暑假提升训练：三角形（专项训练）-2025-2026学年数学四年级下册人教版

**基本信息** 聚焦三角形核心知识，以问题链串联内角和、等腰性质、三边关系等考点，通过分类讨论、临界值分析等方法培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |填空/选择/判断/计算/解答|30题|内角和公式应用、三边关系判断（两边和差）、等腰三角形分类讨论、多边形内角和推导（分割法）|从三角形内角和（基础）→等腰/等边三角形性质（特殊）→三边关系（构成条件）→多边形内角和（延伸），形成“概念-性质-应用”逻辑链|

暑假提升训练：三角形 一、填空题 1．一个等腰三角形的一个底角的度数是57°，它的顶角是( )。 2．街心花园的观景台是一个六边形，这个观景台的内角和是( )°。 3．天成花园的三角形花坛，其中两条边都是7米，第三条边最长是( )米（取整米），按边分，这个花坛是( )三角形。 4．一个等腰三角形的底角是45°，它的顶角是( )°，按角分，这个三角形是一个( )三角形。 5．如图，长方形剪去一个角后，的度数为( )度。 6．一个等腰三角形的底角是50°，顶角是( )°。它的周长是80厘米，其中相邻两条边的长度有2倍关系，这个等腰三角形的底边长是( )厘米。 7．在一个三角形中，已知∠1＝63°，∠2＝54°，那么∠3＝( )；按角分这是一个( )三角形，按边分这是一个( )三角形。 8．一个三角形中，如果∠1＝∠2，这个三角形按边分是( )三角形；如果∠1＋∠2＜∠3，这个三角形按角分是( )三角形。 9．一个三角形三条边的长度都是整厘米数，其中两条边分别是15cm和30cm，第三条边最短是( )cm，最长是( )cm。 10．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”风筝是中国古代劳动人民的智慧结晶。张叔叔在制作一个等腰三角形的风筝骨架，其中两条边的长分别是1.5米和3米，这个风筝骨架的周长是( )米。 11．梦梦准备用图钉固定硬纸条做一个三角形，她最少应准备( )根硬纸条，准备( )个图钉。如果其中的两根硬纸条分别是5cm和8cm，另一根硬纸条可能是( )。 12．在三角形中，已知∠1＝45°，∠2＝55°，那么∠3＝( )；在直角三角形中，已知一个锐角是50°，另一个锐角是( )。 二、选择题 13．下面三组小棒，不能围成三角形的是（    ）。 A．3cm、4cm、5cm B．8cm、8cm、8cm C．3cm、3cm、7cm D．2cm、6cm、7cm 14．在研究多边形内角和时，图图和红红一起探索五边形的内角和，下图是他们的思考过程，下列算式能体现他们思考过程的是（    ）。 A．180°×5 B．180°×4 C．180°×3 D．180°×2 15．如下图，从长方形纸卡上剪去一个直角三角形后，剩下纸卡的内角和（    ）。 A．180 B．360 C．540 D．720 16．在一个三角形中，最大的角是70°，这个三角形一定是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 17．一个三角形两条边分别是7cm和8cm，它的第三条边也是整厘米数，第三条边最短可以是（    ），最长可以是（    ）。 A．1cm；14cm B．2cm；14cm C．1cm；15cm D．2cm；15cm 三、判断题 18．一个三角形中有两个锐角，这个三角形一定是锐角三角形。( ) 19．用长5cm、5cm、10cm的三条线段，可以围成一个三角形。( ) 20．用2根长4cm和1根长8cm的铁丝刚好可以围成一个等腰三角形。( ) 21．在一个直角三角形中，若其中一个锐角是29°，则另一个锐角是71°。( ) 22．钝角三角形的两个锐角的和不一定小于90°。( ) 四、计算题 23．计算下面三角形中未知角的度数。 五、解答题 24．一根铁丝围成一个边长为12厘米的等边三角形，如果用这根铁丝改围成一个底边长10厘米的等腰三角形，等腰三角形的腰长是多少厘米？ 25．一个等腰三角形的其中两条边分别是5厘米、7厘米，则它的周长是多少厘米？ 26．王伯伯要用篱笆围一块三角形的菜地。其中两条边分别用篱笆12米、9米。第三条边最短要用多长的篱笆才能围成三角形菜地？最长呢？（取整米数） 27．一个三角形花坛，花坛的最大角是120°，是最小角的6倍，这个三角形花坛的第三个角是多少度？按角分，这个花坛的形状是什么三角形？ 28．空间站舱内实验区温度保持恒温23℃。科研人员制作一块三角形的观测挡板，测得这块挡板的两个内角分别是48度和65度，第三个内角是多少度？这个三角形按角分是什么三角形？ 29．【安全警示】在活动过程中，班长要在路口摆放一个三角形的交通警示牌，提醒大家注意来往车辆。已知这个警示牌是一个等腰三角形，并且量得它的顶角是100°。请问： 这个警示牌的一个底角是多少度？ 第2页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 【分析】三角形内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等。已知一个底角是57°，那么另一个底角也是57°，两个底角一共是57°×2＝114°。用内角和180°减去两个底角的和114°，就能得到顶角的度数。 【详解】57°×2＝114° 180°－114°＝66° 它的顶角是66°。 2．720 【分析】多边形内角和的计算方法是：内角和＝（边数－2）×180°，六边形有6条边，把数据代入计算即可。 【详解】（6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 3． 13 等腰 【分析】根据三角形三边关系任意两边之和大于第三边，已知两条边都是7米，两边和为7＋7＝14米，因此第三边长度必须小于14米。这个花坛有两条边长度相等，按边分属于等腰三角形。 【详解】7＋7＝14（米） 小于14米的最长整米就是13米，这个花坛是等腰三角形。 4． 90 直角 【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，用180°减两个底角（45°），计算即可得出顶角。再根据顶角的度数判断三角形的类型：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 【详解】180°－45°－45° ＝135°－45° ＝90° 这个三角形是一个直角三角形。 5．270 【分析】∠1和小三角形上方锐角拼成1个平角180°，∠2和小三角形下方锐角拼成1个平角180°，两组平角相加一共360°。小三角形里，有一个是直角，所以另外两个锐角相加等于90°，用360°减去两个锐角的和90°，就能直接得到∠1＋∠2的度数。 【详解】  180°＋180°－90° ＝360°－90° ＝270° 所以∠1＋∠2＝270° 6． 【分析】等腰三角形的两个底角相等。根据三角形的内角和为180°可知，顶角是。已知等腰三角形周长是80厘米，相邻两条边的长度有2倍关系，根据等腰三角形的两条腰相等，且三角形任意两边之和，大于第三边，若腰长是底边的2倍，则底边长为厘米，腰长为厘米，满足三角形任意两边之和，大于第三边；若底边是腰长的2倍，则腰长为厘米，底边长为厘米，此时，不满足三角形任意两边之和大于第三边。 【详解】 （厘米） 7． 锐角 等腰 【分析】（1）三角形内角和为180°，所以用180°减去已知的∠1和∠2的度数，求出∠3的度数； （2）因为已知的两个角都小于90°，根据3个角的度数与90°的大小关系，判断三角形按角分属于什么三角形，如果有1个角大于90°，是钝角三角形；如果有1个角等于90°，是直角三角形，如果3个角都小于90°，是锐角三角形； （3）如果有两个角的度数相等，那么对应的两条边长度相等，所以可以根据角的相等情况判断按边的分类。 【详解】（1）求∠3的度数； 所以∠3＝63° （2）判断三角形按角分属于什么三角形： 63°＜90° 54°＜90° ∠3＝63°，∠1＝63°，∠2＝54°，都小于90° 因此三角形是锐角三角形。 （3）判断三角形按边分属于什么三角形： ∠3＝63°，∠1＝63°两个角相等，所以这两个角所对的边也相等，因此这个三角形是等腰三角形。 所以括号里依次填入：63°、锐角、等腰。 8． 等腰 钝角 【分析】第一组条件∠1＝∠2，依据等角对等边定理，两个角相等对应的两条边长相等，按边分类属于等腰三角形；第二组条件∠1＋∠2＜∠3，结合内角和固定180°，可推出∠3＞90°，大于 90°的角是钝角，有一个钝角的三角形按角分就是钝角三角形。 【详解】因为∠1＝∠2，故这个三角形有两个角相等，则这个三角形按边分是等腰三角形；如果∠1＋∠2＜∠3，则∠3＞90°，因此这个三角形按角分是钝角三角形。 9． 16 44 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求解。所以第三条边的取值范围为：两边之差第三条边两边之和。 【详解】3015＝15（cm） 15＋1＝16（cm） 30＋15＝45（cm） 451＝44（cm） 所以第三条边最短是16cm，最长是44cm。 10． 【分析】等腰三角形的定义：三角形至少有两条边长度相等，相等的两条边称为腰，第三条边为底边。 三角形三边关系规则：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 【详解】等腰三角形的腰长有两种可能性：第一种假设腰长为1.5米，此时三条边长度为1.5米、1.5米、3米，两边之和为（米），不满足两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，因此第一种假设不成立。 第二种假设腰长为3米，此时三条边长度为3米、3米、1.5米，两边之和（米）＞3米，两边之差（米）＜3米，符合构成三角形的条件。 因此，等腰三角形的风筝骨架的周长是（米）。 11． 3 3 5cm（答案不唯一） 【分析】至少要准备3根硬纸条，因为三角形有3条边； 至少要用3颗图钉，因为三角形有3个顶点； 三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 【详解】她最少准备3根硬纸条，准备3个图钉； 第三条边的长度大于8－5＝3（cm），小于8＋5＝13（cm），另一根硬纸条长度只要大于3厘米，小于13厘米即可。（答案不唯一） 12． 80° 40° 【分析】根据三角形内角和是180度，可得∠3＝180°－∠1－∠2；在直角三角形中，两个锐角的度数之和是90度，所以另一个锐角的度数是：90°－50°，据此即可解答。 【详解】由分析可得： ∠3＝180°－∠1－∠2 ＝180°－45°－55° ＝135°－55° ＝80° 90°－50°＝40° 所以，在三角形中，已知∠1＝45°，∠2＝55°，那么∠3＝80°；在直角三角形中，已知一个锐角是50°，另一个锐角是40°。 13．C 【分析】根据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。判断三条线段能否围成三角形，简便方法是计算两条较短线段的长度之和是否大于最长线段的长度。若和大于最长边，则能围成三角形；若和小于或等于最长边，则不能围成三角形。 【详解】A．（cm），，能围成三角形； B．（cm），，能围成三角形； C．（cm），，不能围成三角形； D．（cm），，能围成三角形。 14．C 【分析】通过观察图形，将多边形分割成三角形来求解内角和的方法。 【详解】由图形可知，从五边形的一个顶点出发，画对角线把五边形分成了个三角形。 因为三角形的内角和是，所以五边形的内角和是个三角形内角和的总和，也就是：。 15．B 【分析】将剪去后的图形从一个固定的点出发分割成若干个三角形，借助三角形的内角和是计算多边形的内角和。 【详解】如图：，剩下的纸卡可以分成两个三角形。 16．A 【分析】小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角； 三个角都是锐角的三角形是锐角三角形、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，通过判断三角形中最大角的度数来确定三角形的类型。 【详解】已知在一个三角形中，最大的角是，因为，所以最大的角是锐角，既然最大的角是锐角，那么其余两个角一定小于或等于，也就都小于，都是锐角。所以这个三角形一定是锐角三角形。 17．B 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析即可。 【详解】根据分析可知： 8－7＝1（cm） 8＋7＝15（cm） 1cm＜第三条边＜15cm，所以第三条边最短是2cm，最长是14cm。 18． × 【分析】三角形内角和为，任意三角形至少有两个锐角，所以仅凭有两个锐角无法确定第三个角的性质，也就无法确定三角形的类型。 【详解】根据三角形的分类： 三个角都是锐角的三角形是锐角三角形； 有一个角是直角的三角形是直角三角形，它也有两个锐角； 有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，它也有两个锐角。 所以，一个三角形中有两个锐角，这个三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形。 故答案为：× 19． × 【分析】根据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。判断三条线段能否围成三角形，只需验证较短的两条线段长度之和是否大于最长的那条线段。 【详解】因为，两边之和等于第三边，不满足两边之和大于第三边的条件，所以不能围成一个三角形。 故答案为：× 20．× 【分析】围成三角形的必要条件是任意两边之和大于第三边。本题中给出的三条线段长度分别为4cm、4cm、8cm，需验证两条较短边的和是否大于最长边。 【详解】 因为 ，即两边之和等于第三边，不满足大于第三边的条件，不能围成三角形。 故答案为：× 21． × 【分析】根据三角形内角和定理，三角形的内角和是。直角三角形中有一个角是直角（），因此两个锐角的和是。已知其中一个锐角是，用减去求出另一个锐角的度数，再与题干中的进行比较即可判断正误。 【详解】两个锐角的和为：。 另一个锐角的度数为：。 因为，所以原题说法错误。 故答案为：× 22．× 【分析】大于90°小于180°的角是钝角，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，所以钝角三角形的另外两个角都是锐角，三角形内角和是180°，用180°减去一个钝角的度数，即可得到两个锐角的度数之和，由此判断，即可解答。 【详解】用180°减去一个大于90°的角，结果一定小于90°。所以钝角三角形的两个锐角的和一定小于90°。原题说法错误。 故答案为：× 23．122°；120° 【分析】三角形的内角和是180°；等腰三角形的两个底角相等。 【详解】（1） （2）从图中可知，这个三角形是等腰三角形，所以它有两个角都是30°。 24． 厘米 【分析】“用这根铁丝改围”，意味着铁丝的总长度不变，即等边三角形的周长等于等腰三角形的周长。首先根据等边三角形三条边长度相等的特点，计算出铁丝的总长度；然后根据等腰三角形两条腰长度相等的特点，用总长度减去底边长，得到两条腰的长度和，最后除以即可求出一条腰的长度。 【详解】 （厘米） 答：等腰三角形的腰长是厘米。 25．17厘米或19厘米 【分析】等腰三角形有两条长度相等的腰，分两种情况讨论，同时依据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边验证能否围成三角形，再计算周长。 【详解】第一种：腰长5厘米，底7厘米 5＋5＞7，满足三边关系 周长：5＋5＋7＝17（厘米） 第二种：腰长7厘米，底5厘米 5＋7＞7，满足三边关系 周长：7＋7＋5＝19（厘米） 答：它的周长是17厘米或19厘米。 26．最短米，最长米 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两条边的长度，通过计算两边之和、两边之差，就能确定第三条边的取值范围；题目要求取整米数，在取值范围内找出最小、最大整数即为答案。 【详解】根据三角形三边关系：第三边＞两边之差，第三边＜两边之和。 两边之和：（米） 两边之差：（米） 因此第三条边长度范围：3米＜第三边＜21米。 因为篱笆长度取整米数， 最短长度：（米） 最长长度：（米） 答：第三条边最短要用米长的篱笆，最长要用米长的篱笆才能围成三角形菜地。 27．40°；钝角三角形。 【分析】已知三角形内角和是180°，最大角是120°，且是最小角的6倍，首先利用除法求出最小角的度数，然后用内角和减去最大角和最小角求出第三个角的度数。最后根据最大角是钝角来判断三角形的形状。 【详解】120÷6＝20° 180°－120°－20°＝60°－20°＝40° 因为最大角是120°，120°＞90°是钝角，所以这个三角形是钝角三角形。 答：这个三角形花坛的第三个角是40°；按角分，这个花坛的形状是钝角三角形。 28． 67度；锐角三角形 【分析】根据三角形内角和定理，三角形的三个内角和等于度。已知其中两个内角的度数，用度减去这两个角的度数，即可求出第三个内角的度数。然后根据三个内角的大小判断三角形的类型：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【详解】 （度） 因为度、度、度都小于度，即三个角都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形。 答：第三个内角是度，这个三角形是锐角三角形。 29． 40° 【分析】三角形内角和等于180°以及等腰三角形两个底角相等的特征。已知顶角是100°，先用内角和减去顶角得到两个底角的度数之和，再除以2，即可求出一个底角的度数。 【详解】（180°－100°）÷2 ＝80°÷2 ＝40° 答：这个警示牌的一个底角是40°。 答案第2页，共9页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $