精品解析：山东省聊城市高唐县2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025−2026学年度第二学期期末学情诊断 八年级数学试题 注意事项： 1.本试卷满分120分，考试用时120分钟． 2.答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3.请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 如图，将周长为的沿方向向右平移个单位得到，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 关于直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线l与y轴交于 B. 直线l经过第二、三、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 点在直线l上 5. 在验证“不同物质吸热能力不同”的试验中，数学兴趣小组准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度y（）与加热时间x（），绘制成图象如图②所示．则下列说法错误的是（ ） A. 菜籽油和水在加热前的温度均为 B. 在水沸腾之前，水的温度上升速度是 C. 当加热时，菜籽油的温度是 D. 菜籽油温度比水高时，此时加热时间为 6. 为了解我市入夏后气温变化情况，小明同学调查了月份每天的平均气温情况，并将数据进行统计分析，绘制成箱线图，则下列说法正确的是( ) A. 这组数据的第一四分位数是 B. 这组数据的第三四分位数是 C. 这组数据的中位数是 D. 这组数据的最小值是，最大值是 7. 如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 5 C. 2 D. 8. 如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（ ） A. 方程的解是 B. 方程的解是 C. 关于x的不等式的解集是 D. 的解集为 9. 已知一组数据方差的算式为：，由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是 B. 该组数据的平均数是 C. 若该组数据加入两个数，，则这组新数据的方差变小 D. 该组数据的众数是 10. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果． 11. 若，则__________． 12. 如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为________． 13. 某超市以每千克元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额（元）与销售量（千克）之间的关系如图所示．当销售此种水果的利润为元时，销售量为________千克． 14. 如图，在菱形中，，分别为，的中点，若，，则菱形的面积为________． 15. 将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为________． 三、解答题：共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 18. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 19. 已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点，点C在直线上，其纵坐标为5． （1）点B的坐标为________，点C的坐标为________； （2）在x轴上找一点P，连接，使的值最小，并求出点P的坐标． 20. 下面是某校甲、乙两组舞蹈队12名队员的身高（单位：）． 甲组：155 160 160 162 162 162 162 163 164 164 165 165 乙组：150 152 152 152 152 153 165 170 172 172 174 180 分析以上数据，得到下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲组 162 a 162 c 乙组 162 159 b 113.8 （1）__________，__________． （2）请通过计算确定的值． （3）观察甲组舞蹈队员身高的箱线图，请在图中绘制乙组舞蹈队员身高的箱线图，并通过对比分析，写出一条你所获取的结论． 21. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 22. 定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． （1）判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； （2）若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； （3）若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 23. 【问题解决】 （1）如图，在矩形中，点，分别在边上，，垂足为点．求证：． 【拓展提升】 （2）如图，在正方形中，点，分别在边上，，延长到点，使，连接，求证：． 【类比迁移】 （3）如图，在菱形中，点，分别在边上，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年度第二学期期末学情诊断 八年级数学试题 注意事项： 1.本试卷满分120分，考试用时120分钟． 2.答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3.请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时满足二次根式被开方数非负、分式分母不为0两个条件，解不等式即可得到结果． 【详解】要使函数有意义，需同时满足两个条件： ∵二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不能为0， ∴ 解得， 解得， ∴自变量的取值范围是且． 2. 如图，将周长为的沿方向向右平移个单位得到，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵将周长为的沿方向向右平移个单位得到， ∴，，， 则四边形的周长为 ． 3. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的大小估算，二次根式的混合运算，根据无理数的估算方法得出，，把，代入代数式进行二次根式的混合运算求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 4. 关于直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线l与y轴交于 B. 直线l经过第二、三、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 点在直线l上 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数图象经过的象限，求一次函数的函数值，求一次函数与y轴的交点坐标，根据解析式可判断函数经过的象限和增减性，据此可判断B、C；求出和时的函数值即可判断A、D． 【详解】解：∵直线l解析式为，， ∴直线l经过第二、三、四象限，且y随x的增大而减小，故B说法正确，C说法错误； 在中，当时，， ∴直线l与y轴交于点，故A说法错误； 在中，当时，， ∴点不在直线l上，故D说法错误； 故选：B． 5. 在验证“不同物质吸热能力不同”的试验中，数学兴趣小组准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度y（）与加热时间x（），绘制成图象如图②所示．则下列说法错误的是（ ） A. 菜籽油和水在加热前的温度均为 B. 在水沸腾之前，水的温度上升速度是 C. 当加热时，菜籽油的温度是 D. 菜籽油温度比水高时，此时加热时间为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的识别，根据图象中的数据，逐一判断即可解答，熟练读懂图中数据是解题的关键． 【详解】解：A、由图中数据可得菜籽油和水在加热前的温度均为，故A正确，不符合题意； B、由图中数据得到在水沸腾之前，水的温度上升速度是，故B错误，符合题意； C、由图中数据可得菜籽油温度上升速度是，所以当加热时，菜籽油的温度是，故C正确，不符合题意； D、菜籽油温度比水高时，此时加热时间为，可得方程，解得， 故菜籽油温度比水高时，此时加热时间为，故D正确，不符合题意， 故选：B． 6. 为了解我市入夏后气温变化情况，小明同学调查了月份每天的平均气温情况，并将数据进行统计分析，绘制成箱线图，则下列说法正确的是( ) A. 这组数据的第一四分位数是 B. 这组数据的第三四分位数是 C. 这组数据的中位数是 D. 这组数据的最小值是，最大值是 【答案】D 【解析】 【详解】解：由箱线图可知，这组数据的第一四分位数是，A选项错误； 这组数据的第三四分位数是，B选项错误； 这组数据的中位数是，C选项错误； 这组数据的最小值是，最大值是，D选项正确． 7. 如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 5 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出的长，进而得到的长，推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D. 8. 如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（ ） A. 方程的解是 B. 方程的解是 C. 关于x的不等式的解集是 D. 的解集为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，一次函数与二元一次方程组，熟知以上知识是解题的关键．根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出结论． 【详解】解：A、直线与轴的交点坐标为， 当时，， 方程的解是，原说法错误，不符合题意； B、一次函数与的图象交于点， 方程组的解是，原说法错误，不符合题意； C、观察图象得：当时，一次函数的图象在的图象的上方， 关于的不等式的解集是，正确，符合题意； D、观察图象得：当时，函数的图象在轴的上方， 的解集为，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 9. 已知一组数据方差的算式为：，由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是 B. 该组数据的平均数是 C. 若该组数据加入两个数，，则这组新数据的方差变小 D. 该组数据的众数是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查方差、平均数、众数的概念，根据方差算式得到原数据，再结合相关概念逐一判断选项正误即可． 【详解】∵方差算式中共有5个平方项， ∴原数据共5个，即， ∴选项A正确． 计算原数据的平均数：， ∴选项B正确． 原方差，加入两个后，新方差，数据更集中，方差变小， ∴选项C正确． 原数据中，出现次，也出现次，二者出现次数均最多， ∴众数为和， ∴选项D错误． 10. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果． 11. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质，正确的计算是解题的关键． 通过简化根式乘法运算，比较等式两边系数和根号内值，求出和的值，再代入计算表达式． 【详解】解：， 又 ， ， 解得：， 又 ， ， 解得：， ， 故答案为：． 12. 如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】连接，由正方形的性质可得，，结合三角形的面积公式计算出即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形，， ，， ， ，， ， ， ． 13. 某超市以每千克元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额（元）与销售量（千克）之间的关系如图所示．当销售此种水果的利润为元时，销售量为________千克． 【答案】180 【解析】 【分析】经过分析，销售此种水果的利润为元是在降价后，先求出降价后的函数关系式，然后根据题意列方程即可． 【详解】解：降价前最大利润为（元）， ∴销售此种水果的利润为元是在降价后， 设降价后销售额（元与销售量（千克）之间的函数表达式是， 段过点，， ， 解得，， 即降价后销售额（元与销售量（千克）之间的函数表达式是； 设当销售量为千克时，某超市销售此种水果的利润为150元， ， 解得，． 14. 如图，在菱形中，，分别为，的中点，若，，则菱形的面积为________． 【答案】48 【解析】 【分析】根据中位线定理求得，则菱形面积即可求． 【详解】解：在菱形中，，分别为，的中点，若，， ∴, ∴． 15. 将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，结合旋转的性质推出△绕原点逆时针旋转，每旋转6次为一个循环，进而得到第2026次旋转结束时，点对应点的坐标与第4次旋转结束时，点对应点的坐标相同，记第4次旋转结束时，点的对应点记为，过点，作轴于点，证明，利用全等三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：，， ， 顶点的坐标为， ， 绕原点逆时针旋转，每次旋转，且， 即每旋转6次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时，点对应点的坐标与第4次旋转结束时，点对应点的坐标相同， 如图，第4次旋转结束时，点的对应点记为， 过点，作轴于点， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 即第4次旋转结束时，点的对应点的坐标为， 点对应点的坐标为． 三、解答题：共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先算乘除法，再算加减法． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1）, （2）如图2，即为所求，； 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 因为，所以向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到，即； 作图：略； 【小问2详解】 由图可知 ： 作图：略 18. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由和平分推出，结合可证，从而得到四边形为平行四边形，再用“一组邻边相等”判定为菱形； （2）先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理算出对角线的长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 19. 已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点，点C在直线上，其纵坐标为5． （1）点B的坐标为________，点C的坐标为________； （2）在x轴上找一点P，连接，使的值最小，并求出点P的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，分别令和即可求出点B、C的坐标； （2）将B点关于x轴对称为，将转化为，数形结合即可求出最值时P的位置，求出此时的解析式，令即可求出P的坐标． 本题考查了求一次函数与坐标轴的交点、利用轴对称处理线段之和最小的问题，能够识别这种问题实际上就是“将军饮马”问题是解题的关键． 【小问1详解】 解：对于， 令，得， 故点B的坐标为； 令，得， 故点C的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：作点B关于x轴的对称点，连接， ∴，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴的最小值为，此时P是与x轴的交点． 设所在直线的表达式为， 根据题意，得， 将①代入②，得， ∴：， 令，则，解得， ∴． 20. 下面是某校甲、乙两组舞蹈队12名队员的身高（单位：）． 甲组：155 160 160 162 162 162 162 163 164 164 165 165 乙组：150 152 152 152 152 153 165 170 172 172 174 180 分析以上数据，得到下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲组 162 a 162 c 乙组 162 159 b 113.8 （1）__________，__________． （2）请通过计算确定的值． （3）观察甲组舞蹈队员身高的箱线图，请在图中绘制乙组舞蹈队员身高的箱线图，并通过对比分析，写出一条你所获取的结论． 【答案】（1）162；152 （2）7 （3）图见解析，结论：乙组数据波动较大，甲组数据比较稳定 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、方差，箱线图等知识，掌握四分位数、箱线图的定义是正确解答的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可解答； （2）根据方差的定义列式计算即可； （3）先根据四分位数的定义计算乙组的四分位数，再根据箱线图的定义和绘制方法画出箱线图；然后根据甲组、乙组的四分位数以及箱线图可得结论． 【小问1详解】 解：∵甲组最中间的两个数是162，162， ∴， ∵乙组中出现最多的数是152，出现了4次， ∴， 故答案为：162；152； 【小问2详解】 解：甲组的方差： ； 【小问3详解】 解：乙组舞蹈队12名队员的身高的四分位数，，， 画图如下： 由甲组、乙组的箱线图和四分位数的大小可知，乙组数据波动较大，甲组数据比较稳定． 21. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【答案】任务一：每个篮球元，每个排球元；任务二：购买篮球个，排球个，最节省费用． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 任务一：设每个篮球元，每个排球元，根据题意得，然后解方程组即可； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，费用为元，根据题意得，求出的取值范围，由，可得随的增大而增大，则当时，有最小值，从而求解． 【详解】解：任务一：设每个篮球元，每个排球元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个篮球元，每个排球元； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，总的费用为元， 根据题意得：， ∴且a为整数， ∴， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，为元，此时， 答：购买篮球个，排球个，最节省费用． 22. 定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． （1）判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； （2）若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； （3）若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 【答案】（1） 解：是的完整平方根， 理由如下： 即． ∴是的完整平方根． （2）， （3） 解：∵是完整根式， ∴不妨设，其中，都是整数． 由（2）得，，． ∴． ∵，都是整数， ∴为完全平方数． ∴一定是完全平方数． 【解析】 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是整数， ∴，． 【小问3详解】 略 23. 【问题解决】 （1）如图，在矩形中，点，分别在边上，，垂足为点．求证：． 【拓展提升】 （2）如图，在正方形中，点，分别在边上，，延长到点，使，连接，求证：． 【类比迁移】 （3）如图，在菱形中，点，分别在边上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ， ∴； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $