精品解析：北京十一晋元中学2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷

北京十一晋元中学2025-2026学年初一年级第4学段数II课程 教与学诊断 考 生 须 知 1．本试卷共4页，共三部分，三道大题，26道小题，满分100分，考试时间90分钟． 2．在试卷上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在下列长度的四根木棒中，能与3cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A. 3cm B. 5cm C. 7cm D. 12cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：∵三角形的两边为3cm，8cm， ∴第三边长的取值范围为8-3＜x＜8+3， 即5＜x＜11， 只有C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，要知道，三角形的两边之和大于第三边． 2. 若是二元一次方程的一个解，则m的值为( ) A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 3. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 4. 以下抽样调查中，选取的样本具有代表性的是（ ） A. 了解某公园的平均日客流量，选择在周末进行调查 B. 了解某校七年级学生的身高，对该校七年级某班男生进行调查 C. 了解某小区居民坚持进行垃圾分类的情况，对小区活动中心的老年人进行调查 D. 了解某校学生每天体育锻炼的时长，从该校所有班级中各随机选取5人进行调查 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，依次进行判断即可得． 【详解】解：A、了解某公园的平均日客流量，选择在周末进行调查，选取的样本不具有代表性，选项说法错误，不符合题意； B、了解某校七年级学生的身高，对该校七年级某班男生进行调查，选取的样本不具有代表性，选项说法错误，不符合题意； C、了解某小区居民坚持进行垃圾分类的情况，对小区活动中心的老年人进行调查，选取的样本不具有代表性，选项说法错误，不符合题意； D、了解某校学生每天体育锻炼的时长，从该校所有班级中各随机选取5人进行调查，选取的样本具有代表性，选项说法错正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了样本，解题的关键是是掌握样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的． 5. 已知：如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，进而求得的度数，再根据三角形的内角和等于列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6. 某个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 这个不等式有最大整数解，是－2 B. 这个不等式有最大整数解，是－1 C. 这个不等式有最小整数解，是－2 D. 这个不等式有最小整数解，是－1 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴表示的解集依次判断即可． 【详解】解：由数轴知， ∴这个不等式有最小整数解为， 故选：D． 【点睛】本题考查了用数轴表示不等式的解集，以及通过不等式的解集获取信息，解题关键是掌握解集的表示． 7. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题关键在于根据作图步骤提取出相等的线段（，），进而证明和，最终利用证明，从而得出平分的结论． 【详解】∵由作图可知，， ∴， 在和中， ∵ ∴（）， ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴， ∴， ∴选项正确． 8. 在中，，，是边上的两点，且，有下列四个推断： ①若是的高，则可能是的中线； ②若是的中线，则不可能是的高； ③若是的角平分线，则可能是的中线； ④若是的高，则不可能是的角平分线． 上述推断中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形高线、中线、角平分线的位置判断，利用可推得高线、角平分线都落在上距离端小于的位置，中线恰好落在处，结合的条件逐一判断即可． 【详解】解：如图，设中点为，则， ， 比更靠近点， 若是的高， ， ，， ， ，即， 取为中点，满足，此时是中线， 故①正确； ②若是中线，则，可得， 而由①知高的垂足一定满足， 不可能是高的垂足，即不可能是高， 故②正确； ③若是角平分线，过点作于点， 由角平分线的性质定理可得：的边上的高与的边上的高相等， ， ， 又，， ， ， 同①可得，取为中点，满足，此时是中线， 故③正确； ④若是高，取角平分线对应的点满足，符合条件， 可能是角平分线， 故④错误； 综上，正确结论为①②③． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 比较大小：__________，__________ （填“”，“”或“”）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴ 10. 某校七年级“数学节”活动设计了A，B，C，D四款徽章，为了解学生对徽章的喜爱情况，老师随机抽取了20名学生，请他们从中选出最喜爱的一款徽章，结果如下：D A A C C B C B B D D D C C B C A C D A，那么这些学生中，最喜爱款徽章的学生所占百分比为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先得到最喜爱B款徽章的学生人数，再除以随机抽取的20名学生，即可解答． 【详解】解：根据给出的数据，数出最喜爱款徽章的学生有名，抽取的总学生数为名， 因此最喜爱款徽章的学生所占百分比为． 11. 小军和小明进行了一场五子棋比赛．棋盘如图所示，若坐标轴均与棋盘中的某条网格线平行，黑棋所在位置的坐标为，白棋所在位置的坐标为，则黑棋所在位置的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知点、的坐标确定原点位置及轴、轴的位置，由此求解即可 ． 【详解】解：∵黑棋所在位置的坐标为，白棋所在位置的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图所示： 且可知相邻两颗棋子之间的间隔为2个单位长度， 由图可知，黑棋所在位置的坐标为 ． 12. 能说明命题“如果a、b都是无理数，那么它们的和也为无理数”为假命题的一组数据是：______，______． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】找到两个均为无理数，且和为有理数的，即可. 【详解】解：若，， 则， 是有理数，不是无理数，可说明原命题是假命题. 13. 如图所示，，，，，，则__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】证明，得到，利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ． 14. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若；的面积为6，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，于点，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点，于点， 由作图可得平分， ∴， ∵，，， ∴， ∵的面积为6， ∴的面积为， ∴的面积为． 15. 若不等式组有解，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据不等式组有解说明两个解集存在公共部分，据此列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解不等式组 解，移项得，即 解，移项得，合并同类项得，即 不等式组有解 两个解集存在公共部分，可得 解得． 16. 某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 【答案】 ①. 30 ②. 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据三种产品每吨钢材产出利润可得A种类产品生产的越多，利润越大，即可求出生产A种产品的数量； （2）设生产产品个，产品个，产品个，利润为元，可以得到，然后表示利润，即可得到最大值解题． 【详解】解：（1）由表格可知，可知A种类产品钢材每吨的利润最大， ∴A种类产品生产的越多，利润越大， 即当生产A种产品数量为个时，所需时间为小时小时， 故答案为：； （2）解：设生产产品个，产品个，产品个，利润为元， 则，即， ∴， 即当时，W最大为， 故答案为：． 三、解答题（共60分） 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题先根据算术平方根、绝对值、立方根的性质化简每一项，再合并同类项得到计算结果． 【详解】解：原式 ． 18. 完成下列计算： （1）解方程组：． （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵ ∴得， 解得， 把代入得， 则， 解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解： 由得； 由得； ∴不等式组的解集为． 19. 如图，已知，，． （1）将平移后得到对应的，其中点的对应点是，请在图中画出平移后的； （2）点在轴上，若，直接写出点坐标____________________． （3）如果要使以、、为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】（1）解：如图即为所求； （2）或． （3）或或 【解析】 【分析】（1）由点对应点是，可知先向右5个单位长度，再向上2个单位长度，移动方向同理； （2）先用割补法求出，再设，根据题意列出式子即可； （3）根据全等的判定可求出点有三个位置． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 设点坐标为， ， 解得或， 或． 【小问3详解】 解：或或时可使以为顶点的三角形与全等． 如下图所示： 20. 类比探究：小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： （1）①类似地，若_______________，则叫的五次方根，记作_______________； ②32的五次方根为_______________； （2）若，则_______________； （3）求的值：． 【答案】（1）① ，；② （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题干内容，模仿作答①②即可； （2）先结合四次方根以及绝对值的非负性，且，得，，故，，最后代入计算，即可作答． （3）先移项，然后方程两边同时除以3，整理得，即可作答． 【小问1详解】 解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若 ，则x叫a的五次方根，记作． ②∵， ∴32的五次方根为2． 【小问2详解】 解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，． 21. 丰富的营养对学生的身体和智力发展具有至关重要的作用．小畅家长为初中生小畅订购了某种盒装牛奶和袋装坚果作为早餐，它们的营养成分表如表： 食品种类营养成分 一盒牛奶 一袋坚果 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天早晨，小畅从这两种食品中恰好摄入能量和蛋白质． （1）求这天小畅早餐的牛奶及坚果数量； （2）初中生每日脂肪摄入量的标准约为，若小畅这天其他时间段从其他食品中共摄入脂肪，试判断这天小畅脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 【答案】（1）1盒牛奶，2袋坚果 （2）这天小畅脂肪摄入量没有超标 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的总能量和总蛋白质摄入量，设未知数列出二元一次方程组，求解即可得到两种食品的数量； （2）先计算出早餐摄入的脂肪量，加上其他时间段摄入的脂肪量得到总脂肪量，再和标准范围比较即可判断是否超标． 【小问1详解】 解：设这天小畅早餐食用了盒牛奶，袋坚果， 根据题意列方程组， 化简方程组得 解得 即这天小畅早餐吃了1盒牛奶，2袋坚果； 【小问2详解】 解： ∵初中生每日脂肪摄入量的标准约为，且 ∴总脂肪摄入量在标准摄入量范围内 这天小畅脂肪摄入量没有超标． 22. 如图，点，分别在的，边上，，依次为延长线上两点，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数，并直接写出当_____时，． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）， 【解析】 【分析】（1）先结合，得，又因为，，即可证明； （2）运用全等三角形的性质得，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得，根据，故，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴（三角形外角性质） 23. 为了解社区居民使用共享单车时间情况，调查组连续两年开展调查． （1）调查组2024年随机对该社区选择共享单车出行的部分居民进行了调研，获得了他们每周使用共享单车时间（单位：分钟）的数据，并将收集到的数据进行整理和描述，结果如下： 组别 使用时间（分钟） 频数（人数） 第1组 7 第2组 m 第3组 49 第4组 第5组 21 ①本次调研，随机抽取_____名社区居民进行调查； ②请补全频数分布直方图； ③第3组居民人数在扇形图中所对应的扇形的圆心角度数是_____°； ④若该社区共有700位居民选择使用共享单车出行，请你估计每周使用共享单车的时间小于2小时的居民约有_____人． （2）调查组2025年对坚持选择共享单车出行的20名社区居民进行了跟踪调查，绘制了统计图． ①薛阿姨2025年每周使用共享单车时间比2024年的使用时间_____（填“多”或2025年时间/分钟“少”）； ②将这20名居民中2025年每周使用共享单车时间超过2024年使用时间的人数记为m，其余人数记为n，则m_____n（填“>“=”<”） 【答案】（1）①140；②见解析；③126；④595 （2）①少；② 【解析】 【分析】本题考查频数发布直方图、扇形统计图、样本估计总体的思想等知识，解题的关键是掌握基本概念，结合图象求解． （1）①用第组的频数除以计算即可；②用总人数分别减去其它组人数即可得出的值，补全统计图即可；③用乘第组所占比例即可；④用样本估计总体的思想即解决问题； （2）①结合图象直接得出薛阿姨2025年每周使用共享单车时间为80分钟，2024年的使用时间为100分钟，即可求解；②根据图象位于上半部分的即为2025年每周使用共享单车时间超过2024年使用时间的人数，即可求解 【小问1详解】 解：①， 故答案为：140； ②由图得第2组的人数为：， 补全频数分布直方图如下： ③第组居民人数在扇形图中所对应的扇形的圆心角度数是， 故答案为：； ④， 故答案为：； 【小问2详解】 ①由图象得：横轴表示2024年的使用时间，纵轴表示2025年的使用时间， 薛阿姨2025年每周使用共享单车时间为80分钟，2024年的使用时间为100分钟， ∴薛阿姨2025年每周使用共享单车时间比2024年的使用时间少； ②由图象得：2025年每周使用共享单车时间超过2024年使用时间的人数为5，即，其余人数为15，即， ∴， 故答案为：①少；② 24. 关于的二元一次方程的部分解如表： … 0 1 2 … … 0 1 2 3 … （1）这个二元一次方程为__________； （2）若关于的方程组的解为负数，求的取值范围； （3）当时，对于的每一个值，方程中的值记为，中的值记为，若，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）从表格取两组代入，解三元一次方程组求出，即可得到方程． （2）先联立两个方程，用表示出、，再根据，列不等式组求解． （3）先分别用表示、，列出不等式，整理成关于的一次不等式，结合恒成立求范围． 【小问1详解】 解取表格中两组解：，代入： 当：， 当：， 再取：， 将代入： ，等式恒成立， 不妨令，则， 方程为：． 【小问2详解】 解：方程组：， 消去： ， 把代入： ， ， 由解为负数，得， 即， 解：， 解：， 取公共部分：． 【小问3详解】 解由得， 由变形：， 条件： ， ， ， 题意：当时，恒成立， 即区间全部包含在内，因此分界点满足： ， ． 25. 如图，在中，与均为锐角，点在左侧，，，，，连接，点是的中点．连接并延长至点，使，连接，． （1）①依题意补全图形，并证明； ②求证：； （2）若，，当点落在边所在直线上时，直接写出的值． 【答案】（1）①依题意补全图形如下： 证明：∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②证明：设，，则， 在四边形中， =， 由①得， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ （2）或 【解析】 【分析】（1）①由为中点得，结合对顶角相等、，可证，得；结合已知，等量代换证得；②设、，通过四边形内角和推导得，借助①的全等将转化为，推得，结合、，可证，由对应角相等得； （2）分点在直线、直线两种情况：①在直线上：先由三角形内角和求，由（1）中得、，结合，由等腰三角形三线合一得平分，即，故；②在直线上：由（1）中得，故，利用三角形外角性质得，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点在左侧， ∴点在直线或上， ①如图，当点在直线上，连接， ∵，， ∴， 由（1）得， ∴，， 又∵， ∴平分， ∴， ∴，即； ②如图，当点在直线上， 由（1）得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 综上，或． 26. 在平面直角坐标系 中，给定（n为正整数）个不同的点 给出如下定义：记点称为这个点的n阶中点．例如，当时，点为的1阶中点， 已知点，，，． （1）点A，B，C，D的2阶中点P的坐标是 ； （2）点A，B，C，D中任意两点的1阶中点坐标共有 种可能的情况； （3）在四边形的四条边上分别取点E，， ，， 点Q为E，F，G，H的2阶中点， 点R为A，B，C，D，E，F，G，H的3阶中点， ① 若点Q与点 R重合时，则点E的坐标为 ；b，d满足的关系式为 ； ② 若点E，F，H分别在线段，，上运动，请直接写出所有点 R组成的图形形状及面积． 【答案】（1） （2）5 （3）①， ②平行四边形，面积为 【解析】 【分析】本题考查新定义的运算，点的坐标，掌握新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义运算法则计算解答； （2）分别根据新定义运算法则计算，然后判断解答即可； （3）①先判断点在边上，设点的作标为,然后根据新定义的运算法则列等式求出值，即可解题； ②根据新定义的运算法则求出点的坐标，然后根据点的位置求出组成的图形是平行四边形形，然后计算面积解答即可． 【小问1详解】 解：，， ∴点A，B，C，D的2阶中点P的坐标是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：点A和B的1阶中点坐标为，即； 点A和C的1阶中点坐标为，即； 点A和D的1阶中点坐标为，即； 点B和C的1阶中点坐标为，即； 点B和D的1阶中点坐标为，即； 点C和D的1阶中点坐标为，即； 故答案为：； 【小问3详解】 ①解：设点E的坐标为， 则，， 解得，， 又∵E，， ，， ∴点G在边上，点F在边上，点H在上， ∴点E在上， 则点的坐标为， ∴， 故答案为：，； ②解：∵点E在上， ∴ 点R的坐标为，即为， ∵，，，， ∴，， ∴点R构成的图形是长为，高为的平行四边形， ∴点R构成的图形的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十一晋元中学2025-2026学年初一年级第4学段数II课程 教与学诊断 考 生 须 知 1．本试卷共4页，共三部分，三道大题，26道小题，满分100分，考试时间90分钟． 2．在试卷上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在下列长度的四根木棒中，能与3cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A. 3cm B. 5cm C. 7cm D. 12cm 2. 若是二元一次方程的一个解，则m的值为( ) A. B. C. 1 D. 3. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 以下抽样调查中，选取的样本具有代表性的是（ ） A. 了解某公园的平均日客流量，选择在周末进行调查 B. 了解某校七年级学生的身高，对该校七年级某班男生进行调查 C. 了解某小区居民坚持进行垃圾分类的情况，对小区活动中心的老年人进行调查 D. 了解某校学生每天体育锻炼的时长，从该校所有班级中各随机选取5人进行调查 5. 已知：如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 这个不等式有最大整数解，是－2 B. 这个不等式有最大整数解，是－1 C. 这个不等式有最小整数解，是－2 D. 这个不等式有最小整数解，是－1 7. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，是边上的两点，且，有下列四个推断： ①若是的高，则可能是的中线； ②若是的中线，则不可能是的高； ③若是的角平分线，则可能是的中线； ④若是的高，则不可能是的角平分线． 上述推断中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 比较大小：__________，__________ （填“”，“”或“”）． 10. 某校七年级“数学节”活动设计了A，B，C，D四款徽章，为了解学生对徽章的喜爱情况，老师随机抽取了20名学生，请他们从中选出最喜爱的一款徽章，结果如下：D A A C C B C B B D D D C C B C A C D A，那么这些学生中，最喜爱款徽章的学生所占百分比为__________． 11. 小军和小明进行了一场五子棋比赛．棋盘如图所示，若坐标轴均与棋盘中的某条网格线平行，黑棋所在位置的坐标为，白棋所在位置的坐标为，则黑棋所在位置的坐标为__________． 12. 能说明命题“如果a、b都是无理数，那么它们的和也为无理数”为假命题的一组数据是：______，______． 13. 如图所示，，，，，，则__________． 14. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若；的面积为6，则的面积为__________． 15. 若不等式组有解，则的取值范围是__________． 16. 某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 三、解答题（共60分） 17. 计算：； 18. 完成下列计算： （1）解方程组：． （2）解不等式组：． 19. 如图，已知，，． （1）将平移后得到对应的，其中点的对应点是，请在图中画出平移后的； （2）点在轴上，若，直接写出点坐标____________________． （3）如果要使以、、为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点坐标． 20. 类比探究：小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： （1）①类似地，若_______________，则叫的五次方根，记作_______________； ②32的五次方根为_______________； （2）若，则_______________； （3）求的值：． 21. 丰富的营养对学生的身体和智力发展具有至关重要的作用．小畅家长为初中生小畅订购了某种盒装牛奶和袋装坚果作为早餐，它们的营养成分表如表： 食品种类营养成分 一盒牛奶 一袋坚果 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天早晨，小畅从这两种食品中恰好摄入能量和蛋白质． （1）求这天小畅早餐的牛奶及坚果数量； （2）初中生每日脂肪摄入量的标准约为，若小畅这天其他时间段从其他食品中共摄入脂肪，试判断这天小畅脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 22. 如图，点，分别在的，边上，，依次为延长线上两点，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数，并直接写出当_____时，． 23. 为了解社区居民使用共享单车时间情况，调查组连续两年开展调查． （1）调查组2024年随机对该社区选择共享单车出行的部分居民进行了调研，获得了他们每周使用共享单车时间（单位：分钟）的数据，并将收集到的数据进行整理和描述，结果如下： 组别 使用时间（分钟） 频数（人数） 第1组 7 第2组 m 第3组 49 第4组 第5组 21 ①本次调研，随机抽取_____名社区居民进行调查； ②请补全频数分布直方图； ③第3组居民人数在扇形图中所对应的扇形的圆心角度数是_____°； ④若该社区共有700位居民选择使用共享单车出行，请你估计每周使用共享单车的时间小于2小时的居民约有_____人． （2）调查组2025年对坚持选择共享单车出行的20名社区居民进行了跟踪调查，绘制了统计图． ①薛阿姨2025年每周使用共享单车时间比2024年的使用时间_____（填“多”或2025年时间/分钟“少”）； ②将这20名居民中2025年每周使用共享单车时间超过2024年使用时间的人数记为m，其余人数记为n，则m_____n（填“>“=”<”） 24. 关于的二元一次方程的部分解如表： … 0 1 2 … … 0 1 2 3 … （1）这个二元一次方程为__________； （2）若关于的方程组的解为负数，求的取值范围； （3）当时，对于的每一个值，方程中的值记为，中的值记为，若，直接写出的取值范围． 25. 如图，在中，与均为锐角，点在左侧，，，，，连接，点是的中点．连接并延长至点，使，连接，． （1）①依题意补全图形，并证明； ②求证：； （2）若，，当点落在边所在直线上时，直接写出的值． 26. 在平面直角坐标系 中，给定（n为正整数）个不同的点 给出如下定义：记点称为这个点的n阶中点．例如，当时，点为的1阶中点， 已知点，，，． （1）点A，B，C，D的2阶中点P的坐标是 ； （2）点A，B，C，D中任意两点的1阶中点坐标共有 种可能的情况； （3）在四边形的四条边上分别取点E，， ，， 点Q为E，F，G，H的2阶中点， 点R为A，B，C，D，E，F，G，H的3阶中点， ① 若点Q与点 R重合时，则点E的坐标为 ；b，d满足的关系式为 ； ② 若点E，F，H分别在线段，，上运动，请直接写出所有点 R组成的图形形状及面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $