2.1.1　倾斜角与斜率 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“倾斜角与斜率”，从探索直线位置几何要素切入，通过定义倾斜角、明确取值范围，结合斜率公式及两点计算法，搭建从几何直观到代数表达的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于“AI思考辨析”深化概念理解，“变式训练”强化应用，结合数学思维（推理能力）与数学语言（公式表达），如三点共线判断、斜率范围计算实例，培养学生逻辑推理与应用意识，助力学生深化知识，教师提升教学效率。

第二章　直线和圆的方程 2.1.1　倾斜角与斜率 学 习 目 标 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角、直线的斜率的概念. 3.掌握倾斜角与斜率之间的关系. 4.掌握过两点的直线斜率的计算公式. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点1　直线的倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴　　　　与直线l 　　　 　　之间所成的角α叫做直线l的倾斜角  规定 当直线l与x轴　　　　　　　　时,规定直线l的倾斜角为0°   注意区分直线倾斜角为0 °的情形和向量夹角为0 °的情形 记法 α 图示   正向 向上的方向 平行或重合 取值范围 0°≤α<180° tan α 若直线上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),则tan α=　　　　　　  作用 表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度 AI·思考辨析 不重合的两条直线的倾斜角相等,这两条直线的位置关系是怎样的? 提示 平行. 体验新知 1.(2026江苏高二期中)已知A(2,),B(-1,0),则直线AB的倾斜角θ为(　　) A. B. C. D. A 解析 由题意可得,tan θ=,所以直线AB的倾斜角θ为.故选A. 2.(人教B版教材习题)分别写出下列直线的倾斜角: (1)垂直于x轴的直线; (2)垂直于y轴的直线; (3)第一、三象限的角平分线; (4)第二、四象限的角平分线. 解 (1)90°;(2)0°;(3)45°;(4)135°. 知识点2　直线的斜率 1.定义与表示 定义 (α为直线的倾斜角) α≠90° 一条直线的倾斜角α的　　　 叫做这条直线的斜率 α=90° 直线斜率不存在 记法 常用小写字母k表示,即k=tan α 可将k看作α的函数 范围 　　 　  作用 用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x轴的倾斜程度 正切值 R 2.直线的斜率公式 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=　　　　,当x1=x2时,直线P1P2的斜率不存在.  3.直线的方向向量与斜率的关系 (1)直线P1P2的方向向量=(x2-x1,y2-y1),当x1≠x2时,直线P1P2与x轴不垂直,其一个方向向量为=(1,k),其中k为直线P1P2的斜率. (2)当x1=x2时,直线P1P2与x轴垂直,直线没有斜率,其一个方向向量为(0,1). AI·思考辨析 1.所有直线都有唯一的斜率吗? 2.经过点P(x1,y1)和Q(x2,y2)(x1≠x2)的直线斜率k=与k=的结果一定相等吗? 提示 当直线与x轴垂直时,斜率不存在,其余的直线有唯一的斜率. 提示 结果一定相等. 体验新知 1.(人教B版教材例题改编)已知直线l经过点A(-1,3)与B(2,0),求直线l的斜率k与倾斜角θ,并写出直线l的一个方向向量. 解 因为A,B两点的横坐标不相等,所以直线l的斜率k==-1,因此tan θ=-1,又0°≤θ<180°,则倾斜角θ=135°,直线l的一个方向向量为(1,-1). 2.(人教B版教材例题)已知平面直角坐标系中的四条直线l1,l2,l3,l4如图所示,设它们的倾斜角分别为θ1,θ2,θ3,θ4,且斜率分别为k1,k2,k3,k4.分别将倾斜角和斜率按照从小到大的顺序排列. 解 由题意,结合直线l1,l2,l3,l4的图象,可得θ1<θ2<<θ3<θ4.因为ki=tan θi, i=1,2,3,4,正切函数在区间上单调递增且函数值大于0,在区间上单调递增且函数值小于0,所以k3<k4<k1<k2. 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　直线的倾斜角 【例1】 (苏教版教材习题)已知a,b,c是两两不相等的实数,分别求经过下列两点的直线的倾斜角: (1)A(a,c),B(b,c); (2)A(a,b),B(a,c); (3)A(b,b+c),B(a,c+a). 解 (1)因为直线AB与x轴平行或重合,所以倾斜角为0°. (2)因为直线AB与x轴垂直,所以倾斜角为90°. 变式训练1 (1)设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么直线l1的倾斜角为(　　) A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.α+45°或α-135° D 解析 根据题意,画出图形,如图所示: 由条件可知0°≤α<180°,通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<135°时,直线l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,直线l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D. (2)如图,直线l1的倾斜角α=20°,直线l1与直线l2相交于点A,∠BAC=100°,则直线l2的倾斜角为　　　　　.  120° 解析 设直线l2的倾斜角为α2. 因为∠BAC=100°,所以α2=∠BAC+α=100°+20°=120°. 能力提升点二　直线的斜率 【例2】 已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1). (1)当m为何值时,直线l的斜率是1? (2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°? 思路分析 用直线的斜率公式求直线的斜率. 例题探究1 (变条件变结论)在本例中,若直线l的一个方向向量为(1,2),则 m=　　　　.  解析 由题意得,直线l的斜率为2,即=2,解得m=. 例题探究2 (变结论)本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时,实数m的取值范围. 能力提升点三　倾斜角和斜率的应用 【例3—1】 (人教B版教材例题)已知A(-2,-1),B(0,-3),C(1,-4),D(2,-6),则A,B,C共线吗?A,B,D呢? 解 因为kAB==-1,kAC==-1,kAD==-, 所以kAB=kAC≠kAD,因此A,B,C共线,A,B,D不共线. 【例3—2】 (北师大版教材例题)已知直线l的倾斜角为α,斜率为k. 变式训练2 (1)三点A(m,2),B(5,1),C(-4,2m)在同一条直线上,则m的值为 (　　) A.2 B. C.-2或 D.2或 D 解析 由题意可得,kAB=,kBC==-. 因为A,B,C三点共线,所以kAB=kBC,即=-,解得m=2或m=. 经检验,符合题意,所以m的值为2或.故选D. (2)已知坐标平面内三点A(-1,1),B(1,1),C(2,+1), D为△ABC的边AC上一动点,则直线BD的斜率k的变化范围是(　　) A.[0,] B.(-∞,0]∪[,+∞) C.[] D.(-∞,0]∪[,+∞) D 解析 由题可得,kAB==0,kBC=,因为D为△ABC的边AC上一动点,如图,所以直线BD斜率k的变化范围是(-∞,0]∪[,+∞).故选D. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)直线的倾斜角及其取值范围; (2)直线斜率的定义和斜率公式. 2.方法归纳:数形结合思想. 3.常见误区:(1)容易忽视倾斜角取值范围,图形理解不清;(2)对于倾斜角的变化如何反映斜率的变化理解不到位;(3)容易忽视斜率公式的使用条件. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 1.(2026江西高二期中)过(-1,),(-2,2)两点的直线的倾斜角为(　　) A. B. C. D. C 解析 由题可知,k==-,则tan α=-. 由于α∈[0,π),则α=.故选C. 1 2 3 4 5 6 2.(2026浙江高二期中)已知直线l的一个方向向量为=(,3),则直线l的斜率为(　　) A. B. C.3 D.3 B 解析 因为直线l的一个方向向量为=(,3),所以直线l的斜率k=.故选B. 1 2 3 4 5 6 D 1 2 3 4 5 6 4.(多选题)下列说法正确的是(　 　) A.若α是直线l的倾斜角,则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率,则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角 ABC 1 2 3 4 5 6 5.若经过两点A(1,m),B(m-1,3)的直线的倾斜角是锐角,则实数m的取值范围是　　　　　.  (2,3) 解析 因为经过两点A(1,m),B(m-1,3)的直线的倾斜角是锐角,可知m-1≠1,且>0,解得2<m<3,即实数m的取值范围是(2,3). 1 2 3 4 5 6 6.(苏教版教材习题)设x,y为实数,已知直线的斜率k=2,且A(3,5),B(x,7), C(-1,y)是这条直线上的三个点,求x和y的值. 本 课 结 束 (3)因为tan α==1,所以倾斜角为45°. 解 (1)kNM==1,解得m=. (2)直线l的倾斜角为90°,即直线l平行于y轴,所以m+1=2m,解得m=1. 解 由题意知>0,解得1<m<2. 故实数m的取值范围为(1,2). (1)若0≤α≤,求斜率k的取值范围; (2)若≤α≤,求斜率k的取值范围; (3)若-≤k≤-,求倾斜角α的取值范围; (4)若-1≤k≤,求倾斜角α的取值范围. 解 (1)由0≤α≤及正切函数的性质,可得tan 0≤tan α≤tan, 即0≤tan α≤,所以斜率k的取值范围是{k|0≤k≤}. (2)由正切函数的性质,可得当≤α<时,k=tan α≥1; 当<α≤时,k=tan α≤-1;当α=时,斜率k不存在. 综上,斜率k的取值范围是{k|k≤-1或k≥1}. (3)由-≤k≤-,可得-≤tan α≤-. 又0≤α<π,所以由正切函数的性质, 得倾斜角α的取值范围是{α|≤α≤}. (4)由-1≤k≤,可得-1≤tan α≤. 又0≤α<π,所以由正切函数的性质, 得倾斜角α的取值范围是{α|0≤α≤≤α<π}. 解析 直线l1的斜率为,即tan α=,所以倾斜角为α=60°, 所以直线l2的倾斜角为2α=120°,斜率k=tan 120°=-.故选D. 3.已知直线l1的斜率为,直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍,则直 线l2的斜率为(　　) A. B. C.- D.- 解 由题意得,解得 $