精品解析：山东省泰安市泰山区2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷（五四制）

第二学期期末学情检测 初三数学样题 注意事项： 1.答卷前，请考生仔细阅读答题纸上的注意事项，并务必按照相关要求作答． 2.考试结束后，监考人员只收答题纸． 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请将正确答案前的字母代号填在答题纸相应位置上．） 1. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件为．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 2. 下列图形一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个等腰直角三角形 C. 有一个角是的两个等腰三角形 D. 两个菱形 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，即对应角相等、对应边成比例的图形相似，结合各类图形的性质，逐个判断选项即可． 【详解】解：选项A：∵两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，∴两个矩形不一定相似，A不符合题意． 选项B：∵等腰直角三角形的三个内角固定为，，，对应角一定相等，且对应边一定成比例，∴两个等腰直角三角形一定相似，B符合题意． 选项C：∵的角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，会导致两个三角形对应角不一定相等，∴两个三角形不一定相似，C不符合题意． 选项D：∵两个菱形的对应角不一定相等，∴两个菱形不一定相似，D不符合题意． 3. 已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（ ） A. 2 B. 4.5 C. 18 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算出线段d的所有可能值，即可判断出不可能的取值． 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 4. 下列各式从左到右一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．利用二次根式的性质进行化简进而得出答案． 【详解】解：A．不能化简，原式不符合题意； B．的符号不确定，需分情况，不符合题意； C．，，∴，符合题意； D．，的符号不确定，不符合题意； 故选：C． 5. 《九章算术》“勾股”章有一题大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，甲、乙的路径构成直角三角形，利用勾股定理列出方程． 【详解】解：设相遇时行走了个单位时间，则乙向东行走的距离为步，甲先向南走步，然后斜向东北行走的距离为步． 如图，由勾股定理，得 ∵ ∴ 即 ． 故选A． 6. 如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 B. 四条边都相等的四边形是菱形 C. 四个角都相等的四边形是矩形 D. 一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定定理对各选项逐一判断即可得答案. 【详解】A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项说法错误，符合题意， B.四条边都相等的四边形是菱形，故该选项说法正确，不符合题意， C.四个角都相等的四边形是矩形，故该选项说法正确，不符合题意， D.一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形，故该选项说法正确，不符合题意， 故选A. 【点睛】本题考查了正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定，注意正方形是特殊的菱形或者矩形．熟练掌握各特殊四边形的判定定理是解题关键. 8. 若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知、是一元二次方程的两个不相等实根，先求解方程得到两个根，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵实数m、n分别满足方程，，且， ∴、是一元二次方程的两个不相等实根， 解得，， ∴． 9. 如图，平行四边形中，点E是的中点，连结并延长交的延长线于点F，点G是线段上一点，满足，交于点H，若，，则的长为（ ） A. 0.6 B. 0.8 C. 1 D. 1.2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，证明，推出．求出，，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ． ， ， ∴， ， ， ， ，． ， ， ． ， ， ． 设，则， ∴， 解得， 即的长为． 10. 如图，在矩形中，E是上一点，于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若E是中点，则．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】①证明，即可；③证明可得结论；④设，，则，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：①四边形是矩形， ，，， 于点， ∴， ， 故①正确； ②现有条件不足以证明，故②错误； ③，， ， ， ∵ ， ， 故③正确； ④设，， ∵E是中点， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴，即， ， 故④正确 故正确的有①③④． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】∵， ∴，即， 将代入中，得， 则的值为． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 【答案】且 【解析】 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴．其中，，， 代入得：， 展开得， 化简得， 解得． 综上，k的取值范围为且． 13. 如图，正方形的边长为8，点E是的中点，连接，分别以点A，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于G，H两点，作直线，分别交于点M，F，则的长为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，勾股定理，由正方形的性质可得，由线段中点的定义可得，由作图方法可知垂直平分，则，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由作图方法可知垂直平分， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：1 ． 14. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 15. 若，则代数式的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】观察x的值以及代入式的特征，将变形为，然后代入计算即可简便求解． 【详解】解： 把代入，得 . 16. 含角的菱形，，，…，按如图的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，…，和点，，，，…，分别在直线和轴上．已知，，则点的坐标是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点D，证明是等边三角形，得到，进而得到，，，则，根据所给图形，依次求出点，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：过点作轴于点D， ∵含角的菱形，，，…， ∴，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， 则， ∵，， ∴， 同理可得出：，， …… 依此类推可知点 ∴ 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的除法、乘法、化简二次根式，再计算减法即可； （2）先利用乘法公式计算二次根式的乘法，再计算加减法即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程 （1）；（公式法） （2）．（配方法） 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【小问1详解】 解： 整理得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解： ， ， ， ， ∴，． 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 20. 如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． （1）求证：； （2）若，，求与的相似比． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∴， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）因为是等边三角形，所以三个内角均为；又因为折叠前后对应角相等，所以，利用平角定义和三角形内角和定理，推导，结合，用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明相似． （2）首先由和的长度计算出的长度，即等边三角形的边长；根据折叠的性质得到，由，，得，得的周长为16，的周长11．进而得出相似比． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∴，， ∴， ， ∴的周长为16，的周长为11． ∵， ∴． 21. 如图，四边形的对角线与相交于点，，．有下列两个条件：①；②． （1）请你从①②中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）若选择①， 证明：∵， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 若选择②， 证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，而，则四边形是平行四边形，若选择①，可根据菱形的定义证明四边形是菱形；若选择②，可根据菱形的判定定理证明四边形是菱形，选择其中一个条件证明四边形是菱形即可； （2）由菱形的性质得，，，因为，所以是等边三角形，则，求得，根据勾股定理求出，则，然后根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，对角线与相交于点， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴． 22. 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域，预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点，分别在，上，点，在上，求汽车盲区的长度． 【答案】汽车盲区的长度为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 首先过作于点，交于点，则，，由四边形是矩形，，，从而证明四边形是矩形，故有，通过线段和差得出，然后证明，最后由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴汽车盲区的长度为． 23. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 【答案】（1）； （2）路面设置的宽度符合要求； （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下： 假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元， 根据题意得： 整理得： 解得：， 符合题意 假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”，可得出的取值范围； （2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，可得出的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求； （3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）的结论，可得出符合题意，假设成立． 【详解】解：（1）横向道路宽度不超过24米，且不小于10米，即 解得： 纵向道路宽度的取值范围为 故答案为：； （2）根据题意可得： 整理得： 解得：， 符合题意 路面设置的宽度符合要求； 故答案为：路面设置的宽度符合要求； （3）略 24. 解答下列问题： （1）【探究解题】 如图1，等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接．判断和数量关系并说明理由； （2）【拓展延伸】 如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并证明； （3）【归纳应用】 在（2）的条件下，若，，点D是直线上任意一点，当时，求的长． 【答案】（1），理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）成立，证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴； （3）为或． 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而可得，则问题可求证； （3）由题意可分当点D在线段上，当点D在线段的延长线上，然后分类进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图1，当点D在线段上， 根据（2）可得， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 如图2，当点D在线段的延长线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 综上所述，为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二学期期末学情检测 初三数学样题 注意事项： 1.答卷前，请考生仔细阅读答题纸上的注意事项，并务必按照相关要求作答． 2.考试结束后，监考人员只收答题纸． 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请将正确答案前的字母代号填在答题纸相应位置上．） 1. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个等腰直角三角形 C. 有一个角是的两个等腰三角形 D. 两个菱形 3. 已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（ ） A. 2 B. 4.5 C. 18 D. 8 4. 下列各式从左到右一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》“勾股”章有一题大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 B. 四条边都相等的四边形是菱形 C. 四个角都相等的四边形是矩形 D. 一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形 8. 若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 9. 如图，平行四边形中，点E是的中点，连结并延长交的延长线于点F，点G是线段上一点，满足，交于点H，若，，则的长为（ ） A. 0.6 B. 0.8 C. 1 D. 1.2 10. 如图，在矩形中，E是上一点，于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若E是中点，则．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 若，则的值为__________． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 13. 如图，正方形的边长为8，点E是的中点，连接，分别以点A，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于G，H两点，作直线，分别交于点M，F，则的长为___________． 14. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 15. 若，则代数式的值为__________． 16. 含角的菱形，，，…，按如图的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，…，和点，，，，…，分别在直线和轴上．已知，，则点的坐标是_______________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 解方程 （1）；（公式法） （2）．（配方法） 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 20. 如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． （1）求证：； （2）若，，求与的相似比． 21. 如图，四边形的对角线与相交于点，，．有下列两个条件：①；②． （1）请你从①②中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 22. 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域，预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点，分别在，上，点，在上，求汽车盲区的长度． 23. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 24. 解答下列问题： （1）【探究解题】 如图1，等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接．判断和数量关系并说明理由； （2）【拓展延伸】 如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并证明； （3）【归纳应用】 在（2）的条件下，若，，点D是直线上任意一点，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $