精品解析：黑龙江省哈尔滨市阿城区2025-2026学年七年级下学期期末调研数学试卷

阿城区七年级期末调研测试数学学科试卷 2026.07 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”书写（填涂）在答题卡正面和背面的规定位置，将“条形码”准确粘贴在条形码区域处． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷选择题（涂卡） 一、选择题：（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，根据定义直接求解即可； 【详解】解：的相反数是． 2. 已知点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，根据第二象限点的横纵坐标符号规则即可求解． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， 又∵点在第二象限，纵坐标满足条件， ∴． 3. 如图，将一张剪开的矩形纸片沿着所在直线错位拼接，点在一条直线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由平行线的性质得到，求出，再由对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由平行线的性质可知， ， ， ． 4. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 B. 同位角相等 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等但不是对顶角，∴选项A是假命题； ∵只有两直线平行时，同位角才相等，选项缺少前提条件，∴选项B是假命题； ∵只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，∴选项C是假命题； ∵垂线段最短是垂线的基本性质，∴选项D是真命题． 6. 如果，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：由于不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，则，故A正确； 选项B：由于不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，则，故B错误； 选项C：由于不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，则，故C错误； 选项D：由于，移项得，故D错误． 7. 《望天门山》一诗通过对天门山景色的描绘，不仅展现了大自然的神奇壮丽，更体现了李白诗歌中情景交融的艺术境界，诗的前两句为“天门中断楚江开，碧水东流至此回”．小冉将“碧”“水”“东”“流”写在如图所示的网格中．若建立平面直角坐标系，使“碧”“水”的坐标分别为，，则“东”的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知点的坐标，建立直角坐标系，进而读出“东”的坐标即可. 【详解】解：∵“碧”“水”的坐标分别为，， ∴如图建立平面直角坐标系得： ∴“东”的坐标为. 8. 如图是某饮品店经过一段时间的统计后，绘制的关于“卖出的冷饮杯数与当天最高气温之间关系的趋势图”．请你预测一下，当一天的最高气温为时，饮品店卖出的冷饮杯数大约为（ ） A. 155杯 B. 140杯 C. 130杯 D. 120杯 【答案】A 【解析】 【详解】解：观察统计图可知，随着温度的升高，卖出的冷饮杯数随着气温的升高逐渐呈现上升趋势，且温度每升高，冷饮杯数大约增加5杯， 由统计图可知时，冷饮杯数约为150杯，则时，饮品店卖出的冷饮杯数约为155杯． 9. 我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为人，银子为两，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只需根据两种分银子的情况找到对应等量关系，即可列出方程组 【详解】解：设客人为人，银子为两， ∵ 每人分7两，还剩4两，即分出去的银子等于总银子减去剩余的银子， ∴ ， ∵ 每人分9两，还差8两，即需要的总银子等于现有银子加上还差的银子， ∴ ， 因此可得方程组 10. 在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖(如图)．光线从空气射到玻璃砖上表面点B并发生了折射，折射光线射到玻璃砖下表面C处，点D在的延长线上，若，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，“对顶角相等”．先由“两直线平行，内错角相等”，得到，结合已知条件，以及“对顶角相等”，求得的度数． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 第Ⅱ卷非选择题 二、填空题：（每小题3分，共30分） 11. 4的算术平方根是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：的算术平方根是． 12. 如图，木条a，b与木条c钉在一起，，转动木条a．当______°时，木条a与b平行． 【答案】70 【解析】 【分析】根据题意可知，再结合“同位角相等，两直线平行”得出答案． 【详解】解：如图， 木条转动时． 当时，． ∴当时，木条a与b平行． 13. 神舟二十三号飞船于北京时间2026年5月24日在酒泉卫星发射中心发射，二十三号载人航天飞船在发射前，需调查其零部件的质量，则采用最合适的调查方式为_________．（填“全面调查”或“抽样调查”） 【答案】全面调查 【解析】 【分析】结合调查的重要性与要求，根据全面调查和抽样调查的适用场景进行判断． 【详解】解：根据题意，飞船零部件质量直接关系发射安全，必须保证每个零部件都合格，因此需要对所有零部件进行检查，最合适的调查方式为全面调查． 14. 若点在x轴上，则点P的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据x轴上点的纵坐标为，可求出的值，再代入计算得到点的横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 15. 计算：_________． 【答案】6 【解析】 【分析】先化简绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：． 16. 在平面直角坐标系中，将向右平移3个单位后，得到的点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据坐标与图形平移的规律，横坐标右移加，左移减，纵坐标平移过程中保持不变，据此计算即可得到结果． 【详解】解：将点向右平移3个单位，平移后点的横坐标为，纵坐标不变，仍为，因此得到的点的坐标为． 17. 若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将代入方程即可求出的值； 【详解】解：把代入，得， 移项合并同类项得， 解得：． 18. 如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数阵中数字的特点总结规律求解即可． 【详解】解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根， 且第1行的第1个数是1的算术平方根，而， 第2行的第1个数是3的算术平方根，而， 第3行的第1个数是7的算术平方根，而， 第4行的第1个数是13的算术平方根，而， …… 第8行的第1个数是的算术平方根，即， 第6个数是的算术平方根，即． 19. 已知：如图，，点M、N分别在直线、上，点E是直线、内部的动点，，则的度数为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当点、在点的右侧时，作，当点、在点的左侧时，作，分别结合平行线的性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图，当点、在点的右侧时，作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图，当点、在点的左侧时，作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 20. 定义新运算，规定：（其中x、y为任意实数，a、b均为非零常数），例如．若，，则下列结论：①，；②若，则；③若，则满足要求的正整数x与y的值仅有1组；④若，其中，则y的最大值为．所有正确结论的序号为________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先根据已知条件列二元一次方程组求出和的值，判断①，再依次根据新运算规则，对②③④分别化简判断，得到正确结论． 【详解】解：由得，即， 由得，即， 解方程组得，故①正确； ∴ 若，则，整理得，故②正确． 若，则，整理得， 要求均为正整数，则，且， ∴， ∴不存在满足条件的正整数，故③错误． ， ， 若， 则， 解得， 因此的最大值为，故④正确． 综上所述，所有正确结论的序号为①②④． 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分；25～27题各10分，共计60分） 21. 解决下列问题： （1）解方程组； （2）解不等式组，并写出x的所有整数解． 【答案】（1）； （2），，0，1，2 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， 由得③， 由得， 解得， 将代入①得， 解得， 原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴所有整数解为，0，1，2． 22. 如图，平面直角坐标系中，，，． （1）在坐标系中画出线段，平移线段，使点B移动到点C，画出平移后的线段； （2）画出点C到y轴的距离，延长并在的延长线上截取，直接写出点M的坐标． 【答案】（1）解：所求图形，如图所示； ； （2）解：所求图形，如图所示； 【解析】 【分析】（1）根据点A，B的坐标在平面直角坐标系中描出点A，B，连接即可得到线段，根据平移的性质即可作出平移后的线段； （2）过点C作轴于点E，则的长为点C到点E的距离，由可得，延长，取，即可得点M的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 某中学做了如下表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生周家务劳动的时间 调查方式 调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内） 调查内容 你的周家务劳动时间x（单位：h）是________． ①，②，③，④，⑤ 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次调查的方式是__________（填“全面调查”或“抽样调查”）参与本次问卷调查的学生人数为__________人；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为__________； （2）通过计算补全频数直方图； （3）若该校七年级学生共有500人，估计周劳动时间不低于2.5小时的学生人数． 【答案】（1）抽样调查；100，； （2）补全频数直方图如下： （3）225人 【解析】 【分析】（1）根据题意即可得出调查方式，利用②组的人数除以所占比例即可得出总人数，用乘以④组人数所占的比例即可得出圆心角度数； （2）先求出③组的人数，再补全频数直方图即可； （3）利用乘以周劳动时间不低于2.5小时的学生人数所占的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得：本次调查的方式是抽样调查； 参与本次问卷调查的学生人数为人； 在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：③组人数为：（人）， 图略； 【小问3详解】 解：（人）， 故估计周劳动时间不低于2.5小时的学生人数为225人． 24. 图1是2026年米兰冬季奥运会和残奥会的官方会徽，名为“Futura”，寓意“未来是每个人的胜利”，主体是一笔连贯线条勾勒出的数字“26”，象征着细小行为也能改变世界，图2是其示意图． 已知：，，求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：， ① （ ② ）． ， 又， ． ③ ． （ ④ ）． ． 【答案】①；②内错角相等，两直线平行；③；④内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据所给的证明过程，结合平行线的判定方法进行补充即可． 【详解】证明：， （内错角相等，两直线平行）． ， 又， ． ． （内错角相等，两直线平行）． ． 25. 根据所给材料，完成下列任务． 背景 东北地区城市足球联赛持续在哈尔滨市阿城区火热开赛，赛事期间多地参赛队伍、观赛群众与体育爱好者来到阿城，汇聚海量人流热度，激活赛事经济，某文创店经销A、B两种手工编织玩偶． 素材一 该文创店在进货时发现，购进10个A种玩偶和5个B种玩偶共需140元；购进5个A种玩偶和10个B种玩偶共需160元． 素材二 为满足市场需求，该文创店决定购进A、B两种玩偶100个，且购进的总费用不超过1060元． （1）每个A种玩偶和每个B种玩偶的进价分别是多少元？ （2）求该文创店至少购进A种玩偶多少个？ 【答案】（1）每个A种玩偶的进价是8元，每个B种玩偶的进价是12元； （2）该文创店至少购进A种玩偶35个 【解析】 【分析】（1）设每个A种玩偶进价是x元，每个B种玩偶的进价是y元．根据“购进10个A种玩偶和5个B种玩偶共需140元；购进5个A种玩偶和10个B种玩偶共需160元”列出方程组，求解即可； （2）设购进A种玩偶m个，根据“购进的总费用不超过1060元”列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设每个A种玩偶进价是x元，每个B种玩偶的进价是y元．根据题意，得 ， 解得， 答：每个A种玩偶的进价是8元，每个B种玩偶的进价是12元； 【小问2详解】 解：设购进A种玩偶m个．根据题意，得 ， 解得， 答：该文创店至少购进A种玩偶35个． 26. 如图，四边形中，点E在延长线上，连接交于F，，． （1）求证：； （2）如图1，若，求证：平分； （3）如图2，在（2）的条件下，，点M在上，点N在上，，平分交于点H，连接，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； （3） 【解析】 【分析】（1）由得到，从而，即可得出，从而证明； （2）由得到，由得到，因此．由平行线的性质得到，从而，即可得证结论； （3）由平行线的性质结合，可得，， 设，，因此，从而．由平行线的性质与角平分线的定义得到，因此，根据角平分线的定义得到，可得，从而，再由直角三角形两锐角互余求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， 设，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． 27. 定义：对于平面直角坐标系中的点，若点N的坐标为（其中为大于0的常数），则称点N为点M的k伴随点，请完成下列各题． （1）点的2伴随点的坐标为_________，点的5伴随点的坐标为_________； （2）如图，若点在y轴的正半轴上，点B为点A的k伴随点，连接，，若，三角形的面积为9，求m的值； （3）在（2）的条件下，过点B作轴于点C，点D为x轴正半轴上的动点，直线与直线相交于点E，以O、A、E、C为顶点的四边形的面积记为，三角形的面积记为，是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（1），； （2）； （3）是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）根据定义计算即可得出结果； （2）由题意可得，点的坐标为，从而得出，，结合，得出，再由三角形面积公式计算即可得出结果； （3）分两种情况：当在上时，过作于，当在延长线上时，分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：点的2伴随点的坐标为，即， 点的5伴随点的坐标为，即； 【小问2详解】 解：∵点在y轴的正半轴上，点B为点A的k伴随点， ∴，点的坐标为，即， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵三角形的面积为9， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得，，， 当在上时，过作于， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ； 当在延长线上时， 则 ∴ ， 综上所述，是定值，这个定值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阿城区七年级期末调研测试数学学科试卷 2026.07 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”书写（填涂）在答题卡正面和背面的规定位置，将“条形码”准确粘贴在条形码区域处． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷选择题（涂卡） 一、选择题：（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数是（ ） A. 6 B. C. D. 2. 已知点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将一张剪开的矩形纸片沿着所在直线错位拼接，点在一条直线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 B. 同位角相等 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 垂线段最短 6. 如果，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 《望天门山》一诗通过对天门山景色的描绘，不仅展现了大自然的神奇壮丽，更体现了李白诗歌中情景交融的艺术境界，诗的前两句为“天门中断楚江开，碧水东流至此回”．小冉将“碧”“水”“东”“流”写在如图所示的网格中．若建立平面直角坐标系，使“碧”“水”的坐标分别为，，则“东”的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某饮品店经过一段时间的统计后，绘制的关于“卖出的冷饮杯数与当天最高气温之间关系的趋势图”．请你预测一下，当一天的最高气温为时，饮品店卖出的冷饮杯数大约为（ ） A. 155杯 B. 140杯 C. 130杯 D. 120杯 9. 我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为人，银子为两，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖(如图)．光线从空气射到玻璃砖上表面点B并发生了折射，折射光线射到玻璃砖下表面C处，点D在的延长线上，若，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷非选择题 二、填空题：（每小题3分，共30分） 11. 4的算术平方根是_____． 12. 如图，木条a，b与木条c钉在一起，，转动木条a．当______°时，木条a与b平行． 13. 神舟二十三号飞船于北京时间2026年5月24日在酒泉卫星发射中心发射，二十三号载人航天飞船在发射前，需调查其零部件的质量，则采用最合适的调查方式为_________．（填“全面调查”或“抽样调查”） 14. 若点在x轴上，则点P的坐标为_________． 15. 计算：_________． 16. 在平面直角坐标系中，将向右平移3个单位后，得到的点的坐标为__________． 17. 若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为_________． 18. 如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 19. 已知：如图，，点M、N分别在直线、上，点E是直线、内部的动点，，则的度数为_________． 20. 定义新运算，规定：（其中x、y为任意实数，a、b均为非零常数），例如．若，，则下列结论：①，；②若，则；③若，则满足要求的正整数x与y的值仅有1组；④若，其中，则y的最大值为．所有正确结论的序号为________． 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分；25～27题各10分，共计60分） 21. 解决下列问题： （1）解方程组； （2）解不等式组，并写出x的所有整数解． 22. 如图，平面直角坐标系中，，，． （1）在坐标系中画出线段，平移线段，使点B移动到点C，画出平移后的线段； （2）画出点C到y轴的距离，延长并在的延长线上截取，直接写出点M的坐标． 23. 某中学做了如下表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生周家务劳动的时间 调查方式 调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内） 调查内容 你的周家务劳动时间x（单位：h）是________． ①，②，③，④，⑤ 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次调查的方式是__________（填“全面调查”或“抽样调查”）参与本次问卷调查的学生人数为__________人；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为__________； （2）通过计算补全频数直方图； （3）若该校七年级学生共有500人，估计周劳动时间不低于2.5小时的学生人数． 24. 图1是2026年米兰冬季奥运会和残奥会的官方会徽，名为“Futura”，寓意“未来是每个人的胜利”，主体是一笔连贯线条勾勒出的数字“26”，象征着细小行为也能改变世界，图2是其示意图． 已知：，，求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：， ① （ ② ）． ， 又， ． ③ ． （ ④ ）． ． 25. 根据所给材料，完成下列任务． 背景 东北地区城市足球联赛持续在哈尔滨市阿城区火热开赛，赛事期间多地参赛队伍、观赛群众与体育爱好者来到阿城，汇聚海量人流热度，激活赛事经济，某文创店经销A、B两种手工编织玩偶． 素材一 该文创店在进货时发现，购进10个A种玩偶和5个B种玩偶共需140元；购进5个A种玩偶和10个B种玩偶共需160元． 素材二 为满足市场需求，该文创店决定购进A、B两种玩偶100个，且购进的总费用不超过1060元． （1）每个A种玩偶和每个B种玩偶的进价分别是多少元？ （2）求该文创店至少购进A种玩偶多少个？ 26. 如图，四边形中，点E在延长线上，连接交于F，，． （1）求证：； （2）如图1，若，求证：平分； （3）如图2，在（2）的条件下，，点M在上，点N在上，，平分交于点H，连接，，求的度数． 27. 定义：对于平面直角坐标系中的点，若点N的坐标为（其中为大于0的常数），则称点N为点M的k伴随点，请完成下列各题． （1）点的2伴随点的坐标为_________，点的5伴随点的坐标为_________； （2）如图，若点在y轴的正半轴上，点B为点A的k伴随点，连接，，若，三角形的面积为9，求m的值； （3）在（2）的条件下，过点B作轴于点C，点D为x轴正半轴上的动点，直线与直线相交于点E，以O、A、E、C为顶点的四边形的面积记为，三角形的面积记为，是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $