精品解析：四川省 成都市 双流区 2025～2026学年度八年级下学期数学期末试题

2025～2026学年度下期期末学生学业质量监测八年级数学试题 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 4. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，对角线，交于点，下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，表示某产品的销售收入与销售量之间的关系，表示该产品的销售成本与销售量之间的关系．根据图象信息，下列说法不正确的是（ ） A. 当销售量为2吨时，生产该产品处于亏本状态 B. 生产该产品亏损小于500元时，销售量应大于吨 C. 当销售量为24吨时，生产该产品盈利10000元 D. 若生产该产品要盈利，销售量必须大于4吨 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，比较大小：______（填“”或“”）． 10. 在中，，，边上的中线，则的长是________． 11. 两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 ______ 度 12. 如果，，那么多项式的值为______． 13. 如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为__________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 按要求完成下列各题： （1）因式分解：； （2）解不等式组：． 15. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，点与的顶点，，均在格点（网格线的交点）上． （1）画出绕点顺时针旋转后的； （2）将按射线方向平移个单位长度，在图中画出，并求出平移过程中线段扫过的面积． 16. 如图，在四边形中，的平分线交于点的平分线交于点，交于点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求线段的长． 17. 某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元． （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率为(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价应该是多少元？ 18. 如图，四边形中，点，，，分别在，，，上，若，则称四边形为四边形的反射四边形． （1）【初步理解】在图中，四边形为平行四边形，，，，点，分别在，边上，请利用正方形网格在图上作出四边形的反射四边形（要求作出两个形状不同的反射四边形，且反射四边形的顶点在格点上）． （2）【深入探究】在的条件下，通过计算你作出的反射四边形的周长，猜想四边形的反射四边形的周长是否为定值？并证明你的结论． （3）【迁移应用】如图，若四边形中，，判断它的反射四边形是否为平行四边形，并说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，计算：______． 20. 对于，因为，则，所以的最小值为1．利用所学知识，多项式的最小值为______． 21. 已知是不等式的解，且不是这个不等式的解，则实数的取值范围是______. 22. 如图，在等边中，，，，点从点出发沿方向运动，连接，以为边，在的右侧按如图所示的方式作等边，当点从点运动到点时，点运动的路径长是__． 23. 如图，在平行四边形中，，为的中点，于点，设（）．若存在正整数，使得，则______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 双流“物流中心”欲将件货物运往，，三地，要求运往地的件数是运往地件数的倍，各地的运费如图所示．设安排件货物运往地． （1）若，运往地的件数不多于运往地的件数，总运费不超过元，则有哪几种运输方案？ （2）若总运费为元，求的最小值． 25. 已知是等腰三角形，，，点是边上一点，连接并延长与经过点的直线相交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）当是的中点，过点作的平行线与经过点的直线相交于点，点在延长线上，连接． 若，求证：； 若，求证：且． 26. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，直线经过点和，是直线上一动点，是线段上一动点． （1）求直线的函数表达式； （2）若点在第一象限，点的坐标为，的面积与的面积相等，求点的坐标； （3）是否同时存在点，，使得为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度下期期末学生学业质量监测八年级数学试题 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 2. 如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线得到，由三角形外角的性质即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 则． 3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式有意义，则分式的分母不能为零，由此即可求解． 【详解】解：分式有意义，则， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，掌握分式的定义和性质，解一元一次不等式的方法是解题的关键． 4. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形叫轴对称图形；将一个图形绕着某一点旋转180°后，所得的图形能够和原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形，可得A是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； B是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误； C不是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； D是中心对称图形，不是轴对称图形，故正确． 故选D 考点：轴对称图形和中心对称图形 5. 下列等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式乘法与因式分解的公式判断，利用平方差公式和整式乘法展开验证各选项，即可得出结论． 【详解】解：∵平方差公式为，逐项验证， 、，符合平方差公式，等式一定成立，符合题意； 、∵， ∴等式不成立，不符合题意； 、∵， ∴等式不成立，不符合题意； 、∵， ∴等式不成立，不符合题意． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据异分母分式加法和同分母分式加减法等计算法则求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了异分母分式加法和同分母分式加减法，正确计算是解题的关键． 7. 如图，在中，对角线，交于点，下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质：对边相等、对角线互相平分、以及全等三角形的判定方法，逐一分析各选项即可得出结论． 【详解】解： 四边形是平行四边形 ，，（平行四边形对角线互相平分），故选项B、C成立，  ， ，  ，，故选项D成立，  平行四边形的对角线不一定相等， 选项A不一定成立，符合题意． 8. 如图，表示某产品的销售收入与销售量之间的关系，表示该产品的销售成本与销售量之间的关系．根据图象信息，下列说法不正确的是（ ） A. 当销售量为2吨时，生产该产品处于亏本状态 B. 生产该产品亏损小于500元时，销售量应大于吨 C. 当销售量为24吨时，生产该产品盈利10000元 D. 若生产该产品要盈利，销售量必须大于4吨 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求出和的函数解析式，分别表示销售收入和销售成本，然后根据利润收入成本，结合图象和解析式逐一判断各选项即可． 【详解】解：设的解析式为， 由图象可知，经过点， 将代入解析式，得， 解得，， 的解析式为； 设的解析式为， 由图象可知，经过点和点， 将这两点坐标代入解析式得，， 解得，， 的解析式为． 当销售量为2吨，即时， 销售收入， 销售成本． ， 当销售量为2吨时，生产该产品处于亏本状态，故选项A说法正确； 生产该产品亏损小于500元时，即， ， 解得，， 即销售量应大于吨，而不是吨，故选项B说法不正确； 当销售量为24吨，即时， 销售收入， 销售成本， 生产该产品盈利（元），故选项C说法正确； 生产该产品要盈利， ， 解得，， 即销售量必须大于4吨，故选项D说法正确． 综上，选B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，比较大小：______（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式两边同乘同一个负数时不等号方向改变的性质即可比较大小． 【详解】解：已知，根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变， 可得 ． 10. 在中，，，边上的中线，则的长是________． 【答案】13 【解析】 【分析】在中，根据勾股定理的逆定理即可判断，然后根据线段的垂直平分线的性质，即可得到，从而求解． 【详解】解：如图，∵是中线，，， ∴， ∵，即， ∴是直角三角形，则， 又∵， ∴． 故答案为：13． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握是解题的关键． 11. 两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 ______ 度 【答案】108 【解析】 【分析】如图，易得△OCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD，然后求出顶角∠COD，再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可 【详解】∵五边形是正五边形， ∴每一个内角都是108°， ∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°， ∴∠COD=36°， ∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°. 故答案为108° 【点睛】本题考查正多边形的内角计算，分析出△OCD是等腰三角形，然后求出顶角是关键. 12. 如果，，那么多项式的值为______． 【答案】42 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值．解题关键是能正确对给定的式子进行因式分解． 对给定的式子进行因式分解，把已知量代入分解后的式子，问题即可解决． 【详解】解：，， ． 故答案为：42． 13. 如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由“”可证，可得，由平行线的性质和角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 按要求完成下列各题： （1）因式分解：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 15. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，点与的顶点，，均在格点（网格线的交点）上． （1）画出绕点顺时针旋转后的； （2）将按射线方向平移个单位长度，在图中画出，并求出平移过程中线段扫过的面积． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵将按射线方向平移个单位长度， ∴将向下平移个单位得到，再向右平移个单位得到， 如图，即为所求，线段扫过的面积为． 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得到点，再顺次连接即可解答； 由将按射线方向平移个单位长度，则将向下平移个单位得到，再向右平移个单位得到，再由勾股定理逆定理得，然后通过平行四边形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：图略， 由网格可知，， ∴， ∴， 由平移性质可得平移距离， ∴线段扫过的面积为． 16. 如图，在四边形中，的平分线交于点的平分线交于点，交于点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）见详解；（2）3． 【解析】 【分析】（1）证出∠GBC＋∠GCB＝90°，由角平分线的定义得出∠ABC＝2∠GBC，∠BCD＝2∠DCF，得出∠ABC＋∠BCD＝180°，证出AB∥CD，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出AD∥BC，DC＝AB＝，AD＝BC＝6，由平行线的性质和角平分线定义证出∠AEB＝∠ABE，得出AE＝AB＝，同理：DF＝DC，得出AE＝DF，AF＝DE，证出2AB＝AD＋EF，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵BE⊥CF， ∴∠BGF＝90°， ∴∠GBC＋∠GCB＝90°， ∵∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F， ∴∠ABC＝2∠GBC，∠BCD＝2∠DCF， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°， ∴AB∥CD， ∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，DC＝AB＝，AD＝BC＝6， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵∠ABC的平分线交AD于点E， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴AE＝AB＝， 同理：DF＝DC， ∴AE＝DF， ∴AF＝DE， ∵AE＋DF＝AD＋EF， ∴2AB＝AD＋EF， ∴EF＝2AB−AD＝9−6＝3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE是等腰三角形是解题的关键． 17. 某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元． （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率为(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价应该是多少元？ 【答案】（1）120件 （2）150元 【解析】 【分析】（1）设商家购进的第一批衬衫是件，第二批衬衫是件，数量关系式：第二批衬衫的单价第一批衬衫的单价，单价总价数量，列出方程求解； （2）两批衬衫全部售完利润率为，就是售完的价格比本钱多，也就是售完的钱是本钱的．第一批和第二批的总共购进了件，其中的件是按照标价卖出，件是按照标价的售出，即数量关系式：标价标价的本钱的．设每件衬衫的标价应该是元列出方程求出方程的解． 【小问1详解】 解：设商家购进的第一批衬衫是件，第二批衬衫是件，． 根据题意得， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意， 答：该商家购进的第一批衬衫是件． 【小问2详解】 解：第二批衬衫的数量是(件) 设每件衬衫的标价应该是元． 根据题意得， 解得， 答：每件衬衫的标价应该是元． 18. 如图，四边形中，点，，，分别在，，，上，若，则称四边形为四边形的反射四边形． （1）【初步理解】在图中，四边形为平行四边形，，，，点，分别在，边上，请利用正方形网格在图上作出四边形的反射四边形（要求作出两个形状不同的反射四边形，且反射四边形的顶点在格点上）． （2）【深入探究】在的条件下，通过计算你作出的反射四边形的周长，猜想四边形的反射四边形的周长是否为定值？并证明你的结论． （3）【迁移应用】如图，若四边形中，，判断它的反射四边形是否为平行四边形，并说明理由． 【答案】（1）解：如图，四边形，即为所求； （2）解：四边形的反射四边形的周长为定值， 证明：如图，延长交延长线于点，过作交延长线于点， ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是四边形的反射四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反射四边形的周长为定值； （3）解：反射四边形是平行四边形，理由如下， 延长交延长线于点，延长交延长线于点， ∵四边形是反射四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴反射四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据反射四边形定义即可求解； 由网格可知，，四边形是平行四边形，所以，则四边形的周长为，同理可得四边形的周长为，延长交延长线于点，过作交延长线于点，由四边形为平行四边形，，则四边形为矩形，然后证明四边形是矩形，得，，又四边形的反射四边形，所以，，证明四边形是平行四边形，故有，，则，可得，即，从而有四边形的反射四边形的周长为定值； 延长交延长线于点，延长交延长线于点，由四边形是反射四边形，则有，又，所以，，则，，从而可得，，然后通过平行四边形的判定方即可得出结论． 【小问1详解】 解：图略， 理由：由网格可知，，，，，， ∴，， ∴，，，， 如图，取格点，连接， 由网格可知，，， ∴， ∴，同理，， ∴，， ∴四边形是四边形的反射四边形， 同理四边形是四边形的反射四边形； 【小问2详解】 解：由网格可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长为， 同理可得四边形的周长为， 【小问3详解】 略． B卷（共50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先对原式通分、因式分解后约分，化简原式后再代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 因为，则原式． 20. 对于，因为，则，所以的最小值为1．利用所学知识，多项式的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用配方法将多项式变形为完全平方式与常数的和，再根据完全平方式的非负性，即可求出多项式的最小值． 【详解】解： ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 21. 已知是不等式的解，且不是这个不等式的解，则实数的取值范围是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据是不等式的解，且不是这个不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答． 【详解】解：是不等式的解， ， 解得：， 不是这个不等式的解， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的解集及解不等式，解决本题的关键是求不等式的解集． 22. 如图，在等边中，，，，点从点出发沿方向运动，连接，以为边，在的右侧按如图所示的方式作等边，当点从点运动到点时，点运动的路径长是__． 【答案】8 【解析】 【分析】连接，作于，如图，根据等边三角形的性质得，过点作，则，则点与点重合，所以，，接着证明得到，于是可判断点运动的路径为一条线段，此线段到的距离为2，当点在点时，作等边三角形，则，当点在点时，作等边三角形，作于，则△，所以，所以，于是得到当点从点运动到点时，点运动的路径长为8． 【详解】解：连接，作于，如图所示： 为等边三角形， ， 过点作，则， 点与点重合， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点从点运动到点时，点运动的路径为一条线段，此线段到的距离为2 ， 当点在点时，作等边三角形，，则， 当点在点时，作等边三角形，作于，则△， ， ， 当点从点运动到点时，点运动的路径长为8． 故答案是：8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，也考查了等边三角形的性质．在解决问题时，关键要掌握点运动的轨迹，利用代数或几何方法确定点运动的规律． 23. 如图，在平行四边形中，，为的中点，于点，设（）．若存在正整数，使得，则______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，证明得到，利用直角三角形斜边中线定理得到，结合等腰三角形性质和余角性质推导与的倍数关系． 【详解】解：延长交的延长线于点，连接，如图： ∵ 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， 在中，为斜边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 双流“物流中心”欲将件货物运往，，三地，要求运往地的件数是运往地件数的倍，各地的运费如图所示．设安排件货物运往地． （1）若，运往地的件数不多于运往地的件数，总运费不超过元，则有哪几种运输方案？ （2）若总运费为元，求的最小值． 【答案】（1）有三种方案，分别是地件，地件，地件；地件，地件，地件；地件，地件，地件； （2）有最小值为． 【解析】 【分析】设安排件货物运往地，则安排件货物运往地，安排件货物运往地，由题意得，求得整数解的个数即可． 设总运费为元，由题意得，当时，则，求得且为整数，然后根据函数的增减性得到的取值求得的最小值即可． 【小问1详解】 解：设安排件货物运往地，则安排件货物运往地，安排件货物运往地， 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴有三种方案，分别是： 地件，地件，地件； 地件，地件，地件； 地件，地件，地件； 【小问2详解】 解：设总运费为元， 由题意得， 当时，， ∴， ∵，即， ∴， 又∵， ∴且为整数， ∵随的增大而减少， ∴当时，的最小值为． 25. 已知是等腰三角形，，，点是边上一点，连接并延长与经过点的直线相交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）当是的中点，过点作的平行线与经过点的直线相交于点，点在延长线上，连接． 若，求证：； 若，求证：且． 【答案】（1）； （2）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，过作交延长线于点，连接，过作交延长线于点， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即为中点， ∴， ∵， ∴，即． 【解析】 【分析】过作，交于点，证明，所以，故有； 连接，由，，得，故有垂直平分，则，根据等边对等角得，设，则，，，则，所以，从而有，所以； 过作交延长线于点，连接，过作交延长线于点，证明，所以，由得，所以，又，所以，则有，故有，即为中点，从而得，因为，所以，即． 【小问1详解】 解：如图，过作，交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的度数为； 【小问2详解】 略；略． 26. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，直线经过点和，是直线上一动点，是线段上一动点． （1）求直线的函数表达式； （2）若点在第一象限，点的坐标为，的面积与的面积相等，求点的坐标； （3）是否同时存在点，，使得为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3）或或． 【解析】 【分析】利用待定系数法即可求解； 连接，，设，证明四边形是矩形，然后由面积公式得，然后分当在下方时，当在上方时，两种情况求解即可； 当，在上方时；当，在下方时；当时；当时，四种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的函数表达式为， 把和代入得，， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：连接，，设， ∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 由面积公式得， 如图，当在下方时， ∴ ， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为； 如图，当在上方时， ∴ ， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为； 综上可得：点的坐标为或； 【小问3详解】 解：当，在上方时，过作轴于点，延长交直线于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴，，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴； 如图，当，在下方时，过作轴于点，过作于点， 同理可得， ∴，， 设， ∴，解得， ∴，此时点在轴上； 当时，不存在； 如图，当时，过作轴于点，过作，交延长线于点， 同理可得， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴； 综上可得：点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $