精品解析：山东省临沂市蒙阴县2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

2025—2026学年度下学期期末教学质量调研 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题和答题卡两部分，考生必须用0.5毫米黑色签字笔将答案全部写在答题卡的相应位置上，写在试题卷上的一律无效． 2．试题4页，答题卡2页，共6页．总分120分，考试时间120分钟． 3．答卷前请将答题卡前端的考生信息填写完整清楚． 4．考试结束，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 使有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 全体实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 5，12，17 【答案】C 【解析】 【分析】勾股数需同时满足两个条件：三个数均为正整数，两较小数的平方和等于最大数的平方，逐一验证即可得到结果． 【详解】解：对选项A：，，，故1，2，3不是勾股数，不符合题意； 对选项B：，，，故2，3，5不是勾股数，不符合题意； 对选项C：，且三个数均为正整数，故3，4，5是勾股数，符合题意； 对选项D：，，，故5，12，17不是勾股数，不符合题意． 3. 下列二次根式的计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算规则与性质，根据二次根式的加减法则、乘除法则和被开方数的非负性，逐一判断选项即可求解． 【详解】解：对选项A，，A错误． 对选项B，与不是同类二次根式，不能合并，结果不等于，B错误． 对选项C，二次根式的被开方数必须为非负数，和无意义，正确运算为，C错误． 对选项D，，符合二次根式的除法法则，D正确． 4. 如图，在中，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交边，于点，连接，若的周长为5，则的周长为（ ）． A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】由作图步骤可知直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线性质得；结合周长，可推出的长度，再利用平行四边形周长公式求解． 【详解】解：由作图方法可得，直线垂直平分线段， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等， ． 已知的周长为5， 即， ， ， ， 四边形是平行四边形，平行四边形周长， 四边形的周长． 5. 已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数表达式中的值、值进行判断函数图象的大致趋势． 【详解】解：∵随的增大而增大， ∴函数图象呈上升趋势， 又∵当时，， 即函数与轴交点位于轴负半轴， 故选项A满足函数图象． 6. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴可得，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ 7. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺、问折高者几何？意思是：一根竹子，原高1丈（1丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，则尺，尺，再利用勾股定理建立方程即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，则尺，尺， 由勾股定理得， ∴， 故选：D． 8. 手工课上，同学们用两种正多边形彩片拼贴无空隙图案，下列搭配能不留缝隙、不重叠铺满平面的是（ ） A. 正三角形和正六边形 B. 正方形和正五边形 C. 正三角形和正五边形 D. 正五边形和正七边形 【答案】A 【解析】 【分析】能不留缝隙不重叠铺满平面的条件是：同一拼接顶点处的多个内角之和恰好等于，先计算各正多边形的内角度数，再判断是否存在正整数组合使内角和为． 【详解】解：正三角形内角：， 正方形内角：， 正五边形内角：， 正六边形内角：， 正七边形内角：， 选项A：设顶点处有个正三角形，个正六边形，列方程得：，化简得，存在正整数解，满足内角和为，可以铺满平面； 选项B、C、D均不存在满足条件的正整数解，因此不能铺满． 9. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小乐和小文从出餐口出发，准备给相距的客人送餐，小乐比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小乐行进的时间为（单位：），小乐和小文行进的路程，（单位：）与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）． A. 小乐比小文先出发 B. 小文提速后的速度为 C. 小乐的速度为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象信息求出运动速度逐项判断即可求解． 【详解】解：小文在才出发，说明小乐比小文先出发，不是，A错误． 小文在这时间内走了： 原速度：， 提速后速度：，B错误． 设小乐速度为，是两图象交点： 小乐走用时秒：； 小文：s走，这段时间为，提速后速度， 总路程：，解得，D正确； 小乐速度，C错误． 10. 如图，家用小型长方体保温箱，蚂蚁位于保温箱底部处，它想到箱体顶部点寻找掉落的面包碎屑，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分三种情况，展开长方体的侧面，分别利用勾股定理求出的长，比较大小即可． 【详解】解：展开长方体的侧面（如图），连接， 由勾股定理得， 图（1）中， 图（2）中， 图（3）中， ， 它沿长方体的侧面爬行的最短距离是10． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，需先简化每个根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 一次函数的图象过点，，则和的大小关系是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式中一次项系数的符号判断函数的增减性，再比较两个点横坐标的大小，结合增减性即可得到和的大小关系． 【详解】解：在一次函数中，一次项系数， 根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小， 两个点的横坐标分别为和， ， ， ． 13. 图1是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图2是从左图冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：∵多边形的外角和等于， ∴． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在坐标轴上，则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作轴，垂足为E，证明，得到，计算的长即可． 【详解】解：如图，过点C作轴，垂足为E． ∵四边形是正方形，点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点． 15. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，连结交于点，连结，．若，，则下列结论中正确的是__________．①是等边三角形；②；③四边形是菱形；④． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，先证明，再证明是等边三角形，即可判断①选项；由和是等边三角形，可得，即可判断②选项；由含角的直角三角形的性质即可判断③选项；先证明，可知，设，根据含角的直角三角形的性质，可得，根据，，可得，进一步即可判断④选项． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ，， 在等边中，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 平分， ，， 垂直平分， 如图，连接， 在矩形中，为的中点， ，，三点在同一直线上， 在线段的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形， 故①正确； 由①得和是等边三角形， ， 四边形是菱形； 故③正确； 是等边三角形， ， ， ∴， 是等边三角形， ， ， ∴， ∴，即，故②错误； 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， 设， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 故④正确， 综上所述，正确的结论有①③④． 三、解答题（本大题共7小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在其著作《计算之书》中描述数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这列数称为斐波那契数列．斐波那契数列中的第n（）个数可以表示为，这是用无理数表示有理数的一个范例，请你用这个式子验算斐波那契数列中的第1个数和第2个数是否都是1． 【答案】解：（1）当时，代入上式得 （2）当时，代入上式得 答：第1个数和第2个数都是1． 【解析】 【分析】分别将和代入斐波那契数列第个数的公式，通过化简计算得出结果． 【详解】略 17. 数学活动课上，同学们在探究“叠在一起的纸杯的总高度随着纸杯数量的变化规律”时，同学们发现：每增加一个纸杯，叠在一起的纸杯增加的高度是一样的，如图，是1个纸杯和若干个规格相同的纸杯叠放在一起的示意图，纸杯的个数与纸杯的高度的关系如下表：根据上表，回答以下问题： 纸杯的个数 纸杯的高度（） 1 8 2 3 4 … … （1）表中有两个变量，分别是__________和__________； （2）请同学们用自己喜欢的字母表示上述两个变量，建立一个函数关系，用来描述变量之间的变化规律； （3）若有25个上述规格的纸杯，求其叠放在一起的高度． 【答案】（1）纸杯的个数；纸杯的高度 （2）解：设纸杯的个数为x个，纸杯的高度为；； （3） 【解析】 【分析】（1）由表格可知，纸杯个数变化引起叠放高度变化，故变量为纸杯的个数和纸杯的高度； （2）由表格可知，每增加一个纸杯，叠在一起的纸杯增加的高度为，即可写出函数关系； （3）根据（2）所得的关系式，将代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得：每增加一个纸杯，叠在一起的纸杯增加的高度为， 设纸杯的个数为x个，纸杯的高度为；由题意得： ， 即； 【小问3详解】 解：将25代入（2）所得的关系式中，得： ， 所以有25个上述规格的纸杯叠放在一起的高度为． 18. 【数据收集】智能科技点亮生活，人工智能成为时代发展的新风向．某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务．工作人员现对甲、乙两款导航模型进行10轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：：甲模型：100，95，85，60，90，75，90，95，70，90；乙模型：90，80，70，85，85，90，80，100，80，90； 【数据整理】将甲、乙两个模型测试的准确率绘制成如图统计图： 准确率 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 60 75 ② 95 100 乙 70 ① 85 ③ 100 （1）【数据分析】若利用平均数、方差进行分析（如图1），通过计算平均数，，__________．再计算方差，，__________． （2）若利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填__________，②处应填__________，③处应填__________． （3）【作出决策】请你根据10轮基准测试的成绩，从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由． 【答案】（1）85，60 （2）①80，②90；③90． （3）选择乙模型，理由如下： 两个模型的平均数相同，但乙模型的方差较小，四分位距更小，更稳定， 选择甲模型，理由如下： 甲模型上四分位数和中位数都要更好，整体水平更好． 【解析】 【分析】（1）利用平均数的公式以及方差公式求解； （2）利用四分位数、箱线图的定义求解； （3）平均数、方差、四分位数和箱线图等做出决策． 【小问1详解】 解：， 所以； 【小问2详解】 解：甲模型从小到大排列为：60，70，75，85，90，90，90，95，95，100，共10个数，偶数个， 方法一：位于正中间的两个数均为90， ∴； 方法二：的位置为位，不是整数， ∴； 乙模型从小到大排列为：70，80，80，80，85，85，90，90 ，90，100，共10个数，偶数个， 方法一：前半部分数据为70，80，80，80，85，有奇数个，正中间的为80，即， 后半部分数据为85，90，90 ，90，100，有奇数个，正中间的为90，即， 方法二：的位置为不是整数，取第3位，即， 的位置为不是整数，取第8位，即； 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 【答案】（1） 证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 20. 请阅读下列材料，并完成任务（直接画出图形，不要求写分析过程）． （1）问题背景：教材44页第9题提出，一个长方形由5个边长为1的正方形组成，排列形式如图1，请把它分割后拼接成一个大正方形，要求：画出分割线（图1中）并在正方形网格（图2）中用实线画出拼接成的新正方形（图中每个小正方形的边长均为1）． （2）能力提升：现有10个边长为1的正方形，排列形式如图3，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图3中画出分割线，并在图4中的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． （3）应用创新：图5是一个大的矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出分割线，在图6中要求画出三块图形组装成大正方形的示意图）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】先根据网格图求出图形的面积，得出正方形的边长，再根据勾股定理在网格图中画出正方形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 【发现问题】小明在辅导弟弟作业时发现一个问题：数轴上点对应的数为，点为数轴上一个动点，，两点的距离随点的位置改变而改变，于是他意识到这可能与他学过的函数有关． 【提出问题】如图，设两点的距离为，点所表示的数为，那么是的函数吗？ 【分析问题】从“形”的角度思考：表示的是数轴上一动点与一定点的距离，即当点在点右侧时，距离为，当点在点左侧时，距离为；从“数”的角度思考：如果是的函数，就可以按照研究函数的方法来研究，即在自变量的范围内通过列表，描点，连线画出函数的图象，进而借助图象研究函数的有关性质． 【解决问题】 （1）填空：该函数的解析式为：______________________________； （2）补全下表，再描点，连线，绘制函数的图象： 观察图象，请至少写出该函数的两条性质； （3）若点在该函数的图象上，求的值； 利用函数的图象求不等式的解集． 【答案】（1）； （2）解：列表， 描点，连线，画图象如下， 函数关于直线对称；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；的最小值（写两条即可）； （3）或，． 【解析】 【分析】根据题意即可求解； 根据列表，描点，连线，绘制函数的图象即可； 根据函数图象即可求解； 把点代入得，从而求出的值； 先求出的解，再根据函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得该函数的解析式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：略； 函数关于直线对称；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；的最小值（写两条即可）； 【小问3详解】 解：∵点在该函数的图象上， ∴， ∴或； 在中的平面直角坐标系中，画出函数的图象， 根据图象可知当时，， 解，得， ∴的解集为． 22. 综合与实践： 【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了人教版数学教材八年级下册第88页的第13题．其内容如下： 如果你身旁没有量角器或三角尺，又需要作的角，可以采用下面的方法（如图1）： 第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时得到了线段，把纸片展平． （1）【知识运用】求的度数，请说明理由． （2）【综合提升】小慧在探究活动第二步的基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点G．将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，矩形纸片长的最小值为多少？ （4）【迁移探究】小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究（如图3），过程如下：将正方形纸片按照“问题情境”的方式操作，并延长交于点Q，连接．当点N在上时，，则正方形的边长为__________． 【答案】（1）解：如图1，连接， 为折痕， 垂直平分， ， 由折叠所得， ， ， 为等边三角形， ， ； （2）解：如图2，四边形为菱形，理由如下： 由（1）得：，， ∴ ∵ ， ， ， 是等边三角形， ， ∵将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）证明为等边三角形，即可求解； （2）证明是等边三角形，可得，再结合折叠的性质可得，即可解答； （3）根据直角三角形的性质可得，，从而得到，由（2）得：，可得到，即可求解； （4）证明，可得，再根据直角三角形的性质可得，，设，则，，可得，，，可求出a的值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∵点B刚好落在边上点H处， ∴， ∴矩形纸片长的最小值为9； 【小问4详解】 解：由（1）得：， ∵四边形为正方形， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期末教学质量调研 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题和答题卡两部分，考生必须用0.5毫米黑色签字笔将答案全部写在答题卡的相应位置上，写在试题卷上的一律无效． 2．试题4页，答题卡2页，共6页．总分120分，考试时间120分钟． 3．答卷前请将答题卡前端的考生信息填写完整清楚． 4．考试结束，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 使有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 全体实数 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 5，12，17 3. 下列二次根式的计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交边，于点，连接，若的周长为5，则的周长为（ ）． A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 5. 已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺、问折高者几何？意思是：一根竹子，原高1丈（1丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 手工课上，同学们用两种正多边形彩片拼贴无空隙图案，下列搭配能不留缝隙、不重叠铺满平面的是（ ） A. 正三角形和正六边形 B. 正方形和正五边形 C. 正三角形和正五边形 D. 正五边形和正七边形 9. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小乐和小文从出餐口出发，准备给相距的客人送餐，小乐比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小乐行进的时间为（单位：），小乐和小文行进的路程，（单位：）与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）． A. 小乐比小文先出发 B. 小文提速后的速度为 C. 小乐的速度为 D. 10. 如图，家用小型长方体保温箱，蚂蚁位于保温箱底部处，它想到箱体顶部点寻找掉落的面包碎屑，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_____________． 12. 一次函数的图象过点，，则和的大小关系是__________． 13. 图1是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图2是从左图冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在坐标轴上，则点的坐标是__________． 15. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，连结交于点，连结，．若，，则下列结论中正确的是__________．①是等边三角形；②；③四边形是菱形；④． 三、解答题（本大题共7小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在其著作《计算之书》中描述数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这列数称为斐波那契数列．斐波那契数列中的第n（）个数可以表示为，这是用无理数表示有理数的一个范例，请你用这个式子验算斐波那契数列中的第1个数和第2个数是否都是1． 17. 数学活动课上，同学们在探究“叠在一起的纸杯的总高度随着纸杯数量的变化规律”时，同学们发现：每增加一个纸杯，叠在一起的纸杯增加的高度是一样的，如图，是1个纸杯和若干个规格相同的纸杯叠放在一起的示意图，纸杯的个数与纸杯的高度的关系如下表：根据上表，回答以下问题： 纸杯的个数 纸杯的高度（） 1 8 2 3 4 … … （1）表中有两个变量，分别是__________和__________； （2）请同学们用自己喜欢的字母表示上述两个变量，建立一个函数关系，用来描述变量之间的变化规律； （3）若有25个上述规格的纸杯，求其叠放在一起的高度． 18. 【数据收集】智能科技点亮生活，人工智能成为时代发展的新风向．某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务．工作人员现对甲、乙两款导航模型进行10轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：：甲模型：100，95，85，60，90，75，90，95，70，90；乙模型：90，80，70，85，85，90，80，100，80，90； 【数据整理】将甲、乙两个模型测试的准确率绘制成如图统计图： 准确率 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 60 75 ② 95 100 乙 70 ① 85 ③ 100 （1）【数据分析】若利用平均数、方差进行分析（如图1），通过计算平均数，，__________．再计算方差，，__________． （2）若利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填__________，②处应填__________，③处应填__________． （3）【作出决策】请你根据10轮基准测试的成绩，从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由． 19. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 20. 请阅读下列材料，并完成任务（直接画出图形，不要求写分析过程）． （1）问题背景：教材44页第9题提出，一个长方形由5个边长为1的正方形组成，排列形式如图1，请把它分割后拼接成一个大正方形，要求：画出分割线（图1中）并在正方形网格（图2）中用实线画出拼接成的新正方形（图中每个小正方形的边长均为1）． （2）能力提升：现有10个边长为1的正方形，排列形式如图3，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图3中画出分割线，并在图4中的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． （3）应用创新：图5是一个大的矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出分割线，在图6中要求画出三块图形组装成大正方形的示意图）． 21. 【发现问题】小明在辅导弟弟作业时发现一个问题：数轴上点对应的数为，点为数轴上一个动点，，两点的距离随点的位置改变而改变，于是他意识到这可能与他学过的函数有关． 【提出问题】如图，设两点的距离为，点所表示的数为，那么是的函数吗？ 【分析问题】从“形”的角度思考：表示的是数轴上一动点与一定点的距离，即当点在点右侧时，距离为，当点在点左侧时，距离为；从“数”的角度思考：如果是的函数，就可以按照研究函数的方法来研究，即在自变量的范围内通过列表，描点，连线画出函数的图象，进而借助图象研究函数的有关性质． 【解决问题】 （1）填空：该函数的解析式为：______________________________； （2）补全下表，再描点，连线，绘制函数的图象： 观察图象，请至少写出该函数的两条性质； （3）若点在该函数的图象上，求的值； 利用函数的图象求不等式的解集． 22. 综合与实践： 【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了人教版数学教材八年级下册第88页的第13题．其内容如下： 如果你身旁没有量角器或三角尺，又需要作的角，可以采用下面的方法（如图1）： 第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时得到了线段，把纸片展平． （1）【知识运用】求的度数，请说明理由． （2）【综合提升】小慧在探究活动第二步的基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点G．将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，矩形纸片长的最小值为多少？ （4）【迁移探究】小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究（如图3），过程如下：将正方形纸片按照“问题情境”的方式操作，并延长交于点Q，连接．当点N在上时，，则正方形的边长为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $