精品解析：四川成都市龙泉西川汇2025－2026学年度下学期期末考试八年级数学

龙泉西川汇2025-2026学年度（下）期末考试 八年级数学 试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将答题卡和试卷一并交回． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称轴图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形中，，添加下列一个条件后能使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列不等式中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，，两点关于原点对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是对角线，的交点，若的面积是5，则的面积是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 7. 如图，为测量位于一水塘旁，两点间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则（ ） A. B. C. D. 8. 为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生前往距离学校8km的抗美援朝纪念馆参观．一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘坐汽车出发，结果他们同时达到．假设汽车行驶速度和骑自行车速度均保持不变，汽车行驶速度是骑自行车速度的4倍，设骑自行车的速度为xkm/h，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 分式有意义，则的取值范围是______． 10. 若，则的值为_____． 11. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，则关于的不等式的解集为_____． 12. 如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为 _______． 13. 在等腰梯形中，，，，，则等腰梯形的面积为_____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 按要求解答下列问题： （1）因式分解： ①； ②； （2）解方程：； （3）解不等式组： 15. 先化简：，然后再从，，，中选取一个数作为，代入求值． 16. 关于的不等式组 （1）若，求不等式组的整数解； （2）若是不等式组的一个解，求的取值范围． 17. 尺规作图：如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将沿某个方向平移一定距离得到，其中点落在点处，请画出； （2）直接写出，两点的坐标：（_____，_____），（_____，_____）； （3）将绕点逆时针旋转一定角度得到，其中点落在点处，请画出． 18. 如图，在中，，（），对角线，交于点，过点作的垂线分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积； （3）求的值（用含的式子表示）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 因式分解：=_____． 20. 正五边形每个内角的度数为 _____． 21. 已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_____． 22. 如图，在中，，，为边上一点，，沿折叠使点落在内部处且射线过中点，则_____． 23. 分子为1的真分数叫单位分数（如，）．任何一个单位分数都可拆分为两个不同的单位分数的和．例如：，，，…．设（a，m，n均为正整数），我们定义：当取最小值时，称为的最优分解，比如的最优分解为；的最优分解为_____；的最优分解为（m，n均为正整数且），则_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 随着生活水平的逐年提高，体育器材成为我们日常的消费品，某体育用品商场预测某品牌运动器材能够畅销，就用36000元购进了一批这种运动器材，上市后很快脱销，商场又用81000元购进第二批这种运动器材，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套器材进价多了15元． （1）该商场两次共购进这种运动器材多少套？ （2）如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元？（利润率） 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点坐标为且m，n满足． （1）求点A，B，C的坐标； （2）将线段沿轴正方向平移个单位长度到线段，连接，． ①当面积为24时，求直线的函数表达式； ②在移动过程中，能否等于？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 26. 如图①，为等边三角形，，分别为，上的动点，且，易证．如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点． 问题解决： （1）若，求，的度数（用表示），你能得出什么一般性的结论： （2）求证：； （3）若，在点的运动过程中，由，，，四个点构成的四边形的面积为时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙泉西川汇2025-2026学年度（下）期末考试 八年级数学 试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将答题卡和试卷一并交回． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称轴图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称轴图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称轴图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称轴图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称轴图形，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 2. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键； 多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可． 【详解】A．右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意； B．，右边括号内不是整式，是分式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意； C．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； D．是因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，四边形中，，添加下列一个条件后能使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定条件，①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形．逐项判断即可． 【详解】解：由，添加，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”能判断四边形为平行四边形；由，添加或或，都不能判断四边形为平行四边形． 4. 已知，下列不等式中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否成立． 【详解】解：选项A：由，两边同时减6，得，故不成立，排除A． 选项B：由，两边同时乘3，得，故不成立，排除B． 选项C：由，两边同时乘，需反转不等号方向，得，故C正确． 选项D：由，无法直接推出．例如，当，时，，，此时，故D不一定成立． 故选：C． 5. 在平面直角坐标系中，，两点关于原点对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数即可解题． 【详解】解：∵ 若两点关于原点对称，则两点的横纵坐标分别互为相反数，已知， ∴ 点B的横坐标为，纵坐标为，即． 6. 如图，在中，是对角线，的交点，若的面积是5，则的面积是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，根据三角形中线的性质可得，即可得答案． 【详解】解：∵在中，O是对角线，的交点， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质及三角形中线的性质，平行四边形的对角线互相平分；三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形；熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 7. 如图，为测量位于一水塘旁，两点间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理．根据三角形中位线定理“三角形中位线等于第三边的一半”解答即可． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 8. 为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生前往距离学校8km的抗美援朝纪念馆参观．一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘坐汽车出发，结果他们同时达到．假设汽车行驶速度和骑自行车速度均保持不变，汽车行驶速度是骑自行车速度的4倍，设骑自行车的速度为xkm/h，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意、找到等量关系成为解题的关键．由汽车及骑车师生速度间的关系可得出汽车的速度为，再利用“时间、路程、速度”的关系以及等量关系“他们同时达到”列出关于x的分式方程即可． 【详解】解：设骑自行车的速度为，根据题意， 列方程为， 故选A． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据分式成立的条件，分母不为零，列不等式求解． 【详解】解：分式有意义，则， 解得， 故答案为：． 10. 若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式对原式进行因式分解，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ． 11. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由图象和题意可知： 一次函数的图象在x轴下方（含交点）对应的x的范围是． ∴关于的不等式的解集为． 12. 如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为 _______． 【答案】70 【解析】 【分析】首先根据旋转的性质可得，，由全等三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理确定的度数即可． 【详解】解：∵把绕点A逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：70． 13. 在等腰梯形中，，，，，则等腰梯形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，过作于，在中利用、求出梯形的高与底边，由等腰梯形对称性得，算出上底，再用梯形面积公式求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于． ，， 四边形是矩形，，． 在中，，， ， ， 由勾股定理求高：． 梯形是等腰梯形，，， ，， 已知下底， ， 上底， ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 按要求解答下列问题： （1）因式分解： ①； ②； （2）解方程：； （3）解不等式组： 【答案】（1）① ；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①先提公因式a，再用完全平方公式； ②用十字相乘法； （2）解分式方程，一定要检验，若分母为0则方程有增根，无解； （3）牢记不等式的基本性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：① ； ② ； 【小问2详解】 解： 方程两边同乘得： 移项得： 合并同类项得： 方程两边同除以得： 经检验，是原分式方程的解； 【小问3详解】 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以，不等式组的解集为． 15. 先化简：，然后再从，，，中选取一个数作为，代入求值． 【答案】；当时，值为；或当时，值为 【解析】 【详解】解： ， ∵分式有意义时，分母不能为． ∴，， ∴，． ∴当时，原式． 或当时，原式． 16. 关于的不等式组 （1）若，求不等式组的整数解； （2）若是不等式组的一个解，求的取值范围． 【答案】（1）不等式组的整数解为 （2）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）把代入化简后的不等式范围，求出取值区间，再找出区间内整数． （2）同时满足两个不等式、，代入列不等式组求解范围． 【小问1详解】 解：先分别化简两个不等式： 不等式①：， ， ， 不等式②：， ， ， ， 综上，不等式组解集：， 将代入： 左边下限： 右边上限： 不等式组解集： 区间内整数只有： 【小问2详解】 解：由（1）得，， 是不等式组的解， ， 解第一个不等式： ， ， ； 解第二个不等式： ， ， ， 联立得： ． 17. 尺规作图：如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将沿某个方向平移一定距离得到，其中点落在点处，请画出； （2）直接写出，两点的坐标：（_____，_____），（_____，_____）； （3）将绕点逆时针旋转一定角度得到，其中点落在点处，请画出． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） （3）如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据平移的性质可得先向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到，即可求解； （3）过点作轴于点D，过点作轴于点E，则，证明，可得将绕点逆时针旋转90度得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点落在点， ∴先向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到， ∵，． ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于点D，过点作轴于点E，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将绕点逆时针旋转90度得到． 18. 如图，在中，，（），对角线，交于点，过点作的垂线分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积； （3）求的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可求证； （2）过点A作于点G，根据直角三角形的性质可得，，由（1）得：，可得四边形的面积为，即可求解； （3）过点B作交于点H， 设，则，根据直角三角形的性质可得，，，再由勾股定理可得，然后根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点A作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 由（1）得：， ∴四边形的面积为； 【小问3详解】 解：过点B作交于点H， 设，则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 20. 正五边形每个内角的度数为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和为，正五边形每个外角相等，先求出正五边形每个外角的度数，再利用邻补角的性质计算得到每个内角的度数． 【详解】正五边形的每个外角都相等，任意多边形的外角和为， 正五边形每个外角的度数为． 多边形的内角与相邻外角互为邻补角， 正五边形每个内角的度数为． 21. 已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】先解分式方程得到用表示的代数式，再结合分式方程的解为非负数的条件，同时考虑分式分母不为零的限制，即可求出的取值范围． 【详解】解：给原分式方程两边同时乘以最简公分母，得 ， 解该整式方程得， 由分式方程的解为非负数，可得， 解得， 由分式方程分母不能为，得，即， 解得， 故的取值范围是且． 22. 如图，在中，，，为边上一点，，沿折叠使点落在内部处且射线过中点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于G，过点F作，交于H，交于R，延长至使，根据平行四边形的性质，作辅助线构建直角三角形，结合勾股定理列方程组求解即可． 【详解】解：过点A作于G，过点F作，交于H，交于R，延长至使， ∵沿折叠使点落在内部处，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵在中，，，，， ∴，，，， ∴在中，，即， 解得， ∴，， 在中，即， ∵中点为， ∴，， 在和中， , , ∴， ∵ ∴， ，， ∴在中，即， ∴， ∴在中，即， 联立方程 整理得， 将③代入②得， 解得． 23. 分子为1的真分数叫单位分数（如，）．任何一个单位分数都可拆分为两个不同的单位分数的和．例如：，，，…．设（a，m，n均为正整数），我们定义：当取最小值时，称为的最优分解，比如的最优分解为；的最优分解为_____；的最优分解为（m，n均为正整数且），则_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据定义运算，整理方程并分解因数，得到差值最小的因数即可． 【详解】解：（1）设（，、为正整数），通分可得， 即， 整理得， 两边同时加36得． 36的正因数对有：、、、． 对应的分别为、、、． 计算：，，，． 其中最小的是5，此时，，所以的最优分解为． （2）设(,、为正整数)，通分可得， 即， 整理得， 两边同时加得． 要使最小，即最小，也就是和这两个因数的差最小． 因为的因数中，最接近的两个因数是其平方根附近的数， 分解质因数为（是质数）， 所以． 其因数中，最接近的两个不同因数为，， 则． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 随着生活水平的逐年提高，体育器材成为我们日常的消费品，某体育用品商场预测某品牌运动器材能够畅销，就用36000元购进了一批这种运动器材，上市后很快脱销，商场又用81000元购进第二批这种运动器材，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套器材进价多了15元． （1）该商场两次共购进这种运动器材多少套？ （2）如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元？（利润率） 【答案】（1）该商场两次共购进这种运动器材套； （2）每套器材售价至少是元． 【解析】 【分析】（1）设第一批购进运动器材套，则第二批购进套，根据题意可得，然后解分式方程并检验即可； （2）设每套器材售价为元，由总利润率不低于可得，然后解不等式并检验即可． 【小问1详解】 解：设第一批购进运动器材套，则第二批购进套， 根据题意可得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则两次共购进：（套）， 答：该商场两次共购进这种运动器材套； 【小问2详解】 解：设每套器材售价为元， ∵成本为（元）， ∴由题意得， 解得， 因为取整数， 所以的最小值为， 所以每套器材售价至少是元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点坐标为且m，n满足． （1）求点A，B，C的坐标； （2）将线段沿轴正方向平移个单位长度到线段，连接，． ①当面积为24时，求直线的函数表达式； ②在移动过程中，能否等于？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①；②能等于， 如图，过点D作于点G， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）， ∴． 【解析】 【分析】（1）分别令，，可求出点A，B的坐标，再由非负数的性质，可求出m，n的值，可得到点C的坐标； （2）①设交y轴于点F，根据平移的性质可得，，再求出直线的解析式，可得，从而得到，再由面积为24，可求出t的值，即可求解； ②过点D作于点G，可得为等腰直角三角形， 再由，，可得， ，在中，利用勾股定理可得，可求出t的值，即可． 【小问1详解】 解：对于， 当时，，当时，， ∴点， ∵， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，设交y轴于点F， ∵将线段沿轴正方向平移个单位长度到线段，点， ∴，， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点， ∴， ∴， ∵面积为24， ∴，解得：， ∴将线段沿轴正方向平移4个单位长度到线段， ∴直线的函数表达式为； ②略 26. 如图①，为等边三角形，，分别为，上的动点，且，易证．如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点． 问题解决： （1）若，求，的度数（用表示），你能得出什么一般性的结论： （2）求证：； （3）若，在点的运动过程中，由，，，四个点构成的四边形的面积为时，求的长． 【答案】（1），； （2）证明：由（1）得：， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）2 【解析】 【分析】（1）结合等边三角形的性质以及三角形外角的性质可得，再由旋转的性质得：，从而得到，即可求解； （2）证明，可得，再证明，即可求证； （3）分别过点B，F作，垂足分别为点M，N，连接，根据，可得，从而得到，再求出，根据，，，四个点构成的四边形的面积为，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，分别过点B，F作，垂足分别为点M，N，连接， 由（2）得， ∴，， ∴， ∴，即， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵由，，，四个点构成的四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $