精品解析：河南商丘市商师联盟2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册，必修第一册第一章～第三章第2节函数基本性质结束． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到.已知，依据的独立性检验，结论为（ ） A. 变量X与Y独立 B. 变量X与Y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 C. 变量X与Y不独立 D. 变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 5. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 现有甲、乙、丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产件，乙车间每日生产件，丙车间每日生产件，产品的合格率分别为、、，现随机抽取件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自丙车间的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某高中安排甲、乙、丙、丁四位老师参加高考号、号、号三天的巡考工作，每天需安排位老师，分别负责上午和下午．若每位老师至少安排天巡考，且老师甲不能安排在号，老师乙、丙不能安排在同一天，则不同的安排方法总数为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，无最小值 C. 若是上的减函数，则实数的取值范围为 D. 若且方程恰有个不等实根，则或 11. 已知函数的导函数为，且满足，，，若函数有个零点、、，则下列说法正确的是（ ） A. 实数的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的最大值是 D. 若在上的值域为，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，项的系数为________．（用数字作答） 13. 已知，则的最小值为________． 14. 已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求及； （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数是定义域为的奇函数，满足． （1）求实数，的值； （2）求关于的不等式的解集． 17. 某文创用品厂家研究发现，生产一种新产品需投入固定成本万元，每月需另投入的流动成本（万元）与成正比（其中（件）表示产量），并知当生产件该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（件）的函数关系为（万元）（其中）．记当月销售该产品件获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元（生产成本固定成本流动成本）． （1）求函数的解析式； （2）当产量为何值时，该工厂的月利润最大？最大利润是多少？（，结果精确到0.1） 18. 某学校组织开展“学习强国”知识竞赛．竞赛设置个不同的题目，参赛人员分为、、三组，其中组人，组人，组人． （1）已知参赛人员甲能正确作答这个题目中的个题目，求从这题中任取题，甲至少回答正确题的概率； （2）现从参加比赛的这人中随机抽取人，记抽到的组人数为，组人数为．设，求的分布列及期望； （3）已知参赛人员乙能准确作答这题中的（，且）题．若从这个题中随机抽取个让乙作答，当变化时，要使得恰好答对题的概率取到最大值，求此时的取值． 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，求的极值； （3）当时，恒成立，求的取值集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册，必修第一册第一章～第三章第2节函数基本性质结束． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，集合有个元素，故集合的真子集个数为. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】因为命题，，由全称量词命题的否定可得，. 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，等式两边求导得， 所以，解得. 4. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到.已知，依据的独立性检验，结论为（ ） A. 变量X与Y独立 B. 变量X与Y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 C. 变量X与Y不独立 D. 变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 【答案】A 【解析】 【分析】利用独立性检验规则来进行判断即可。 【详解】因为，所以没有充分的证据推断变量X与Y不相互独立，即认为变量X与Y独立，故BCD错误，A正确； 故选：A. 5. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过对进行分类讨论来求解不等式恒成立问题. 【详解】首先，若，明显不恒成立. 若，恒成立. 若，可知当时最大， 所以即可， 解得. 所以综上所述，. 6. 现有甲、乙、丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产件，乙车间每日生产件，丙车间每日生产件，产品的合格率分别为、、，现随机抽取件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自丙车间的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记事件、、分别表示随机抽取的件产品为甲、乙、丙车间生产的，事件为随机抽取件产品检验为不合格品，利用全概率公式求出的值，再结合条件概率公式求出的值. 【详解】记事件、、分别表示随机抽取的件产品为甲、乙、丙车间生产的，事件为随机抽取件产品检验为不合格品， 则，， 且，，， 由全概率公式可得 ， 由条件概率公式可得. 所以随机抽取件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自丙车间的概率为. 7. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过内单调递增的前提构造关于的不等式，通过函数单调性求解的范围. 【详解】因为，所以. 时恒成立，即在时恒成立. ， 所以时单调递增， 时单调递减. . 所以即可，解得. 8. 某高中安排甲、乙、丙、丁四位老师参加高考号、号、号三天的巡考工作，每天需安排位老师，分别负责上午和下午．若每位老师至少安排天巡考，且老师甲不能安排在号，老师乙、丙不能安排在同一天，则不同的安排方法总数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对甲安排的时间段进行分类讨论：（1）安排个时间段；（2）甲安排个时间段.然后确定其它时间段的安排，结合分步乘法和分类加法计数原理可得结果. 【详解】分以下几种情况讨论： （1）甲安排个时间段，则甲安排在号或号的个时间段，则甲有种选择， 例如甲安排在号上午，若号下午安排乙，则另外两天的安排组合是乙丁、丙丁或丙丁、丙丁， 此时，不同的安排方法种数为种； 若号下午安排丙，同理可知，不同的排法种数也为种； 若号下午安排丁，则另外两天的安排组合是乙丁、丙丁，此时不同的排法种数为种. 所以若甲安排个时间段，则不同的排法种数为种； （2）甲安排个时间段，则甲安排在号、号各一个时间段，此时有种选择， 若号、号各剩余的一个时间段都安排乙，则号的个时间段分别安排丙、丁，此时有种选择； 若号、号各剩余的一个时间段都安排丙，同理可知号的个时间段有种选择； 若号、号各剩余的一个时间段安排乙丙，则号的个时间段可安排乙丁或丙丁， 此时不同的安排方法种数为种； 若号、号各剩余的一个时间段安排乙丁，则号的个时间段安排丙丁， 此时不同的安排方法种数为种； 若号、号各剩余的一个时间段安排丙丁，同理可知不同的安排方法种数为种. 所以若甲安排个时间段，此时不同的安排方法种数为. 综上所述，不同的安排方法总数为种. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】选项A，因为，所以，错误. 选项B，因为，所以，又，因此，正确. 选项C，因为，所以，又因为，所以，正确. 选项D，，若，正负性无法确定，错误. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，无最小值 C. 若是上的减函数，则实数的取值范围为 D. 若且方程恰有个不等实根，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入函数解析式计算可判断A选项；取，求出函数的最小值可判断B选项；利用分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，求出的范围，可判断C选项；分析可知直线与函数的图象有两个交点，数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，则， 故，故A正确； 对于B选项，不妨取，则， 当时，，故函数在上单调递减， 此时， 当时，， 综上所述，当时，函数存在最小值，且最小值为，故B错误； 对于C选项，若是上的减函数， 则函数在上单调递减，则，解得， 函数在上为减函数，则， 且有，解得. 综上所述，若是上的减函数，则实数的取值范围为，故C正确； 对于D选项，当时，， 由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 故当且方程恰有个不等实根时，或，故D正确. 11. 已知函数的导函数为，且满足，，，若函数有个零点、、，则下列说法正确的是（ ） A. 实数的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的最大值是 D. 若在上的值域为，则的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，并作出函数的图像，从而得到的范围，可判断A选项；由可得出，结合A选项可判断B选项；通过利用、、的关系消元得到，利用的范围求最大值可判断C；的单调性及极值点结合函数的图像求得的最大值可判断D. 【详解】因为，则， 由题意可得，解得，所以， 对于A选项，，由可得或，列表如下： 递增 极大值 递减 极小值 递增 由题意可知，直线与函数的图象有三个交点，如下图所示： 由图可知，实数的取值范围是，故A正确； 对于B选项，由题意可知， 即， 所以，故B错误； 对于C选项，， 因为，所以， 由图可知，所以当时，，故C正确； 对于D，因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，， 所以时，；时，， 所以由在上的值域为，得，所以， 当，时，取到最大值，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，项的系数为________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】， 所以当时，解得. 所以. 13. 已知，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过凑出均值不等式的前提条件后求解. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当时等号成立. 14. 已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】通过关于的对称性以及奇函数的性质求解的周期，进而对化简求解. 【详解】因为，， 所以， ，故关于直线对称. ，，又因为为奇函数， 所以，周期为. 设，， ，，，，，， 所以，又因为，所以得到，即， ，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求及； （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出集合，根据并集的定义可求得集合，根据补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可得，分、两种情况讨论，根据题意以及集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围； （3）由题意可知集合是集合的真子集，可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 由，解得，所以． 当时，，所以， 或，所以． 【小问2详解】 因为，所以， ①当时，，解得； ②当时，则，解得． 综上所述，实数的取值范围为． 【小问3详解】 由是的充分不必要条件，知集合是集合的真子集， 所以，解得， 当时，，此时是的真子集，符合题意. 故实数的取值范围是． 16. 已知函数是定义域为的奇函数，满足． （1）求实数，的值； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，则， 由函数为奇函数得，即，解得． 又，则， 即，． 【小问2详解】 由（1）知． ，且， ． 因为，所以，，． 又，，所以，即， 所以在区间上是增函数． 所以，即， 则有解得， 即不等式的解集为． 17. 某文创用品厂家研究发现，生产一种新产品需投入固定成本万元，每月需另投入的流动成本（万元）与成正比（其中（件）表示产量），并知当生产件该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（件）的函数关系为（万元）（其中）．记当月销售该产品件获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元（生产成本固定成本流动成本）． （1）求函数的解析式； （2）当产量为何值时，该工厂的月利润最大？最大利润是多少？（，结果精确到0.1） 【答案】（1） （2）当时有最大利润为万元． 【解析】 【分析】（1）设，根据可求出的值，再根据可得出函数的解析式； （2）利用导数分析函数在上的单调性与极值，即可得出函数的最大值，即可得出结论. 【小问1详解】 设，代入，得，所以， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以万元， 所以当时有最大利润为万元． 18. 某学校组织开展“学习强国”知识竞赛．竞赛设置个不同的题目，参赛人员分为、、三组，其中组人，组人，组人． （1）已知参赛人员甲能正确作答这个题目中的个题目，求从这题中任取题，甲至少回答正确题的概率； （2）现从参加比赛的这人中随机抽取人，记抽到的组人数为，组人数为．设，求的分布列及期望； （3）已知参赛人员乙能准确作答这题中的（，且）题．若从这个题中随机抽取个让乙作答，当变化时，要使得恰好答对题的概率取到最大值，求此时的取值． 【答案】（1） （2）的分布列为： ． （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）由题意可知的所有可能取值为、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）求出乙恰好答对题的概率为，令，由，且，分析的单调性，可求出的最大值及其对应的值，即可得出结论. 【小问1详解】 由题知题甲都回答错误的概率， 所以甲至少回答正确题的概率为． 【小问2详解】 由题知的所有可能取值为、、、、， 所以，， ，，， 则的分布列为： X P 所以． 【小问3详解】 从这个题中随机抽取个让乙作答，恰好答对题的概率为， 设，由，且，得， 所以 显然，， 令， 当时，有，，即， 此时； 当时，有，，即， 此时，即，所以． 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，求的极值； （3）当时，恒成立，求的取值集合． 【答案】（1） （2）当时，在上无极值， 当时，在上有极小值，无极大值． （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）求得，然后分、两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，即可得出函数的极大值和极小值； （3）求得，根据解得，然后对实数的取值进行分类讨论，分析函数在定义域上的单调性，验证当时，是否恒成立，综合可得出实数的取值. 【小问1详解】 当时，，， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 由题意知，且定义域为，则． ①当时，在上恒成立， 故在上单调递减，所以在上无极值； ②当时，令，则， 令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在时，取得极小值，无极大值. 综上所述：当时，在上无极值； 当时，在上有极小值，无极大值． 【小问3详解】 因为， ， 由题意，当时，恒成立，则，解得， 当时，即时，当时，，在上单调递增，则，此时，矛盾； 当时，即时， 当时，，在上单调递增，则，此时，矛盾； 当时，即时，，在上单调递减， 则当时，，恒成立， 当时，，恒成立，故满足题意； 当时，又，即时， 当时，，在上单调递增，则，此时，，矛盾． 综上可得，的取值集合为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $