江西景德镇一中2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

景德镇一中25-26学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知复数z=3+4,则共轭复数z的虚部为() 2+i A.1 B.-1 C.i D.-i 2.已知向量，满足a.五=1，且1=2=2，则a-2=( A.5 B.5 C.1 D.2 3.设a,B为两个不同平面，m,n为两条不同直线，且∩B=m,则下列说法正确的是（) A.若m/m,则n//a B.若n/a,n/β，则m/m C.若m1n,a⊥B,则n1B D.若n与a,B所成角相等，则m1n m 4.已知角0的始边为x轴非负半轴，终边经过点P(1,2),则si0cos0+2cos20的值为() A.一5 4 c 5.已知同-8，=2，向量a,方的夹角为子元，则a在b上的投影向量是() 4 A.2√2b B.426 C.-2√2b D.-426 6.在三棱锥M-ABC中，M1平面ABC,AB⊥BC,MA=AB=BC,则直线MB与4C所成角的余 弦值为() A.-f0 B. V10 c.- D. 5 10 10 5 5 7.若函数f(x)=sin2x(o>0)在区间(，2元)内没有最小值，则o的取值范围为() A.(0,U民B.(o,u到C.(0,u昼D.(0,u引 8.己知A,B分别是x,y轴正半轴上的两个动点，且AB=1,如图，以AB为边构造正方形ABCD,分别过点C,D 向x轴作垂线，垂足依次为E,F,当点A由(1,0)向左运动到原点的过程中，四边形CEFD周长的最大值为() A.0 B.√10+1 C.5 D.√5+1 B OA E F 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知向量=(1,2)，b=(k,-3),则下列说法正确的有（) A.当/时，k=- B.若a+=a-,则k=6 C.若12>，则-4<k<4 D.当k<6时，a与b的夹角为钝角 0.已知函数f(x)=一4 sinxsin+3 则() A.函数f(x)的最小正周期为元 是函数∫(x)图象的一个对称中心 [5元4π C.函数f(x)在区间 63」 上单调递减D.函数∫(x)的最大值为1 11.如图，正方体ABCD-AB,C1D的棱长为4，，分别是AD,DD的 D C 中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为() F B A.若FP∥平面ABC1D1,则P的轨迹长度为4 B.过B,,三点的平面截正方体所得截面面积是18 C P C.三棱锥C,-AB,P的体积为定值 B D.三棱锥F-ACD的外接球体积为72m 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.△ABC是边长为4√3的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是△A1B1C1,则△A1B1C1的面积是 13.己知正四棱台上底面边长为4cm,侧棱和下底面边长都是8cm,则体积为一cm. 14.如图，八面体2的每一个面都是边长为8的正三角形，且顶点B,C,D,E,在同一个平面内.若点M 在四边形BCDE内（包含边界）运动，当A⊥E时，则点M的轨迹的长度为 D 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知复数z满足：z=9+3i-z (1)求复数=： 2求L++的值. 4+3i2z 16.（15分)如图：正方体ABCD-AB,C,D中，点E,F为B,D上两点，点G,H分别为AB, BA的中点，且F-号B0 D C (1)求证：GF∥平面ADE (2)求证：平面ACH⊥平面BDEF D G B 17.(15分)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a=c+2 bcosC (1)若b=7,c=5,求a: (2)若△ABC为锐角三角形，b=2,求△ABC的周长的取值范围. 18.如图，长方体ABCD-AB,C1D的底面ABCD是正方形，AB=1,A4=2,点M在棱CC上，ACI1平 D B d 面BDM (1)求证：M为CC的中点； (2)求直线B,M与平面BDM所成角的正弦值； (3)求点A1到平面BDM的距离. 19.(17分)已知函数f(x)=Acos(wx+p)(A>0,w>0,0<p<n)的图象关于直线x=对称， 点(0,1)在f(x)的图象上，f(x1)=0,f(x2)=A,且Ix1-x2的最小值是 (1)求f(x)的解析式 (2)函数y=f(x+)-1(0>0)在[0，π]内的零点个数为3，求日的最小值 (3)已知函数g(x)=acos2x-2sinx+&(a>0)的最小值为-1： 若对于任意的x∈R,存在x2∈[写，引，使得gx)=mf(x2)+2,求实数m的取值范围.景德镇一中25-26学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知复数z=3+4, 则共轭复数的虚部为( ) 2+i A.1 B.-1 C.i D.-i 【答案】B 【行1题意们年位052，所2 故选：B. 2.已知向量，满足a.五=1，且1=2=2，则a-2=( A.5 B.5 C.1 D.2 【答案】D 【详解】a-=a-2万=Va-4a-b+4b=V4-4x1+4=2, 故选：D 3.设a,B为两个不同平面，m,n为两条不同直线，且∩B=m,则下列说法正确的是（) A.若m/m,则n//a B.若n//a,n//β，则m/m C.若m1n,1B,则n1B D.若n与，B所成角相等，则m1n 【答案】B 【解析】A,mca时，n与∝不平行，所以A错误 B,如图，过直线n分别作两平面与，B相交于直线s和直线t. 因为nl/a,过直线n的平面与x的交线为直线s, 所以根据线面平行的性质定理知ls, 同理可得n/t,则s/t. 因为s4B,tcB,所以sIB,因为sC,x∩B=m,所以s/m 因为nl∥s,所以m/n.B正确。 C,若n不在平面c上时，n与B内的一条直线垂直，不一定与B垂直，C错误 D,当o∩B=,n与a和B所成的角相等时， 若n/a,nllB,则lm,故D错误。 4.已知角0的始边为x轴非负半轴，终边经过点P(1,2),则sin日cos0+2cos2日的值为() 4 4 A5 2 B. C.-3 2 D3 【答案】B 【解析】角0的始边为x轴非负半轴，终边经过点P(1,2), ∴tan0=2, sin0cos0+2cos'0=sincos+2coso tane+22+2 4 sin'0+cos20 tan20+1 22+1 5 故选：B 3 5.已知=8，同=2，向量a,6的夹角为π，则a在五上的投影向量是() 4 A.2√2b B.42 C.-2√26 D.-426 【答案】C 【详解1由已知月=8，向显a,5的夹角为子，得问eos位)=8cas子=-45. 6 则a在方上的投影向量是-4W2 →b 三-2b.故选：C 6.在三棱锥M-ABC中，M1平面ABC,AB⊥BC,MA=AB=BC,则直线MB与4C所成角的余 弦值为() A.-0 8.0 D. √5 10 10 5 5 【答案】B 【解析】如图，分别取AB,BC,AM的中点D,E,F,分别连结DE,DF,EF, M AF, 则MB∥FD,AC/DE,所以∠EDF(或其补角)即为直线MB与AC所成角， 设MA=2,可得BM=2W2,AC=2V5,4E=2√，DE=V5,DP=V2, EF=VAE+AF=8+1=3. 在口DEF中，由余弦定理可得，cOS∠EDF= DE2+DF2-EF25+2-9 10 2DE·DF 2x√5xV2 10 由于直线2MB与AC所成角为锐角，故直线MB与AC所成角的余弦值为Y10 故B正确。 10 故选：B 7.若函数f(x)=sin2x(o>0)在区间（兀，2π）内没有最小值，则ω的取值范围为() A.(0u[且副B.(0,uB,引C.(o,au屋，引D.(0,uB 【答案】c 【详解】由xe(兀，2元)，则t=2ox∈(2om,4awm)且o>0,所以y=sint在(20元，4om)上没有最小值， 3π 3 若0<20m<40m≤ @m<,可得0<o若+2m≤20m<4r≤，+2m且keN,可得 2 3+k≤o 7,k 3 故选：C 8.己知A,B分别是x,y轴正半轴上的两个动点，且AB=1,如图，以AB为边构造正方形ABCD,分别过点C,D 向x轴作垂线，垂足依次为E,F,当点A由(1,0)向左运动到原点的过程中，四边形CEFD周长的最大值为() A.√10 B.V10+1 YA c.5 D.√5+1 B 【答案】B 【解析】设<a4B-60<0<号 因为正方形ABCD的边长AB=1, AEF 所以OA=cosB=DF=EF,OB=sinO,CE=sin0+cosB, 四边形CEFD周长为L=CE+EF+DF+CD=sim6+3cos8+1=V10sin(0+p)+1, 其中cosp= V10 0m20,当sn0+p时周长最大：最大值为V0+1,故远无 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知向量=(1,2)，b=(k,-3),则下列说法正确的有（) A.当a/B时，k=-多 B.若a+=a-列，则k=6 C.若12>1，则-4<k<4 D.当k<6时，a与b的夹角为钝角 【答案】ABC 【解析】当a1/万时，-3×1=2k,解得k=一A正确： 若a-=a+,则a1b,所以1×k+2×(-3)=0解得k=6,B正确： 若2>，则1+22>Vk2+9,解得-4<k<4,C正确： 当k=-时，a动/仍，夹角不是钝角，D错误 10.已知函数f(x)=-4 sinxsin x+号 3/: 则() A.函数f(x)的最小正周期为元 B.点 是函数∫(x)图象的一个对称中心 5π4π C.函数f(x)在区间 上单调递减 D.函数∫(x)的最大值为1 6’3 【答案】ACD 【详解】结合题意：f八)=2os2x+孕-山， 对于选项A由可得0=2，所以T=匹=元，故选项A正确：对于选项B:将x=汇代入得： 12 2coex5+?-1=-1,所以 ),1是函数了①)图象的一个对称中心，故选项B错误 对时选现c于=2o2r+令1因为[要 所以2x+∈[2元，3π]，所以函数( 3 5π4π 在区间 6’3 上单调递减，故选项C正确：对于选项0：对于()=2c0s(2x+孕-1，当 2x+ =2m,k∈乙，即x=m刀，k∈乙，f(x)=2x1-1=1,故选项D正确故选：ACD 3 6 11.如图，正方体ABCD-AB,C1D的棱长为4，E,F分别是AD,DD的 D 中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为() 8 A.若FP∥平面ABC1D1,则P的轨迹长度为4 D B.过B,E,F三点的平面截正方体所得截面面积是18 C E C.三棱锥C,-AB,P的体积为定值 B D.三棱锥F-ACD的外接球体积为72π 11.【答案】ABC 【解析】对于A:取BC的中点M,连接E,MF,AD,BC, 因为E是AD中点，F是DD中点，所以EF∥AD, D 又因为EFL平面ABC1D,ADC平面ABC1D,所以EF/平面ABCD, A F 6 因为A证-AD,BM-BC,AD=BC, D 所以AE=BM,又因为AE//BM, 。- B 所以四边形ABME为平行四边形，所以ME//AB, 因为ME丈平面ABCD,ABC平面ABC1D,所以ME/I平面ABC1D, 又因为EF,MEC平面EFM,EF∩ME=E,所以平面EFM/I平面ABCD, 要想FP1I平面ABC,D,只需FP在平面EFM内运动即可，又因为P在平面ABCD内运动， 所以点P的轨迹为平面EFM与平面ABCD,在正方体内部的交线ME, ME=4,即P点的轨迹长为4，A正确： 对于B:ABI1CD,AB=CD,所以四边形ABCD为平行四边形，所以AD/1BC1, 又因为EF∥AD,所以EFI/BC1,且EF≠BC1,所以B,E,F,C1四点共面， 所以截面即为梯形BEC,并且EF=2√2，BC=4V2,BE=CF=2√5， 所以等腰梯形BEFC的高h=1 5j-a8 =3√2， 故其面积S=)(22+4V2)×3W2=18.B正确： 对于c:=444 11 ,为定值，C正确： 3 对于D:三棱锥P-ACD的外接球可以补形为长方体外接球，半径R=16+16+4=3, 所以体积7=3元x(3)'=36m,D错误 故选：ABC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.△ABC是边长为4√3的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是△A1B1C1,则△A1B1C1的面积是 12.【答案】3√6 【解析】己知原图口ABC是边长为4√3的正三角形， 所以如ABC的面积S=5x4V5=125, 4 所以如4C的面积为S5s- 2x125=3V6 4 故答案为：3v6. 13.己知正四棱台上底面边长为4cm,侧棱和下底面边长都是8cm,则体积为 _cm3. 【答案】224V14 3 【详解】如图所示，连接AB,AB,取他们中点分别为O,O连接OO,过B作BH⊥AB,于H.根据题 意可求得AB=√42+42=4W2,OB=2√2，AB=V82+82=8V2,O,B=4W2.则 HB,=4W2-2V2=2W2,则HB=√BB2-HB,=V82-(2√2)=56=2W14.则 r-8-年5h=+8+fx8)2-24 故答案为： 224W14 3 B 14.如图，八面体2的每一个面都是边长为8的正三角形，且顶点B,C,D,E,在同一个平面内.若点M 在四边形BCDE内（包含边界）运动，当A⊥E时，则点M的轨迹的长度为 【答案】2√2π 【详解】以AE为直径作球N,球N半径R=4,A,E与球上任意一点（除去点A,E均能构成直角， B 故M点轨迹为球N与四边形BCDE(包括边界)的交线. 易知A在平面BCDE上的投影O为菱形BCDE的外心，且Rt口AOB,Rt口AOC,R口AOD,Rt口AOE都全等， 故四边形BCDE为正方形，四棱锥A-BCDE为正四棱锥，A在平面BCDE上的投影为正方形BCDE的中心 0,记球心x在平面008上的投影为K,次-号40-分松-0F-号45=25. 故平面BCDE截球N的小圆半径r=√R2-NK2=2√2，即点M的轨迹以OE中点K为圆心，半径为2√2 的圆在四边BCDE内（包含边界）的一段弧，由题意可知KO=E=2√2，如图所示，设该圆弧交BE,ED 于点F,G,所以F,O,G,E四点共圆，而∠FEK=∠GEK=45°，所以∠FKO=∠GKO=90°，所以F,K,G三 点共线，即FG也是半径为2√2的圆的直径，故所求为22π 故答案为：2W2π 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知复数z满足：|z=9+3i-z (1)求复数二： 2求，L++的值， 4+3i2z 【详解】(1)设==a+bi,|z=√a2+b2=9+3i-a+bi, ∫a+b=9-a a=4 3+b=0 b=-3→2=4-3i:(6分 1 2i4-3i,-3+4i1+11,1 (2)原式= 4+3i2(4-3=25+25=25=25+25 i.(13分) 16.（15分)如图：正方体ABCD-AB,CD中，点E,F为BD上两点，点G,H分别为AB, BB,的中点，且EF=BD D C (1)求证：GF∥平面ADE (2)求证：平面ACH⊥平面BDEF 【解析】(1)如图1，取AD的中点M,连接ME,MG。 D 在△ABD中，G,M分别为AB,AD的中点，所以GMIIBD,且 B GM-BD, 因为EFBD,且EF=BD,所以GM/EF,且GM=EF, 2 所以四边形GMEF为平行四边形，(4分) 所以GFME。 又MEC平面ADE,GF丈平面ADE,(6分) 所以GF1∥平面ADE。(7分) (2)因为E、F在B1D1上， 所以平面BDEF与平面BB1D1D是同一平面，， 因为正方体ABCD-A1B1C1D1, 所以BB1⊥平面ABCD,又AC∈平面ABCD,所以BB11AC,(9分) 又因为BD1AC,(11分) BB1nBD=B（(12分) 所以AC⊥平面BB1D1D,即AC⊥平面BDEF（13分) 又ACC平面ACH 所以平面AHC1平面配DEF(15分) 图1 17.(15分)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a=c+2 bcosC (1)若b=7,c=5,求a: (2)若△ABC为锐角三角形，b=2,求△ABC的周长的取值范围. 17.(15分)【解析】(1)：在△ABC中，由2a=c+2 bcosC及正弦定理，得2sinA=sinC+2 sinBcosC,(2分) 2sin(B+C)=sinC +2sinBcosC,2sinBcosC+2cosBsinC sinC+2sinBcosC, 整理得：2 cosBsinc=sinC,又sinC>0, 1 因此cosB=与又B∈(0，， 所以B-零(5分) 根据余弦定理b2=a2+c2-2acc0sB,得72-d+52-2×ax5×cos兀. 03 即49=a2+25-5a,整理得a2-5a-24=0,解得a=8或a=-3(舍去). 所以a=8.(7分) a=bc245 (2)由sin4 sinB sinc sin3， 3 得a=4 sind,c=4 3 3 2sinC,(8分) 因为B=行则4C=子C=受-A 3 所ae=156a+m9-ama+g4 321 2c084=4 9m4+oa4 =4sm4+,(12分) 6 0<A 因为△ABC为锐角三角形，所以 2则后<4受《13分) 0<2-A< 3 2 所以23<4sinA+ 6 ≤4，即a+c取值范围为(25,4.(14分) 所以△ABC的周长范围为(2+2V5,6。(15分) 18.如图，长方体ABCD-ABC1D的底面ABCD是正方形，AB=1,A4=2,点M在棱CC1上，AC111平 D 面BDM. (1)求证：M为CC的中点； (2)求直线B,M与平面BDM所成角的正弦值； (3)求点A1到平面BDM的距离. D 【详解】(1)连接AC,OM,AC∩BD=O, 因为底面ABCD是正方形，所以O是AC的中点， 因为点M在棱CC1上，AC1∥平面BDM, ACC平面CAC,且平面BDM∩平面CAC=OM,所以AC1I/OM,(3分) 所以M为CC的中点.(5分) 2）设直线月以与平面2DM所成角为0，则血0=4，其中4为点五到Y面M的E比。 因为BD=VAD+AB2=√5，BM=√BC2+CM2=√2，DM=VDC2+CM2=√2， 所以口BDM为等边三角形，(6分) BM=VBC+CM=√2，BB=2,所以BD=BM=DM,BMP+RM2-BR, △BBM为直角三角形，(7分) 所以e559.xi=1,8分) 22 又因为%w=nmw,即x5xd=x1x1.即d-35,（10分) 32 3 所以sin6= d 56 BM√23 所以直线县，M与平面BDM所成角的正弦值为 3 .(11分) (3)连接OM,AO,AM, 因为加BDM为等边三角形，所以OM1BD,OM= 2 又因为4D=VA4+AD=5,AB=√A4+AB2=V5,所以△4DB为等腰三角形， 所以401BD,40-AD-0D-5, 又因为OM∩AO=O,OM,AOc面AOM,所以BDL面AOM,(14分) 又因为AMC面AOM,所以BDLAM, 又因为4M=4C+CM=5,40=4D-oD-3W5,OM=6 2 所以OMP+AMP=AO2,即AM⊥OM, 又因为BD∩OM=O,BD,OMC面BDM,所以AM⊥面BDM,(15分) 求点A到平面BDM的距离为V5.(17分) D 19.(17分)已知函数f(x)=Acos(ωx+p)(A>0,ω>0,0<p<π的图象关于直线x=对称， 点(0,1)在f(x)的图象上，fx1)=0,f(x2)=A,且x1-x2的最小值是牙 (1)求f(x)的解析式 (2)函数y=f(x+)-1(0>0)在[0，π]内的零点个数为3，求日的最小值 (3)已知函数g(x)=acos2x-2simx+(a>0)的最小值为-1： 若对于任意的x1ER,存在x2E[一，引，使得g(x)=mf(x,)+2,求实数m的取值范围. 【解折1a)子-行=1=x=名a=2.a分) 0 (2分) 3 f0)=4co0=1A=2f)=2o2x+写.4分) (2)y=f(x+0)-1(0>0) y=2cos2x+9)+-1=0, 即cos2(x+6)+到=在0，π]内的解的个数为3个， x∈[0，πl,2(x+)+∈20+5,2m+26+ ~日>0,20+号>3又0取最小值 20+号≤等≤2π+28+督<， 3 解得：6mn=否(a0分) 2)8(x)-a(1-sin'x)-2sinx+4=-csin'x-2sin 4 设1-r1g(到-h0d2系aa>Q地物线T口向下 对称轴为t=-1<0, a 次函数性质知，88m=h0=h0)=-a-2+a=-1→a=4 本问题等价于8(x)的值域是函数y=f(x)+2值域的子集，(13分) 由g)=)=-42-21+5,t[-1,可得8)的值域为-L4(14分) 21 a=2-营-晋君u乳0ea5) 「-+2≤-1 当m>0时，f(x)+2∈[-m+2,2+2]∴. 2m+2≥21→m≥3. 4 2m+2≤-1 当m<0时，mf(x)+2∈[2+2，-m+2],.{ m+2321→ms-13 4 4 综上，m≤-1或m≥3.(17分) 4