理得到如图频率分布直方图： （1）根据直方图，求的值，并估计这次知识能力竞赛的平均数； （2）决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率. 18. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若是边的中点，.过点的一条直线分别交线段，于点E，F（包含端点），求的取值范围. 19. 如图是由6个边长为2的正三角形拼接而成的六面体，M，N分别为PC，AB的中点. （1）求该六面体的体积； （2）求证：； （3）求直线MN与平面ABQ所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $