精品解析：陕西咸阳市2025-2026学年第二学期期末质量检测高一数学试题

2025~2026学年度第二学期期末质量检测 高一数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法及交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以.  2. 某公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180，240，360．现采用分层随机抽样的方法从这三个部门的员工中抽取39人，调研员工对工作的满意度，则人工智能部门被抽取的人数为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样方法求解即可. 【详解】抽样比为， 所以人工智能部门被抽取的人数为. 3. 在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】由于，故复数对应的点是，位于第二象限 4. 已知平面向量，不共线，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律及垂直关系的向量表示求解即可. 【详解】由，得， 即，整理得， 又平面向量，不共线，所以. 所以与的夹角为. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】充分性：当时，，充分性不成立； 必要性：当时，，所以若成立，则必须有，必要性成立. 6. 某模型对图象中目标识别的准确率与训练样本量的关系为，当识别的准确率达到时，的值约为（参考数据：）（ ） A. 1152 B. 1560 C. 1842 D. 2303 【答案】D 【解析】 【详解】令，得 ，， 两边取对数，得 ，. 7. 在正方体中，下列说法错误的是（ ） A. B. 与是异面直线 C. 平面平面 D. 直线与平面所成角为 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形根据点线面的位置关系，逐一判断即可得出答案. 【详解】 对于A，且，所以四边形为平行四边形，所以，，故A结论正确； 对于B，由图可知与是异面直线，故B结论正确； 对于C，由选项A可知，平面，平面，故平面， 又且，所以四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面，故C结论正确; 对于D，由于平面，所以直线与平面所成角为,，故D结论错误. 8. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设点坐标为，已知，因此， 顺时针旋转，等价于逆时针旋转， 代入，，得到旋转后的向量： 横坐标， 纵坐标， 已知，因此， 对应坐标相等得方程组： 解得，，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质即可得 【详解】选项A ，已知，（由得），根据同向不等式的可加性： ，因此恒成立，A正确； 选项B ，已知，两边同时除以正数，不等号方向不变：，化简得，即恒成立，B正确； 选项C ，举反例：取，满足，此时，，，C错误； 选项D ，作差比较：  ， 分析符号：，（，故），分母为正； ，，分子，因此差为正，即恒成立，D正确. 10. 已知，，为随机事件，且，，，则下列结论正确的有（ ） A. 事件，是相互对立事件 B. 若事件，，两两互斥，则为必然事件 C. 若事件，相互独立，则 D. 若，则事件，相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】区分互斥、对立、独立：互斥仅无交集，对立事件需并集为必然，独立靠判定，逐一分析选项即可. 【详解】选项A，，所以A和B不是对立事件， A错误； 选项B，若两两互斥，则，概率为1的事件不一定是必然事件，仅由无法推出其为必然事件，B错误； 选项C，若相互独立，则 ， C正确； 选项D，若，则 ，而，所以和不相互独立，D错误. 11. 设是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件可得函数周期，再结合偶函数的性质，逐个选项判断即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以， 又，即 将替换为，可得， 所以，的周期为， 即，C错， 当时，， 则时，， 由，得时，， 所以，A正确， 且，B正确， 另外，，也可得到C错， 对于D，，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的虚部为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题，，虚部为. 13. 在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，开关，闭合与断开的概率都是，且所有开关的闭合与断开是相互独立的，则灯亮的概率为________． 【答案】##0.5625 【解析】 【分析】应用独立事件乘法公式结合对立事件概率公式计算求解. 【详解】记“开关闭合”为事件，“开关至少有一个闭合”为事件， 则， 因为所有开关的闭合与断开都是相互独立的， 则， 灯亮的概率为. 14. 已知球的体积为，正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）的四个顶点，，，均在球的球面上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先由球体积算出外接球半径，再套用正四面体外接球半径与棱长的关系式直接求出棱长. 【详解】由题，球体积，则，设正四面体边长为，其外接球半径为，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从2名男学生（记为和）和3名女学生（记为，和）组成的总体中，采用有放回简单随机抽样的方法抽取2名学生． （1）写出该试验的样本空间； （2）求两次都是女生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 样本空间需考虑两次抽取的所有有序结果，总数为 个； （2）计算“抽到2人都是女生”的概率时，先找出事件包含的个结果，再用公式 求解 【小问1详解】 所求样本空间为 ． 【小问2详解】 设事件为抽到的2人都是女生，则事件 ， 又，，根据古典概型，得所求概率为． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先用二倍角、辅助角公式统一化为单角正弦型，再套周期公式求值； （2）整体代换正弦函数增区间，解不等式得到的取值范围. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为． 【小问2详解】 由（1）知， 由， 解得， 所以函数的单调递增区间为． 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若边的中点为，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理和余弦定理建立等式，求解出角的值； （2）首先根据是中点，利用向量中线公式建立长度与边、、角的关系，代入已知条件求出边的长度，再使用三角形面积公式计算面积。 【详解】解：（1）由及正弦定理得， 整理得：， 所以， 又，所以． （2）因为边的中点为， 所以， 所以， 所以，解得或（舍）． 所以的面积为． 18. 树人中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前25%的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； （3）若成绩落在的平均成绩是57，方差是7；成绩落在的平均成绩为69，方差是4，求这两组数据的总平均数和方差． 【答案】（1），74 （2）84 （3）65；37 【解析】 【分析】（1）用频率和为1求参数，再用“组中值×频率”算平均数； （2）求高分分界值时，先定位区间，再用频率列方程求解； （3）两组数据合并时，用加权平均求总均值，用分层方差公式求总方差. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 平均数为． 【小问2详解】 分数介于的频率为，的频率为，所以获荣誉证书的最低分数介于， 设最低分数为，则，解得． 【小问3详解】 成绩在的学生人数为，成绩在的学生人数为， 故，． 19. 如图1是边长为2的正方形，将其沿折起，使得，得到如图2所示的三棱锥，其中，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）因为，， 所以为边长为的等边三角形，即． 连接，，易知， 所以，即． 又，为中点， 所以， 又，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）先应用中位线得出，再应用线面平行判定定理证明； （2）先应用线面垂直判定定理证明平面，最后应用面面垂直判定定理证明即可； （3）应用二面角定义得出二面角的平面角为，再应用边长结合余弦定理计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知， 又，所以为等边三角形． 取线段的中点，连接，， 则，且， 同理可得，，且． 又平面平面， 所以二面角的平面角为， 又， 所以， 故二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末质量检测 高一数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 某公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180，240，360．现采用分层随机抽样的方法从这三个部门的员工中抽取39人，调研员工对工作的满意度，则人工智能部门被抽取的人数为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 3. 在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知平面向量，不共线，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 某模型对图象中目标识别的准确率与训练样本量的关系为，当识别的准确率达到时，的值约为（参考数据：）（ ） A. 1152 B. 1560 C. 1842 D. 2303 7. 在正方体中，下列说法错误的是（ ） A. B. 与是异面直线 C. 平面平面 D. 直线与平面所成角为 8. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，为随机事件，且，，，则下列结论正确的有（ ） A. 事件，是相互对立事件 B. 若事件，，两两互斥，则为必然事件 C. 若事件，相互独立，则 D. 若，则事件，相互独立 11. 设是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的虚部为________． 13. 在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，开关，闭合与断开的概率都是，且所有开关的闭合与断开是相互独立的，则灯亮的概率为________． 14. 已知球的体积为，正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）的四个顶点，，，均在球的球面上，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从2名男学生（记为和）和3名女学生（记为，和）组成的总体中，采用有放回简单随机抽样的方法抽取2名学生． （1）写出该试验的样本空间； （2）求两次都是女生的概率． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间． 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若边的中点为，，，求的面积． 18. 树人中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前25%的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； （3）若成绩落在的平均成绩是57，方差是7；成绩落在的平均成绩为69，方差是4，求这两组数据的总平均数和方差． 19. 如图1是边长为2的正方形，将其沿折起，使得，得到如图2所示的三棱锥，其中，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $