第12讲 直线与椭圆的位置关系（知识详解+10典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（苏教版选修第一册）

第12讲 直线与椭圆的位置关系 （知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线与椭圆的位置关系及判定方法 知识点02：直线与椭圆的弦长公式 知识点03：椭圆的切线方程（直线与椭圆相切） 知识点04：弦中点问题（点差法） 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：讨论椭圆与直线的位置关系 题型02：求椭圆的切线方程 题型03：根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 题型04：求椭圆中的弦长 题型05：椭圆中三角形(四边形)的面积 题型06：椭圆的焦半径与焦点弦问题 题型07：椭圆的中点弦 题型08：椭圆中的参数范围及最值 题型09：椭圆中的定点、定值 题型10：椭圆中的向量问题 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线与椭圆的位置关系及判定方法 椭圆标准方程（焦点在轴）：(a＞b＞0) 设直线方程：（斜率存在型），联立直线与椭圆方程，消去得到关于的一元二次方程：。 令判别式 ，位置关系判定规则： ① ：直线与椭圆相交，有2个不同公共点； ② ：直线与椭圆相切，有1个公共点（切线）； ③ ：直线与椭圆相离，无公共点。 补充：斜率不存在直线，可直接代入椭圆方程判定交点个数。 【例1】判断直线 与椭圆 的位置关系。 【知识点02】直线与椭圆的弦长公式 若直线与椭圆相交于、两点，联立方程得，满足韦达定理： 通用弦长公式（斜率存在）： 斜率不存在时（）： 【例2】求直线 截椭圆 所得的弦长。 【知识点03】椭圆的切线方程（直线与椭圆相切） 针对椭圆 ： 若直线为椭圆切线，联立方程后满足 ，推导得切线条件公式： 过椭圆上一点的切线方程： 【例3】求椭圆 在点 处的切线方程。 【知识点04】弦中点问题（点差法） 已知椭圆，直线交椭圆于，弦中点为，直线斜率为。 点差法核心推导： 两式作差化简得中点斜率公式： 适用场景：已知中点求直线斜率、求直线方程，简化联立计算。 【例4】已知椭圆 的弦中点为 ，求直线的斜率。 【题型01】讨论椭圆与直线的位置关系 【典例1-1】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【变式1-1】直线与椭圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1-2】直线：，椭圆，则直线和椭圆的位置关系是__． 【变式1-3】对不同的实数值，讨论直线与椭圆的位置关系. 【题型02】求椭圆的切线方程 【典例2-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线与椭圆相切，写出一条此直线l方程：_________． 【变式2-1】若方程有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】设椭圆，点在椭圆上，求该椭圆在P处的切线方程______. 【变式2-3】求过椭圆上一点的切线方程． 【题型03】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【典例3-1】已知直线y＝kx+1与焦点在x轴上的椭圆1（b＞0）总有公共点，则b的取值范围是（　  　） A．[1，4） B．（1，+∞） C．[1，+∞） D．[1，2） 【变式3-1】（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知直线的方程为，椭圆的方程为，直线与椭圆没有公共点，则的取值范围是_________. 【变式3-3】已知直线，椭圆.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)相交； (2)相切； (3)相离？ 【题型04】求椭圆中的弦长 【典例4-1】（25-26高二上·江苏南京·期末）过椭圆的一个焦点作长轴的垂线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D．3 【变式4-1】（多选）已知过点的直线与椭圆交于A、B两点，则弦长可能是（   ） A．1 B． C． D．3 【变式4-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C：，，是椭圆C上两点，，则弦长为______． 【变式4-3】（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆方程为与直线方程相交于、两点，求的弦长. 【题型05】椭圆中三角形(四边形)的面积 【典例5-1】已知椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（    ） A．3 B．9 C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·陕西商洛·期中）已知，为椭圆的两个焦点，、为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（    ） A．10 B．8 C．24 D． 【变式5-2】（25-26高二上·江苏南京·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为．若过点且斜率为的直线与交于另一点，则的面积为___________． 【变式5-3】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知椭圆：（）离心率等于且椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，求的面积． 【题型06】椭圆的焦半径与焦点弦问题 【典例6-1】已知椭圆的右焦点为，若过的直线与椭圆交于两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】设是椭圆上的一点，，分别是该椭圆的左、右焦点.若，则点的坐标为______. 【变式6-2】已知动点在椭圆上，过点P作圆的切线，切点为M，则PM的最小值是________ 【变式6-3】（24-25高二上·浙江·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若总存在一条过的直线，使得点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是______. 【题型07】椭圆的中点弦 【典例7-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（多选）（24-25高二上·河北邢台·期末）已知点，若斜率为1的直线与椭圆交于两点，且线段的中点坐标为，点在椭圆上，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为_________． 【变式7-3】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆的焦距为4. (1)求椭圆的方程； (2)设点，直线过且与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，求直线的方程. 【题型08】椭圆中的参数范围及最值 【典例8-1】（24-25高二上·江苏南京·期末）椭圆上任意一点P到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式8-1】已知点P是椭圆上的一点，点，则的最小值为____________. 【变式8-2】（多选）（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆，，为左、右焦点，为上顶点，为椭圆上任一点，则（   ） A．的最大值为 B．的取值范围是 C．存在点使 D．的最大值为 【变式8-3】（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为，一个顶点为H. (1)求椭圆E的标准方程； (2)对于y轴上的点，椭圆E上存在点M，使得，求实数t的取值范围. 【题型09】椭圆中的定点、定值 【典例9-1】已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（多选）已知椭圆，斜率为的直线交椭圆于，两点，存在定点，使得，的斜率之和为定值，则点坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知曲线上的点满足，曲线过点的切线与直线相交于点. (1)求曲线的标准方程； (2)以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【变式9-3】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知椭圆的离心率为，左顶点为. (1)求的标准方程； (2)设、两点在上，且线段的中点为. （i）当时，求直线的方程； （ii）当直线的斜率存在时，证明：直线与直线的斜率之积为定值. 【题型10】椭圆中的向量问题 【典例10-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，，且，椭圆的离心率为，则实数（    ） A． B．2 C． D．3 【变式10-1】焦点在轴上的椭圆，其左、右焦点分别为，，直线经过，且与该椭圆交于，两点，若，且垂直于轴，则______. 【变式10-2】已知椭圆，是长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，且为常数，则椭圆离心率为________. 【变式10-3】（25-26高二上·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，且焦点在轴上． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于两点．若，求的值． 知识点01核心基础模型 本节统一采用焦点在轴上的椭圆标准方程： 直线通用形式：斜率存在；斜率不存在 核心解题思想：联立方程、判别式判定、韦达定理运算、点差法简化 知识点02直线与椭圆的三种位置关系 1. 判定核心方法 将直线与椭圆方程联立，消元得到一元二次方程 ，通过判别式 判定位置关系： ① ：相交，直线与椭圆有2个不同公共点，存在有效弦长； ② ：相切，直线与椭圆有1个公共点，直线为椭圆切线； ③ ：相离，直线与椭圆无公共点。 2. 补充说明 若联立后二次项系数，方程为一次方程，直线与椭圆仅有一个交点，不属于相切，为特殊相交情况。 知识点03弦长与韦达定理核心公式 1. 韦达定理（相交必备） 直线与椭圆相交于，联立方程 ，则： 2. 通用弦长公式 斜率存在时： 斜率不存在（）时： 知识点04椭圆切线核心性质与公式 1. 直线为椭圆切线的充要条件 直线 与椭圆 相切： 2. 椭圆上定点切线方程 若点在椭圆上，则椭圆在该点处的切线方程： 知识点05弦中点问题（点差法核心结论） 1. 适用场景 已知椭圆弦的中点坐标，求弦所在直线斜率、直线方程，规避复杂联立运算，是椭圆高频简化解法。 2. 核心推导与公式 设弦端点，中点，直线斜率为，由点差作差化简得： 3. 适用限制 仅适用于直线与椭圆相交存在中点弦的情况，不可用于相切、相离题型。 知识点06本节知识体系总结 直线与椭圆的位置关系是解析几何核心基础，整体解题逻辑统一：以方程联立为基础，通过判别式判断位置关系，依托韦达定理求解弦长、交点问题，借助点差法快速解决中点弦题型，切线公式为定点求值、求方程提供简便方法。本节所有公式是后续椭圆综合大题、最值问题、范围问题的核心工具。 知识点07高频易错点汇总 1. 联立方程后未验证二次项系数，误将一次方程解判定为相切； 2. 计算弦长时遗漏系数，导致结果出错； 3. 滥用点差法，在相切、相离无中点弦的场景中使用公式； 4. 混淆“椭圆上一点的切线方程”和“椭圆外一点的切线方程”，公式误用； 5. 忽略直线斜率不存在的特殊情况，解题漏解。 一、单选题 1．椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则线段长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·辽宁·期末）已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（   ） A． B． C． D．（2，0） 6．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）已知椭圆，直线不经过点，且斜率为.若与交于两个不同点且直线的倾斜角分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知点是椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于两点，满足，则该椭圆的离心率为（    ） A．1 B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限相交于点．若直线的斜率为，的面积为4，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆:的左右顶点为A、B，点P为椭圆C上异于左右顶点的一点，过点P向轴作垂线，垂足为Q，下列说法正确的有（      ） A． B．存在点P使得 C．当点P运动到短轴端点时最大 D． 10．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，动点在椭圆上，点，下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．过点的直线与椭圆相交于两点，若为弦的中点，则直线的斜率为 C．内切圆半径的最大值为 D．的最大值为 11．（25-26高二上·湖北·期中）椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为上一点，则下列说法正确的是（　　） A．的最大值为2 B．椭圆上存在点，使得 C．过圆上一点向椭圆作切线，切点为、，则 D．过圆上一点作圆的切线，交椭圆于两点，则面积的取值范围是 三、填空题 12．如果直线l：与椭圆C：总有公共点，则实数a的取值范围是______. 13．（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为__________. 14．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是________． 四、解答题 15．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 16．（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆，直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆交于两点. (1)当直线倾斜角为时，求直线的方程； (2)求证：的面积为定值. 17.已知椭圆C：的右焦点为F，斜率不为0的直线l与C交于A，B两点． (1)若是线段AB的中点，求直线l的方程； (2)若直线l经过点（点A在点B，Q之间），直线BF与C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称． 18．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 19．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知动点到定点的距离和它到定直线距离的比是常数． (1)求动点的轨迹； (2)已知不过原点的直线与曲线交于、两点，若直线，直线，直线的斜率成等比数列． ①求直线的斜率； ②记以为直径的圆的面积分别为，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 直线与椭圆的位置关系 （知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线与椭圆的位置关系及判定方法 知识点02：直线与椭圆的弦长公式 知识点03：椭圆的切线方程（直线与椭圆相切） 知识点04：弦中点问题（点差法） 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：讨论椭圆与直线的位置关系 题型02：求椭圆的切线方程 题型03：根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 题型04：求椭圆中的弦长 题型05：椭圆中三角形(四边形)的面积 题型06：椭圆的焦半径与焦点弦问题 题型07：椭圆的中点弦 题型08：椭圆中的参数范围及最值 题型09：椭圆中的定点、定值 题型10：椭圆中的向量问题 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线与椭圆的位置关系及判定方法 椭圆标准方程（焦点在轴）：(a＞b＞0) 设直线方程：（斜率存在型），联立直线与椭圆方程，消去得到关于的一元二次方程：。 令判别式 ，位置关系判定规则： ① ：直线与椭圆相交，有2个不同公共点； ② ：直线与椭圆相切，有1个公共点（切线）； ③ ：直线与椭圆相离，无公共点。 补充：斜率不存在直线，可直接代入椭圆方程判定交点个数。 【例1】判断直线 与椭圆 的位置关系。 解：步骤1：联立方程 将 代入椭圆方程 ： 步骤2：整理为一元二次方程标准形式 等式两边同乘4去分母： 展开化简： 合并同类项得： 步骤3：计算判别式 步骤4：判定位置关系 因，直线与椭圆有两个不同公共点。 结论：直线与椭圆相交。 【知识点02】直线与椭圆的弦长公式 若直线与椭圆相交于、两点，联立方程得，满足韦达定理： 通用弦长公式（斜率存在）： 斜率不存在时（）： 【例2】求直线 截椭圆 所得的弦长。 解：步骤1：沿用联立方程与韦达定理 由上一知识点例题得联立方程： 可得：，直线斜率 韦达定理求值： 步骤2：代入弦长公式 步骤3：分步化简计算 结论：直线截椭圆所得弦长为 。 【知识点03】椭圆的切线方程（直线与椭圆相切） 针对椭圆 ： 若直线为椭圆切线，联立方程后满足 ，推导得切线条件公式： 过椭圆上一点的切线方程： 【例3】求椭圆 在点 处的切线方程。 解：步骤1：确定参数 由椭圆方程得：，切点 步骤2：代入切点切线公式 步骤3：化简整理直线方程 等式两边同乘4： 整理为一般式： 结论：所求切线方程为 。 【知识点04】弦中点问题（点差法） 已知椭圆，直线交椭圆于，弦中点为，直线斜率为。 点差法核心推导： 两式作差化简得中点斜率公式： 适用场景：已知中点求直线斜率、求直线方程，简化联立计算。 【例4】已知椭圆 的弦中点为 ，求直线的斜率。 解：步骤1：确定已知参数 ，中点 步骤2：代入点差法中点斜率公式 步骤3：化简求解斜率 ，解得 结论：直线的斜率为 。 【题型01】讨论椭圆与直线的位置关系 【典例1-1】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】首先判断直线所过的定点，再判断定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系. 【详解】直线：， 令，解得：，， 所以直线恒过定点， ，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切. 故选：D 【变式1-1】直线与椭圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据椭圆的方程求得短轴的右顶点为，进而得到直线与椭圆的位置关系. 【详解】由椭圆的方程，可得，即椭圆的短轴的右顶点为， 所以直线与椭圆相切. 故选：B. 【变式1-2】直线：，椭圆，则直线和椭圆的位置关系是__． 【答案】相离 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，计算得到，即可由方程组解与交点个数的关系得出结论． 【详解】解：直线：，椭圆，联立可得， ，方程组无实数解，即直线与椭圆无交点，故直线和椭圆相离． 故答案为：相离 【变式1-3】对不同的实数值，讨论直线与椭圆的位置关系. 【答案】答案见解析 【分析】联立直线与椭圆方程整理得关于的二次方程，利用判别式法即可得解. 【详解】联立，消去得，， 而， 当时，，此时直线与椭圆相交； 当时，，此时直线与椭圆相切； 当时，或，此时直线与椭圆相离. 【题型02】求椭圆的切线方程 【典例2-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线与椭圆相切，写出一条此直线l方程：_________． 【答案】（答案不唯一，可以为） 【分析】求出直线所过定点，设出的方程并与椭圆方程联立，利用判别式为0求解. 【详解】由题意得直线，即， 由，解得，即直线恒过定点， 由直线与椭圆相切，得直线不垂直于轴，设其方程为， 由，消去得， 因此，整理得，解得或， 所以直线的方程为或. 【变式2-1】若方程有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出椭圆的部分，利用数形结合求出直线与椭圆相切时的值，再求出直线过椭圆右端点时的值，即可得到得范围. 【详解】设，，两边同平方得，化简得（）， 则其所表示的图形为椭圆在x轴及上方部分， 则题目转化为直线与上述图形有交点， 设椭圆的右端点为，易得其坐标为， 当直线与半椭圆相切时，显然由图得， 联立，得， 则 化简得，解得或（舍）， 当直线经过点时，得，解得， 则， 故选：B. 【变式2-2】设椭圆，点在椭圆上，求该椭圆在P处的切线方程______. 【答案】 【分析】由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为，代入椭圆方程中整理化简，令判别式等于零，可求出的值，从而可求得切线方程 【详解】由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为， 将代入中得， ， 化简整理得， 令， 化简整理得，即，解得， 所以切线方程为，即， 故答案为： 【变式2-3】求过椭圆上一点的切线方程． 【答案】 【分析】令，利用伸缩变换求得椭圆和点M在新坐标系下的方程和坐标，然后由圆的切线方程和伸缩变换公式可得. 【详解】令，则椭圆在新坐标系下的方程是：，点在新坐标系下的坐标是：， 设过圆上的点的切线方程为（易得斜率必存在）， 即代入 整理得 由题意可知，，整理得 即，所以切线方程为，即： 过椭圆上一点的切线的方程是：，即：． 【题型03】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【典例3-1】已知直线y＝kx+1与焦点在x轴上的椭圆1（b＞0）总有公共点，则b的取值范围是（　  　） A．[1，4） B．（1，+∞） C．[1，+∞） D．[1，2） 【答案】A 【解析】由题意直线恒过定点，要使直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则只需要点在椭圆上或椭圆内，代入可求． 【详解】由题意直线恒过定点 要使直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点， 则只需要点在椭圆上或椭圆内， 则且 ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了直线与椭圆位置关系的判断，常见的判断方法是联立直线方程与曲线方程，但此类方法一般计算量比较大，而本题的这种解决灵活的应用了直线恒过定点的性质，但解题时容易漏洞焦点在轴上的条件的考虑，误认为只有． 【变式3-1】（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间. 【详解】直线过定点，曲线是椭圆的上半部分， 当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率 和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间，直线l与椭圆上半部分相切时的斜率为， 直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率为， 所以k的取值范围为. 故选：B 【变式3-2】已知直线的方程为，椭圆的方程为，直线与椭圆没有公共点，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，由可求得实数的取值范围. 【详解】因为直线和椭圆没有公共点， 所以. ，即，解得或. 故答案为：. 【变式3-3】已知直线，椭圆.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)相交； (2)相切； (3)相离？ 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】联立直线与椭圆方程，并计算，根据直线与椭圆的位置关系，求解，和，即可求解对应的值. 【详解】（1）联立，得， ， 当直线与椭圆相交，即，则，解得：； （2）当直线与椭圆相切，即，则，解得：； （3）当直线与椭圆相离，即，则，解得：或. 【题型04】求椭圆中的弦长 【典例4-1】（25-26高二上·江苏南京·期末）过椭圆的一个焦点作长轴的垂线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用通径长公式计算. 【详解】由题意得，，则通径长为. 故选：D 【变式4-1】（多选）已知过点的直线与椭圆交于A、B两点，则弦长可能是（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】BC 【分析】根据给定条件，求出弦长的取值范围即可判断得解. 【详解】当直线的斜率存在时，设过点斜率存在的直线方程为：， 由消去y，并整理得，恒成立， 设，则， ， 当直线的斜率不存在时，因此， 所以弦长可能是，. 故选：BC 【变式4-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C：，，是椭圆C上两点，，则弦长为______． 【答案】 【分析】由，可得两点在直线上，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可得解. 【详解】由，得， 故两点在直线上， 联立，消得， 恒成立， 则， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由，得出两点在直线上，是解决本题的关键. 【变式4-3】（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆方程为与直线方程相交于、两点，求的弦长. 【答案】 【分析】联立方程组，根据韦达定理和弦长公式求解. 【详解】设，， 将代入得：，所以， 所以. 【题型05】椭圆中三角形(四边形)的面积 【典例5-1】已知椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义和焦点三角形，利用余弦定理和面积公式即可求解. 【详解】根据椭圆的定义有，① 根据余弦定理得，② 结合①②解得，所以的面积． 故选:C 【变式5-1】（24-25高二上·陕西商洛·期中）已知，为椭圆的两个焦点，、为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（    ） A．10 B．8 C．24 D． 【答案】B 【分析】由题目条件得到四边形为矩形，即⊥，由勾股定理和椭圆定义得到方程组，求出，得到答案. 【详解】椭圆中，， 因为、为C上关于坐标原点对称的两点，所以， 又，故四边形为平行四边形， 又，故四边形为矩形，即⊥， 由勾股定理得①， 由椭圆定义得②， 式子②平方得， 结合①得， 故四边形的面积为. 故选：B 【变式5-2】（25-26高二上·江苏南京·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为．若过点且斜率为的直线与交于另一点，则的面积为___________． 【答案】 【分析】首先根据题意得到直线，与椭圆联立得到，，再求面积即可. 【详解】由题知：，则， ，则，解得， 将代入得到， 所以的面积为. 故答案为： 【变式5-3】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知椭圆：（）离心率等于且椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）联立直线与椭圆的方程，根据斜率之积得出，再利用化简即可. 【详解】（1）由题意得，， 得， 故椭圆的标准方程为； （2）联立，得， 设，则， 即， ， 则 ， 得， 则的面积 . 【题型06】椭圆的焦半径与焦点弦问题 【典例6-1】已知椭圆的右焦点为，若过的直线与椭圆交于两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先证明椭圆上的点的到右焦点的距离为，当分别为椭圆的顶点时取最值，进而可得结果. 【详解】在椭圆中，， 设为椭圆上任意一点，即， 解得， 由两点间距离公式可知：， 由上式可得当为椭圆的右顶点时，最小，此时， 当为椭圆的左顶点时，最大，此时， 此时的最小值为， 同理可得的最大值为3， 即的取值范围是， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，得出“焦半径公式”是解题的关键，属于中档题. 【变式6-1】设是椭圆上的一点，，分别是该椭圆的左、右焦点.若，则点的坐标为______. 【答案】 【分析】根据椭圆定义和长度关系可求得，，利用焦半径公式可构造方程求得点横坐标，进而得到点坐标. 【详解】由椭圆定义可得：， 又，，， 设点横坐标为，由椭圆焦半径公式可得：， 解得：，为椭圆右顶点，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆定义和焦半径公式的应用，关键是熟练掌握椭圆的焦半径公式：左焦半径：；右焦半径：. 【变式6-2】已知动点在椭圆上，过点P作圆的切线，切点为M，则PM的最小值是________ 【答案】 【分析】设圆的圆心为,由题意可知，利用勾股定理可知，进而问题转化为求得最小值，当点到椭圆的右顶点时最小，进而求得PM最小值. 【详解】设圆的圆心为,由题意可知， ， ， 越小，越小，而为椭圆的右焦点， 最小是5-3=2， 最小是. 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高二上·浙江·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若总存在一条过的直线，使得点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据点关于直线对称结合焦半径的范围化简得出离心率范围. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， ， ， ，即，又， 椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：.    【题型07】椭圆的中点弦 【典例7-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法即可求解. 【详解】设， 则，两式相减可得， 即. 因为弦AB的中点坐标为，所以， 所以. 易知，所以， 所以直线l的方程为，化简得. 经验证满足题意，故直线l的方程为. 故选：A. 【变式7-1】（多选）（24-25高二上·河北邢台·期末）已知点，若斜率为1的直线与椭圆交于两点，且线段的中点坐标为，点在椭圆上，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用点差法解方程求出，设点，得，计算并消元，将其整理成，结合，即可求得的取值范围即可. 【详解】如图， 设，因点在椭圆上，则有：， 两式相减，化简得：， 依题意，，代入上式，解得：，即椭圆方程为：. 设点，则，即， 则 ， 因，则，故. 故选：BCD. 【变式7-2】直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为_________． 【答案】/ 【分析】根据题意利用点差法分析运算即可. 【详解】设线与椭圆的交点坐标为，则， 可得， 因为在椭圆上，则，两式相减得， 整理得，即 所以. 故答案为：. 【变式7-3】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆的焦距为4. (1)求椭圆的方程； (2)设点，直线过且与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得， ，利用求得即可求解方程； （2）设，，代入椭圆方程作差求得直线的斜率，代入点斜式直线方程即可求解. 【详解】（1）设的焦距为，因为的长轴长是短轴长的倍，所以. 因为的焦距为4，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，则的方程为. （2）设，，因为点，在上，所以 两方程相减得，所以. 因为是线段的中点，所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为，即.    【题型08】椭圆中的参数范围及最值 【典例8-1】（24-25高二上·江苏南京·期末）椭圆上任意一点P到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】设点，可得，结合两点间距离公式计算即可得解. 【详解】设，则，可得，其中， 所以， 当时，取得最小值，. 故选：A 【变式8-1】已知点P是椭圆上的一点，点，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】设，表示出，消去y，利用二次函数求最值即可. 【详解】设， 则 . 所以当x=1时，最小. 故答案为：. 【变式8-2】（多选）（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆，，为左、右焦点，为上顶点，为椭圆上任一点，则（   ） A．的最大值为 B．的取值范围是 C．存在点使 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用椭圆的定义以及几何性质依次判断选项即可. 【详解】由题可得：，，，，， 对于A，当在上顶点或下顶点时，的面积最大为，则A正确； 对于B，根据椭圆几何性质可得：，，所以的取值范围是，故B正确； 对于C，设，若存在点使，则， 联立，化简可得：，由于在椭圆中， 所以方程组无解，则不存在点使，故C错误； 对于D，设，， 令，其对称轴为， 则在上单调递减， 所以当时，，故D正确; 故选：ABD 【变式8-3】（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为，一个顶点为H. (1)求椭圆E的标准方程； (2)对于y轴上的点，椭圆E上存在点M，使得，求实数t的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆长短半轴长、半焦距即得. （2）设出点坐标，利用向量数量积的坐标表示，结合椭圆的范围求解即得. 【详解】（1）依题意，椭圆E的长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以椭圆E的标准方程为. （2）设，显然，由（1）知，即， 由，得，由，得， 于是，即有，整理得 ， 而，则，又，因此， 故实数t的取值范围为． 【题型09】椭圆中的定点、定值 【典例9-1】已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在时，将P、Q坐标代入椭圆方程，结合，可得，再引入参数线段PQ中点的纵坐标，用其表示出，再得线段PQ的垂直平分线的方程，分析即可求解. 【详解】因为，在椭圆上， 且，当时，由， 得， 设线段PQ的中点为，所以， 所以线段PQ的垂直平分线的方程为， 即，该直线恒过定点 当时，线段PQ的垂直平分线也过定点， 故线段PQ的垂直平分线恒过定点 故选：A． 【变式9-1】（多选）已知椭圆，斜率为的直线交椭圆于，两点，存在定点，使得，的斜率之和为定值，则点坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】假设存在满足题意，设直线为，代入椭圆方程消去整理得，利用及韦达定理得出关于P坐标参数的关系式，设为定值，转化为对任意恒成立求解即可． 【详解】设直线方程为，代入椭圆方程消去整理得． 依题知：，即，． 设，，则，， 如果存在使得为定值，那么的取值与无关， ， 令，由， 由题意知：该式对任意恒成立，其中， ，解得：或. 综上，满足条件的定点存在，坐标为或． 故选：AB． 【变式9-2】已知曲线上的点满足，曲线过点的切线与直线相交于点. (1)求曲线的标准方程； (2)以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1)； (2)过定点，. 【分析】（1）根据椭圆的定义结合条件即可求出方程；（2）切线，与椭圆方程联立，利用，可得，即可得到，联立，求得，由椭圆的对称性易知，若过定点则该定点一定在轴上，设是以为直径的圆上的一点，利用化简可得答案. 【详解】（1）依题意，由椭圆定义可知在以､为焦点，为长轴长的椭圆上 ， 曲线的标准方程为 （2）设当过的切线斜率不存在时，不能和直线相交，所以过的切线斜率存在，设切线的斜率为轴上的截距为，则切线 联立消去得 与曲线相切，， ， 联立，求得 由椭圆的对称性易知，若过定点则该定点一定在轴上， 设是以为直径的圆上的一点 ，即 以为直径的圆过定点 【变式9-3】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知椭圆的离心率为，左顶点为. (1)求的标准方程； (2)设、两点在上，且线段的中点为. （i）当时，求直线的方程； （ii）当直线的斜率存在时，证明：直线与直线的斜率之积为定值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）（i）利用点差法可求得直线的方程； （ii）利用点差法推导出，再由斜率公式可得出，由此可计算出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可得，所以，故椭圆的标准方程为. （2）（i）设点、，则，， 所以，， 当时，则，， 若直线的斜率不存在，此时轴，则、关于轴对称，则的中点在轴上，不符合题意， 所以直线的斜率存在，由，这两个等式作差得， 所以，即， 故直线的方程为，即； （ii）由（i）可知当时，直线的斜率存在， 由（i）可知， 因为，， 所以. 【题型10】椭圆中的向量问题 【典例10-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，，且，椭圆的离心率为，则实数（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】设，根据椭圆的定义求出，，利用即可求解. 【详解】因为，设，由椭圆的定义可得：，则，因为，所以， 所以，即，又因为椭圆的离心率为， 所以，则有， 所以，则，则， 由，所以，因为，所以， 所以，即，解得：， 故选：. 【变式10-1】焦点在轴上的椭圆，其左、右焦点分别为，，直线经过，且与该椭圆交于，两点，若，且垂直于轴，则______. 【答案】 【分析】由方程表示椭圆可确定椭圆的值及的取值范围；根据垂直于轴可求得点坐标，由共线向量可得点坐标，代入椭圆方程可构造方程求得结果. 【详解】 椭圆方程可化为：. 椭圆焦点在轴上，，即椭圆，，. 轴，，， ，，代入椭圆方程得：， 解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆与平面向量的综合应用问题，涉及到方程表示椭圆的问题、通径长和向量坐标运算的问题. 【变式10-2】已知椭圆，是长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，且为常数，则椭圆离心率为________. 【答案】/ 【分析】设，由三点共线，可得，再由点在椭圆上，得，然后化简 ，再由其为常数可得，从而可求出离心率. 【详解】由题意设， 因为三点共线，所以，得， 因为，所以， 所以 因为为常数，所以， 所以，得， 所以，所以离心率， 故答案为：    【变式10-3】（25-26高二上·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，且焦点在轴上． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于两点．若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率可构造方程求得，进而得到椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和向量相等的坐标表示可构造方程组求得结果. 【详解】（1）由题意知：，解得：，椭圆方程为. （2） 由题意知：直线斜率，可设，则， 设，， 由得：， ，， ，，且， ，即，，解得：. 知识点01核心基础模型 本节统一采用焦点在轴上的椭圆标准方程： 直线通用形式：斜率存在；斜率不存在 核心解题思想：联立方程、判别式判定、韦达定理运算、点差法简化 知识点02直线与椭圆的三种位置关系 1. 判定核心方法 将直线与椭圆方程联立，消元得到一元二次方程 ，通过判别式 判定位置关系： ① ：相交，直线与椭圆有2个不同公共点，存在有效弦长； ② ：相切，直线与椭圆有1个公共点，直线为椭圆切线； ③ ：相离，直线与椭圆无公共点。 2. 补充说明 若联立后二次项系数，方程为一次方程，直线与椭圆仅有一个交点，不属于相切，为特殊相交情况。 知识点03弦长与韦达定理核心公式 1. 韦达定理（相交必备） 直线与椭圆相交于，联立方程 ，则： 2. 通用弦长公式 斜率存在时： 斜率不存在（）时： 知识点04椭圆切线核心性质与公式 1. 直线为椭圆切线的充要条件 直线 与椭圆 相切： 2. 椭圆上定点切线方程 若点在椭圆上，则椭圆在该点处的切线方程： 知识点05弦中点问题（点差法核心结论） 1. 适用场景 已知椭圆弦的中点坐标，求弦所在直线斜率、直线方程，规避复杂联立运算，是椭圆高频简化解法。 2. 核心推导与公式 设弦端点，中点，直线斜率为，由点差作差化简得： 3. 适用限制 仅适用于直线与椭圆相交存在中点弦的情况，不可用于相切、相离题型。 知识点06本节知识体系总结 直线与椭圆的位置关系是解析几何核心基础，整体解题逻辑统一：以方程联立为基础，通过判别式判断位置关系，依托韦达定理求解弦长、交点问题，借助点差法快速解决中点弦题型，切线公式为定点求值、求方程提供简便方法。本节所有公式是后续椭圆综合大题、最值问题、范围问题的核心工具。 知识点07高频易错点汇总 1. 联立方程后未验证二次项系数，误将一次方程解判定为相切； 2. 计算弦长时遗漏系数，导致结果出错； 3. 滥用点差法，在相切、相离无中点弦的场景中使用公式； 4. 混淆“椭圆上一点的切线方程”和“椭圆外一点的切线方程”，公式误用； 5. 忽略直线斜率不存在的特殊情况，解题漏解。 一、单选题 1．椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】与已知直线平行，与椭圆相切的直线有二条，一条距离最短，一条距离最长，利用相切，求出直线的常数项，再计算平行线间的距离即可. 【详解】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为 ，则 所以 所以椭圆上点P到直线的最短距离为 故选：A 2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则线段长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出两点的坐标，利用两点间的距离公式求线段的长度. 【详解】将代入椭圆方程， 得： 或. 当时，；当时，. 所以点的坐标分别为和. 所以. 故选：A 3．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【详解】设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故选：B. 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程的特点，可得且，将直线方程与椭圆方程联立，令即可求出答案. 【详解】根据椭圆方程的特点，可得且， 将直线与椭圆联立得， 即， 因为直线与椭圆有交点，所以， 解得或， 又且，所以的取值范围是. 故选：D. 5．（24-25高二上·辽宁·期末）已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（   ） A． B． C． D．（2，0） 【答案】B 【分析】设直线方程为，，联立方程组结合韦达定理可得，设长轴上的点，可得，可求定点的坐标，验证斜率为0的情况即可. 【详解】椭圆，直线过右焦点， 当直线的斜率不为0时，设直线方程为，， 由，消去得，， 整理得，所以， 设长轴上的点， 可得， 所以 ， 当且仅当时，即时， 为定值，此时点坐标为， 当直线直线的斜率为0时，，计算可得， 所以在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，且点坐标为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题时主要是由题中一个量（本题是数量积）与参数无关，解决此类问题，关键是要选定一个参数（参数可以是直线的斜率、截距，可以是动点坐标等），使用参数表示题中变化的量，再用这些变化的量表示题中不变的量，求得与参数无关，完成求解． 6．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）已知椭圆，直线不经过点，且斜率为.若与交于两个不同点且直线的倾斜角分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线，，，联立椭圆并应用韦达定理得，，设直线与的斜率分别为，应用斜率的两点式得，即有，即可得. 【详解】设直线，，，    由，得， 由，解得或， 则，， 依题意，因为恰好在椭圆上，所以与的斜率一定存在，所以，， 设直线与的斜率分别为，因为，， 所以． 又，， 所以 ， 又，，即， 则，所以. 故选：B 7．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知点是椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于两点，满足，则该椭圆的离心率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆左焦点为，连接，由题设易得，设，可得，，，进而结合勾股定理及余弦定理建立方程得到，，进而求解即可. 【详解】设椭圆左焦点为，连接， 由，则为直角三角形，且， 设，由，得， 由椭圆定义可得，，， 在中，由， 则，即， 由，且， 在中，， 所以，则， 所以，则， 即，则，即， 所以椭圆的离心率为. 故选：C 8．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限相交于点．若直线的斜率为，的面积为4，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断是直角三角形，利用斜率的几何意义，找到与的数量关系，再结合的面积为，列方程，求出与长度，再由椭圆的定义得，，，最终求出椭圆的方程. 【详解】因为以为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，所以，即是直角三角形，已知直线的斜率为，即， 在中，设，则， 由勾股定理可得 因为的面积为，根据三角形面积公式，即 解得，，所以 ，所以，，； 根据椭圆的定义：，所以； 又因为，所以； 根据得：； 所以椭圆的方程为. 故选：. 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆:的左右顶点为A、B，点P为椭圆C上异于左右顶点的一点，过点P向轴作垂线，垂足为Q，下列说法正确的有（      ） A． B．存在点P使得 C．当点P运动到短轴端点时最大 D． 【答案】ACD 【分析】由题可知，，设，根据斜率公式，结合椭圆方程，可得斜率乘积为定值，判断A；由椭圆的对称性，不妨设，由两角和的正切公式计算，即可判断的范围，判断B；求的最大值，及取最大值时，点的位置，判断C；求的值，判断D. 【详解】由题可知，. 设，则，. 所以，所以，. 对于A，.所以A正确； 对于B，C，D， 由椭圆的对称性，不妨设， 则 . 因为，，所以，所以.所以B错误； 当时，取得最大值，最大值为. 因为在上单调递增，所以当时，最大. 由椭圆的对称性，当点P运动到短轴端点时最大.所以C正确； ， 所以为定值，所以D正确. 故选：ACD. 10．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，动点在椭圆上，点，下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．过点的直线与椭圆相交于两点，若为弦的中点，则直线的斜率为 C．内切圆半径的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由椭圆性质求的范围判断选项A；利用点差法结合两点表示斜率的公式，计算后可判断B；由面积法可得三角形内切圆半径，求出最大值即可判断C；把转化为，求出的最大值即可判断选项D. 【详解】椭圆的左右焦点分别为，动点在椭圆上， 对于A，当在左右顶点时，最小，为0，当在上下顶点时，最大， 此时，则，而， 因此不存在点，使得，故A错误； 对于B，设，为弦的中点，有 两点在椭圆上，有，两式相减得， 可得，， 所以直线的斜率为，B选项正确； 对于C，设的内切圆半径为，则， 则当最大时，最大，又，， 所以，则， 所以内切圆半径的最大值为，C选项正确； 由椭圆的定义知，，得， 点在椭圆内，有， 所以， 当三点共线且在之间时等号成立，所以D选项错误. 故选：BC 11．（25-26高二上·湖北·期中）椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为上一点，则下列说法正确的是（　　） A．的最大值为2 B．椭圆上存在点，使得 C．过圆上一点向椭圆作切线，切点为、，则 D．过圆上一点作圆的切线，交椭圆于两点，则面积的取值范围是 【答案】ACD 【分析】A项，利用基本不等式可得；B项，设，由数量积坐标运算化简可得；C项，先对切线斜率不存在时分析，再设点斜式直线方程，联立椭圆方程，结合得到关于的方程，由韦达定理得斜率之积为即可；D项，按斜率是否存在讨论，利用弦长公式及韦达定理得到的函数表达式，求解函数值域进而由面积公式可得范围. 【详解】A选项，由椭圆，可知， 则，， 则， 可得，当且仅当时取等号， 即当点位于短轴端点时，取最大值，故A正确； B选项，设椭圆上任一点，又，， 则，可得， 则 ， 故不存在点，使得，故B错误； C选项，设，则， ①当时，则， 可知椭圆的两条切线恰好垂直，即；    ②当时，则椭圆的两条切线都存在斜率， 可设过点的椭圆切线方程为， 联立，消得， 由直线与椭圆相切， ， 化简得，则此关于的方程有两根，设为， 则， 由即为两切线的斜率，所以， 综合①②可知，，故C正确；    D选项，当切线的斜率不存在时，切线方程为， 联立，解得，故此时；    当切线的斜率存在时，设直线的方程为， 由圆的圆心，半径， 则由直线与圆相切可得， 圆心到直线的距离，即， 联立，消得， 由，化简得， 由韦达定理得，. 则 ， 由得代入上式可得 ， 设，， 则 ，由，可得， 当，即时，最大，最大值为； 当，即时，最小，最小值为； 综上所述，的范围为. 又由， 故面积的取值范围为，故D正确；    故选：ACD. 三、填空题 12．如果直线l：与椭圆C：总有公共点，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据直线所过的定点与椭圆的位置关系进行求解即可. 【详解】直线l：过定点， 因为直线l：与椭圆C：总有公共点， 所以点在椭圆内部或椭圆上， 则有， 故答案为： 13．（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】记线段的长度为，表达的函数，利用，，结合二次函数的性质即可求的最小值． 【详解】记线段的长度为，是椭圆上任意一点，， 设，, 所以：． 由于，故当时，有最小值，且的最小值为， 故答案为： 14．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是________． 【答案】 【分析】由题意可得且点P不在左、右顶点处，设，，进而计算可得，求解即可. 【详解】若是锐角，则且点P不在左、右顶点处. 设，，则，， 则， 解得， 所以点P的横坐标的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线方程，然后联立直线与椭圆方程，求出坐标，进而可求出线段的长度. （2）设，然后将其代入椭圆方程中，两式相减，结合中点坐标，即可求出直线斜率，进而求出其方程. 【详解】（1）若直线的斜率为1，那么该直线方程为，即. 联立直线与椭圆方程组得，解得. 所以. 所以. （2）设，则满足，两式相减得 ，因为是线段的中点， 所以，所以， 则有，所以直线的方程为， 即，即. 16．（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆，直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆交于两点. (1)当直线倾斜角为时，求直线的方程； (2)求证：的面积为定值. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）根据直线倾斜角得到直线的斜率，进而设直线方程，根据直线与曲线有一个交点联立方程组解得答案； （2）设直线为，直线与椭圆只有一个公共点联立方程组消元得，直线与椭圆交于两点，连立方程组结合韦达定理得，结合三角形面积公式得答案； 【详解】（1）因为直线倾斜角为，直线为，因为椭圆， 直线与椭圆只有一个公共点，联立方程，得， ，所以直线为或 （2）因为直线与椭圆只有一个公共点， 当直线的斜率不存在时，或，此时，； 当直线的斜率存在时，设直线为由，得 , 又因为直线与椭圆交于两点，得 所以，因为直线与轴交于点，所以 所以 . 综上，的面积为定值. 17.已知椭圆C：的右焦点为F，斜率不为0的直线l与C交于A，B两点． (1)若是线段AB的中点，求直线l的方程； (2)若直线l经过点（点A在点B，Q之间），直线BF与C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称． 【答案】(1); (2)证明见解析. 【分析】（1）利用点差法，利用，，代入椭圆，然后相减整理即可得出斜率; （2）根据椭圆的对称性，欲证点A，D关于x轴对称，只需证明即可. 【详解】（1）设，， 则两式相减，得， 即． 因为是线段AB的中点，所以，， 所以直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即． （2）根据椭圆的对称性，欲证点A，D关于x轴对称， 只需证，即证． 设直线AB的方程为， 由消x得， 所以，． 所以． 因为， 所以，即点A，D关于x轴对称．    18．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由椭圆过，椭圆离心率以及求解即可； （2）（i）由直线经过椭圆的右焦点以及斜率为1，直线与椭圆联立，解得交点，的坐标，即可求解； （ii）设直线的方程，与椭圆联立，再由韦达定理代入，由一元二次方程性质即可求解. 【详解】（1）因为椭圆：（）经过，所以，因为椭圆离心率为， 所以，因为，所以解得，所以椭圆：. （2）（i）由题意可得，，因为直线的斜率为，所以直线：，所以联立， 可得，化简可得，解得或， 所以，，故点到直线的距离为， 所以. （ii）设直线：，设，， 所以联立，可得， 可得，由韦达定理可得， 则，， 所以， 因为，， 所以， 即， 所以， 当时，取得最小值，即此时. 19．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知动点到定点的距离和它到定直线距离的比是常数． (1)求动点的轨迹； (2)已知不过原点的直线与曲线交于、两点，若直线，直线，直线的斜率成等比数列． ①求直线的斜率； ②记以为直径的圆的面积分别为，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由． 【答案】(1)曲线的方程为：，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆. (2)①；②是，． 【分析】（1）根据条件列方程，化简可得曲线的轨迹方程，再根据方程描述其轨迹. （2）①设直线方程为，把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出，，再表示出，，利用表示，化简即可. ②用，表示出，将化简即可. 【详解】（1）由题意： . 所以曲线的方程为：． 所以曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆. （2）①设直线方程为，，，， 如图： 由得， ， 所以，. 因为，，且成等比数列，， ， 又，所以 ，解得． ②， ， 为定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $