专题研究四 圆锥曲线中的证明与探索性问题 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学单元复习课件系统梳理了圆锥曲线中的证明与探索性问题，涵盖椭圆、双曲线、抛物线等核心内容，通过题型分类、例题解析及高考真题串联知识，帮助学生构建完整的圆锥曲线问题解决体系。 其亮点在于采用“题型归类-方法提炼-真题演练”的复习策略，如证明角度相等时通过分类讨论直线位置培养逻辑推理能力，探索存在性问题时用假设法构建方程培养数学建模意识。分层设计的思考题和高考题让学生逐步提升，教师可精准把握复习重点，提升教学效率。

1容》心洲 2 门 h50255 42B 1容》心洲 2 门 h50255 42B 专题研究四 明与 专题研究四 明与 圆锥曲线中的证 探索性问题 圆锥曲线中的证 探索性问题 专题讲解 专题讲解 题型一 证明问题 x2 榭1课标全国I,理)设椭圆C:2+=1的右焦点为K,过 F的直线1与C交于A,B两点，点M的坐标为(2，O) (1)当1与x轴垂直时，求直线AM的方程； 【解析】 (1)由已知得F(1,0),直线1的方程为x=1. 将x=1代入方程，得点 4的标.号或1.-男 所以直 线的方背为=-是十或=是-反 第3页 题型一 证明问题 x2 榭1课标全国I,理)设椭圆C:2+=1的右焦点为K,过 F的直线1与C交于A,B两点，点M的坐标为(2，O) (1)当1与x轴垂直时，求直线AM的方程； 【解析】 (1)由已知得F(1,0),直线1的方程为x=1. 将x=1代入方程，得点 4的标.号或1.-男 所以直 线的方背为=-是十或=是-反 第3页 (2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB, 【解析】(2)证明：当直线1与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°. 当直线I与x轴垂直时，直线OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA =∠OMB. 当直线1与x轴不重合也不垂直时，设直线1的方程为y=(x一1)k0), A(x1,y),B(x2,2),则-V2<<V2,-2<22,直线MA,MB的斜 车之为十产2十产2血为=一=-元得a十人心 2kx1x2-3k(x1+x2)+4k (x1-2)(x2-2) 第4页 (2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB, 【解析】(2)证明：当直线1与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°. 当直线I与x轴垂直时，直线OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA =∠OMB. 当直线1与x轴不重合也不垂直时，设直线1的方程为y=(x一1)k0), A(x1,y),B(x2,2),则-V2<<V2,-2<22,直线MA,MB的斜 车之为十产2十产2血为=一=-元得a十人心 2kx1x2-3k(x1+x2)+4k (x1-2)(x2-2) 第4页 将=cx-1代入号+y=1得2+Ir +1)>0, 4k2 22-2 所以1+x=22+1'x2= 22+1 则21x2一3k(x1+x2)十4k 4k3-4k-12k3+8k+4k 0 22+1 从而kMA十kB=O,故MA,MB的倾斜角 所以∠OMA=∠OMB. 综上所述，∠OMA=∠OMB. 将=cx-1代入号+y=1得2+Ir +1)>0, 4k2 22-2 所以1+x=22+1'x2= 22+1 则21x2一3k(x1+x2)十4k 4k3-4k-12k3+8k+4k 0 22+1 从而kMA十kB=O,故MA,MB的倾斜角 所以∠OMA=∠OMB. 综上所述，∠OMA=∠OMB. -42x+22-2=0,=8(K 互补. 第5页 -42x+22-2=0,=8(K 互补. 第5页 探究 圆推曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也 涉及一些否定性命题.证明一般采用直接法或反证法 第页 探究 圆推曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也 涉及一些否定性命题.证明一般采用直接法或反证法 第页 思考题1 已知双曲线C:若-=1u0,， 点(2,23)： (1)求双曲线C的方程； a2+b2=c2, 【解析】 (1)由题中条件可知 =5 4 12 -62=1, 解得a=1,b2=4,c2=5, 以双曲线C的方程为一= 思考题1 已知双曲线C:若-=1u0,， 点(2,23)： (1)求双曲线C的方程； a2+b2=c2, 【解析】 (1)由题中条件可知 =5 4 12 -62=1, 解得a=1,b2=4,c2=5, 以双曲线C的方程为一= >0)的离心率为V5,且过 第7页 >0)的离心率为V5,且过 第7页 (2)若过点P(一2,0)的直线1与C交于A,B两点(A,B均在x 轴上方)，点N在线段AB上，且满足AN BP=APBN.证明：N在 定直解析】(2)证明：由题意直线1斜率存在，设直线1方程为y=: +2),A(x1,y1),B(x2,y2), y=k(x+2), 联-=1 消y整理得(4一2)x2一42x一42一4=0， 42 -42-4 显然4-0,0，则x1十x=4-2,2=4-2 第8页 (2)若过点P(一2,0)的直线1与C交于A,B两点(A,B均在x 轴上方)，点N在线段AB上，且满足AN BP=APBN.证明：N在 定直解析】(2)证明：由题意直线1斜率存在，设直线1方程为y=: +2),A(x1,y1),B(x2,y2), y=k(x+2), 联-=1 消y整理得(4一2)x2一42x一42一4=0， 42 -42-4 显然4-0,0，则x1十x=4-2,2=4-2 第8页 不妨设x1<x2,则一2<x1<x<x2, 因为.w州=4N,司驾=架 可得二=十2 五一x十2解得w= 2x1x2+2(x1+x2) x1+x2+4 2 所以N在定直线x=一上. 不妨设x1<x2,则一2<x1<x<x2, 因为.w州=4N,司驾=架 可得二=十2 五一x十2解得w= 2x1x2+2(x1+x2) x1+x2+4 2 所以N在定直线x=一上. -82-8, 82 4-2 +4-2 二 三 42 4-2+4 第页 -82-8, 82 4-2 +4-2 二 三 42 4-2+4 第页 题型二 探索性问题 + 凶（：+发=1u0的离心*为e=单 过C1的左 焦点F1的直线1：x一y+2=0被圆C2:(x一3)2+y-3)2=2(>0)截得的弦 长为22. (1)求椭圆C的方程； 【解析】(1)：直线1的方程为x一y+2=0, 合y=0,得x=-2,即F(-2,0), 6=2:e-9:=6,2=0-=2, 中圆(C的方程大 21. 第10 五 题型二 探索性问题 + 凶（：+发=1u0的离心*为e=单 过C1的左 焦点F1的直线1：x一y+2=0被圆C2:(x一3)2+y-3)2=2(>0)截得的弦 长为22. (1)求椭圆C的方程； 【解析】(1)：直线1的方程为x一y+2=0, 合y=0,得x=-2,即F(-2,0), 6=2:e-9:=6,2=0-=2, 中圆(C的方程大 21. 第10 五 (2)设C的右焦点为F2,在圆C2上是否存在点P,满足PF1=PF? 若存在，指出有几个的点 (不必求出点的坐标)；若不存在，明理由. 【解析】(2：圆心C(3,3)创直线：x-y+2=0的距离4=3-3+2 v2 =2, 又直线1：x-y+2=0被圆C2:(x-3)2+(0y-3)2=2(>0)截得的弦长 为2V2, :=+22p=2+2=2, 故圆C2的方程为(x一3)2+(0y一3)2=4. 第11页 (2)设C的右焦点为F2,在圆C2上是否存在点P,满足PF1=PF? 若存在，指出有几个的点 (不必求出点的坐标)；若不存在，明理由. 【解析】(2：圆心C(3,3)创直线：x-y+2=0的距离4=3-3+2 v2 =2, 又直线1：x-y+2=0被圆C2:(x-3)2+(0y-3)2=2(>0)截得的弦长 为2V2, :=+22p=2+2=2, 故圆C2的方程为(x一3)2+(0y一3)2=4. 第11页 假设圆C2上存在点Px,y),满足PF=PF2, 即PF1=3P2,且F,F2的坐标分别为1（一2,0），F2(2,0), 则小V(x+2)2+y2=3V(x-2)2+y2, 整理得x-2+2=它表示国心是（得0，半径是的圆.连接 CC2 :=3-2+3-0-7, 枚有2-】(2+2，故园C与圆3相交，有两个公共点， ·圆C2上存在两个不同的点P,满足PF=2PF2 第12 5 假设圆C2上存在点Px,y),满足PF=PF2, 即PF1=3P2,且F,F2的坐标分别为1（一2,0），F2(2,0), 则小V(x+2)2+y2=3V(x-2)2+y2, 整理得x-2+2=它表示国心是（得0，半径是的圆.连接 CC2 :=3-2+3-0-7, 枚有2-】(2+2，故园C与圆3相交，有两个公共点， ·圆C2上存在两个不同的点P,满足PF=2PF2 第12 5 探究 ()探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化. 其步骤为假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系 数法设出，列出关于待定系数的方程（组），若方程（组）有实数解，则 元素（点、直线、曲线或参数）存在；否侧元素（点、直线、曲线或参 数)不存在. 2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法！ 第13 五 探究 ()探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化. 其步骤为假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系 数法设出，列出关于待定系数的方程（组），若方程（组）有实数解，则 元素（点、直线、曲线或参数）存在；否侧元素（点、直线、曲线或参 数)不存在. 2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法！ 第13 五 思考题2在直角坐标系xOy中，直线1：y=(0)交y轴于点M,交 抛物线C:y=2x(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接OW并延 交C于点H 1深号 【思路分析】 (1)先求出W,H的坐，再求 ON 第14 五 思考题2在直角坐标系xOy中，直线1：y=(0)交y轴于点M,交 抛物线C:y=2x(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接OW并延 交C于点H 1深号 【思路分析】 (1)先求出W,H的坐，再求 ON 第14 五 【解析】 )出已知得0，.r5又为 点故6小 故直线ON的方程为y=B, 将其代入y2=2px,整理得px2-2x=0, 解得=e-形因224 所以y为01的中点，即2=2 【解析】 )出已知得0，.r5又为 点故6小 故直线ON的方程为y=B, 将其代入y2=2px,整理得px2-2x=0, 解得=e-形因224 所以y为01的中点，即2=2 为M关于点P的对称 第15 页 为M关于点P的对称 第15 页 (2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由. 【思路分析】 (2)将直线H的方程与抛物线C的方程联立，根 据方程的解的个数进行判断. 【解析】 (2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下： 汽线的方程为)一(=导即=税一八 代入y2=2x得y2-4y十4=0，解得y1=y2=2t, 即直线MH与C只有一个公共点， 所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点. 返回 (2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由. 【思路分析】 (2)将直线H的方程与抛物线C的方程联立，根 据方程的解的个数进行判断. 【解析】 (2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下： 汽线的方程为)一(=导即=税一八 代入y2=2x得y2-4y十4=0，解得y1=y2=2t, 即直线MH与C只有一个公共点， 所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点. 返回 请做： 请做： 课时作业（四十五） 点击进入 Word版可编辑套题 课时作业（四十五） 点击进入 Word版可编辑套题 走向高考 走向高考 (一) 1.(2025·全国I卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的V7倍，C的 离心率为( A.V2 B.2 C.7 22 解析 由题知2h=V7×2a,所以=V7, 双曲线的高心*e=台=+=22版运D 第19 五 (一) 1.(2025·全国I卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的V7倍，C的 离心率为( A.V2 B.2 C.7 22 解析 由题知2h=V7×2a,所以=V7, 双曲线的高心*e=台=+=22版运D 第19 五 2.(2025·全国Ⅱ卷)设抛物线 A在C上，过A作C的准线的垂线， -2x+2, 则AA=( A.3 B. 4 5 D 6 2.(2025·全国Ⅱ卷)设抛物线 A在C上，过A作C的准线的垂线， -2x+2, 则AA=( A.3 B. 4 5 D 6 C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点 垂足为B.若直线BF的方程为y= 第20 页 C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点 垂足为B.若直线BF的方程为y= 第20 页 3.【多选题】(2025·全国I卷)已知抛物线C:y2=6的焦点为F,过 F的一条直线交C于A,B两点，过A作直线1：x=一的垂线，垂足为D, 过F且与直线AB垂直的直线交I于点E,则( ) D=inn B.AE=AB V√ABP6 VA-BE≥18 第21 五 3.【多选题】(2025·全国I卷)已知抛物线C:y2=6的焦点为F,过 F的一条直线交C于A,B两点，过A作直线1：x=一的垂线，垂足为D, 过F且与直线AB垂直的直线交I于点E,则( ) D=inn B.AE=AB V√ABP6 VA-BE≥18 第21 五 解析易知0， 由抛物线的定义知AD=AF,A正确. AB≥2p=6,C正确 设AB:x=my+A0W, 3 联立 x=my+2消x可得y2-6y-9=0,易知40， y2=6x, 则y1+y2=6m,yy2=-9,x1+x2=my1+y2)+3=6m2+3, 故1例=+++2=6m+6.当m=0时-》0AM=6,2西 3 3 =3,则AE=3V2,故AEAB,B. 第22 五 解析易知0， 由抛物线的定义知AD=AF,A正确. AB≥2p=6,C正确 设AB:x=my+A0W, 3 联立 x=my+2消x可得y2-6y-9=0,易知40， y2=6x, 则y1+y2=6m,yy2=-9,x1+x2=my1+y2)+3=6m2+3, 故1例=+++2=6m+6.当m=0时-》0AM=6,2西 3 3 =3,则AE=3V2,故AEAB,B. 第22 五 当m=0时，AE=|BE=32,AEBE= +则-2洲 故1EF=9+9m7,SEB=2A-1 BEsin∠ 6V9+9m2>9, 18 则A-B1sin4AEB >18. 上，AEBE≥18，D正确.故选ACD 当m=0时，AE=|BE=32,AEBE= +则-2洲 故1EF=9+9m7,SEB=2A-1 BEsin∠ 6V9+9m2>9, 18 则A-B1sin4AEB >18. 上，AEBE≥18，D正确.故选ACD 18,当m≠0时，EF:x=一 An=1r=支6r2+ 第23 丙 18,当m≠0时，EF:x=一 An=1r=支6r2+ 第23 丙 x22 4.【多选题】(2025全国Ⅱ卷)双出线(C:分一方=1(u0,b0的左、 右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以FF2为直径的圆与 C的条新近线交于M,N两点，只上心M=,则( y人AMA:=g B.MA1=2MA2 /C的离心率为V3 D/当a=V2时，四边形NAMA2的面积为83 第24 五 x22 4.【多选题】(2025全国Ⅱ卷)双出线(C:分一方=1(u0,b0的左、 右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以FF2为直径的圆与 C的条新近线交于M,N两点，只上心M=,则( y人AMA:=g B.MA1=2MA2 /C的离心率为V3 D/当a=V2时，四边形NAMA2的面积为83 第24 五 解析如图，不妨设渐近线为 $$y = \frac { b } { a } x ， M$$ 在第一象限， y 则由 OM=|ON|=c 得 M(a，b)，N(-a，-b)， 故四边形 x $$F _ { 1 }$$ $$A _ { 1 }$$ $$A _ { 2 }$$ $$| F _ { 2 }$$ $$N A _ { 1 } M A _ { 2 }$$ 是平行四边形且 $$M A _ { 2 }$$ 和 $$N A _ { 1 }$$ 垂直于x轴，所以 ∠ $$A _ { 1 } M A _ { 2 } = \pi - \angle N A _ { 1 } M = \frac { \pi } { 6 } ，$$ 故A正确； $$\cos \angle A _ { 1 } M A _ { 2 } = \frac { | M A _ { 2 } | } { | M A _ { 1 } | } = \frac { \sqrt 3 } { 2 } ，$$ 得 $$M A _ { 1 } | = \frac { 2 \sqrt 3 } { 3 } | M A _ { 2 } | ，$$ 故 tan∠ $$\angle { A _ { 1 } } M A _ { 2 } = \frac { 2 a } { b } = \frac { 1 } { \sqrt 3 } ，$$ 得 $$e = \frac { c } { a } = \sqrt { 1 + \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } = \sqrt { 1 + \left( 2 \sqrt 3 \right) ^ { 2 } } = \sqrt { 1 3 } ，$$ 故C正确； 易知四边形 $$N A _ { 1 } M A _ { 2 }$$ 的面积 $$S = 2 a b = 4 \sqrt 3 a ^ { 2 } = 8 \sqrt 3 ，$$ 故D正确. 第25 解析 如图，不妨设渐近线为y=名，M在第一象限， 则由OM=OW=c得M(a,b),N(-a,-b),故四边形 X F NAMA2是平行四边形且MA2和NA1垂直于x轴，所以∠ A 1 2 4M4,=元-∠MM-君 故A正确； 山o<n6-给=有1=2.收D: 出amkA1:=8=3得e=名+=+2》=5， 2a1 故C正确； 易知四边形NAMA2的面积S=2ab=4V3a=8V3,故D正确. 第25 而 025天津)双曲线文-总I@心0，b0左、看焦点分别为 F2,以右焦点F2为焦点的抛物线y=2x(p>0)与双曲线在第一象限的交点 为P,若PF1+PF2=3FF2,则双曲线的离心率e=() 2 B.5 V2+1 V5+1 C D. 2 2 第26 5 025天津)双曲线文-总I@心0，b0左、看焦点分别为 F2,以右焦点F2为焦点的抛物线y=2x(p>0)与双曲线在第一象限的交点 为P,若PF1+PF2=3FF2,则双曲线的离心率e=() 2 B.5 V2+1 V5+1 C D. 2 2 第26 5 解析 由题意知c=,圭 的线点，所以抛物线P光 方程为y2=4x.因为P+PF=3FF,1FF=2c,所以PFFO, +PF2=6c,又点P在双曲线上且在第一象限，由双曲线的定义 可得PF1一PF2=2a,所以PF1=3c十a,PF2=3c一a,如图所示，过点 P作抛物线准线的垂线，垂足为P',因为点P在抛物线上，所以PF2=PP =x+c=3c-a,所以xp=2c-a,yp=VPF12-Pp2= (3c十a）2-(3c一a)2=2V3ac,把点P的坐标代入抛物线方程，可得 (2V3ac2=4c(2c-a),化简得。=2.故选A. 第27 五 解析 由题意知c=,圭 的线点，所以抛物线P光 方程为y2=4x.因为P+PF=3FF,1FF=2c,所以PFFO, +PF2=6c,又点P在双曲线上且在第一象限，由双曲线的定义 可得PF1一PF2=2a,所以PF1=3c十a,PF2=3c一a,如图所示，过点 P作抛物线准线的垂线，垂足为P',因为点P在抛物线上，所以PF2=PP =x+c=3c-a,所以xp=2c-a,yp=VPF12-Pp2= (3c十a）2-(3c一a)2=2V3ac,把点P的坐标代入抛物线方程，可得 (2V3ac2=4c(2c-a),化简得。=2.故选A. 第27 五 6·(2025·上海)已知A(0,1), 1(≥1,20)上，则△ABC的面积( y 有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值 C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值 6·(2025·上海)已知A(0,1), 1(≥1,20)上，则△ABC的面积( y 有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值 C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值 B(1,2),C在T:x2-y2= ) 第28 而 B(1,2),C在T:x2-y2= ) 第28 而 解析直线AB:y=x+1,双曲线x2一y2=1的渐近线方 y 程为y=士x,所以直线AB与渐近线y=x平行，如图，当点C 无限趋近于渐近线y=x时，点C到AB的距离越来越小，无 限趋近于直线AB与渐近线y=x之间的距离，故SA:=2 ABd(d为点C到AB的距离)没有最小值；易知当C位于(1，O)时，d取得 最大值，即S△c=)ABd取得最大值. 第29 5 解析直线AB:y=x+1,双曲线x2一y2=1的渐近线方 y 程为y=士x,所以直线AB与渐近线y=x平行，如图，当点C 无限趋近于渐近线y=x时，点C到AB的距离越来越小，无 限趋近于直线AB与渐近线y=x之间的距离，故SA:=2 ABd(d为点C到AB的距离)没有最小值；易知当C位于(1，O)时，d取得 最大值，即S△c=)ABd取得最大值. 第29 5 7.(2024全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为F1(0,4),F2(0,一 4),点（一6,4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( A.4 B.3 2 D.V2 解析设P(一6,4)，连接PF1,PF2, 因为F1(0,4),F2(0,-4) 点P(-6,4)在该双曲线上，所以FF2=8,PF2=V36+(4+4)2=10, c 2c FiF2 P4=6.所以e=a=2apg-Pr=2, 第30 五 7.(2024全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为F1(0,4),F2(0,一 4),点（一6,4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( A.4 B.3 2 D.V2 解析设P(一6,4)，连接PF1,PF2, 因为F1(0,4),F2(0,-4) 点P(-6,4)在该双曲线上，所以FF2=8,PF2=V36+(4+4)2=10, c 2c FiF2 P4=6.所以e=a=2apg-Pr=2, 第30 五 82021天津)没有线-产=1a00带东、右忘分为 F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PFF2是面积为8的 直角三角形，则双曲线的方程为( ) =1 B. 81 ,2 三1 第31 五 82021天津)没有线-产=1a00带东、右忘分为 F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PFF2是面积为8的 直角三角形，则双曲线的方程为( ) =1 B. 81 ,2 三1 第31 五 解析 设PFi=m,PF2=n,m,n>0, 则m一n=2a, 因为△PFF2是面积为8的直角三角形，直线PF2的斜率为2，所以 m+r=(2aP=4,mm=8,tam∠FFP=份=2.所以m=2n, m=2n, m=4V2, m=8,解得1n=22, 联立1 解得 所以2a=m-n=2V2,即a=V2, 所以4c2=m2+n2=40,即c2=10,所以b2=c2-a2=10-2=8,所以 双有线的方程为-8=1 第32 五 解析 设PFi=m,PF2=n,m,n>0, 则m一n=2a, 因为△PFF2是面积为8的直角三角形，直线PF2的斜率为2，所以 m+r=(2aP=4,mm=8,tam∠FFP=份=2.所以m=2n, m=2n, m=4V2, m=8,解得1n=22, 联立1 解得 所以2a=m-n=2V2,即a=V2, 所以4c2=m2+n2=40,即c2=10,所以b2=c2-a2=10-2=8,所以 双有线的方程为-8=1 第32 五 9. 【多选题】(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线 ( C上动点.过P作oA:x2+y-4)2=1的一条 的垂线，垂足为B.则( ) /1与oA相切 当P,A,B三点共线时，PQ=V15 C.当PB=2时，PAL AB 以 满足PA=PB的点P有且仅有2个 9. 【多选题】(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线 ( C上动点.过P作oA:x2+y-4)2=1的一条 的垂线，垂足为B.则( ) /1与oA相切 当P,A,B三点共线时，PQ=V15 C.当PB=2时，PAL AB 以 满足PA=PB的点P有且仅有2个 :y2=4x的准线为1，P为 切线，Q为切点.过P作1 第33 而 :y2=4x的准线为1，P为 切线，Q为切点.过P作1 第33 而 解析于A,易知1：x=一1，故1与⊙A相切，A正确； 于B,A(0,4),⊙A的半径=1，当P,A,B三点共线时，P(4, 4), 所以PA=4,P21=VPA2-2=42-12=15,故B正确； 于C,当PB=2时，P(1,2),B(-1,2)或P(1,-2),B(-1, 2),易知PA与AB不垂直，故C错误； 于D,记抛物线C的焦点为F,连接AF,PF,易知F(1,0),由抛 物线定义可知PF=PB,因为PA=PB,所以PA=PF,所以点P在线 段4的4重线上.线度的中运线方#为y一子+只=4-受 代入y2=4x可得y2-16y+30=0,解得y=8士34，易知满足条件的点P 有且仅有两个，故D正确.故选ABD. 第34 解析于A,易知1：x=一1，故1与⊙A相切，A正确； 于B,A(0,4),⊙A的半径=1，当P,A,B三点共线时，P(4, 4), 所以PA=4,P21=VPA2-2=42-12=15,故B正确； 于C,当PB=2时，P(1,2),B(-1,2)或P(1,-2),B(-1, 2),易知PA与AB不垂直，故C错误； 于D,记抛物线C的焦点为F,连接AF,PF,易知F(1,0),由抛 物线定义可知PF=PB,因为PA=PB,所以PA=PF,所以点P在线 段4的4重线上.线度的中运线方#为y一子+只=4-受 代入y2=4x可得y2-16y+30=0,解得y=8士34，易知满足条件的点P 有且仅有两个，故D正确.故选ABD. 第34 10.(2023·新高考I卷)设椭圆C1: x 离心率分别为e1,e.若e2=V3e1,则a=( B.v2 C.3 D.V6 解析 =。1=月-6： 选A. 10.(2023·新高考I卷)设椭圆C1: x 离心率分别为e1,e.若e2=V3e1,则a=( B.v2 C.3 D.V6 解析 =。1=月-6： 选A. 2=lel.Ga:fty=1的 ) }2=9按 e1= 第35 丙 2=lel.Ga:fty=1的 ) }2=9按 e1= 第35 丙 2023全国乙卷，义改1，B为双曲线-。=1上两点，下列恤 个点中，可为线段AB中点的是( A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D/(-1,-4) 解析 十2，h十2 设A01,),B(x2,),AB的中点为M,则M2, 2 由选项排除M在坐标轴上的情况，设原点为O,连接O,设直线 OM的斜率为k, y1+y2 可科刘器 2=y十2 x1十2x1+x2 2 第36 五 2023全国乙卷，义改1，B为双曲线-。=1上两点，下列恤 个点中，可为线段AB中点的是( A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D/(-1,-4) 解析 十2，h十2 设A01,),B(x2,),AB的中点为M,则M2, 2 由选项排除M在坐标轴上的情况，设原点为O,连接O,设直线 OM的斜率为k, y1+y2 可科刘器 2=y十2 x1十2x1+x2 2 第36 五 好- 9 因为A,B在双曲线上，则 两式相减得-g-片，=0 6=1 所以无粉看= 三9 x1一X2 对于A,可得k=1,k4B=9,则直线AB:y=9x一8， y=9x-8, 联立 消去y得72x2一2×72x+73=0, 91, 此时=（一2×72）2-4×72×73=一288<0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故错误； 第37 五 好- 9 因为A,B在双曲线上，则 两式相减得-g-片，=0 6=1 所以无粉看= 三9 x1一X2 对于A,可得k=1,k4B=9,则直线AB:y=9x一8， y=9x-8, 联立 消去y得72x2一2×72x+73=0, 91, 此时=（一2×72）2-4×72×73=一288<0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故错误； 第37 五 对于B,可得=-2.=》 95 则直线AB:y=一2x一2 95 y= -2-2 联立 消去y得45x2+2×45x+61=0, =1, 9 此时=(2×45)2-4×45×61=-4×45×16<0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故错误； 第38 5 对于B,可得=-2.=》 95 则直线AB:y=一2x一2 95 y= -2-2 联立 消去y得45x2+2×45x+61=0, =1, 9 此时=(2×45)2-4×45×61=-4×45×16<0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故错误； 第38 5 对于C,可得k=3,k4B=3,则直线AB:y=3x, 由双曲线方程可得a=1,b=3,则直线AB:y=3x为双曲线的一条 近， 所以直线AB与双曲线没有交点，故错误： 对于D,=4.如-}直线1：=景-子 = 9 7 - 4 联立 消去y得63x2+126x一193=0， 9=L, 此时=1262+4×63×193>0，故直线AB与双曲线有两个交点，故正 确.故选D. 第39 五 对于C,可得k=3,k4B=3,则直线AB:y=3x, 由双曲线方程可得a=1,b=3,则直线AB:y=3x为双曲线的一条 近， 所以直线AB与双曲线没有交点，故错误： 对于D,=4.如-}直线1：=景-子 = 9 7 - 4 联立 消去y得63x2+126x一193=0， 9=L, 此时=1262+4×63×193>0，故直线AB与双曲线有两个交点，故正 确.故选D. 第39 五 12.(2023·全国甲卷， 为原点，P为椭圆上一点， A号 c 12.(2023·全国甲卷， 为原点，P为椭圆上一点， A号 c 理已知精写+后=1,5：为商个你，0 Os4EP 则PO1=( D 2 第40 而 理已知精写+后=1,5：为商个你，0 Os4EP 则PO1=( D 2 第40 而 解析 因为PF1+|PF2=2a=6①，IPF12+PF2-2 PFPE2cos∠ FPF=FF, 即P2+P-PP=122,联立①2，粥行PP1=5, PF2+P22=21, 而元=P+P),所以P0=0=P元+ =分响+风+啦=321+2-0放选 B 第41 解析 因为PF1+|PF2=2a=6①，IPF12+PF2-2 PFPE2cos∠ FPF=FF, 即P2+P-PP=122,联立①2，粥行PP1=5, PF2+P22=21, 而元=P+P),所以P0=0=P元+ =分响+风+啦=321+2-0放选 B 第41 13.(2023·新高考 F1,F2,直线y=x十m 积的2倍，则m=( 4写 V-9 13.(2023·新高考 F1,F2,直线y=x十m 积的2倍，则m=( 4写 V-9 Ⅱ卷)己知椭圆 C:3+=1的左、右焦点分别为 与C交于A,B两点，若△FAB的面积是△F2AB面 ) B 2 3 D -3 第42 而 Ⅱ卷)己知椭圆 C:3+=1的左、右焦点分别为 与C交于A,B两点，若△FAB的面积是△F2AB面 ) B 2 3 D -3 第42 而 y=x+m, 解析 +2=1, 联立x2 消y可得4x2+6x+3m一3=0，易知m≠0， 由>0，得m2<4,且m0.设F1到直线AB的距离为d,F,到直线AB的 a为，H5(2,0.2,0.则2，=Z现 2 S△FAB 叶专2，m=或2去放选了 S△F2AB-V2+m 第43 五 y=x+m, 解析 +2=1, 联立x2 消y可得4x2+6x+3m一3=0，易知m≠0， 由>0，得m2<4,且m0.设F1到直线AB的距离为d,F,到直线AB的 a为，H5(2,0.2,0.则2，=Z现 2 S△FAB 叶专2，m=或2去放选了 S△F2AB-V2+m 第43 五 4.(2025:海春季高考)已知双曲线了 2一6二2=1(>0)的左、右焦点 分别为F1,F2,过F2且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A,延 长AF2至B,使得AB=AF1.若△BFF2的面积为3V6,则a的值为 V3 解析1 如图，由题意得，FF2=2/a2+6-a=26, A 由双曲线的定义知，AF1-AF2=AB|-AF2=|BF2=2a, XF2 :5a以：=2B95m5=36.·2ax26岁=7 36,解得a=3. 第44 五 4.(2025:海春季高考)已知双曲线了 2一6二2=1(>0)的左、右焦点 分别为F1,F2,过F2且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A,延 长AF2至B,使得AB=AF1.若△BFF2的面积为3V6,则a的值为 V3 解析1 如图，由题意得，FF2=2/a2+6-a=26, A 由双曲线的定义知，AF1-AF2=AB|-AF2=|BF2=2a, XF2 :5a以：=2B95m5=36.·2ax26岁=7 36,解得a=3. 第44 五 x22 15.(2024·新课标I卷)设双曲线(C:之-方京=1(a>0,b>0)的左、右焦 点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点，若FA 3 =13,AB=10,则C的离心率为 2 解析 由题意知，FA=13,4=AB=5, 所以4-2A=2a=8,解得a=4.又当x=c时，y=±a,即24 b2 =5, 所以b2=5a=20,所以c2=a2+b2=16+20=36,所以c=6,所以双 曲线C的离心率为e=￡=3 a 2 第45 x22 15.(2024·新课标I卷)设双曲线(C:之-方京=1(a>0,b>0)的左、右焦 点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点，若FA 3 =13,AB=10,则C的离心率为 2 解析 由题意知，FA=13,4=AB=5, 所以4-2A=2a=8,解得a=4.又当x=c时，y=±a,即24 b2 =5, 所以b2=5a=20,所以c2=a2+b2=16+20=36,所以c=6,所以双 曲线C的离心率为e=￡=3 a 2 第45 16.(2024·天津)x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p>0) 4 的焦点 5 上重解析1为柄委校的凰控鋆线了0)的焦点.F亚 -1)+=25,得 合，：1,0，·p=2,少广=4，联这=4， x=4, y=4 x三4， 或 y=-4, 阳对称性不令A4,4,:直线AF的方程为=4=，4 即4x-3-4=0,原点到直线4F的距离为d=4平+(-3》=5 -4 第46 16.(2024·天津)x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p>0) 4 的焦点 5 上重解析1为柄委校的凰控鋆线了0)的焦点.F亚 -1)+=25,得 合，：1,0，·p=2,少广=4，联这=4， x=4, y=4 x三4， 或 y=-4, 阳对称性不令A4,4,:直线AF的方程为=4=，4 即4x-3-4=0,原点到直线4F的距离为d=4平+(-3》=5 -4 第46 17.(2024·上海)已知抛物线y2=4x上有一点P到准线的距离为 9，那么点P到x轴的t离为 解析由y2=4x知抛物线的准线方程为x=一1，设点P(xo,yo),由 题意得xo+1=9,解得x=8,代入抛物线方程y2=4x,得=32，解得 o=±4V2,则点P到x轴的距离为42. 第47 而 17.(2024·上海)已知抛物线y2=4x上有一点P到准线的距离为 9，那么点P到x轴的t离为 解析由y2=4x知抛物线的准线方程为x=一1，设点P(xo,yo),由 题意得xo+1=9,解得x=8,代入抛物线方程y2=4x,得=32，解得 o=±4V2,则点P到x轴的距离为42. 第47 而 18.(2023·全国乙卷，文)已知点A(1,5)在抛物线C:y=2x上， 9 口A到C的准线的距离为4 解析由题意可得(V5)2=2p×1,则2p=5,抛物线的方程为y2=5x, 准线方程为=-则点1到C的准线的距离为1---？ 第48 而 18.(2023·全国乙卷，文)已知点A(1,5)在抛物线C:y=2x上， 9 口A到C的准线的距离为4 解析由题意可得(V5)2=2p×1,则2p=5,抛物线的方程为y2=5x, 准线方程为=-则点1到C的准线的距离为1---？ 第48 而 19.(2023新高考I卷)已知双曲线C:2一分=1(a0,b0)的左、有 焦点分别为1，b,点A作C上，点作y轴上，1，=-， 35 则C的离心率为 5 解析 方法一：设A(xo,o,B(0,),由F(-C,0),F2(C,0),F2A 我 得==-3：L应=贷小c3 --0-5,西醇按-1签--1 第49 万 19.(2023新高考I卷)已知双曲线C:2一分=1(a0,b0)的左、有 焦点分别为1，b,点A作C上，点作y轴上，1，=-， 35 则C的离心率为 5 解析 方法一：设A(xo,o,B(0,),由F(-C,0),F2(C,0),F2A 我 得==-3：L应=贷小c3 --0-5,西醇按-1签--1 第49 万 .25c2b2-16c2a2=9a2b2,·25c2(c2-a2)-16ac2=9a2(c2-a2),25c4 -50ac2+9a=0,(5c2-9a2)(5c2-a2)=0, =或舍e-5 方法二：易知点A在右支上.设AF2=2m(m>0),∠F1AF2=0,BF2 =3m=BF1,AF1=2a+2m, 在Rt△4BF1中，9m2+(2a+2m)2=25m2→(a+3m)(a-m)=0→a=m, :4=4a,AF3=2a,cos6= _16a2+4a2-4c2_AF1_4 2×4a×2a =的=e=8 3V5 5 第50 万 .25c2b2-16c2a2=9a2b2,·25c2(c2-a2)-16ac2=9a2(c2-a2),25c4 -50ac2+9a=0,(5c2-9a2)(5c2-a2)=0, =或舍e-5 方法二：易知点A在右支上.设AF2=2m(m>0),∠F1AF2=0,BF2 =3m=BF1,AF1=2a+2m, 在Rt△4BF1中，9m2+(2a+2m)2=25m2→(a+3m)(a-m)=0→a=m, :4=4a,AF3=2a,cos6= _16a2+4a2-4c2_AF1_4 2×4a×2a =的=e=8 3V5 5 第50 万 20.2022全国甲卷，文)双曲线C:-=1(0,h0)的离心率为 e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点的e的一个值 2(1,V5]内的任意值均可) 解析 双山线C的新近线方程为=，若直线y=2与双曲线C 元公火点则2女多4，-示=1+，又e1.e1,商 ·填写(1，/5]内的任意均可. 第51 五 20.2022全国甲卷，文)双曲线C:-=1(0,h0)的离心率为 e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点的e的一个值 2(1,V5]内的任意值均可) 解析 双山线C的新近线方程为=，若直线y=2与双曲线C 元公火点则2女多4，-示=1+，又e1.e1,商 ·填写(1，/5]内的任意均可. 第51 五 (二) x2 s好国E茶知限CT3白Oh0函离E为 下顶点为A,右顶点为B,AB=V10. (1)求C的方程； a+b2=10,a2+b2=10, 解析 0应e-。21-- i散C的号+= 第52 五 (二) x2 s好国E茶知限CT3白Oh0函离E为 下顶点为A,右顶点为B,AB=V10. (1)求C的方程； a+b2=10,a2+b2=10, 解析 0应e-。21-- i散C的号+= 第52 五 (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足APAR= 3. (i)设P(m,n),求R的坐标（用m,n表示）； (ⅱ)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线 OP解标率解设(82的最头卸，一1)，P(m,n), :=(m,n十1)，A=(,%十1)， :R在射线AP上，且APAR=3, :.P.A=3,·.mxo+(n十1)yo=2-n①， 第53 5 (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足APAR= 3. (i)设P(m,n),求R的坐标（用m,n表示）； (ⅱ)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线 OP解标率解设(82的最头卸，一1)，P(m,n), :=(m,n十1)，A=(,%十1)， :R在射线AP上，且APAR=3, :.P.A=3,·.mxo+(n十1)yo=2-n①， 第53 5 n+1 易知AP:y=mx-1,:R在射线AP上， n+1 %=mo-1→(0n+1xo一myo=m②， 3m x0= m+(n+1)2, 联立①②解得 -m2-n2+n+2 =7+(n十1 02 3m -m2-n2+n+2 即1八r+(n+1)” m2+(n+1)2 n+1 易知AP:y=mx-1,:R在射线AP上， n+1 %=mo-1→(0n+1xo一myo=m②， 3m x0= m+(n+1)2, 联立①②解得 -m2-n2+n+2 =7+(n十1 02 3m -m2-n2+n+2 即1八r+(n+1)” m2+(n+1)2 第54 页 第54 页 -m2-n2+n+2 (i)设k1=koR= 3m :3k2=k1, 3n_-m2-72+n+2 3m 化简得m2+(n+4)2=18, m ·P的轨迹为以H(0,一4)为圆心，=32为半径的圆（除去与y轴的 交点)，连接QH, 设Q(x1,y1),则x=9-9yi,·|P2max=|OHmax十r=1Vx好+(y1+4)2 +32 =V9-9+1+8y+16+3V2=V-8y+8y1+25+3V2, 当M=2时，1 POlm=3V3+3V2. 第55 5 -m2-n2+n+2 (i)设k1=koR= 3m :3k2=k1, 3n_-m2-72+n+2 3m 化简得m2+(n+4)2=18, m ·P的轨迹为以H(0,一4)为圆心，=32为半径的圆（除去与y轴的 交点)，连接QH, 设Q(x1,y1),则x=9-9yi,·|P2max=|OHmax十r=1Vx好+(y1+4)2 +32 =V9-9+1+8y+16+3V2=V-8y+8y1+25+3V2, 当M=2时，1 POlm=3V3+3V2. 第55 5 22025全国Ⅱ卷)园：+点= 轴长为4. (1)求C的方程； 解析( r2=4,e=8=2, 2 :a=2,c=V2,b=V2-c2=V2, 22025全国Ⅱ卷)园：+点= 轴长为4. (1)求C的方程； 解析( r2=4,e=8=2, 2 :a=2,c=V2,b=V2-c2=V2, 1〔a6-0)的离心室为2，长 第56 页 1〔a6-0)的离心室为2，长 第56 页 (2)过点(0，一2)的直线1与C交于A,B两点，O为坐标原点.若△OAB 的面积为2，求ABL, 解析(2)易知直线1的斜率存在且不为0，则设直线1：y=一2，与 C联立消v得+，2》 =1,整理为(22+1)x2一8x十4=0，由=322 2 -160,得2号，设A,B的横坐标分别为，，点(0，-2)为点户，则 8k 4 1+=2k2+1x2=22+1' 第57 5 (2)过点(0，一2)的直线1与C交于A,B两点，O为坐标原点.若△OAB 的面积为2，求ABL, 解析(2)易知直线1的斜率存在且不为0，则设直线1：y=一2，与 C联立消v得+，2》 =1,整理为(22+1)x2一8x十4=0，由=322 2 -160,得2号，设A,B的横坐标分别为，，点(0，-2)为点户，则 8k 4 1+=2k2+1x2=22+1' 第57 5 Sxow=Sa4p--Scow-2OPF-kl-OP=x, 2=-r=t-4=j2群2-246 8k2_16_16(22-1) 22+1)2, 解得2=，满足4小0，则A=1+-=1+2×2=5 第58 五 Sxow=Sa4p--Scow-2OPF-kl-OP=x, 2=-r=t-4=j2群2-246 8k2_16_16(22-1) 22+1)2, 解得2=，满足4小0，则A=1+-=1+2×2=5 第58 五 05天津)已知椭圆2十A2=1(ab0)的左焦点为D,右顶 P为直线=a上一点，且直线P的斜率为，WA的面积为，离心率 为2 (1)求椭圆的方程； 解析()：PF的斜率为3 PA =M,i.Som==(a+o= 得a十c=3, 十÷Q=20】则h三3、：椭圆的方得珍 第59 五 05天津)已知椭圆2十A2=1(ab0)的左焦点为D,右顶 P为直线=a上一点，且直线P的斜率为，WA的面积为，离心率 为2 (1)求椭圆的方程； 解析()：PF的斜率为3 PA =M,i.Som==(a+o= 得a十c=3, 十÷Q=20】则h三3、：椭圆的方得珍 第59 五 (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A),求证：PF平分 ∠AFB. 解析 (2)证明：由(1)知(-1,0)，则P:=x+1),:P2,1), 易知直线PB的斜率存在，设PB:y-1=k(x一2)， y-1=k(x-2), 得(42+3)x2-8k(2k-1)x+8(22-2k-1)=0, :PB与椭圆仅有一个交点， ÷4=642k-1-32(4K+3)2-2-10=0,解得飞=一 第60 (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A),求证：PF平分 ∠AFB. 解析 (2)证明：由(1)知(-1,0)，则P:=x+1),:P2,1), 易知直线PB的斜率存在，设PB:y-1=k(x一2)， y-1=k(x-2), 得(42+3)x2-8k(2k-1)x+8(22-2k-1)=0, :PB与椭圆仅有一个交点， ÷4=642k-1-32(4K+3)2-2-10=0,解得飞=一 第60 -8k(2k-1) XB=一 3 2(42+3) =1,则%=2 4A1,引 3 2 :直线BF的斜率为1-(-1) 3 4 、.1 2×3 .tan2∠PFA= 1- 三P·LAFB=2 即PF平分∠AFB. -8k(2k-1) XB=一 3 2(42+3) =1,则%=2 4A1,引 3 2 :直线BF的斜率为1-(-1) 3 4 、.1 2×3 .tan2∠PFA= 1- 三P·LAFB=2 即PF平分∠AFB. PFA, 第61 页 PFA, 第61 页 2025E海已知椭园T十长=e5.M0,mm>0,.A吴 的右顶点 (1)若T的一个焦点是(2,0)，求T的离心率e: 解析(1)由已知得a2-5=22,所以a2=9. 所以a=3,又c=2, 所以=子 第62 五 2025E海已知椭园T十长=e5.M0,mm>0,.A吴 的右顶点 (1)若T的一个焦点是(2,0)，求T的离心率e: 解析(1)由已知得a2-5=22,所以a2=9. 所以a=3,又c=2, 所以=子 第62 五 (2)若a=4,且T上存在一点P,满足PA=2,求m的值： 解析 Q当a=4H,:6+号-1.则4,0 记0为坐标原点，连接OP,因为PA=2M亦，所以OA-O永=2(O市 .则苏=i+号=4,0+0，m网=任，mP3m 又P在厂上，所以 三1 又m>0, 所以m=/10. 第63 五 (2)若a=4,且T上存在一点P,满足PA=2,求m的值： 解析 Q当a=4H,:6+号-1.则4,0 记0为坐标原点，连接OP,因为PA=2M亦，所以OA-O永=2(O市 .则苏=i+号=4,0+0，m网=任，mP3m 又P在厂上，所以 三1 又m>0, 所以m=/10. 第63 五 (3)若线段AM的垂直平分线1的斜率为2,1与T交于C,D两 点，∠CD为钝角，求α的取值范围. 解析(3)设C(x1,y1),Dx2,2),由题知A(a,0),M(0,m),则kM 故=州=2.即a=2m m 市线1过线段1的中点号到即，罗则：一罗=2-m 3 3 y=2x一2m, 即1：y=2x-2m,联立 =1, 消去y得(5+16m2)x2-24m3x+9m4-20m2=0,=1100m4+400m2> 9m4-20m2 24m3 0,则x2=5+16m,1+2=5+16r 第64 五 (3)若线段AM的垂直平分线1的斜率为2,1与T交于C,D两 点，∠CD为钝角，求α的取值范围. 解析(3)设C(x1,y1),Dx2,2),由题知A(a,0),M(0,m),则kM 故=州=2.即a=2m m 市线1过线段1的中点号到即，罗则：一罗=2-m 3 3 y=2x一2m, 即1：y=2x-2m,联立 =1, 消去y得(5+16m2)x2-24m3x+9m4-20m2=0,=1100m4+400m2> 9m4-20m2 24m3 0,则x2=5+16m,1+2=5+16r 第64 五 -15m -275m2 易得h+2=5十16m2,2=4(5+16m2) 由∠CMD为钝角知，M元M=(x1,y1一m)(2,y2一m)=x+(y1一 -275m2 一m)=x2十y2-m01干2干m=5+6 9m202十4(5+16m2) m+1+之-0g+1 -15m <0, 即254m-1lmi0,又m0,所以0m, 又a=2m,且a>5,所以5<a<V11, 故a的取值范围为(V5,V11), 第65 五 -15m -275m2 易得h+2=5十16m2,2=4(5+16m2) 由∠CMD为钝角知，M元M=(x1,y1一m)(2,y2一m)=x+(y1一 -275m2 一m)=x2十y2-m01干2干m=5+6 9m202十4(5+16m2) m+1+之-0g+1 -15m <0, 即254m-1lmi0,又m0,所以0m, 又a=2m,且a>5,所以5<a<V11, 故a的取值范围为(V5,V11), 第65 五 5.(2024新课标I卷)已知A(0,3 上两点. (1)求C的离心率； b=3, 解析 血意得昙+= 9 1- 9 =2 5.(2024新课标I卷)已知A(0,3 上两点. (1)求C的离心率； b=3, 解析 血意得昙+= 9 1- 9 =2 和P3.》辆因c芳+后=160 「b2=9, 解得 1a2=12, 所以=i- 第66 页 和P3.》辆因c芳+后=160 「b2=9, 解得 1a2=12, 所以=i- 第66 页 (2)若过P的直线I交C于另一点B,且△ABP的面积为9，求1的 方程解析(2)方法一：（数形结合，多想少算） 设D0,一3)，O为原点，连接PD,连接PO并延长 交椭圆C于E,连接AE,如图， 则-3， :5aw-3×3=号，589=24w=9,Saw=2Sa0r=9 又S△Bp=9,所以当点B与D或E重合时，△4BP的面积为9. 第67 五 (2)若过P的直线I交C于另一点B,且△ABP的面积为9，求1的 方程解析(2)方法一：（数形结合，多想少算） 设D0,一3)，O为原点，连接PD,连接PO并延长 交椭圆C于E,连接AE,如图， 则-3， :5aw-3×3=号，589=24w=9,Saw=2Sa0r=9 又S△Bp=9,所以当点B与D或E重合时，△4BP的面积为9. 第67 五 因为A=35 所以椭圆C上点B到直线AP的距离为5 12 , 易知满 足题意的点B最多只有两个， 所以点B只有两个，为D或E A 3 直线PD的方程为y=-3,即3r-2y-6= 0. 直线1PE的方程为y=2,即x-2=0 所以直线1的方程为3x一2y一6=0或x一2y=0. 第68 5 因为A=35 所以椭圆C上点B到直线AP的距离为5 12 , 易知满 足题意的点B最多只有两个， 所以点B只有两个，为D或E A 3 直线PD的方程为y=-3,即3r-2y-6= 0. 直线1PE的方程为y=2,即x-2=0 所以直线1的方程为3x一2y一6=0或x一2y=0. 第68 5 3 3- 2 方法二：飞=0-3 1 则直线P的方程为=2+3.即x+ 2y-6=0, w-0-》+-孚-5电0踟c:5+号l 2×912V5 设点B到直线AP的距离为d,则d= 3/55 2 厕将直线4AP沿着与AP垂直的向平移个单位长度即可 此时该平行线与椭圆的交点即为点B, 第69 五 3 3- 2 方法二：飞=0-3 1 则直线P的方程为=2+3.即x+ 2y-6=0, w-0-》+-孚-5电0踟c:5+号l 2×912V5 设点B到直线AP的距离为d,则d= 3/55 2 厕将直线4AP沿着与AP垂直的向平移个单位长度即可 此时该平行线与椭圆的交点即为点B, 第69 五 设该平行线的方程为x+2y+m=0(m≠一6)， 则m+=125 λ5 解得m=6或m=-18, 当m=6.发+亏1 x+2y+6=0, x=-3, 解得 即0.-3减-3，-引 第70 五 设该平行线的方程为x+2y+m=0(m≠一6)， 则m+=125 λ5 解得m=6或m=-18, 当m=6.发+亏1 x+2y+6=0, x=-3, 解得 即0.-3减-3，-引 第70 五 3 3 当B(0,一3)时，=)，直线1的方程为y=x-3,即3x-2y-6=0, 当-3，引时，所=2：白线1的方程为=，即x-2=0, 当m=-8.数信+号1. 得2y2-27y+117=0, x+2y-18=0, 4=272一4×2×117=一207<0，此时该直线与椭圆无交点. 综上，直线1的方程为3x-2y-6=0或x一2y=0, 第71 五 3 3 当B(0,一3)时，=)，直线1的方程为y=x-3,即3x-2y-6=0, 当-3，引时，所=2：白线1的方程为=，即x-2=0, 当m=-8.数信+号1. 得2y2-27y+117=0, x+2y-18=0, 4=272一4×2×117=一207<0，此时该直线与椭圆无交点. 综上，直线1的方程为3x-2y-6=0或x一2y=0, 第71 五 62021全国甲卷L知椭图c:+茶=le 2 w1,引 在椭圆C上，且MF1x轴. (1)求椭圆C的方程； 设rC,,田题骏知c=】的 3 解析 2 故b=V3, 故同方程为+=1. 62021全国甲卷L知椭图c:+茶=le 2 w1,引 在椭圆C上，且MF1x轴. (1)求椭圆C的方程； 设rC,,田题骏知c=】的 3 解析 2 故b=V3, 故同方程为+=1. b>0)的右焦点为F,点 拟后= 故a=2, 第72 页 b>0)的右焦点为F,点 拟后= 故a=2, 第72 页 (2)过点P(4,O)的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中 点，直线NB与直线M交于点Q,证明：AQ⊥y轴. 解析(2)证明：方法一：由题意知直线AB的斜率必定存在，设AB: y=k(x-4),A(x1,y1),B(x2,y2), 由 3x+4=12, 可得(3+422-322x+642-12=0,故=1 y=k(x-4), 024g-43+464g-12-0,放k2 322 64K2-12 则x+x2=3十42，x=3+42 1 第73 五 (2)过点P(4,O)的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中 点，直线NB与直线M交于点Q,证明：AQ⊥y轴. 解析(2)证明：方法一：由题意知直线AB的斜率必定存在，设AB: y=k(x-4),A(x1,y1),B(x2,y2), 由 3x+4=12, 可得(3+422-322x+642-12=0,故=1 y=k(x-4), 024g-43+464g-12-0,放k2 322 64K2-12 则x+x2=3十42，x=3+42 1 第73 五 而0易知 故直线BN:y= 2 5 X2一 2 -3y2 2x2-51 32.=h×（2x2-5)+32 所以-Q=y1千2，=5 2x2-5 k(x1-4)×(2x2-5)+3k(x2-4) 2x2-5 而0易知 故直线BN:y= 2 5 X2一 2 -3y2 2x2-51 32.=h×（2x2-5)+32 所以-Q=y1千2，=5 2x2-5 k(x1-4)×(2x2-5)+3k(x2-4) 2x2-5 3 -22 故yg- 二 5 X2一 -2 第74 页 3 -22 故yg- 二 5 X2一 -2 第74 页 2x1x2一5（x1+x2)+8 三kX 2x2-5 642-12.,322 21 +42 -5×3+42+8 三kX一 2x2-5 1282-24-1602+24+32 3+4k2 -kX- =0, 2x2-5 故y1=yo,即AQ1y轴. 2x1x2一5（x1+x2)+8 三kX 2x2-5 642-12.,322 21 +42 -5×3+42+8 三kX一 2x2-5 1282-24-1602+24+32 3+4k2 -kX- =0, 2x2-5 故y1=yo,即AQ1y轴. 第75 而 第75 而 方法二：A(x1,),B(x2,2),A=PB,易知≠±1，且0， x十2=4， 2x2=4+42一x1, 1+2 则 即 ① y2=一y1, y1+y2 1+入 0, 3x7+4斤=12， 又由 3()2+4()2=122, 可得3中货+4中二公=2 1+元1-2 ② 第76 五 方法二：A(x1,),B(x2,2),A=PB,易知≠±1，且0， x十2=4， 2x2=4+42一x1, 1+2 则 即 ① y2=一y1, y1+y2 1+入 0, 3x7+4斤=12， 又由 3()2+4()2=122, 可得3中货+4中二公=2 1+元1-2 ② 第76 五 结合①②可得5元一2x2+3=0, 又4.0.1.0.则N对尽0易知2 则i线m的方程为-0=2-》 X2一2 由MFLx轴，直线NB与直线MF交于2，知xo=1, 32= 31y2 故y0=5-2x251.-212 =-2=y,故AQ1y轴. 第77 五 结合①②可得5元一2x2+3=0, 又4.0.1.0.则N对尽0易知2 则i线m的方程为-0=2-》 X2一2 由MFLx轴，直线NB与直线MF交于2，知xo=1, 32= 31y2 故y0=5-2x251.-212 =-2=y,故AQ1y轴. 第77 五 2024京已知附圆十名三(@>0.以圆的焦点 轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0，)(1>V2)且斜率存 在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与 椭圆E的另一个交点为D. (1)求椭圆E的方程及离心率； 2=2,故d=b2+c2=4,解得a=2, 2 解析(1)由题意可知b=c= 所以精时万的为 2=1,离心率为e=2 第78 五 2024京已知附圆十名三(@>0.以圆的焦点 轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0，)(1>V2)且斜率存 在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与 椭圆E的另一个交点为D. (1)求椭圆E的方程及离心率； 2=2,故d=b2+c2=4,解得a=2, 2 解析(1)由题意可知b=c= 所以精时万的为 2=1,离心率为e=2 第78 五 (2)若直线BD的斜率为0，求t的值. 解析(2)由题意知直线AB斜率不为0， 设AB:y=x+t(0,V2),A(x1,y1),B(x2,y2), y=kx+t, 联+= 化并整理得(1+22)x2+4K+2P-4=0, 由题意可知，=162r-8(22+1)(2-2)=8(4+2一)>0，即k,t 应满足42十2一2>0， 第79 五 (2)若直线BD的斜率为0，求t的值. 解析(2)由题意知直线AB斜率不为0， 设AB:y=x+t(0,V2),A(x1,y1),B(x2,y2), y=kx+t, 联+= 化并整理得(1+22)x2+4K+2P-4=0, 由题意可知，=162r-8(22+1)(2-2)=8(4+2一)>0，即k,t 应满足42十2一2>0， 第79 五 -4kt 22-4 由韦达定理可知1十x2=1+22,xx2=2+1' 若直线BD斜率为O, D(-x2,y2), 放0：=干这-t合x=0, xy2+2y1_x1（k2+t）+x2(1+t) 0 yc二 x1+x2 x1十2 6任2)+4=子=1.解得=2. -4t -4kt 22-4 由韦达定理可知1十x2=1+22,xx2=2+1' 若直线BD斜率为O, D(-x2,y2), 放0：=干这-t合x=0, xy2+2y1_x1（k2+t）+x2(1+t) 0 yc二 x1+x2 x1十2 6任2)+4=子=1.解得=2. -4t 2kx1x2+t（x1+x2) 二 X1+X2 第80 页 2kx1x2+t（x1+x2) 二 X1+X2 第80 页 8(2024天津已椭阿形+片=10a6:0.养阀的腐心率e=了木顶 点为A,下顶点为B,O为坐标原点，C是线段OB的中点，其中S△4c= 3V3 21 (1)求椭圆方程； 解析 (1)因为椭圆的离心率为e=,枚a=2c,b=V3c,其中c为半 焦距， 所以4(-2e,00,-、.G0.-9胶5=2cx3- x2c=2 放c=5,所以a=23,=3,放梢圆方程为号+与=1 第81 8(2024天津已椭阿形+片=10a6:0.养阀的腐心率e=了木顶 点为A,下顶点为B,O为坐标原点，C是线段OB的中点，其中S△4c= 3V3 21 (1)求椭圆方程； 解析 (1)因为椭圆的离心率为e=,枚a=2c,b=V3c,其中c为半 焦距， 所以4(-2e,00,-、.G0.-9胶5=2cx3- x2c=2 放c=5,所以a=23,=3,放梢圆方程为号+与=1 第81 (2过点0，的动线与粉圆有两个父点P,0,在y镇上个存在 点1使得严⑦s0?若存在，求出点1纵坐标的取值范围；若不存在，请 明理由. 解析(2)若过0。一引时动直线刷斜率存在，则可设该直线方行为 =-..0.小 3x2+4y2=36, 由 =多 可得(3+42)x2-12kx-27=0, 第82 五 (2过点0，的动线与粉圆有两个父点P,0,在y镇上个存在 点1使得严⑦s0?若存在，求出点1纵坐标的取值范围；若不存在，请 明理由. 解析(2)若过0。一引时动直线刷斜率存在，则可设该直线方行为 =-..0.小 3x2+4y2=36, 由 =多 可得(3+42)x2-12kx-27=0, 第82 五 12k 27 易知40，则+=3十42x= 3+42, 而T市=(x,y-),T =(x2,y2-), 故示应=+一60-=心+x-3-小k, =1+xo-+k+)++P =1+-3平e-5+小344e++P -27-27-18-127+3+2+G+20发 3+42 第83 五 12k 27 易知40，则+=3十42x= 3+42, 而T市=(x,y-),T =(x2,y2-), 故示应=+一60-=心+x-3-小k, =1+xo-+k+)++P =1+-3平e-5+小344e++P -27-27-18-127+3+2+G+20发 3+42 第83 五 3+20-12-4+3号+2-27 3+42 (3+2t)2-12t-45≤0， 因为7020.故13号+2-27-0， 解得- 若过点0.引的动片线的斜率不布在， 不妨设P(0,3),Q(0,一3)，T(0,), 则产.Tò=2-9<0，解得-3≤13 综上，行在T使得元=0，点T的纵华标的取值池围是-3， 3-2 第84 3+20-12-4+3号+2-27 3+42 (3+2t)2-12t-45≤0， 因为7020.故13号+2-27-0， 解得- 若过点0.引的动片线的斜率不布在， 不妨设P(0,3),Q(0,一3)，T(0,), 则产.Tò=2-9<0，解得-3≤13 综上，行在T使得元=0，点T的纵华标的取值池围是-3， 3-2 第84 9.(2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（一 2V5,0),离心率为/5 (1)求C的方程； c=2V5, （山H题意知e=会5，h=4 a=2, 解析 c2=a2+b2 ·双曲线C的方程为号。=1 第85 9.(2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（一 2V5,0),离心率为/5 (1)求C的方程； c=2V5, （山H题意知e=会5，h=4 a=2, 解析 c2=a2+b2 ·双曲线C的方程为号。=1 第85 (2)记C的左、右顶点分别为A，A,,过点（一4,0）的直线与C 的左支交于M,N两点，M在第二象限，直线MA,与NA,交于P,证 明：点P在定直线上. 解析（②）证明：由题意设直线MN的方程为x=my M 一4，M(x1,y1),Nx2,2),y1>y2,易知A1(-2,0),A2(2, 0),如图， AO 162w一1-2mpt8=-0.5知 -4 A2 由 -10.ant=A=4m- 32m 48 /N >0, 直线MA,的方程为y=.1, +2十2直线4的为程为)22 2), 第86 (2)记C的左、右顶点分别为A，A,,过点（一4,0）的直线与C 的左支交于M,N两点，M在第二象限，直线MA,与NA,交于P,证 明：点P在定直线上. 解析（②）证明：由题意设直线MN的方程为x=my M 一4，M(x1,y1),Nx2,2),y1>y2,易知A1(-2,0),A2(2, 0),如图， AO 162w一1-2mpt8=-0.5知 -4 A2 由 -10.ant=A=4m- 32m 48 /N >0, 直线MA,的方程为y=.1, +2十2直线4的为程为)22 2), 第86 命+2+2)822-2,2 x+2_y2(1+2)_y2(my1-2） x-2y1(x2-2）y1(my2-6) myy2-2(y1+y2）+2y1 二 myiy2-6y1 48 32m -16m 2y1 m4m2-1-24n2-1+ +2y1 4n2-1 二 48 48m m4n2-1-6y1 4m2-1-6y xp=一1，即点P在定直线x=一1上. 命+2+2)822-2,2 x+2_y2(1+2)_y2(my1-2） x-2y1(x2-2）y1(my2-6) myy2-2(y1+y2）+2y1 二 myiy2-6y1 48 32m -16m 2y1 m4m2-1-24n2-1+ +2y1 4n2-1 二 48 48m m4n2-1-6y1 4m2-1-6y xp=一1，即点P在定直线x=一1上. M 0 -4 A2 ® /N 1 3 返回 M 0 -4 A2 ® /N 1 3 返回