河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高二下学期7月期末测试数学试题

**基本信息** 河南省信阳高级中学2025-2026学年高二下期期末数学试卷，以集合、函数、立体几何等知识为载体，通过动态几何（如动点问题）、实际情境（趣味体育竞赛）等设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、复数几何意义、向量范围、解三角形多解问题|结合动态几何（如等边三角形重心）考查空间观念，体现数学眼光| |多选题|3/18|命题否定、抛物线性质、函数零点|通过多选项设计考查逻辑推理，如抛物线焦点与中点问题| |填空题|3/15|三角函数求值、椭圆离心率、集合子集计数|融合代数运算与几何性质，如椭圆延长线交点求离心率| |解答题|5/77|三角函数应用、立体几何翻折、概率分布列、双曲线切线、导数极值证明|层次分明，从实际情境（体育竞赛概率）到综合证明（导数极值），考查数学建模与运算能力|

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二下期07月期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知点是边长为的等边边上一动点，为的重心，则的范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小联系是 A． B． C． D． 6．已知函数的图象在点处的切线经过坐标原点，则（   ） A． B． C． D． 7．已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 8．将数列 2，4， 6， 8， 10， 12， 14， 16 分为4组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为4且公差为的等差数列，则的最大可能值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．下列各结论正确的是（   ） A．“”是“”的充要条件 B．命题“，有”的否定是“，使” C．的最小值为2 D．若，则 10．设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．A，B为抛物线上的两点，点E为线段的中点，则所在的直线方程为 D．以线段为直径的圆与轴相切 11．已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，则______． 13．在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 14．从集合的子集中选出2个不同的子集A，B，且，则选法有________种． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数． (1)求的最小正周期及在上的单调递增区间； (2)在中，，，，若的平分线交BC于D，求AD的长． 16．（15分）如图，在梯形中，，，，，于点，于点，将沿翻折，将沿翻折，使得点重合为点. (1)证明：平面平面； (2)求四棱锥外接球的表面积； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分）树人中学积极践行“健康第一”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲､乙､丙三人通过第一轮的概率分别为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为，假设他们之间通过与否相互独立. (1)求从甲､乙､丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率； (2)记甲､乙､丙三人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 18．（17分）已知双曲线上任意一点，则过点M的切线方程为.已知焦点在x轴上的双曲线E：（，）的离心率为，且过点. (1)求双曲线E的方程； (2)过双曲线上点M的直线l为双曲线E的切线，l分别与直线，（）交于A，B两点，记直线，，的斜率分别为，，. （i）求证：； （ii）若，求t的值. 19．（17分）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)设是函数的两个极值点，证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二下期07月期末测试 数学答案 题号 2 3 5 7 8 10 11 答案 D D A A A C C BD BD BCD 12.3 √3 14.3”-2" 13.3 「5π1 15.(4)最小正周期为元，单调递增区间为3和6 6V5 (2)5 f(x)=2sin2x- 【分析】(1)利用倍角公式及辅助角公式得 6 再由三角函数的性质， 即可求解： (2根据条件符到4=。再利用等面积法结合三角形的面积公式建立方程，即可求解 f(x)=2v3sinxcosx+sin2x-cos2x=3sin2x-cos 2x=2sin 【详解】(1)因为 所以/()的最小正周期为T- +2m≤2x-1≤+2kkeZ,得到6 由2 +km≤xsT+m,k∈Z 62 2 则k=0时，6 5sxs4 ≤3，k=1时， 3, 又e0小，则0≤xe骨政产≤≤a o,r「5π 故’=/（在x∈[0，可上的单调递增区间为L0]和6 (2)由(1)知 )=2sn2x) 剥-224-224-}-1 所以24-名分2eZ,解得4-骨+keZ, 又4e0,,所以4-吾， 而∠A的平分线交BC于D且b=3,c=2,即∠BAD=∠CAD=元 6 由S.c=5m+So则besin= c·Asn∠BAD+b~ADn∠C4D, wx3x2x-x24Dx+x34D 即 22 22 2,解得 D=6V3 5 B 16.(1)证明：在梯形ABCD中，DE⊥AB于点E,故翻折后DE⊥PE,DE⊥EF, 又因为PEc平面PEF,EFc平面PEF,PEEF=E,所以DE⊥平面PEF, 又因为DEc平面DCFE,所以平面PEF⊥平面DCFE. 91π 2)3： √2i (3)14. 【分析】(1)通过折叠性质，可得DE⊥平面PEF,再结合面面垂直的判定定理，即可证 明； (2)根据几何体体特征，可得四棱锥P-DCFE外接球的球心O在过O'且与平面DCFE垂 (3 0 91 直的直线上，建立空间直角坐标系，设 由OP=OD=R,得R=2,进而可 求外接球的表面积： (3)由(2)建立的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出平面PDC与平面PFC的法 向量，再结合二面角的向量求法即可求解· 【详解】(1)略 (2)在梯形ABCD中，因为AB‖CD,AB=12,AD=BC=5,CD=4,DE⊥AB于点 E,CF⊥AB于点F, 所以四边形DCFE为矩形，且EF=CD=4,PE=AE=4,PF=BF=4,DE=CF=3. 取EF的中点M,连接PM,则PM⊥EF,且PM=25 因为DE⊥平面PEF,PMC平面PEF,故PM⊥DE,所以PM,DE,EF两两垂直. 所以以M为原点，过点M与DE平行的直线为x轴，以直线EF为y轴，以直线PM为z 轴，建立空间直角坐标系如下图所示， ZA 所以M(0.0,0),D(3,-2,0).C(3,2,0).F(0,20).P00,25) 因为四边形DCFE为矩形，所以EC与DF的交点O'到D,C,F,E的距离相等， 所以四棱锥P-DCFE外接球的球心O在过O'且与平面DCFE垂直的直线上， 03 设201 外接球的半径为R,由OP=OD=R,得 3 所以2，所以四楼维P-DCE外接球的表面积=机×R=9 /91 R= 3 (3)由(2)得DC=(0,40),Pc=(2,-25).所-(0,2，-25) 设平面PDC的法向量为 =(x,,z) [元·DC=0 「4y=0 则元PC=0,则13x+2y-232=0: 令：=5，得一个法向量 -5. 设平面PFC的法向量为 2=(2,2,232) 元·PC=0 3x2+2y2-2V3z2=0 则元，PF=0,则2y,-2322=0 令五=1，得一个法向量元-(05，)】 设平面PDC与平面PFC的夹角为O 0s0 则cos0= i 2 √21 x网21x214, 所以平面 与平面 夹角的余弦值为√21 2 PDC PFC 14 2 17.(1)45 (2) X 0 2 3 1 P 7 10 20 2-5 20 )- 【分析】(1)利用全概率公式求解： 4 (2)记甲.乙，丙通过第二轮的事件分别为4，B,C,分别求 P()P(B)P(C),由题意 得到X的所有可能取值，分别求出每个X可能取值的概率，求出X的分布列和数学期望 A,A,A 【详解】(1)记随机选择甲、乙、丙的事件分别为 ,进入第二轮的事件记为M, M=AM+AM+AM 则 由愿意得P(4)=P(4)=P(4)写PM14)=子PM4)-号P(M4)手 P(M)=P(AM)+P(AM)+P(AM) 所以 =P(A)P(MA)+P(A)P(M4)+P(A)P(MA) 1.2.12.1432 333335451 (2)记甲、乙、丙通过第二轮的事件分别为A,B,C, 则P0号P(=1-P0- Pa-}P国=I-P- Pc-含P@=I-po) 2 由题意得X的所有可能取值为0,1,2,3， 则Px-0-c-号0 Px-0-小P((叫网-*3号 P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) 1.13.113.11282 =2×2x5+225+2×2×5205 Prx==P40-号 所以X的分布列为 5 0 3 1 7 2 3 10 20 5 20 7 所以X的数学期望为E(X)=0 3328 +1× +2×二+3× 10 20 20205 18-2=1 2)（1)证明见解析；（市） 2 【分析】(1)根据双曲线离心率公式求出a=b，再代点求解得到双曲线的标准方程 1 Xox-yoy=1 (2)()根据题意，过双曲线E上点M的切线 利用斜率公式直接化简可 得： S△Moy=OA_M4 画由0+0BB,因头0=中 0B2=2+ +1 MA_。-I OAMA 、%, 图为B5,+,代入oBg,短/以 2 【称14)因为双E号茶=o>a6>0离心速为名号=石 则a=b, 又因为过点)，则子是1，得a61 2-y2=1 所以双曲线E的方程为 (2)()根据题意， M(,）,过双曲线B上点M的切线 l xox-yoy=1 .）】 6 xo1-1 -x1-1 所以k=山，=少=山，飞=少=型+山， Xo t tyo -t tyo +6=-1++12 则 y%%, k+k2= 则 (i)由∠AOM+∠BOM=元， S.OM= LOA:OM sin∠AOM OA 故SBOM )OB:OM sin∠BoM OB, SAAOM=2 A.h MA 又SABOM BAB（为点到直线1的距离)， OA MA 则OBMB' 因为 -r八，ow月 MA xo-t OA MA 又因为MB x+t,代入OBMB, 2+c-1）2 (玉-)2 得 +1 + (+),又因为 % y哈=x6-1 (号-1)r2+(x。-1_(x-t)} 化简得（名-）P+(+（(:+, 2x2-2+1-t2）x-2+8 即2x2+2。+(1-2)x号+2x+F, 1 2x2-2,+1-2)】-[2x+2+(1-)】_[x-2+2]-[x6+2+2] 则[2r-2m+0-r】+2Gr+2m+-r】-2m+r]F[c+2+叮 -4x0 -4x0 可得4x2+21-)）2(号+)， >0,x≠0 因为 所以42+20-)=2(+） 即（G-(2r-)=0,因为点M不可能为双曲线顶点，即， √2 t= 又t>0,所以2 19.(1)4x-2y-3=0 (2) 当4≥0时，（的单调递增区间为 ,+0) 无减区间： 0,-a 当a<0时，f(x)的单调递增区间为 a, f(x)的单调递减区间为a (3) g()=f(）-ax=lnx+g-m, 则g-+a-a-a1 因为，0<<)是函数()=/(m 的两个极值点， 即，60<<）是方程m2-ax+1=0的两不等正根， a2-4a>0 x+x2=1>0 所以 =>0·得 a >4 =,0<t<1 令2 则+，=G= a 1 (t+1)2 得 tx 17 (t+1 则5-+--日小0高品 商)g6)-h+分-西{+号-匹-h路+G-)aG） =h号+号-为+)-a%)=h毫--) =n++1=n1-=1 2tt+1 2t, e6awHg-小ar号：，h:r-2ey- 令h0=2h+)-1-1,0<1<1 则0=-10， 所以h0在Q1)上单调递指， 所以0h0=2h2-2=2h2-1)<0 9 所以8)86s)广-na小s0 即g(G)-g(x)<g-Ina. 2 【分折】(1)求导，然后求出0，f) 根据点斜式写出直线方程： (2)求导，然后分0≥0和a<0讨论求f) 的单调区间： x=t,0<t<1 (3)根据极值点为导函数的零点，令x, ,利用韦达定理将a用t表示，代入 g(x)-g(s) (3-Ma 构造函数求其最值即可 【详解】（④）当a=1时，f()-=x+分， 得了=+，则/0=2，f0= 所以切线方程为=2(x-+分，即4-2y-3=0: (2)f'()-+ar=1+ar x, 当≥0时.f>0恒成立，因在0，+)上草调造道，无减区同。 当a0时，令f()>0,得0<r<- a,f(x)单调递增， 令水0，用 a,f()单调递减， 综合得：当a≥0时， )的单调递增区间为 ,+0) 无减区间： 0,- √-a √-a 当a<0时，f(x)的单调递增区间为 a, f(x)的单调递减区间为a1 10 (3)略 【点睛】关键点睛：对于双变量问题，我们需要通过换元转化为单变量问题，本题就是利 =t,0<t<1 用韦达定理，令x 达到消元的目的，常用的换元有 1=书-，1=xx,1=当 1等 11