精品解析：江西九江市同文中学2025-2026学年下学期期末考试高一数学试卷

九江市同文中学2025-2026学年度下学期期末考试 高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】由题意， 故选：D 2. 设复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法法则化简，再求出共轭复数得到相应的虚部. 【详解】，，可知其虚部为． 故选A． 3. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面的平行关系判断AB两个选项，根据直线与平面的垂直和平行关系判断CD两个选项. 【详解】对于A：若，则可能有，A错误； 对于B：若，则也可能异面或相交，B错误； 对于C：若，则与不一定垂直，且，则与不一定垂直，C错误； 对于D：若，则，又，则，D正确. 故选：D. 4. 若，是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，，得，，化简后再结合两向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】设与的夹角是，，，即 ①， 又，，即 ②， 由①②知，， ，所以与的夹角为. 故选：B 5. 若将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先化简函数的解析式，再利用平移规律求函数的解析式，最后代入求值. 【详解】， 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 所以. 故选：C 6. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦及正弦定理可得，进而利用余弦定理可得的值. 【详解】由，可得， 由正弦定理可得， 又因为，所以，所以， 在中，，由余弦定理可得， 所以. 故选：D. 7. 如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点，下列结论错误的是（ ） A. 平面平面 B. 平面 C. 点是的垂心 D. 三棱锥的体积为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，求证平面和平面即可由面面平行判定定理得解判断；对于B，由A结合题意即可得解判断；对于C，由三棱锥是正三棱锥，为在面内的投影且该投影落在面中心即可得解判断；对于D，由C得点是的垂心，且为的重心，得到点到底面的距离为，再由即可求解. 【详解】对于A，由正方体性质可知，且，且， 所以四边形和均为平行四边形，所以，， 因为平面，在平面外， 所以平面，平面， 又平面，，所以平面平面，故A正确； 对于B，由题意平面，又平面平面， 所以平面，故B正确； 对于C，由正方体性质可知， 所以三棱锥是正三棱锥，则由题可知为在面内的投影， 该投影落在面中心，所以点是的垂心，故C正确； 对于D，因为点是的垂心，且为的重心，取中点，连接， 则在上，且，所以点到底面的距离为， 所以三棱锥的体积为，故D错误. 故选：D 8. 将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，总存在唯一的．使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数图象变换得到，对于的任意取值，在上有唯一解，关键是转化得到在上有唯一解，画出图形，由数形结合即可顺利得解． 【详解】由题意得， 当时，有，此时， 令，则， 因为时，所以， 因为对于的任意取值，在上有唯一解， 即在上有唯一解，如图所示： 因为，所以， 由图可知，，所以． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（i为虚数单位），则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】复数模的计算公式求解判断选项A；利用复数性质，判断B选项；先计算，再计算判断C选项；根据判断D选项. 【详解】选项A：，A正确. 选项B：由A得，因此：，B错误. 选项C：， 代入求和得：，C正确. 选项D： D正确. 10. 已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. D. 当时，与的夹角为锐角 【答案】AB 【解析】 【分析】利用向量模及数量积的运算律判断A、C；利用投影的定义判断B；取，与共线判断D. 【详解】A：由，是夹角为的单位向量则， 对两边同时平方得，则，故A正确； B：在方向上的投影向量为，故B正确； C：由，，则，故C错误； D：当时，，此时夹角不为锐角，故D错误. 11. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，．若鳖臑外接球的体积为，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（ ） A. B. 鳖臑体积的最大值为2 C. 点到面的距离是 D. 鳖臑内切球的半径为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据外接球体积得到外接球半径，找到球心位置，设，，利用基本不等式得到体积的最值及判断AB，利用等体积法判断CD. 【详解】选项AB：设鳖臑外接球半径为， 由题意可得，解得， 因为四个面都为直角三角形，中点到四个顶点的距离都相等， 所以点是外接球的球心，， 因为平面，，， 所以， 设，，则，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，鳖臑体积的最大值为2，A错误，B正确； 选项C：设点到面的距离为， 因为平面，所以，， 所以，，解得， 即点到面的距离为，C说法正确； 选项D：因为， 所以，，，， 设鳖臑内切球的半径为，则， 即，解得，D说法正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数基本关系式化简求值即可. 【详解】由，代入原式得： 因为，且，将分子分母同除以， 得：，即 解得. 13. 如图，在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心.若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先由题意得圆锥的底面半径和母线长，再由圆锥的侧面积公式即可计算求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 则由题意可得， 所以该圆锥的侧面展开图面积为. 故答案为： 14. 已知P是的外心，且，则____ 【答案】 【解析】 【分析】由题意设，且，结合及向量数量积的运算律求得，再应用倍角公式求解. 【详解】因为P是的外心且，其中各项系数为正， 所以外心在三角形内部，即为锐角三角形， 设，且， ，则， ，解得， 所以，且，则. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知，，． （1）若四边形是平行四边形，求的坐标； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示求解即可； （2）根据平面向量线性运算和数量积的坐标表示求解即可. 【小问1详解】 设，因为，，， 所以，， 因为四边形是平行四边形，所以， 即，解得，则D的坐标为. 【小问2详解】 因为，，， 所以，，， 所以， 因为， 所以，解得． 16. 如图，正三棱柱中，是的中点，. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求. 【答案】（1）连接，交于点，连接，因为四边形为矩形， 所以为的中点，因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，再由线面平行的判定定理即可证明； （2）证明平面，再由等体积法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为等边三角形，是的中点，所以，又因为， 所以，因为平面，平面，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 设，则，，， 所以，即， 解得，即. 17. 扇形的圆心角为60°，所在圆半径为1，它按如图1、图2两种方式有内接矩形. 图1中矩形的顶点C，D在扇形的半径上，顶点E在圆弧上，顶点F在半径上，设； 图2中点M是圆弧的中点，矩形的顶点D，E在圆弧上，且关于直线对称，顶点C，F分别在半径，上，直线分别交，于点N，P，设. （1）将用进行表示，并求图1中矩形的面积的最大值； （2）求图2中矩形的面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大. 【答案】（1），的最大值为. （2）的最大值为，图1方式的矩形面积更大，理由如下： 由题意得，， 由对称性可知，， ，，故， 所以，故， ， 因为，所以， 故当，即时，取得最大值，最大值为， 由于，， 故，所以图1方式的矩形面积更大. 【解析】 【分析】（1）表达出各边长，得到，，结合求出最大值； （2）求出，结合，求出最大值，比较后得到结论 【小问1详解】 ，，，故， ， 又，故， 故， ， 因为，所以， 故当，时，取得最大值，最大值为. 【小问2详解】 略 18. 如图，三棱锥的体积为，二面角为锐角，为的中点，平面平面，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）若分别是直线上一点，且平面，记平面平面，与所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1） 如图，过点作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 又因为，平面， 所以平面； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，利用面面垂直的性质定理得平面，利用线面垂直的性质定理得，结合等腰三角形的性质利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）根据定义知为二面角的平面角，利用三棱锥的体积求得，在中，求解正弦值即可. （3）利用线面平行的性质定理得，则与所成的角即与所成的角，当点在线段上时，利用诱导公式及两角和的正弦公式得，由正弦定理得，求得；当点在线段的延长线上时，利用两角差的正弦公式得，由正弦定理得，求得，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又因为，所以为二面角的平面角， 由三棱锥的体积， 解得，在中，， 所以二面角的正弦值为； 【小问3详解】 因为平面，平面，平面平面， 所以，故与所成的角即与所成的角，易知， 依题意，不可能为钝角，所以有， ①当点在线段上时，如图所示， 因为， 所以 ， 在中，由正弦定理得， 解得，所以； ②当点在线段的延长线上时，如图所示 则， 在中，由正弦定理得， 解得，所以. 综上，或 19. 对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”. （1）已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”?并说明理由； （2）已知是周期为2π的偶函数，且当时，.函数是的“关联函数”，若方程在上至少有22个根，求的最小值； （3）已知函数和的定义域都为.当时，.若存在函数及，使得是的“关联函数”，且是的“关联函数”，求方程的解. 【答案】（1）不存在，理由： 假设存在定义域为的函数， 使得是的“关联函数”， 由定义可得， 取，则 ，矛盾， 故不存在这样的函数； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据关联函数定义，若存在，则应有．取即可得到矛盾． （2）由的偶性和周期性，先确定时，从而．再分析方程在各区间内的解的个数，确定第22个解的位置． （3）由两个关联关系推出与零点相同，于是只需求的解．再按分类讨论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，因为是周期为的偶函数，且当时，，所以． 因为是的“关联函数”，所以． 由，得．当时，． 令，得，所以或． 当时，，所以，故方程无解． 当时，在区间内，方程有4个解， 分别为 因此，在内有2个解；之后每经过一个形如的区间，会增加4个解． 要至少有22个解，除开始的2个解外，还需增加20个解，即需要5个这样的区间， 第22个解为，故的最小值为． 【小问3详解】 由题意，存在函数及，使得且 若，由可得； 若，由可得． 因此与的零点相同． 所以求方程的解，等价于求方程的解． 当时，， 令，得 因为，所以. 当时，，于是 因为，所以. 因为，所以，从而 故时，方程无解． 综上，方程的解为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市同文中学2025-2026学年度下学期期末考试 高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 若，是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 5. 若将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. D. 7. 如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点，下列结论错误的是（ ） A. 平面平面 B. 平面 C. 点是的垂心 D. 三棱锥的体积为 8. 将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，总存在唯一的．使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（i为虚数单位），则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. D. 当时，与的夹角为锐角 11. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，．若鳖臑外接球的体积为，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（ ） A. B. 鳖臑体积的最大值为2 C. 点到面的距离是 D. 鳖臑内切球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____ 13. 如图，在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心.若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为_____. 14. 已知P是的外心，且，则____ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知，，． （1）若四边形是平行四边形，求的坐标； （2）若，求的值． 16. 如图，正三棱柱中，是的中点，. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求. 17. 扇形的圆心角为60°，所在圆半径为1，它按如图1、图2两种方式有内接矩形. 图1中矩形的顶点C，D在扇形的半径上，顶点E在圆弧上，顶点F在半径上，设； 图2中点M是圆弧的中点，矩形的顶点D，E在圆弧上，且关于直线对称，顶点C，F分别在半径，上，直线分别交，于点N，P，设. （1）将用进行表示，并求图1中矩形的面积的最大值； （2）求图2中矩形的面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大. 18. 如图，三棱锥的体积为，二面角为锐角，为的中点，平面平面，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）若分别是直线上一点，且平面，记平面平面，与所成角的正弦值为，求的值. 19. 对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”. （1）已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”?并说明理由； （2）已知是周期为2π的偶函数，且当时，.函数是的“关联函数”，若方程在上至少有22个根，求的最小值； （3）已知函数和的定义域都为.当时，.若存在函数及，使得是的“关联函数”，且是的“关联函数”，求方程的解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $