第10章《二元一次方程组》暑假复习与巩固 2025--2026学年人教版七年级数学下册

人教版七年级下册复习巩固 第10章 二元一次方程组 本章复习目标 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的核心概念，能准确判断方程类型并检验方程组的解，发展数学抽象核心素养。 熟练掌握代入消元法与加减消元法，能灵活选择方法求解二元一次方程组，理解消元转化的数学思想，提升运算求解能力。 能运用二元一次方程组解决行程、工程、配套、方案选择等真实生活问题，掌握建模分析的一般步骤，提升数学建模与问题解决能力。 本章知识框架 知识点复习 10.1 二元一次方程组相关概念 知识点 1：二元一次方程的定义 含有_____个未知数，并且含有未知数的项的次数都是______的整式方程，叫做二元一次方程。 判断三要素：① 两个未知数；② 含未知数的项次数为 1；③ 整式方程（分母不含未知数）。 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的______。一个二元一次方程有______个解。 知识点 2：二元一次方程组的定义 由两个______方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 方程组中两个方程的______，叫做二元一次方程组的解。 注意：方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程。 10.2 二元一次方程组的解法 核心思想：消元思想 解二元一次方程组的基本思路是 “______”，即将二元转化为一元，把未知问题转化为已学的一元一次方程求解。 常用消元方法：______消元法和______消元法。 知识点 1：代入消元法 基本思路：将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元。 一般步骤： 变：选一个系数较简单的方程，变形为y=ax+b（或x=ay+b）的形式； 代：将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数； 解：解所得的一元一次方程，求出一个未知数的值； 回代：将求得的值代回变形后的方程，求出另一个未知数的值； 写：写出方程组的解。 知识点 2：加减消元法 基本思路：当两个方程中同一未知数的系数______或______时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数。 一般步骤： 化：将两个方程化为有一个未知数系数的绝对值相等的形式； 加减：系数互为相反数则相加，系数相等则相减，消去一个未知数； 解：解所得的一元一次方程，求出一个未知数的值； 回代：将求得的值代入任意一个原方程，求出另一个未知数的值； 写：写出方程组的解。 10.3 实际问题与二元一次方程组 知识点 1：列方程组解应用题的一般步骤 审：审清题意，找出已知量、未知量及等量关系； 设：设出两个关键未知数； 列：根据等量关系列出方程组； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验解是否符合方程与实际意义； 答：写出答案。 知识点 2：常见等量关系模型 行程问题：路程 = 速度 × 时间；相遇问题：路程和 = 总路程；追及问题：路程差 = 初始距离。 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间，常把总工作量看作 1。 配套问题：利用配套比例建立等量关系，如 1 个 A 配 2 个 B，则 B 的数量 = 2×A 的数量。 销售问题：利润 = 售价 - 进价；总利润 = 单件利润 × 销量。 本章核心数学思想 转化思想：通过代入或加减，将二元方程组转化为一元一次方程，化未知为已知，是本章核心思想。 数学建模思想：将实际问题中的数量关系抽象为方程组，用代数方法解决现实问题。 优化思想：根据未知数系数特点，灵活选择代入法或加减法，优化解题过程。 分类讨论思想：从多组解、多种方案中筛选符合实际的最优结果，体现决策思维。 本章易错点提醒 概念判断错误：忽略 “含未知数的项次数为 1”，误将xy=1等判定为二元一次方程；忽略 “整式方程”，将分式方程归入二元一次方程。 代入消元漏乘：代入时未将表达式整体代入，漏乘常数项或括号处理错误。 加减消元符号错：相减消元时，未注意减式各项都要变号，导致符号错误。 变形漏乘常数项：利用等式性质变形方程时，只乘未知数项，漏乘常数项。 实际问题漏检验：解出结果后未验证是否符合现实意义，出现负数人数、负数量等错误答案。 知识点练习 一、 选择题 1.下列方程组中，是二元一次方程组的是（        ） A. B. C. D. 2.“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为（        ） A. B. C. D. 3.用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ） A. B. C. D. 4.对于二元一次方程组，把①代入②消去y后所得到的方程，则①可以是（             ） A. B. C. D. 5.下列四组数中，是方程组的解是（     ） A. B. C. D. 6.《九章算术》第八章“方程”篇中记载了这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲大半而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱80．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱80．若设甲、乙原本各持钱x、y，则根据题意可列方程组为（     ） A. B. C. D. 7.如图1，图2都是正方形，图中小正方形边长为，小长方形的边长为，，根据图中数据求得的值为（        ） A.72 B.74 C.75 D.76 8.若为正整数，且二元一次方程组有整数解，已知关于的不等式的非正整数解有且仅有5个，则的取值范围为（        ） A. B. C.或 D.或 二、 填空题 9.若关于x、y的方程是二元一次方程，则________． 10.关于，的二元一次方程组的解为，则整式可以是______________． 11.已知是三元一次方程组的解，那么的值为________． 12.关于的方程组与方程组有相同的解，则________ 13.将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：cm），则桌子的高度________． 14.关于、、的三元一次方程组，给出了个结论： ①若，则方程组的解为； ②与满足的关系为； ③若，都为正数，则满足的条件是； ④代数式的值始终为定值； ⑤若，，都为非负数，的最大值与最小值的差为． 其中正确的是________．（填写序号） 三、 解答题   15. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 16.若方程是二元一次方程，求，的值． 17.如果关于x、y的方程组的解也是二元一次方程的一个解，求m的值． 18.已知关于，的方程组和的解相同，求的值． 19.某山区盛产一种野果，极具市场前景．一家经销公司一次收购．经市场预测，若直接销售，则每吨可获利500元；若经过粗加工并包装，则每吨可获利2500元；若制成罐头出售，则每吨可获利4000元．该公司每天可粗加工并包装或制罐头．同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须不超过7天全部销售或加工完毕．为此，公司研究了三种方案： （1）全部进行粗加工并包装； （2）尽可能多地制作罐头，余下的直接销售； （3）部分制作罐头，其余进行粗加工并包装，且正好7天完成． 请你探究一下，为公司做决策．  20.在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： （1）已知关于，，的三元一次方程组，则_______； （2）已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； （3）已知关于，的方程组：，求，的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版七年级下册复习巩固 第10章 二元一次方程组 本章复习目标 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的核心概念，能准确判断方程类型并检验方程组的解，发展数学抽象核心素养。 熟练掌握代入消元法与加减消元法，能灵活选择方法求解二元一次方程组，理解消元转化的数学思想，提升运算求解能力。 能运用二元一次方程组解决行程、工程、配套、方案选择等真实生活问题，掌握建模分析的一般步骤，提升数学建模与问题解决能力。 本章知识框架 知识点复习 10.1 二元一次方程组相关概念 知识点 1：二元一次方程的定义 含有__两____个未知数，并且含有未知数的项的次数都是__1____的整式方程，叫做二元一次方程。 判断三要素：① 两个未知数；② 含未知数的项次数为 1；③ 整式方程（分母不含未知数）。 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的___解___。一个二元一次方程有___无数___个解。 知识点 2：二元一次方程组的定义 由两个___二元一次___方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 方程组中两个方程的___公共解___，叫做二元一次方程组的解。 注意：方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程。 10.2 二元一次方程组的解法 核心思想：消元思想 解二元一次方程组的基本思路是 “___消元___”，即将二元转化为一元，把未知问题转化为已学的一元一次方程求解。 常用消元方法：___代入___消元法和___加减___消元法。 知识点 1：代入消元法 基本思路：将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元。 一般步骤： 变：选一个系数较简单的方程，变形为y=ax+b（或x=ay+b）的形式； 代：将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数； 解：解所得的一元一次方程，求出一个未知数的值； 回代：将求得的值代回变形后的方程，求出另一个未知数的值； 写：写出方程组的解。 知识点 2：加减消元法 基本思路：当两个方程中同一未知数的系数___相等___或___互为相反数___时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数。 一般步骤： 化：将两个方程化为有一个未知数系数的绝对值相等的形式； 加减：系数互为相反数则相加，系数相等则相减，消去一个未知数； 解：解所得的一元一次方程，求出一个未知数的值； 回代：将求得的值代入任意一个原方程，求出另一个未知数的值； 写：写出方程组的解。 10.3 实际问题与二元一次方程组 知识点 1：列方程组解应用题的一般步骤 审：审清题意，找出已知量、未知量及等量关系； 设：设出两个关键未知数； 列：根据等量关系列出方程组； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验解是否符合方程与实际意义； 答：写出答案。 知识点 2：常见等量关系模型 行程问题：路程 = 速度 × 时间；相遇问题：路程和 = 总路程；追及问题：路程差 = 初始距离。 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间，常把总工作量看作 1。 配套问题：利用配套比例建立等量关系，如 1 个 A 配 2 个 B，则 B 的数量 = 2×A 的数量。 销售问题：利润 = 售价 - 进价；总利润 = 单件利润 × 销量。 本章核心数学思想 转化思想：通过代入或加减，将二元方程组转化为一元一次方程，化未知为已知，是本章核心思想。 数学建模思想：将实际问题中的数量关系抽象为方程组，用代数方法解决现实问题。 优化思想：根据未知数系数特点，灵活选择代入法或加减法，优化解题过程。 分类讨论思想：从多组解、多种方案中筛选符合实际的最优结果，体现决策思维。 本章易错点提醒 概念判断错误：忽略 “含未知数的项次数为 1”，误将xy=1等判定为二元一次方程；忽略 “整式方程”，将分式方程归入二元一次方程。 代入消元漏乘：代入时未将表达式整体代入，漏乘常数项或括号处理错误。 加减消元符号错：相减消元时，未注意减式各项都要变号，导致符号错误。 变形漏乘常数项：利用等式性质变形方程时，只乘未知数项，漏乘常数项。 实际问题漏检验：解出结果后未验证是否符合现实意义，出现负数人数、负数量等错误答案。 知识点练习 一、 选择题 1.下列方程组中，是二元一次方程组的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题根据二元一次方程组的定义判断即可，二元一次方程组的定义为：方程组共含有两个未知数，每个方程都是整式方程，且含未知数的项的最高次数为1. 【解答】 解：A选项满足上述要求，符合题意； B选项中 的未知项次数为2，C选项中 不是整式方程，D选项中 的 项次数为2，均不符合二元一次方程组定义. 故答案为：A. 2.“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 将待求解方程组整理为与已知解的方程组结构相同的形式，通过换元对应已知的解，进而求出x，y的值. 【解答】 解：令m=x+1，n=2y，则原方程组 可变形为 方程组 的解是 ，即 ， 解得 . 故答案为：D. 3.用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查加减消元法：方法一，由于方程组的两个方程中，未知数 的系数互为相反数，故直接将两个方程相加可消去未知数 ；方法二，由于方程组的两个方程中，未知数 的系数成倍数关系，故用 也可以消去未知数 ，据此逐一判断得出答案. 【解答】 解：A、 ① 得： ，故此选项符合题意； B、 ① 得 ，故此选项不符合题意； C、 ① 得 ，故此选项不符合题意； D、 得 ，故此选项不符合题意. 故答案为：A. 4.对于二元一次方程组，把①代入②消去y后所得到的方程，则①可以是（             ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 利用代入消元法求解即可. 【解答】 解：，把①代入②消去y后所得到的方程3x-x-5=8, 故选：A. 5.下列四组数中，是方程组的解是（     ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 利用加减消元法对方程组求解，逐步求出未知数的值即可. 【解答】 解： ① ②得： ④ ③ ②得： ， 把 代入 ④得： ， 解得 ， 把 ， 代入 ①得 ， 解得 方程组的解为 故答案为：A. 6.《九章算术》第八章“方程”篇中记载了这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲大半而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱80．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱80．若设甲、乙原本各持钱x、y，则根据题意可列方程组为（     ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．设甲、乙原本各持钱x、y，根据题意列方程组即可． 【解答】 解：设甲、乙原本各持钱x、y， 则根据题意可列方程组为 故选：A. 7.如图1，图2都是正方形，图中小正方形边长为，小长方形的边长为，，根据图中数据求得的值为（        ） A.72 B.74 C.75 D.76 【答案】 B 【解析】 根据图1、图2中两个正方形的边长相等可列出两个含有x，a，b的式子，两式相加即可解得x的值. 【解答】 解：由图1中的正方形边长相等，可列式：①$， 由图2中的正方形边长相等，可列式：②$， ①+②得，， ， 故答案为：B. 8.若为正整数，且二元一次方程组有整数解，已知关于的不等式的非正整数解有且仅有5个，则的取值范围为（        ） A. B. C.或 D.或 【答案】 A 【解析】 先消元解二元一次方程组，根据m为正整数、方程组有整数解的条件求出m的值，再结合不等式非正整数解的个数确定a的取值范围。 【解答】 解： ，得 解得， 把代入②，得， 方程组有整数解，m是正整数， 是10和15的正公约数， 10和15的正公约数为1和5， 只有符合条件， ， 把代入不等式，得 解得， 不等式的非正整数解有且仅有5个， 这5个非正整数为0，， ， 。 故答案为：A. 二、 填空题 9.若关于x、y的方程是二元一次方程，则___2_____． 【答案】 2 【解析】 本题主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可. 【解答】 解：根据题意得： 解得m=2. 故答案为：2. 10.关于，的二元一次方程组的解为，则整式可以是_______(答案不唯一)_______． 【答案】 (答案不唯一) 【解析】 本题主要考查了二元一次方程组的解，准确理解方程组的定义是解题的关键． 根据方程组的解得定义，应该满足方程组的每一个方程，即可得解 【解答】 关于，的二元一次方程组的解为， ， 多项式可以是； 故答案是：(答案不唯一)． 11.已知是三元一次方程组的解，那么的值为________． 【答案】 【解析】 由已知条件把x，y，z的值代入关于a，b，c的三元一次方程组，利用这个方程组可得到a+b+c的值. 【解答】 解： 是三元一次方程组 的解， 得4a+4b+4c=18, . 故答案是：. 12.关于的方程组与方程组有相同的解，则____3____ 【答案】 3 【解析】 根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，利用加减消元法解出x，y的值，再建立关于a，b的二元一次方程组，利用加减消元法解出a，b的值，进而可求出a+b的值. 【解答】 解： 关于x、y的方程组 和方程组 有相同解， 其解也是 的解， 解得： 则 变成 解得：  故答案是：3. 13.将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：cm），则桌子的高度____80____． 【答案】 80 【解析】 本题考查的是二元一次方程组的应用，设长方体木块的长为xcm，高为ycm，而桌子的高度为hcm，再根据图形性质可得方程组，再解方程组即可。 【解答】 解：设长方体木块的长为xcm，高为ycm，而桌子的高度为hcm， 由题意，得 ① - ②，得 ， 解得 。 故答案为：80. 14.关于、、的三元一次方程组，给出了个结论： ①若，则方程组的解为； ②与满足的关系为； ③若，都为正数，则满足的条件是； ④代数式的值始终为定值； ⑤若，，都为非负数，的最大值与最小值的差为． 其中正确的是___①④⑤_____．（填写序号） 【答案】 ①④⑤ 【解析】 先对原三元一次方程组消元，用表示出和，再逐个验证每个结论的正确性即可． 【解答】 原方程组为 ， 对①乘以3再减去②，得：， 化简得， 进一步整理得，， 当时，原方程组化为 ， 解得 ，①正确； 由计算得，②错误； 若，都为正数，则 ， 解得 ，③错误； 将，代入， 得：，值为定值，④正确； 若，，都为非负数，则 ， 解得 ， 将，代入， 得： ， 随增大而减小， 当时，；当时，， 最大值与最小值的差为，⑤正确； 综上所述，正确的为①④⑤． 故答案是：①④⑤. 三、 解答题 15.用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】 【解析】 （1）采用代入消元法，由①得y=2x-3，然后代入②，解出x=2，然后再代入y=2x-3，则求出y值. （2）采用加减消元法，方程整理后由①×2得:4x-6y=18③，由②减去③得y值，然后把y值代入①，求得x值. 【解答】 （1）解： ， 由①得y=2x-3，然后代入②， 得3x+2(2x-3)=8， 展开得:3x+4x=6+8， 解得:x=2， 把x=2代入y=2x-3， 得:y=2×2-3=1， 这个方程组的解是. （2）， 方程组整理得: ， 由①×2得:4x-6y=18③, 由②-③得: ， 解得:y=-3， 把y=-3代入①得: 2x-3×(-3)=9， 解得x=0. 这个方程组的解是 . 16.若方程是二元一次方程，求，的值． 【答案】 ， 【解析】 根据二元一次方程的定义可得，，解出、的值即可． 【解答】 由题意得：，，解得：， 故答案为， 17.如果关于x、y的方程组的解也是二元一次方程的一个解，求m的值． 【答案】 【解析】 此题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，先解方程组 得出的结果代入 进行求解即可. 【解答】 解：对于方程组 , ② - ①得：, 将 代入 ①得： , 方程组 的解为 又 关于 的方程组 的解也是二元一次方程 的一个解， , 解得：. 18.已知关于，的方程组和的解相同，求的值． 【答案】 -5 【解析】 先联立不含参数 的方程求出 的值，再代入含参数的方程求出 的值，即可求出. 【解答】 解：关于 的方程组 和 的解相同， 联立不含参数的方程得 ， 将两个方程相加，得 ，解得 . 把 代入 ，得 ，解得 , 即 ，代入 ， 得 ，解得 ， 19.某山区盛产一种野果，极具市场前景．一家经销公司一次收购．经市场预测，若直接销售，则每吨可获利500元；若经过粗加工并包装，则每吨可获利2500元；若制成罐头出售，则每吨可获利4000元．该公司每天可粗加工并包装或制罐头．同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须不超过7天全部销售或加工完毕．为此，公司研究了三种方案： （1）全部进行粗加工并包装； （2）尽可能多地制作罐头，余下的直接销售； （3）部分制作罐头，其余进行粗加工并包装，且正好7天完成． 请你探究一下，为公司做决策． 【答案】 应选择方案（3） 【解析】 分别计算三种方案的总获利，比较后选择获利最多的方案. 【解答】 解：方案（1）：总质量为23t，每天粗加工4t， 所需天数为，符合时间要求， 总获利为：（元）； 方案（2）：制作总质量为（t）， 余下直接销售的质量为（t） 总获利为：（元）； 方案（3）：设x天制作罐头，y天粗加工， 根据总质量列方程得： 解得 制作罐头总质量为（t），粗加工总质量为（t）， 总获利为：（元）； 比较三种方案获利：， 因此方案（3）获利最多，应选择方案（3）.  20. 在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： （1）已知关于，，的三元一次方程组，则_______； （2）已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； （3）已知关于，的方程组：，求，的值． 【答案】 6 【解析】 （1）三个式子相加即可求解; （2）根据方程组的结构可得 , 再加减消元即可; （3）利用整体法结合加减消元即可. 【解答】 （1）解: ①+②+③得: 解得 ; （2）解: 关于 的二元一次方程组 的解为 且关于 的二元一次方程组为 解得 ; （3）解: 由题可得 ①+②×2得: 解得 把 代入①, 得 解得 学科网（北京）股份有限公司 $