第01讲 直线的斜率与倾斜角（知识详解+5典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（苏教版选择性必修第一册）

第01讲 直线的斜率与倾斜角（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线的斜率 知识点02：斜率的应用 知识点03：直线的倾斜角 知识点04：直线的倾斜角与斜率的关系 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：求直线的斜率 题型02：斜率的应用 题型03：直线的倾斜角 题型04：直线的倾斜角与斜率的关系 题型05：直线与线段的相交关系求斜率范围 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线的斜率 对于直线l上的任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2), (1)如果x1≠x2,那么由相似三角形的知识可知,是一个定值,我们将其称为直线l的斜率.k=(x1≠x2). (2)如果x1=x2,那么直线l的斜率不存在. 温馨提示　(1)当直线与x轴垂直时,斜率不存在. (2)当直线与y轴垂直时,斜率为零. (3)直线AB的斜率与A,B两点的顺序无关.也可以看作kAB===. 【例1】已知直线上两点、，求该直线的斜率；若两点为、，判断直线斜率是否存在。 【知识点02】斜率的应用 核心应用：判断两条直线的位置关系（前提：两条直线均存在斜率，记为、） 1. 平行关系：两条直线平行（不重合）； 补充：若两条直线均垂直于x轴（斜率均不存在），则两条直线也平行。 2. 垂直关系：两条直线垂直； 补充：若一条直线斜率为0（平行于x轴），另一条直线斜率不存在（垂直于x轴），则两条直线也垂直。 3. 实际应用：通过两点坐标计算直线斜率，判断直线的倾斜趋势（时，直线从左到右上升；时，直线从左到右下降；时，直线水平）。 【例2】已知两条直线、的斜率分别为、，直线斜率为，判断与、与的位置关系。 【知识点03】直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时,所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度,我们把这个角α称为这条直线的倾斜角. (2)与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0. (3)直线的倾斜角α的取值范围为[0,π). 温馨提示　 (1)从运动变化观点来看,直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所转过的最小正角. (2)直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度,每一条直线都有唯一的倾斜角. (3)已知直线的倾斜角不能确定直线的位置,但是由直线上的一点和这条直线的倾斜角可以确定直线的位置. 注意：　 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论. (2)注意倾斜角的取值范围. 【例3】判断下列直线的倾斜角范围及倾斜趋势：（1）直线平行于x轴；（2）直线从左到右下降；（3）直线垂直于x轴。 【知识点04】直线的倾斜角与斜率的关系 1.设直线的倾斜角为α,斜率为k,则 k=tan α. 2.倾斜角与斜率的关系 α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k=0 k>0 不存在 k<0 k的增 减性 随α的增 大而增大 随α的增 大而增大 温馨提示　可利用y=tan x在[0,π)上的图象理解直线的斜率k与倾斜角α的关系. 求倾斜角的范围,一般先求出斜率,然后确定倾斜角的取值范围. 【例4】已知直线的倾斜角，求该直线的斜率；若倾斜角，求其斜率。 【题型01】求直线的斜率 【典例1-1】（25-26高二上·云南德宏·期末）直线经过点和点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（多选）（25-26高二上·重庆·月考）已知直线经过点，且不经过第四象限，则直线的斜率的取值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．3 【典例1-3】（25-26高二上·福建龙岩·期中）直线经过两点、，则的斜率为_________. 【变式1-1】（25-26高二上·贵州黔南·期末）若直线经过两点，则直线的斜率为（   ） A． B．7 C．1 D．-1 【变式1-2】（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知，两点在直线l上，则直线l的斜率为________. 【变式1-3】（23-24高二上·山西临汾·月考）经过下列各组中两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1)，； (2)，． 【题型02】斜率的应用 【典例2-1】（25-26高二上·广西·阶段检测）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知三点共线，则实数的值为______. 【典例2-3】（2025高二·全国·专题练习）一束光线从点射入，经过轴（镜面）上的点反射后，过点，求点的坐标． 【变式2-1】（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知点，，若直线的倾斜角为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·内蒙古包头·月考）设，为实数，已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，则__________. 【变式2-3】（24-25高二上·广东东莞·月考）已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 【题型03】直线的倾斜角 【典例3-1】（25-26高二上·湖南长沙·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（多选）（24-25高二上·广东湛江·月考）下列说法正确的是（   ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 【典例3-3】（25-26高二上·江西宜春·期末）过，两点的直线的倾斜角为________. 【变式3-1】（25-26高二下·江西赣州·阶段检测）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 【变式3-2】（多选）（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）如图，若直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·四川乐山·月考）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 【题型04】直线的倾斜角与斜率的关系 【典例4-1】（25-26高二上·江苏连云港·期中）若经过，两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B．2 C． D．4 【典例4-2】（多选）（25-26高二上·宁夏中卫·月考）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例4-3】（25-26高二上·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为___________． 【变式4-1】（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）（25-26高二上·山东泰安·月考）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-3】（25-26高二上·江苏盐城·月考）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【题型05】直线与线段的相交关系求斜率范围 【典例5-1】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（25-26高二上·江苏南通·月考）已知点，，若直线与线段相交，则的取值范围是______． 【典例5-3】（2025高二·全国·专题练习）已知直线l过点P，点A的坐标为，点B的坐标为，若直线与线段有公共点，求l的倾斜角的取值范围． 【变式5-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】25-26高二上·江苏苏州·月考）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是______________．（用弧度制表示，写成区间形式） 【变式5-3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 一、课堂小结（核心提炼） 本讲核心围绕直线的斜率与倾斜角展开，重点掌握“斜率定义与计算—斜率应用—倾斜角定义与范围—两者关联”四大模块，核心逻辑为：斜率和倾斜角均是描述直线倾斜程度的量，倾斜角是几何角度（有明确取值范围），斜率是代数量化值（可通过公式计算），二者通过建立关联，可结合两者解决直线位置关系、角度互求等问题。所有核心内容均用微软公式呈现，适配暑期预习巩固、快速梳理重点。 二、知识梳理 知识点1：直线的斜率（核心知识点） 1. 定义：描述直线倾斜程度的代数量，常用表示。 2. 核心计算公式（重点）： 已知直线上两点、，则： （前提：） 3. 特殊情况： （1）：直线垂直于x轴，斜率不存在； （2）：直线平行于x轴，斜率。 4. 关键性质：斜率与两点坐标顺序无关，即。 知识点2：斜率的应用（核心考点） 核心应用：判断两条直线的位置关系（前提：两条直线均存在斜率，记为、） 1. 平行关系：（不重合）； 补充：若两条直线斜率均不存在（均垂直于x轴），则两直线也平行。 2. 垂直关系：； 补充：若一条直线斜率为0（平行于x轴），另一条直线斜率不存在（垂直于x轴），则两直线也垂直。 3. 辅助应用：通过斜率符号判断直线倾斜趋势——（上升）、（下降）、（水平）。 知识点3：直线的倾斜角（核心知识点） 1. 定义：以x轴正方向为始边，绕直线与x轴的交点逆时针旋转到直线所成的最小正角，记为；直线与x轴重合或平行时，。 2. 取值范围（必记）：（弧度表示：）。 3. 特殊倾斜角对应特征： （1）：直线水平，； （2）：直线上升，； （3）：直线垂直x轴，不存在； （4）：直线下降，。 知识点4：直线的倾斜角与斜率的关系 1. 核心关系式（必记）： （前提：，即斜率存在） 2. 两者对应关系（清晰对应，方便记忆）： 倾斜角 斜率 核心说明 直线水平， 越大，越大（正切函数单调递增） 不存在 无意义，直线垂直x轴 ，利用诱导公式计算 3. 常用特殊角正切值（适配计算，必记）： ，，，，， 知识点5：易错点梳理 1. 混淆斜率存在条件：时，斜率不存在，不可用计算； 2. 倾斜角取值范围错误：牢记，不可写成； 3. 判断平行时遗漏重合情况：时，两直线可能平行或重合，需结合题意判断； 4. 计算斜率时颠倒两点坐标顺序：斜率与两点顺序无关，无需刻意区分与。 一、单选题 1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·浙江·期中）对于直线，下面叙述正确的是（    ） A．斜率是1 B．斜率是 C．倾斜角是 D．倾斜角是 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·贵州六盘水·月考）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知直线的方程为，则的倾斜角为（　　） A． B．60° C．120° D．150° 8．（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·陕西渭南·月考）下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 10．（25-26高二上·四川凉山·期中）直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（　　） A．8 B．6 C．2 D． 11．（25-26高二上·贵州·期中）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·江西上饶·月考）已知不能构成三角形，则_____． 13．（24-25高二上·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为____________. 14．（25-26高二上·山西·月考）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 四、解答题 15．（24-25高二上·河南驻马店·月考）已知坐标平面内两点，，求直线的斜率和倾斜角； 16．（2025高二·全国·专题练习）已知直线l过点，且与以为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围． 17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 18．（25-26高二上·四川遂宁·月考）（1）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． （2）已知直线的方向向量为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率． 19．（25-26高二上·全国·单元测试）已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 直线的斜率与倾斜角（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线的斜率 知识点02：斜率的应用 知识点03：直线的倾斜角 知识点04：直线的倾斜角与斜率的关系 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：求直线的斜率 题型02：斜率的应用 题型03：直线的倾斜角 题型04：直线的倾斜角与斜率的关系 题型05：直线与线段的相交关系求斜率范围 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线的斜率 对于直线l上的任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2), (1)如果x1≠x2,那么由相似三角形的知识可知,是一个定值,我们将其称为直线l的斜率.k=(x1≠x2). (2)如果x1=x2,那么直线l的斜率不存在. 温馨提示　(1)当直线与x轴垂直时,斜率不存在. (2)当直线与y轴垂直时,斜率为零. (3)直线AB的斜率与A,B两点的顺序无关.也可以看作kAB===. 【例1】已知直线上两点、，求该直线的斜率；若两点为、，判断直线斜率是否存在。 解：（1）由两点斜率公式，代入、，得； （2）对于、，可知，满足“”的特殊情况，故该直线斜率不存在。 答案：的斜率为；的斜率不存在。 【知识点02】斜率的应用 核心应用：判断两条直线的位置关系（前提：两条直线均存在斜率，记为、） 1. 平行关系：两条直线平行（不重合）； 补充：若两条直线均垂直于x轴（斜率均不存在），则两条直线也平行。 2. 垂直关系：两条直线垂直； 补充：若一条直线斜率为0（平行于x轴），另一条直线斜率不存在（垂直于x轴），则两条直线也垂直。 3. 实际应用：通过两点坐标计算直线斜率，判断直线的倾斜趋势（时，直线从左到右上升；时，直线从左到右下降；时，直线水平）。 【例2】已知两条直线、的斜率分别为、，直线斜率为，判断与、与的位置关系。 解：（1）判断与：因，且未说明两直线重合，故； （2）判断与：计算，满足垂直关系判定条件，故。 答案：，。 【知识点03】直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时,所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度,我们把这个角α称为这条直线的倾斜角. (2)与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0. (3)直线的倾斜角α的取值范围为[0,π). 温馨提示　 (1)从运动变化观点来看,直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所转过的最小正角. (2)直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度,每一条直线都有唯一的倾斜角. (3)已知直线的倾斜角不能确定直线的位置,但是由直线上的一点和这条直线的倾斜角可以确定直线的位置. 注意：　 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论. (2)注意倾斜角的取值范围. 【例3】判断下列直线的倾斜角范围及倾斜趋势：（1）直线平行于x轴；（2）直线从左到右下降；（3）直线垂直于x轴。 解：（1）直线平行于x轴，根据定义，倾斜角，倾斜趋势为水平； （2）直线从左到右下降，结合倾斜角取值范围，倾斜角； （3）直线垂直于x轴，倾斜角，无斜率。 答案：（1），水平；（2），从左到右下降；（3），垂直于x轴。 【知识点04】直线的倾斜角与斜率的关系 1.设直线的倾斜角为α,斜率为k,则 k=tan α. 2.倾斜角与斜率的关系 α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k=0 k>0 不存在 k<0 k的增 减性 随α的增 大而增大 随α的增 大而增大 温馨提示　可利用y=tan x在[0,π)上的图象理解直线的斜率k与倾斜角α的关系. 求倾斜角的范围,一般先求出斜率,然后确定倾斜角的取值范围. 【例4】已知直线的倾斜角，求该直线的斜率；若倾斜角，求其斜率。 解：由倾斜角与斜率的核心关系式（）： （1）当时，； （2）当时，。 答案：时，；时，。 【题型01】求直线的斜率 【典例1-1】（25-26高二上·云南德宏·期末）直线经过点和点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率公式可得出直线的斜率. 【详解】直线经过点和点，则直线的斜率为. 故选：B. 【典例1-2】（多选）（25-26高二上·重庆·月考）已知直线经过点，且不经过第四象限，则直线的斜率的取值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】ABC 【分析】求出极端位置的斜率即可得到答案. 【详解】如图，，，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故. 对比选项可知ABC符合题意． 故选：ABC. 【典例1-3】（25-26高二上·福建龙岩·期中）直线经过两点、，则的斜率为_________. 【答案】 【分析】利用斜率公式求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率. 故答案为：. 【变式1-1】（25-26高二上·贵州黔南·期末）若直线经过两点，则直线的斜率为（   ） A． B．7 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】由斜率的坐标公式直接求解可得. 【详解】由斜率公式可得斜率． 故选：A． 【变式1-2】（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知，两点在直线l上，则直线l的斜率为________. 【答案】3 【分析】由斜率公式求解即可. 【详解】已知，两点在直线l上，则直线l的斜率为. 故答案为：3. 【变式1-3】（23-24高二上·山西临汾·月考）经过下列各组中两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1)，； (2)，． 【答案】(1)存在， (2)存在， 【分析】根据点的坐标判断直线的斜率是否存在，再根据斜率公式求出直线的斜率即可． 【详解】（1）因为，两点的横坐标不相等， 所以斜率存在，； （2）因为，两点的横坐标不相等， 所以斜率存在，. 【题型02】斜率的应用 【典例2-1】（25-26高二上·广西·阶段检测）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率与倾斜角关系即可得到答案. 【详解】设其倾斜角为，则，因为， 则. 故选：B. 【典例2-2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知三点共线，则实数的值为______. 【答案】4 【分析】根据A，B，C三点共线可得，然后利用两点间的斜率公式代入求解即可. 【详解】因为三点共线，所以， 所以，解得. 故答案为：. 【典例2-3】（2025高二·全国·专题练习）一束光线从点射入，经过轴（镜面）上的点反射后，过点，求点的坐标． 【答案】 【分析】解法一：设，由光的反射原理建立等式求解即可；解法二：求出点关于轴的对称点，设，由建立等式计算即可. 【详解】解法1：由光的反射原理易知，设， 则，解得，即． 解法2：因为点在入射光线上，所以点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上， 设，则， 所以，解得，即 【变式2-1】（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知点，，若直线的倾斜角为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】此题利用倾斜角求出斜率，代入两点坐标列方程求解，再检验分母不为零即可得到结果. 【详解】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为1，即，且，化简得，且，解得或且，，所以． 故选： D． 【变式2-2】（25-26高二上·内蒙古包头·月考）设，为实数，已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，则__________. 【答案】1 【分析】根据斜率公式直接可得. 【详解】由直线的斜率，且，，得，解得. 同理，解得，所以. 故答案为：1. 【变式2-3】（24-25高二上·广东东莞·月考）已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率公式计算即可； （2）由三点共线，可得，再根据斜率公式即可得解. 【详解】（1）由题意，解得； （2）， 因为三点共线，所以， 即，解得. 【题型03】直线的倾斜角 【典例3-1】（25-26高二上·湖南长沙·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线为，则直线的斜率，根据，可以得到， 结合直线倾斜角的取值范围为：，可得. 【典例3-2】（多选）（24-25高二上·广东湛江·月考）下列说法正确的是（   ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 【答案】ABD 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义，依次判断选项即可. 【详解】直线的倾斜角必定存在，且满足； 直线的斜率，但不是所有直线都存在斜率. 所以ABD正确，C错误. 故选：ABD 【典例3-3】（25-26高二上·江西宜春·期末）过，两点的直线的倾斜角为________. 【答案】/ 【分析】利用直线倾斜角与斜率的关系即可求得结果. 【详解】设该直线的倾斜角为，易知， 由题意知，即； 可得. 故答案为： 【变式3-1】（25-26高二下·江西赣州·阶段检测）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】由题意，直线为垂直于轴的直线， 根据直线倾斜角的定义，可判断其倾斜角为. 【变式3-2】（多选）（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）如图，若直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项． 【详解】由图像可知， 则， 故选：AD． 【变式3-3】（25-26高二上·四川乐山·月考）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）结合两点斜率公式，根据直线斜率列方程求解即可. （2）结合两点斜率公式和斜率的定义，根据直线斜率列方程求解即可. （3）根据直线的倾斜角为锐角得，利用两点斜率公式列不等式求解即可. 【详解】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率，所以； （2）由直线的倾斜角为可知，直线的斜率， 所以，解得； （3）由题意可知，直线的斜率，所以， 即，解得. 【题型04】直线的倾斜角与斜率的关系 【典例4-1】（25-26高二上·江苏连云港·期中）若经过，两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用直线斜率公式先计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】由题意有：， 故选：C. 【典例4-2】（多选）（25-26高二上·宁夏中卫·月考）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【详解】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD 【典例4-3】（25-26高二上·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为___________． 【答案】/ 【详解】∵，∴， 设过的直线的倾斜角为，则，∴． 【变式4-1】（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 【变式4-2】（多选）（25-26高二上·山东泰安·月考）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据倾斜角和斜率的函数关系，对选项一一分析即可得出答案. 【详解】对于A，取，则，则，故A错误； 对于B，若，即，故B正确； 对于C，若，则直线，的斜率存在且不为， 因为，又因为正切函数在，上单调递增， 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误; 故选：AD. 【变式4-3】（25-26高二上·江苏盐城·月考）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为．. 【题型05】直线与线段的相交关系求斜率范围 【典例5-1】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程可确定直线过定点；求出有公共点的临界状态时的斜率，即和；根据位置关系可确定的范围. 【详解】直线经过定点，又点，， 所以，， 又因为直线的斜率为，所以结合图形可得的取值范围为. 故选：A.    【典例5-2】（25-26高二上·江苏南通·月考）已知点，，若直线与线段相交，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】直线过定点，作图，数形结合求解即可. 【详解】直线过定点，而，， 由图可知，要使直线与线段相交， 则或，即的取值范围是． 故答案为： 【典例5-3】（2025高二·全国·专题练习）已知直线l过点P，点A的坐标为，点B的坐标为，若直线与线段有公共点，求l的倾斜角的取值范围． 【答案】 【分析】结合图形，根据过点的直线与线段有公共点，求出对应斜率，再求出倾斜角的取值范围。 【详解】 则， 当直线l过A时，设直线l的倾斜角为， 则， 所以要使直线l与线段AB有公共点， 则直线l的倾斜角的取值范围是． 故答案为： 【点睛】考查斜率的计算公式，以及斜率与倾斜角的关系。 【变式5-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得直线和的斜率，再结合图象即可求解. 【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交，    结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 【变式5-2】25-26高二上·江苏苏州·月考）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是______________．（用弧度制表示，写成区间形式） 【答案】 【分析】由题意画出图形，数形结合能求出使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围与倾斜角的范围． 【详解】    因为，，， ，， 则使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围为 又直线倾斜角的范围是：，且， 所以直线l的倾斜角的范围为. 故答案为：． 【变式5-3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，由此可得出当直线与线段无公共点时直线的斜率的取值范围； （2）分、两种情况讨论，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是．    故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 一、课堂小结（核心提炼） 本讲核心围绕直线的斜率与倾斜角展开，重点掌握“斜率定义与计算—斜率应用—倾斜角定义与范围—两者关联”四大模块，核心逻辑为：斜率和倾斜角均是描述直线倾斜程度的量，倾斜角是几何角度（有明确取值范围），斜率是代数量化值（可通过公式计算），二者通过建立关联，可结合两者解决直线位置关系、角度互求等问题。所有核心内容均用微软公式呈现，适配暑期预习巩固、快速梳理重点。 二、知识梳理 知识点1：直线的斜率（核心知识点） 1. 定义：描述直线倾斜程度的代数量，常用表示。 2. 核心计算公式（重点）： 已知直线上两点、，则： （前提：） 3. 特殊情况： （1）：直线垂直于x轴，斜率不存在； （2）：直线平行于x轴，斜率。 4. 关键性质：斜率与两点坐标顺序无关，即。 知识点2：斜率的应用（核心考点） 核心应用：判断两条直线的位置关系（前提：两条直线均存在斜率，记为、） 1. 平行关系：（不重合）； 补充：若两条直线斜率均不存在（均垂直于x轴），则两直线也平行。 2. 垂直关系：； 补充：若一条直线斜率为0（平行于x轴），另一条直线斜率不存在（垂直于x轴），则两直线也垂直。 3. 辅助应用：通过斜率符号判断直线倾斜趋势——（上升）、（下降）、（水平）。 知识点3：直线的倾斜角（核心知识点） 1. 定义：以x轴正方向为始边，绕直线与x轴的交点逆时针旋转到直线所成的最小正角，记为；直线与x轴重合或平行时，。 2. 取值范围（必记）：（弧度表示：）。 3. 特殊倾斜角对应特征： （1）：直线水平，； （2）：直线上升，； （3）：直线垂直x轴，不存在； （4）：直线下降，。 知识点4：直线的倾斜角与斜率的关系 1. 核心关系式（必记）： （前提：，即斜率存在） 2. 两者对应关系（清晰对应，方便记忆）： 倾斜角 斜率 核心说明 直线水平， 越大，越大（正切函数单调递增） 不存在 无意义，直线垂直x轴 ，利用诱导公式计算 3. 常用特殊角正切值（适配计算，必记）： ，，，，， 知识点5：易错点梳理 1. 混淆斜率存在条件：时，斜率不存在，不可用计算； 2. 倾斜角取值范围错误：牢记，不可写成； 3. 判断平行时遗漏重合情况：时，两直线可能平行或重合，需结合题意判断； 4. 计算斜率时颠倒两点坐标顺序：斜率与两点顺序无关，无需刻意区分与。 一、单选题 1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知直线经过点， ， 设直线的倾斜角为，则， ． 2．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率计算公式以及斜率和倾斜角关系即可求解. 【详解】由斜率公式得，所以直线l的倾斜角为． 故选：D. 3．（25-26高二下·浙江·期中）对于直线，下面叙述正确的是（    ） A．斜率是1 B．斜率是 C．倾斜角是 D．倾斜角是 【答案】B 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角，即可逐项判断. 【详解】直线，即为，所以斜率是，故A错误，B正确； 设直线的倾斜角为， 则，可得，所以倾斜角是，故CD错误. 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 5．（25-26高二上·贵州六盘水·月考）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【详解】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 6．（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程可得直线的斜率，再根据斜率的定义结合正切函数的性质运算求解. 【详解】因为直线，即的斜率， 又因为，且，所以. 故选：A. 7．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知直线的方程为，则的倾斜角为（　　） A． B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【分析】先由方程求出直线的斜率，再求出直线倾斜角即可. 【详解】直线的方程为，，故直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，又，即. 故选：D. 8．（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量得出斜率，再根据斜率的范围得出倾斜角的范围. 【详解】直线的方向向量， 所以斜率为，， 则， 则倾斜角的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·陕西渭南·月考）下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 【答案】BD 【分析】利用正切函数的单调性来判断即可． 【详解】由斜率与倾斜角的关系知， 因为正切函数在区间上单调递增，但它不是定义域内的增函数， 故A错误，B正确，C错误，D正确； 故选：BD 10．（25-26高二上·四川凉山·期中）直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（　　） A．8 B．6 C．2 D． 【答案】ABD 【分析】分别计算出直线的斜率即可求出结果. 【详解】如下图所示：    易知直线的斜率分别为， 结合图形可知当直线的斜率满足或时，满足题意； 因此直线的斜率可能是. 故选：ABD 11．（25-26高二上·贵州·期中）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用直线斜率与倾斜角之间关系求解即可. 【详解】由题可得三条直线在坐标系中的大概位置如下： 因为， 所以， 所以A不正确；B正确；C正确；D不正确； 故选：BC 三、填空题 12．（25-26高二上·江西上饶·月考）已知不能构成三角形，则_____． 【答案】 【分析】利用三点共线，则斜率相等，即可求解. 【详解】已知不能构成三角形， 所以三点共线，因为，所以直线的斜率存在， 即， 故答案为： 13．（24-25高二上·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为____________. 【答案】 【分析】根据两点求直线的斜率，再由斜率求倾斜角. 【详解】由题意：直线斜率， 设直线的倾斜角为，则，且. 所以. 故答案为：. 14．（25-26高二上·山西·月考）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】 【分析】分斜率存在与否两种情况进行分析，并根据斜率和倾斜角的关系确定直线的倾斜角的取值范围. 【详解】设直线的倾斜角为，则. 因为，， 当时，； 当时，，或. 当时，直线的斜率， 所以，得； 当时，直线的斜率， 所以，得. 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·河南驻马店·月考）已知坐标平面内两点，，求直线的斜率和倾斜角； 【答案】斜率为，倾斜角为 【分析】根据两点坐标利用求斜率公式求出斜率，根据直线倾斜角与斜率关系即可求出倾斜角. 【详解】因为，，所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，，所以. 16．（2025高二·全国·专题练习）已知直线l过点，且与以为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围． 【答案】 【分析】根据过定点的直线与线段的相交关系，可以求出直线的斜率的取值范围 【详解】如图所示， 直线PA的斜率， 直线PB的斜率， 直线l绕着P点从PA旋转到与y轴平行的位置PC时， 它的斜率的取值范围是． 直线l 绕着P点从PC 旋转到PB 时， 它的斜率的取值范围是． 所以直线l的斜率的取值范围是． 17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析． 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率，解得． 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率，解得或． 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为， 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 18．（25-26高二上·四川遂宁·月考）（1）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． （2）已知直线的方向向量为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用斜率的坐标公式，结合几何图形求出k的范围. （2）利用直线方向向量的意义求出的斜率，再利用二倍角的正切公式求解. 【详解】（1）两点，点，则直线的斜率分别为： ，，且的斜率存在，如图， 观察图形知，当且仅当或时，直线l与线段AB有公共点， 所以直线l的斜率k的取值范围是. （2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 由直线的方向向量为，得直线的斜率， 所以直线的斜率. 19．（25-26高二上·全国·单元测试）已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合两点求斜率，解不等式即可得出答案； （2）根据方向向量得，解方程即可得出答案. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，因为倾斜角为锐角， 所以直线的斜率， 又， 即，解得， 即的取值范围为． （2）直线的一个方向向量为， 所以， 解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $