第14讲 中心对称（暑假预习培优讲义，5题型技巧3重难拓展+中考真题+提分培优）新九年级数学新教材人教版

第14讲 中心对称（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 中心对称（两个图形） 2 知识点02 中心对称图形（单个图形） 3 知识点03 平面直角坐标系中原点对称的坐标规律 4 知识点04 中心对称与轴对称深度对比 5 剖题型·讲技巧 题型1 概念辨析题（选择填空必考） 5 题型2 性质应用计算（线段、角度、面积） 6 题型3 原点对称坐标求值（代数几何综合） 8 题型4 网格作图题（课本必考） 9 题型5 培优压轴：倍长中线构造中心对称模型 11 释疑惑·重难拓展 题型1 变换综合 14 题型2 几何与中心对称综合 16 题型3 二次函数与中心对称综合（新考法） 19 知中考·真题探源 21 练好题·提分培优 23 课标要点 1. 基础内容要求 （1）通过具体实例认识中心对称、中心对称图形，理解中心对称是旋转角为180°的特殊旋转变换，熟练掌握中心对称的核心性质。 （2）精准区分中心对称（两个图形位置关系）与中心对称图形（单个图形固有属性），能准确辨别常见几何图形、生活图案的对称性。 （3）掌握平面直角坐标系中，点关于原点对称的坐标变化规律，能独立完成中心对称图形的作图、补全图形等基础操作。 （4）感知平移、轴对称、中心对称三种图形变换的联系与区别，能利用中心对称性质解决线段、角度、面积的计算与简单几何证明。 2. 培优学业要求 （1）辨析易混概念：轴对称与中心对称、旋转对称与中心对称图形，突破概念易错点。 （2）活用“对称中心平分对应点连线”核心性质，解决参数求值、几何计算、图形证明等中档题型。 （3）掌握倍长中线构造中心对称经典几何模型，实现线段、角度的转化，突破几何压轴难点。 （4）熟练应对网格作图、坐标变换、规律探究、图形变换综合等中考高频题型，建立数形结合、转化构造的数学思维。 知识点01 中心对称（两个图形） 1. 定义 把一个图形绕着某一个定点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这个点中心对称。这个定点叫做对称中心，重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。 核心本质：中心对称是特殊的旋转（旋转角固定180°）。 关键区分：描述的是两个图形之间的位置关系。 2. 中心对称三大必考性质 ① 全等性：成中心对称的两个图形完全全等，对应边、对应角相等； ② 中点性（核心）：任意一组对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分； ③ 位置性：对应线段互相平行或在同一条直线上。 3. 对称中心确定方法 ① 单点法：连接一组对应点，线段的中点即为对称中心； ② 交点法：连接两组不同的对应点，两条线段的交点即为对称中心。 4. 中心对称图形作图步骤（三步法） ① 定点取点：选取原图形的所有顶点、关键点； ② 作对称点：将各关键点与对称中心相连，延长一倍长度，得到对应对称点； ③ 顺次连线：按照原图形的顶点顺序，依次连接所有对称点，得到中心对称图形。 练习 1．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，与关于点O成中心对称．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 中心对称图形（单个图形） 1. 定义 把一个图形绕着自身内部某一个定点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形完全重合，这个图形就是中心对称图形。 关键区分：描述的是一个图形自身的对称属性。 2. 中心对称与中心对称图形的联系与区别 区别：中心对称是两个图形的位置关系；中心对称图形是一个图形的固有性质。 联系：将成中心对称的两个图形看作一个整体，整体是中心对称图形；将中心对称图形沿对称中心分成两部分，两部分成中心对称。 3. 常见几何图形对称性分类（必背） 对称类型 常见图形 既是轴对称又是中心对称 线段、矩形、菱形、正方形、圆、正偶数边形 只是中心对称，不是轴对称 普通平行四边形 既不是中心对称也非轴对称 任意不规则多边形、一般三角形 只是轴对称，不是中心对称 等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、正奇数边形 4. 重要推论 过中心对称图形对称中心的任意一条直线，均可将图形分成面积、形状完全相等的两部分。 练习 2．（2026·天津津南·模拟预测）下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 知识点03 平面直角坐标系中原点对称的坐标规律 1. 核心公式 若点 关于原点对称的点为 ，则 。 口诀：关于原点对称，横、纵坐标全部变号。 2. 三大对称坐标对比（易错对比） ① 关于x轴对称：（横坐标不变，纵坐标变号） ② 关于y轴对称：（纵坐标不变，横坐标变号） ③ 关于原点对称：（横纵全变号） 练习 3．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，在中，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 知识点04 中心对称与轴对称深度对比 对比维度 中心对称 轴对称 对称要素 对称中心（定点） 对称轴（定直线） 变换方式 绕定点旋转180° 沿直线翻折重合 图形数量 两个图形的位置关系 单个图形或两个图形均可 重合方式 旋转后重合 折叠后重合 练习 4．（2026·山西运城·二模）以数学家名字命名的现象广泛存在于数学定理、公式、常数、猜想、学科分支及奖项中．以下是四个用数学家名字命名的数学图形，其中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（     ） A．赵爽弦图 B．欧拉螺线 C．科赫雪花 D．笛卡儿叶形线 题型1 概念辨析题（选择填空必考） 方法技巧 1. 快速判断口诀：图形倒过来看，与原图完全一致，即为中心对称图形； 2. 避坑要点：普通平行四边形只有中心对称性，无轴对称性；正奇数边形不是中心对称图形； 3. 核心逻辑：旋转180°重合是中心对称的唯一判定依据。 【典例1】（2026·广西百色·三模）绣球、壮锦和铜鼓并称广西三大民族文化元素．下图是广西壮族铜鼓和壮锦相结合的纹样图，该纹样（     ） A．仅是轴对称图形 B．仅是中心对称图形 C．既是轴对称又是中心对称图形 D．既不是轴对称也不是中心对称图形 【变式1-1】（2026·辽宁盘锦·三模）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是_______． （1）；（2）；（3）；（4） 【变式1-3】（2025·江苏无锡·模拟预测）线段、等腰三角形、正方形、圆、等腰梯形、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形、正八边形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 ____________________ ． 题型2 性质应用计算（线段、角度、面积） 方法技巧 1. 线段角度：成中心对称的图形全等，对应边、对应角相等，对称中心平分对应点连线； 2. 面积计算：利用中心对称割补法，将不规则阴影图形拼接为规则图形，简化计算； 3. 中心对称图形可被对称中心平分面积，直接用于面积求值。 【典例2-1】（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图，与关于点O成中心对称，下列结论中，不成立的是（   ）    A． B． C．点A的对称点是点 D． 【典例2-2】（2026·河北张家口·一模）如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2-3】（2025·河北·一模）如图，四边形为平行四边形，点从点出发向点运动，为平行四边形的中心，射线和相交于点，若，，则四边形的面积为______． 【变式2-1】如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（  ） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【变式2-2】（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式2-3】（2026·浙江·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则___________． 题型3 原点对称坐标求值（代数几何综合） 方法技巧 若两点 、 关于原点对称，则满足：，列方程求解参数即可。 【典例3-1】（2026·辽宁锦州·三模）若正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·湖北荆州·二模）如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线相交于原点轴，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【典例3-3】（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）点关于原点的对称点在第三象限，那么m的取值范围是______． 【变式3-1】（2026·内蒙古通辽·二模）将一次函数的图象向下平移4个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图象上，则的值为（     ） A． B．8 C． D．10 【变式3-2】（2026·宁夏吴忠·一模）如图，菱形的对角线交点在原点，若，则点的坐标是________． 【变式3-3】（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴负半轴上，是边长为2的等边三角形，将以原点为中心作中心对称，得到，则点的坐标是____________． 题型4 网格作图题（课本必考） 方法技巧 严格遵循“取关键点—作对称点—顺次连线”三步法；网格中对称中心为两组对应点连线的交点。 【典例4】（2026·吉林长春·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画一个以为对角线的四边形，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，使四边形是中心对称图形，且面积为6； (2)在图②中，使四边形既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为5． 【变式4-1】（25-26九年级上·山东济宁·期末）图案设计：正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案．下面是三种不同设计方案中的一部分： (1)请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P．（在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉．） (2)若网格的单位长度为1，求出图②中阴影部分面积． 【变式4-2】（25-26九年级上·吉林四平·阶段检测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点、在格点上； (2)在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点、在格点上． 【变式4-3】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形． （3）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 题型5 培优压轴：倍长中线构造中心对称模型 方法技巧 题目出现三角形中线、线段中点条件时，倍长中线构造中心对称三角形，实现线段、角度的转移，将分散条件集中在同一三角形中。 【典例5】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． (1)如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为____________； (2)如图3，当，时，则长为____________； (3)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【变式5-1】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）【问题背景】如图1，和都是等边三角形，求证：； 【尝试运用】如图2，在中，，，边绕点C逆时针旋转到，E为边上不与点C重合的点，且，M为的中点，连接，．求的度数； 【拓展创新】如图3，在和中，，，，连接，，点F，G分别为，的中点，若，请直接写出线段的长（用含a和b的式子表示）． 【变式5-2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）（1）凸四边形中，，为上一点，． ①如图1，连，将线段绕点顺时针旋转，得到，连，画线段，； ②连，将绕点逆时针旋转得到，连，取中点，连，，如图，请判断的形状，并说明理由． （2）如图3，凸四边形中，将绕点顺时针旋转，使点的对应点在上，将绕点逆时针旋转，使点的对应点在上，连并取其中点，连，，若于点，直接写出，满足的数量关系，不需要说明理由． 【变式5-3】（2024·山西·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，连接，，，为的中点，连接． 【数学思考】 （1）线段与的数量关系，说明理由． 【猜想证明】 （2）若把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【深入探究】 （3）若把绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若是的中点，连接AN，若，直接写出的长． 题型1 变换综合 1．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于原点对称的； (2)将向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，画出； (3)若和关于点对称，请直接写出的坐标_____ 2．（25-26九年级上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为1，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移5个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (3)观察图形可知，与关于点(____,____)中心对称． 3．（2025·四川广安·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出与关于原点成中心对称的； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的； (3)内一点关于原点的对称点的坐标为________． 4．（25-26九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．    (1)将向左平移5个单位长度，得到，画出； (2)与关于原点成中心对称，画出； (3)和是否成中心对称图形？若成中心对称图形，请直接写出对称中心的坐标；若不成中心对称图形，请说明理由． 5．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的； (2)画出关于原点的中心对称图形； (3)P为x轴上的一个动点．当有最小值时，求这个最小值． 题型2 几何与中心对称综合 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，N．对于点P给出如下定义：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．如图，点，点N在线段的延长线上，若点，点Q为点P的“对应点”． (1)在图中画出点Q； (2)连接，交线段于点T，求证：． 7．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）小明在生物课上学习了蜜蜂的相关知识，发现蜂窝都是由一系列六边形的蜂室密铺而成，他对此非常感兴趣，打算叫上小伙伴们一起探究一下六边形的相关性质，于是几个小伙伴就开始了他们的探索旅程． 【初步思考】 他们规定：在凸六边形中，满足，，，且，，，称这样的凸六边形叫作“光谱六边形”．其中与，与，与叫作“正对边”，和，和，和叫作“正对角”，，，叫作“正对角线”． (1)类比平行四边形的性质，有如下猜想，请判断正误并在括号内画“√”或“×”． ①“光谱六边形”的三条“正对角线”互相平分；（    ） ②“光谱六边形”的邻角互补；（    ） ③“光谱六边形”是中心对称图形．（    ） (2)【实践操作】 如图1，在“光谱六边形”中，证明：． (3)【思维探究】 当“光谱六边形”的六条边都相等时，我们把它叫作“正光谱六边形”．如图2是一张面积为的等腰直角三角形纸片，分别在三角形的三个顶点处各剪裁掉一个小三角形，使剪裁后的纸片变成一个“正光谱六边形”，请求出这个“正光谱六边形”的面积． 8．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当与重叠部分为三角形时，设其面积为．用含的代数式表示． (4)与的直角边交于点．当点恰为线段的中点时，直接写出的值． 题型3 二次函数与中心对称综合（新考法） 9．（2026·湖北咸宁·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和点，点是抛物线上的动点，且，经过原点的直线与抛物线的另一个交点为点D． (1)求出抛物线的解析式； (2)若C、D关于点对称，求点C坐标； (3)若y轴上一点P的坐标为，直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为． ①用含m的代数式分别表示k，，； ②若，直接写出此时点C的坐标． 10．（2025·广东深圳·三模）（1）特殊情况，探索结论： 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标原点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ （2）特例启发，引发思考： 点对称有一定规律，那么由点组成的图形是否有相似规律呢? 定义：对于抛物线，以点为中心，作该抛物线关于点中心对称的抛物线，则称抛物线为抛物线关于点的“中心镜像抛物线”，点为“镜像中心”．例如：如图1，抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，点为“镜像中心”． ①如图2，当时，直接写出抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的函数表达式_____； ②已知抛物线，将其顶点先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，恰好落在抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的图象上，求“镜像中心”点的坐标； （3）拓展结论，思维提升： 已知抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，当时，最大值与最小值的差为3，直接写出的值． 一、单选题 1．（2026·山东德州·中考真题）下列标志中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江绥化·中考真题）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A．正六边形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形 3．（2026·四川巴中·中考真题）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·四川凉山·中考真题）点关于原点的对称点坐标是_______． 5．（2026·陕西·中考真题）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 三、解答题 6．（2026·甘肃天水·中考真题）在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、三角形等图形，借助图形的旋转或对称设计了一些美丽的图案．如图是小彤设计的一件艺术作品的平面图，它由个全等三角形构成，外轮廓为正六边形． (1)请判断图1是____________图形；（填“轴对称”或“中心对称”） (2)图是从图1选取的部分图案，其中看作由绕旋转中心顺时针方向旋转一定角度后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心．（保留作图痕迹，不写作法） 7．（2026·江西·中考真题）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； (2)如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 一、单选题 1．（2026·广东佛山·三模）年是“十五五”规划开局之年，我国持续推动全球文明交流、共建人类命运共同体．下列国家级重大活动官方标识里，属于中心对称图形的是（     ） A．第四次全国农业普查标识 B．亚洲文明对话大会主标识 C．深圳峰会 D．第六届亚洲沙滩运动会会徽 2．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 4．（2026·湖北孝感·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，请确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·福建厦门·三模）如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则__ ． 7．（2026·山东青岛·二模）如图，菱形的对角线交于原点，点的坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时点的坐标为______________． 8．（2026·广东深圳·三模）如图，点在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，若的面积为7，则的值为______． 三、解答题 9．（2026·山东淄博·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求m，n的值和反比例函数的解析式； (2)若点B关于原点O的对称点为，求的面积； (3)当时，求x的取值范围． 10．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，． (1)将向右平移6个单位得到，画出； (2)以点O为对称中心，画出的中心对称图形； (3)在第三象限内选一点P，其横坐标为，使． 11．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1，抛物线：经过点和点，抛物线与关于原点O成中心对称． (1)求b，c的值； (2)求抛物线的解析式； (3)将抛物线向上平移2个单位长度得到，抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），如图2． ①求点P和Q的坐标； ②若点M，N分别为抛物线与上P，Q之间的点（点M，N均不与点P，Q重合），直接写出四边形面积的最大值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 中心对称（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 中心对称（两个图形） 2 知识点02 中心对称图形（单个图形） 3 知识点03 平面直角坐标系中原点对称的坐标规律 4 知识点04 中心对称与轴对称深度对比 5 剖题型·讲技巧 题型1 概念辨析题（选择填空必考） 6 题型2 性质应用计算（线段、角度、面积） 8 题型3 原点对称坐标求值（代数几何综合） 12 题型4 网格作图题（课本必考） 15 题型5 培优压轴：倍长中线构造中心对称模型 18 释疑惑·重难拓展 题型1 变换综合 30 题型2 几何与中心对称综合 39 题型3 二次函数与中心对称综合（新考法） 44 知中考·真题探源 49 练好题·提分培优 54 课标要点 1. 基础内容要求 （1）通过具体实例认识中心对称、中心对称图形，理解中心对称是旋转角为180°的特殊旋转变换，熟练掌握中心对称的核心性质。 （2）精准区分中心对称（两个图形位置关系）与中心对称图形（单个图形固有属性），能准确辨别常见几何图形、生活图案的对称性。 （3）掌握平面直角坐标系中，点关于原点对称的坐标变化规律，能独立完成中心对称图形的作图、补全图形等基础操作。 （4）感知平移、轴对称、中心对称三种图形变换的联系与区别，能利用中心对称性质解决线段、角度、面积的计算与简单几何证明。 2. 培优学业要求 （1）辨析易混概念：轴对称与中心对称、旋转对称与中心对称图形，突破概念易错点。 （2）活用“对称中心平分对应点连线”核心性质，解决参数求值、几何计算、图形证明等中档题型。 （3）掌握倍长中线构造中心对称经典几何模型，实现线段、角度的转化，突破几何压轴难点。 （4）熟练应对网格作图、坐标变换、规律探究、图形变换综合等中考高频题型，建立数形结合、转化构造的数学思维。 知识点01 中心对称（两个图形） 1. 定义 把一个图形绕着某一个定点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这个点中心对称。这个定点叫做对称中心，重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。 核心本质：中心对称是特殊的旋转（旋转角固定180°）。 关键区分：描述的是两个图形之间的位置关系。 2. 中心对称三大必考性质 ① 全等性：成中心对称的两个图形完全全等，对应边、对应角相等； ② 中点性（核心）：任意一组对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分； ③ 位置性：对应线段互相平行或在同一条直线上。 3. 对称中心确定方法 ① 单点法：连接一组对应点，线段的中点即为对称中心； ② 交点法：连接两组不同的对应点，两条线段的交点即为对称中心。 4. 中心对称图形作图步骤（三步法） ① 定点取点：选取原图形的所有顶点、关键点； ② 作对称点：将各关键点与对称中心相连，延长一倍长度，得到对应对称点； ③ 顺次连线：按照原图形的顶点顺序，依次连接所有对称点，得到中心对称图形。 练习 1．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，与关于点O成中心对称．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴，，， ∴， 但不一定正确， 故选：D． 知识点02 中心对称图形（单个图形） 1. 定义 把一个图形绕着自身内部某一个定点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形完全重合，这个图形就是中心对称图形。 关键区分：描述的是一个图形自身的对称属性。 2. 中心对称与中心对称图形的联系与区别 区别：中心对称是两个图形的位置关系；中心对称图形是一个图形的固有性质。 联系：将成中心对称的两个图形看作一个整体，整体是中心对称图形；将中心对称图形沿对称中心分成两部分，两部分成中心对称。 3. 常见几何图形对称性分类（必背） 对称类型 常见图形 既是轴对称又是中心对称 线段、矩形、菱形、正方形、圆、正偶数边形 只是中心对称，不是轴对称 普通平行四边形 既不是中心对称也非轴对称 任意不规则多边形、一般三角形 只是轴对称，不是中心对称 等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、正奇数边形 4. 重要推论 过中心对称图形对称中心的任意一条直线，均可将图形分成面积、形状完全相等的两部分。 练习 2．（2026·天津津南·模拟预测）下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、是中心对称图形，故选项符合题意． 知识点03 平面直角坐标系中原点对称的坐标规律 1. 核心公式 若点 关于原点对称的点为 ，则 。 口诀：关于原点对称，横、纵坐标全部变号。 2. 三大对称坐标对比（易错对比） ① 关于x轴对称：（横坐标不变，纵坐标变号） ② 关于y轴对称：（纵坐标不变，横坐标变号） ③ 关于原点对称：（横纵全变号） 练习 3．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，在中，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， ∴点与点关于原点中心对称， ∵， ∴点的坐标为． 知识点04 中心对称与轴对称深度对比 对比维度 中心对称 轴对称 对称要素 对称中心（定点） 对称轴（定直线） 变换方式 绕定点旋转180° 沿直线翻折重合 图形数量 两个图形的位置关系 单个图形或两个图形均可 重合方式 旋转后重合 折叠后重合 练习 4．（2026·山西运城·二模）以数学家名字命名的现象广泛存在于数学定理、公式、常数、猜想、学科分支及奖项中．以下是四个用数学家名字命名的数学图形，其中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（     ） A．赵爽弦图 B．欧拉螺线 C．科赫雪花 D．笛卡儿叶形线 【答案】C 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，是轴对称图形，故符合题意； D、绕某一点旋转后，不能与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，是轴对称图形，故不符合题意． 题型1 概念辨析题（选择填空必考） 方法技巧 1. 快速判断口诀：图形倒过来看，与原图完全一致，即为中心对称图形； 2. 避坑要点：普通平行四边形只有中心对称性，无轴对称性；正奇数边形不是中心对称图形； 3. 核心逻辑：旋转180°重合是中心对称的唯一判定依据。 【典例1】（2026·广西百色·三模）绣球、壮锦和铜鼓并称广西三大民族文化元素．下图是广西壮族铜鼓和壮锦相结合的纹样图，该纹样（     ） A．仅是轴对称图形 B．仅是中心对称图形 C．既是轴对称又是中心对称图形 D．既不是轴对称也不是中心对称图形 【答案】C 【详解】解：由轴对称图形的性质和中心对称图形的性质可知，该纹样图既是轴对称又是中心对称图形． 【变式1-1】（2026·辽宁盘锦·三模）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别、矩形性质理解、轴对称图形的识别、正多边形概念辨析 【详解】解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 【变式1-2】下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是_______． （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（4） 【详解】解：（1）该图形不是中心对称图形， （2）该图形不是中心对称图形， （3）该图形不是中心对称图形， （4）该图形是中心对称图形， ∴这些汽车标识中，是中心对称图形的是（4）． 【变式1-3】（2025·江苏无锡·模拟预测）线段、等腰三角形、正方形、圆、等腰梯形、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形、正八边形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 ____________________ ． 【答案】线段，正方形，圆，正六边形，正八边形 【详解】解：线段是轴对称图形（有对称轴）和中心对称图形（绕中点旋转180度重合）； 正方形是轴对称图形（有4条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）； 圆是轴对称图形（有无数条对称轴）和中心对称图形（绕圆心旋转180度重合）； 正六边形是轴对称图形（有6条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）； 正八边形是轴对称图形（有8条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）． 等腰三角形、等腰梯形、、等边三角形、正五边形是轴对称图形但不是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故它们不符合题意． 故既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段，正方形，圆，正六 题型2 性质应用计算（线段、角度、面积） 方法技巧 1. 线段角度：成中心对称的图形全等，对应边、对应角相等，对称中心平分对应点连线； 2. 面积计算：利用中心对称割补法，将不规则阴影图形拼接为规则图形，简化计算； 3. 中心对称图形可被对称中心平分面积，直接用于面积求值。 【典例2-1】（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图，与关于点O成中心对称，下列结论中，不成立的是（   ）    A． B． C．点A的对称点是点 D． 【答案】B 【详解】解：∵与关于O成中心对称， ∴，，点A的对称点是点，， 故A，C，D正确， 故选：B． 【典例2-2】（2026·河北张家口·一模）如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：如图，连接、、， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F和点D关于点E成中心对称， ∴，且点、、在同一直线上， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵的面积是12，，点D是上的动点， ∴由垂线段最短可得，当时，的长度最小，且此时， ∴， ∴的最小值为 【典例2-3】（2025·河北·一模）如图，四边形为平行四边形，点从点出发向点运动，为平行四边形的中心，射线和相交于点，若，，则四边形的面积为______． 【答案】 【详解】解：连接， 四边形是关于点的中心对称，为过中心的线段， ，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，、、三点在同一直线上， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-1】如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（  ） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【详解】解：与关于点成中心对称， ，点与点关于点对称，， ①②③正确，④错误， 故选：A 【变式2-2】（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 【变式2-3】（2026·浙江·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则___________． 【答案】25 【详解】解：在菱形中，与互相垂直平分， ∴，， 又∵与关于点D成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， 在中，． 题型3 原点对称坐标求值（代数几何综合） 方法技巧 若两点 、 关于原点对称，则满足：，列方程求解参数即可。 【典例3-1】（2026·辽宁锦州·三模）若正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两个函数的交点，关于原点中心对称， ∵关于原点中心对称的点的横纵坐标均互为相反数，点的坐标为， ∴点的坐标是． 【典例3-2】（2026·湖北荆州·二模）如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线相交于原点轴，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵的两条对角线，交于原点， ∴点与点关于原点对称， ∵点的坐标是， ∴点的横坐标是， ∵平行轴，， ∴平行轴， ∵点的坐标是， ∴点的纵坐标是． ∴点的坐标是． 【典例3-3】（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）点关于原点的对称点在第三象限，那么m的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：点关于原点的对称点为点， ∵点在第三象限，且， ∴， 解得． 【变式3-1】（2026·内蒙古通辽·二模）将一次函数的图象向下平移4个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图象上，则的值为（     ） A． B．8 C． D．10 【答案】D 【详解】解：∵ 将一次函数的图象向下平移4个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，得平移后的函数为， ∵ 点关于原点对称时，横纵坐标均为原坐标的相反数， ∴ 点关于原点的对称点坐标为， ∵ 对称点在平移后的函数图象上，将代入得 解得 【变式3-2】（2026·宁夏吴忠·一模）如图，菱形的对角线交点在原点，若，则点的坐标是________． 【答案】 【详解】解： 四边形是菱形，且对角线交点在原点， 点与点关于原点对称 点的坐标为，且关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数， 点的坐标为． 【变式3-3】（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴负半轴上，是边长为2的等边三角形，将以原点为中心作中心对称，得到，则点的坐标是____________． 【答案】 【详解】解：过点作轴于点． 因为是边长为2的等边三角形， 所以． 因为， 所以． 在中，由勾股定理得． 因为点在第二象限，所以点的坐标为． 因为是以原点为中心作中心对称得到的，所以点与点关于原点对称． 所以点的坐标为． 题型4 网格作图题（课本必考） 方法技巧 严格遵循“取关键点—作对称点—顺次连线”三步法；网格中对称中心为两组对应点连线的交点。 【典例4】（2026·吉林长春·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画一个以为对角线的四边形，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，使四边形是中心对称图形，且面积为6； (2)在图②中，使四边形既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为5． 【详解】（1）解：根据题意可得 （2）解：根据题意可得 【变式4-1】（25-26九年级上·山东济宁·期末）图案设计：正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案．下面是三种不同设计方案中的一部分： (1)请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P．（在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉．） (2)若网格的单位长度为1，求出图②中阴影部分面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：， ∴图②中阴影部分的面积为 【变式4-2】（25-26九年级上·吉林四平·阶段检测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点、在格点上； (2)在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点、在格点上． 【详解】（1）解：如图①，四边形即为所求． （2）解：如图②，四边形即为所求． 【变式4-3】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形． （3）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求；      （3）如图所示，即为所求； 题型5 培优压轴：倍长中线构造中心对称模型 方法技巧 题目出现三角形中线、线段中点条件时，倍长中线构造中心对称三角形，实现线段、角度的转移，将分散条件集中在同一三角形中。 【典例5】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． (1)如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为____________； (2)如图3，当，时，则长为____________； (3)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， ，， ， ， 又是的中线， ， ， ． （2）解：，， ， 又， ， ， 是斜边上的中线， ． （3）解：结论，， 证明：如图，延长到点M，使得，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， ， ， ． 【变式5-1】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）【问题背景】如图1，和都是等边三角形，求证：； 【尝试运用】如图2，在中，，，边绕点C逆时针旋转到，E为边上不与点C重合的点，且，M为的中点，连接，．求的度数； 【拓展创新】如图3，在和中，，，，连接，，点F，G分别为，的中点，若，请直接写出线段的长（用含a和b的式子表示）． 【详解】问题背景∶ ∵和都是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ； 尝试应用：延长至点，使得，连接，， ，， ， 边绕点C逆时针旋转到， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ； 拓展创新：如图，连接并延长至，使，连接、，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点F，G分别为，的中点， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ． 【变式5-2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）（1）凸四边形中，，为上一点，． ①如图1，连，将线段绕点顺时针旋转，得到，连，画线段，； ②连，将绕点逆时针旋转得到，连，取中点，连，，如图，请判断的形状，并说明理由． （2）如图3，凸四边形中，将绕点顺时针旋转，使点的对应点在上，将绕点逆时针旋转，使点的对应点在上，连并取其中点，连，，若于点，直接写出，满足的数量关系，不需要说明理由． 【详解】（1）①解：如图所示： ； ②如图，延长作，连接， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点为中， ∴， ∵在和， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵五边形的内角和为：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）如图，延长作，连接，，， ∵绕点顺时针旋转得，绕点逆时针旋转得， ∴，，，， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∵在和， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在和， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵内角和为， ∴， ， ∴． 【变式5-3】（2024·山西·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，连接，，，为的中点，连接． 【数学思考】 （1）线段与的数量关系，说明理由． 【猜想证明】 （2）若把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【深入探究】 （3）若把绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若是的中点，连接AN，若，直接写出的长． 【详解】（1）． 理由：， ． ， ， 为CD的中点， ． （2）结论成立． 证明：如图1，延长到点F，使，连接． ，，， ，， ， ， ， 又，， ， ． ， ． （3）的长为2． （3）的长为2． 解：如图2，延长到点M，使得，连接． ， ． ， ． ， ， ． 为的中点，， ， ． 题型1 变换综合 1．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于原点对称的； (2)将向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，画出； (3)若和关于点对称，请直接写出的坐标_____ 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图： 由图可知，． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为1，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移5个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (3)观察图形可知，与关于点(____,____)中心对称． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)如图，即为所求； （3）解：如图，连接，交点即为对称中心， 可得，，， 设直线， 则， 解得， ∴直线； 同理可求直线， ∴， 解得， ∴与关于点中心对称， 故答案为：． 3．（2025·四川广安·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出与关于原点成中心对称的； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的； (3)内一点关于原点的对称点的坐标为________． 【答案】(1) 如图所示，即为所求 (2) 如图所示，即为所求 （3）内一点关于原点的对称点的坐标为 故答案为：． 4．（25-26九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．    (1)将向左平移5个单位长度，得到，画出； (2)与关于原点成中心对称，画出； (3)和是否成中心对称图形？若成中心对称图形，请直接写出对称中心的坐标；若不成中心对称图形，请说明理由． 【答案】(1) 如图，即为所作，    (2) 如图：即为所作，   ； （3）解：如图，连接、、，它们相交于一点，则和是成中心对称图形，   ， 由图形可得，对称中心的坐标为． 5．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的； (2)画出关于原点的中心对称图形； (3)P为x轴上的一个动点．当有最小值时，求这个最小值． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时为最小值， 由勾股定理得， ∴这个最小值为． 题型2 几何与中心对称综合 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，N．对于点P给出如下定义：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．如图，点，点N在线段的延长线上，若点，点Q为点P的“对应点”． (1)在图中画出点Q； (2)连接，交线段于点T，求证：． 【详解】（1）解：点，点Q为点P的“对应点”，如图，点Q即为所求； ∵点， ∴点向右平移２个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点， ∴， ∵点关于点N的对称点为Q，， ∴点Q的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点； （2）证明：如图，延长至点，连接，则， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）小明在生物课上学习了蜜蜂的相关知识，发现蜂窝都是由一系列六边形的蜂室密铺而成，他对此非常感兴趣，打算叫上小伙伴们一起探究一下六边形的相关性质，于是几个小伙伴就开始了他们的探索旅程． 【初步思考】 他们规定：在凸六边形中，满足，，，且，，，称这样的凸六边形叫作“光谱六边形”．其中与，与，与叫作“正对边”，和，和，和叫作“正对角”，，，叫作“正对角线”． (1)类比平行四边形的性质，有如下猜想，请判断正误并在括号内画“√”或“×”． ①“光谱六边形”的三条“正对角线”互相平分；（    ） ②“光谱六边形”的邻角互补；（    ） ③“光谱六边形”是中心对称图形．（    ） (2)【实践操作】 如图1，在“光谱六边形”中，证明：． (3)【思维探究】 当“光谱六边形”的六条边都相等时，我们把它叫作“正光谱六边形”．如图2是一张面积为的等腰直角三角形纸片，分别在三角形的三个顶点处各剪裁掉一个小三角形，使剪裁后的纸片变成一个“正光谱六边形”，请求出这个“正光谱六边形”的面积． 【详解】（1）①√ ；②× ；③ √； （2）解：连接， ，， ，， ， ； （3）解：如图，作，，， 设“正光谱六边形”的边长为， 等腰直角三角形的面积为， 等腰直角三角形的直角边长为， ，即， ， 该“正光谱六边形”的面积为． 8．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当与重叠部分为三角形时，设其面积为．用含的代数式表示． (4)与的直角边交于点．当点恰为线段的中点时，直接写出的值． 【详解】（1）解：由题意得， ，点D为的中点， ， ∵点P关于点D的对称点为点Q， , ， 当时，， ． 当时，， ． ∴当时，．当时，． （2）解：如图1，点M在边上时，， 由题意可知，， ， ， ， 解得； 如图2，点M在边上时，， 由题意可知，， ， ， ， 解得； 所以，t的值为或． （3）解：当时，与重叠部分为，面积为4； 当时，与重叠部分为， 此时，， ； 当时，与重叠部分为， 此时，， ； 当时，与重叠部分为，面积为4； 所以，． （4）解：t的值为1或3，理由如下： 如图3，与交于点N，点恰为线段的中点时，，则， ， 解得； 如图4，与交于点N，点恰为线段的中点时，，则， ， 解得； 综上所述，t的值为1或3． 题型3 二次函数与中心对称综合（新考法） 9．（2026·湖北咸宁·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和点，点是抛物线上的动点，且，经过原点的直线与抛物线的另一个交点为点D． (1)求出抛物线的解析式； (2)若C、D关于点对称，求点C坐标； (3)若y轴上一点P的坐标为，直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为． ①用含m的代数式分别表示k，，； ②若，直接写出此时点C的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点、点D是抛物线上的点，且C、D关于点对称， ∴ ∴ 整理得， ∵ ∴ ∴ ∴； （3）解：①∵是直线与抛物线的一个交点， ∴ 解得 ∵点、在直线上，且点在抛物线上， ∴ ∴； ∵ ∴直线表达式为： 与抛物线表达式联立可得， 解得或， 当时，， ∴， 将点，代入直线， 则 解得； ②∵， ∴ 或 解得或或或， 经检验，或或或都是原方程的解，但和不符合题意， ∴或 ∴此时点坐标为或． 10．（2025·广东深圳·三模）（1）特殊情况，探索结论： 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标原点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ （2）特例启发，引发思考： 点对称有一定规律，那么由点组成的图形是否有相似规律呢? 定义：对于抛物线，以点为中心，作该抛物线关于点中心对称的抛物线，则称抛物线为抛物线关于点的“中心镜像抛物线”，点为“镜像中心”．例如：如图1，抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，点为“镜像中心”． ①如图2，当时，直接写出抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的函数表达式_____； ②已知抛物线，将其顶点先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，恰好落在抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的图象上，求“镜像中心”点的坐标； （3）拓展结论，思维提升： 已知抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，当时，最大值与最小值的差为3，直接写出的值． 【详解】解：（1）点A关于原点O对称的坐标为； 设点B关于对称的点的坐标为，则有， 则，即点B关于对称的点的坐标为； 同理可求得点C关于点对称的点的坐标为； 故答案为：，； （2）①，顶点坐标为，它关于点M对称的点的坐标为，则此时关于点M对称的抛物线解析式为：， 化为一般式为：； 故答案为：； ②，其顶点坐标为， 此点平移后的坐标为， 把代入中，得：， 解得：，即， ∴的顶点坐标为， 由中点公式得：， ∴； （3），其顶点坐标为， 它关于M的对称点的坐标为， ∴的解析式为：；其最大值为； 当时，；当时，； 当时，在时，函数值随自变量的增大而减小， 最大值为，最小值为， 由题意得：，解得； 当时，函数在顶点取得最大值，最小值为或， 由题意得：或， 解得：或， 它们均不符合题意； 当时，在时，函数值随自变量的增大而增大， 最小值为，最大值为， 由题意得：，解得：； 综上，t的取值为2或． 一、单选题 1．（2026·山东德州·中考真题）下列标志中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： A、该图形绕中心旋转后，内部箭头方向发生改变，不能与原图形重合，故不是中心对称图形； B、该图形是轴对称图形，绕中心旋转后不能与原图形重合，故不是中心对称图形； C、该图形绕中心旋转后能与原图形重合，故是中心对称图形； D、该图形是轴对称图形，绕中心旋转后不能与原图形重合，故不是中心对称图形． 2．（2026·黑龙江绥化·中考真题）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A．正六边形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】解：A、正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； B、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； C、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； D、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意． 3．（2026·四川巴中·中考真题）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项，五角星是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B选项，太极图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C选项，奥运五环是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D选项，该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意． 二、填空题 4．（2026·四川凉山·中考真题）点关于原点的对称点坐标是_______． 【答案】 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标特点，可知两个点关于原点对称时，横纵坐标符号相反， 因此点关于原点的对称点的坐标为． 5．（2026·陕西·中考真题）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 【答案】3 【详解】解：设矩形的边，， 则点B的坐标为，， ∵点D是矩形的对称中心， ∴点D是对角线的中点， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴ 三、解答题 6．（2026·甘肃天水·中考真题）在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、三角形等图形，借助图形的旋转或对称设计了一些美丽的图案．如图是小彤设计的一件艺术作品的平面图，它由个全等三角形构成，外轮廓为正六边形． (1)请判断图1是____________图形；（填“轴对称”或“中心对称”） (2)图是从图1选取的部分图案，其中看作由绕旋转中心顺时针方向旋转一定角度后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心．（保留作图痕迹，不写作法） 【详解】（1）解：将该图形绕点正六边形的中心旋转，能与原图形重合，故图1是中心对称图形． (2)解：如图，点O为所求旋转中心． 7．（2026·江西·中考真题）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； (2)如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【详解】(1)解：与互为“伴随对称抛物线”， 理由如下： 的顶点为， 将代入中，得， 即经过． 的顶点为， 将代入中，得， 即经过． 故与互为“伴随对称抛物线”． (2)①，证明如下： ∵：与： ∴，， ∵若：与：互为“伴随对称抛物线”， ，， 两式相加得． ， ． ②的对称中心为线段的中点； ③ ②∵为中心对称图形， ∴的对称中心为线段的中点． ③：，， ∴，， ：， ∴，，， 如图，设与相交于点， ∵四边形为正方形， 为的对称中心，， ． 过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为． 则， ∴， ∴，． 设， 则，，即，． 又， ，． ∵点在上， ，化简整理得， ． 一、单选题 1．（2026·广东佛山·三模）年是“十五五”规划开局之年，我国持续推动全球文明交流、共建人类命运共同体．下列国家级重大活动官方标识里，属于中心对称图形的是（     ） A．第四次全国农业普查标识 B．亚洲文明对话大会主标识 C．深圳峰会 D．第六届亚洲沙滩运动会会徽 【答案】B 【详解】解：、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、该图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故本选项符合题意； 、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，； 故只有选项D不成立； 故选D． 边形，正八边形， 故答案为：线段，正方形，圆，正六边形，正八边形． 3．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：∵等边三角形中，O为的中点，， ∴，，， ， ∵与关于点B中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故选D． 4．（2026·湖北孝感·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，请确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，只有特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）才是轴对称图形，普通平行四边形仅为中心对称图形，不是轴对称图形， ∵，， 选项A：当点D的坐标为时，连接点A、B、C、D，则该四边形无法构成平行四边形，因此不是中心对称图形，故A不符合题意； 选项B、当点D的坐标为时，点A、B、D的横坐标均为，则这三点在同一条直线上，无法构成四边形，故B不符合题意； 选项C、当点D的坐标为时， 线段在直线上，且，线段在直线上，且， 且， 四边形是平行四边形， ，， ， 、， 平行四边形不是菱形，也不是矩形、正方形， 该四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C符合题意； 选项D、当点D的坐标为时， 同理可得：四边形是平行四边形， 、， ， 平行四边形是矩形， 该四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D不符合题意． 5．（2026·福建厦门·三模）如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，即， 四边形是矩形，， ，且平行于轴， 故上点的纵坐标均为， 点在边上， 点的纵坐标为， 点与点关于点成中心对称， 点是线段的中点， 设，则， 解得， 点在反比例函数图象上， ， 解得， 点的坐标为． 二、填空题 6．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则__ ． 【答案】4 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，且， 即， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 7．（2026·山东青岛·二模）如图，菱形的对角线交于原点，点的坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时点的坐标为______________． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴点每旋转4次会回到原来的位置， ∵， ∴旋转次后的位置与旋转次后的位置相同，即绕原点顺时针旋转， ∴第次旋转结束时点的坐标为． 8．（2026·广东深圳·三模）如图，点在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，若的面积为7，则的值为______． 【答案】 【详解】解：连接， ∵点与点关于原点对称，的面积为7， ∴， ∴的面积为， ∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵在反比例函数上 ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴． 三、解答题 9．（2026·山东淄博·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求m，n的值和反比例函数的解析式； (2)若点B关于原点O的对称点为，求的面积； (3)当时，求x的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得 ， 将代入，得 ， 解得 ，， 将代入，得 反比例函数的解析式为； （2）解：由题意得，点关于原点的对称点为， 连接，，，如图 令直线与y轴交于点C，则 当时，， ∴点C坐标为， 为的中点， ； （3）解：由图象可知，当时，或． 10．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，． (1)将向右平移6个单位得到，画出； (2)以点O为对称中心，画出的中心对称图形； (3)在第三象限内选一点P，其横坐标为，使． 【答案】(1)如图所示； (2)如图所示； (3)如图，点P即为所作， 11．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1，抛物线：经过点和点，抛物线与关于原点O成中心对称． (1)求b，c的值； (2)求抛物线的解析式； (3)将抛物线向上平移2个单位长度得到，抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），如图2． ①求点P和Q的坐标； ②若点M，N分别为抛物线与上P，Q之间的点（点M，N均不与点P，Q重合），直接写出四边形面积的最大值． 【详解】（1）解：将点和点代入得 ， 解得； （2）解：由（1）可得抛物线， 设点是上任意一点，则点关于原点O成中心对称的点坐标为， ∵抛物线与关于原点O成中心对称， ∴抛物线的解析式为， 整理得； （3）解：①将抛物线向上平移2个单位长度得到，则抛物线的解析式为， 联立，解得或， ∵抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧）， ∴点P的坐标为，点Q的坐标为； ②过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∵点P的坐标为，点Q的坐标为， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， 则，， ∴，， ∵， ∴当时，有最大值4， 当时，有最大值4， ∵， ∴当最大时，四边形面积的最大值为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $