精品解析：陕西渭南高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

高一数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题：的否定为（ ） A. ， B. C. D. 2. 样本数据9，12，17，11，15，16，10，8，18的上四分位数是（ ） A. 9 B. 10 C. 15 D. 16 3. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 袋子里装有4支钢笔，其中2支黑笔，2支红笔，从中随机取出2支，下列事件中与事件“都是黑笔”互斥但不对立的是（ ） A. “恰有1支红笔” B. “至多有1支红笔” C. “至少有1支黑笔” D. “至少有1支红笔” 5. 如图，一个冰淇淋玩具由一个圆锥和一个与圆锥有公共底面的半球组成，且两部分体积相等，则圆锥的母线长与底面半径的比值是（ ） A. B. C. D. 6. 设全集，集合，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是两个不共线的单位向量，向量，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知个实数，，，，的取值均为，，，中的一个（每个数至少出现一次），则，，，，的方差的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方体的棱长为，为线段上一动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线与的夹角的大小的取值范围是 C. 的最小值为 D. 当时，平面截该正方体所得截面的面积为 11. 设对任意的平面向量进行一次“变换”后得到一个新向量，对连续进行次“变换”得到的向量记作．设，为平面内的非零向量，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意的，，恒成立 B. 对任意的， C. 若，，则 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象的一个对称中心的坐标是________． 13. 如图，在平行四边形中，，且，是边上靠近点的三等分点，则________． 14. 若关于的不等式恒成立，则的所有可能取值共有________个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校举行了一次数学竞赛活动，有100名学生参加，将他们的成绩（单位：分，满分为100分）进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这100名学生的成绩的中位数； （3）从成绩在内的学生中随机抽取5名学生进行座谈，求这次考了89分的小明被抽中的概率． 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，是的中点，求的最小值及此时的面积． 17. 某校为培养学生的劳动意识，开展了“劳动小能手”实践活动．活动结束后，学校根据学生的劳动时长及表现给予相应的劳动实践积分．现从该校随机抽取50名学生，调查其劳动实践积分数据，整理如下表： 劳动实践积分 人数 3 10 2 20 1 15 0 5 （1）从该校全体学生中随机抽取1名学生，估计这名学生的劳动实践积分不低于2分的概率． （2）假设每名学生的劳动实践积分互不影响，从该校全体学生中随机抽取2名学生． （ⅰ）估计这2名学生的劳动实践积分之和为2分的概率； （ⅱ）估计这2名学生的劳动实践积分之差的绝对值不低于1分的概率． 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）若，恒有，求实数的最小值； （3）若，恒有，求实数的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，平面，且底面是矩形，，是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若是四棱锥外接球上的一点，求点到平面的最大距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题：的否定为（ ） A. ， B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由全称量词命题的否定可知，命题的否定为. 2. 样本数据9，12，17，11，15，16，10，8，18的上四分位数是（ ） A. 9 B. 10 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据上四分位数定义，结合百分位数的计算步骤计算即可. 【详解】将数据按从小到大排列：. 因为，所以上四分位数为第7个数，即. 3. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用函数奇偶性定义结合幂函数的单调性判断即可. 【详解】对于A：定义域为，，所以为偶函数，不符合题意； 对于B：定义域为，，所以为偶函数，不符合题意； 对于C：定义域为，，所以为奇函数，但是在区间上单调递减，不符合题意； 对于D：定义域为，，所以为奇函数，是在区间上单调递增，符合题意； 4. 袋子里装有4支钢笔，其中2支黑笔，2支红笔，从中随机取出2支，下列事件中与事件“都是黑笔”互斥但不对立的是（ ） A. “恰有1支红笔” B. “至多有1支红笔” C. “至少有1支黑笔” D. “至少有1支红笔” 【答案】A 【解析】 【分析】应用互斥事件及对立事件定义判断求解. 【详解】从4支笔中任取2支的所有情况为：2支黑笔、2支红笔、1支黑笔1支红笔， 对于A：事件“都是黑笔”与“恰有1支红笔”不可能同时发生，且不是必有一个发生，二者互斥不对立，符合题干要求； 对于B：“至多有1支红笔”包含1红1黑、2黑的情况，与“都是黑笔”不互斥，不符合题干要求； 对于C：“至少有1支黑笔”包含1红1黑、2黑的情况，与“都是黑笔”不互斥，不符合题干要求； 对于D：“至少有1支红笔”包含1红1黑、2红的情况，与“都是黑笔”为对立事件，不符合题干要求； 5. 如图，一个冰淇淋玩具由一个圆锥和一个与圆锥有公共底面的半球组成，且两部分体积相等，则圆锥的母线长与底面半径的比值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用球及圆锥的体积公式计算，再结合圆锥的几何特征求解. 【详解】设半球与圆锥的公共底面半径为，圆锥的高为， 则半球体积为，圆锥体积为，由两部分体积相等可得，解得， 圆锥母线长， 因此母线长与底面半径的比值为. 6. 设全集，集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 7. 已知，是两个不共线的单位向量，向量，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由是不共线的单位向量可得，由可得，进而讨论和且的充分性和必要性即可. 【详解】已知是不共线的单位向量，故，设两向量夹角为， 则， 因为，所以不等式等价于. 充分性：若，无法推出且，例如满足， 但不满足且，充分性不成立； 必要性：若且，必有，即，必要性成立. 所以是且的必要不充分条件. 8. 已知个实数，，，，的取值均为，，，中的一个（每个数至少出现一次），则，，，，的方差的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知结合方差公式计算求解. 【详解】已知个实数，，，，均为，，，中的数， 当重复值取2或8时波动性最大， 当重复值取2时，平均数为，所以方差为， 当重复值取8时，平均数为，所以方差为， 所以得到方差最大值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】复数，则，A正确； ，B错误； ，C正确； ，D正确. 10. 如图，正方体的棱长为，为线段上一动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线与的夹角的大小的取值范围是 C. 的最小值为 D. 当时，平面截该正方体所得截面的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：可证平面，可知点到平面的距离为定值，进而可知三棱锥的体积为定值；对于B：可证平面，即可得，即可判断B；对于C：当点为的中点时，则，，即可分析最值；对于D：作辅助线，分析可知截面为四边形，进而可求截面面积. 【详解】对于选项A：因为，，可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为，可知点到平面的距离为定值， 且的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于选项B：因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 同理可证：， 且，平面，可得平面， 又因为平面，则， 所以直线与的夹角的大小为，是定值，故B错误； 对于选项C：因为为等边三角形，为等腰直角三角形（）， 当点为的中点时，则，， 即此时，均取到最小值，且，， 所以的最小值为，故C错误； 对于选项D：设， 因为，则，即，可知点为的中点， 设，的中点分别为，，连接，，，，， 因为，，且，， 则，，可知四边形为平行四边形，则， 又因为，，可知四边形为平行四边形，则， 可得，可知平面截该正方体所得截面为四边形， 且，， 所以所求截面的面积为，故D正确. 11. 设对任意的平面向量进行一次“变换”后得到一个新向量，对连续进行次“变换”得到的向量记作．设，为平面内的非零向量，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意的，，恒成立 B. 对任意的， C. 若，，则 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用“变换”定义，结合向量的加减数乘与数量积的坐标公式，根据选项要求逐一计算分析即可判断. 【详解】对于A，设，则， ，故A正确； 对于B，设，则，， ， 故对，故B正确； 对于C，因为对，， 则，， 因当且仅当方向相同时成立， 不能恒成立，故C错误； 对于D，设，则， 又因，不妨设，则， 故 ， 因，则，故的最小值为，即D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象的一个对称中心的坐标是________． 【答案】（答案不唯一，符合的点均对） 【解析】 【详解】令，解得，故的对称中心为. 13. 如图，在平行四边形中，，且，是边上靠近点的三等分点，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意选定为一组基向量，将分别用基向量表示，利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】因是平行四边形的边上靠近点的三等分点， 则 . 14. 若关于的不等式恒成立，则的所有可能取值共有________个． 【答案】3 【解析】 【分析】利用正弦、余弦函数的值域均为的特征，分整数和两类情况讨论，结合诱导公式、三角函数恒等条件求解符合的取值总个数。 【详解】分以下情况讨论： 当时，若恒成立， ，要使不等式对任意恒成立，需的最小值， ∴ ，∴ . 当时，恒成立，由诱导公式可得恒成立， ∵ ，， 若上述不等式对任意恒成立，仅当对任意恒成立， ∴ . 当时，对任意恒成立， ∴ ，，解得，， ∵ ，∴ . 当时，对任意恒成立， 由诱导公式可得， ∴ ，，解得，， ∵ ，∴ . 综上，的所有可能取值为、、，共个. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校举行了一次数学竞赛活动，有100名学生参加，将他们的成绩（单位：分，满分为100分）进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这100名学生的成绩的中位数； （3）从成绩在内的学生中随机抽取5名学生进行座谈，求这次考了89分的小明被抽中的概率． 【答案】（1） （2）78． （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1列方程，即可求解； （2）频率分布直方图中将所有小矩形面积二等分的点对应的值为中位数； （3）由直方图求成绩在内的学生在样本中的频率，再计算对应的人数，利用古典概型概率公式求结论. 【小问1详解】 由题可得， 即，解得． 【小问2详解】 因为，而， 所以中位数在内． 由中位数的定义可得，解得． 所以估计这100名学生的成绩的中位数为78． 【小问3详解】 由的频率为， 可得内的总人数为， 所以这次考了89分的小明被抽中的概率为． 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，是的中点，求的最小值及此时的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1） 应用余弦定理计算求解； （2）应用余弦定理结合二次函数值域计算得出最小值，再计算面积求解. 【小问1详解】 由余弦定理可得， 整理得， 所以， 又，所以． 【小问2详解】 因为，所以． 因为为的中点，所以由余弦定理可得 ， 当时，取得最小值，且，此时， 所以． 17. 某校为培养学生的劳动意识，开展了“劳动小能手”实践活动．活动结束后，学校根据学生的劳动时长及表现给予相应的劳动实践积分．现从该校随机抽取50名学生，调查其劳动实践积分数据，整理如下表： 劳动实践积分 人数 3 10 2 20 1 15 0 5 （1）从该校全体学生中随机抽取1名学生，估计这名学生的劳动实践积分不低于2分的概率． （2）假设每名学生的劳动实践积分互不影响，从该校全体学生中随机抽取2名学生． （ⅰ）估计这2名学生的劳动实践积分之和为2分的概率； （ⅱ）估计这2名学生的劳动实践积分之差的绝对值不低于1分的概率． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）应用频率计算求解； （2）（ⅰ）应用古典概型，独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式计算求解；（ⅱ）古典概型及独立事件概率乘积公式，对立事件概率公式计算解题. 【小问1详解】 由题表可知从样本中随机抽取1名学生， 其劳动实践积分不低于2分的频率为， ∴估计这名学生的劳动实践积分不低于2分的概率为． 【小问2详解】 由题可知，劳动实践积分为0分、1分、2分、3分的概率分别为 ，，，． （ⅰ）这2名学生的劳动实践积分之和为2分的情况有2人都是1分或1人0分、1人2分，共2种． ∴估计这2名学生的劳动实践积分之和为2分的概率为． （ⅱ）随机抽取2名学生，其积分之差的绝对值不低于1分的对立事件是积分之差的绝对值低于1分，即为 0分，所有的情况为，，，， 概率为， ∴估计这2名学生的劳动实践积分之差的绝对值不低于1分的概率为． 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）若，恒有，求实数的最小值； （3）若，恒有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）先由图象最值确定振幅，再代入已知点坐标结合的取值范围求解，最后代入最高点的坐标，结合周期的取值范围确定，即可得到函数的解析式. （2）先求解时的值域，，恒成立等价于在该区间上的最大值与最小值的差不大于，据此可求得的最小值. （3）先求解时的取值范围，通过换元将原不等式转化为二次函数在上的恒成立问题，结合二次函数的图象性质，只需区间端点处函数值小于等于0即可求解的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，所以． 因为的图象经过点，代入可得或，， 又，所以． 再将代入，可得， 解得，． 设的最小正周期为，观察图象可得，解得， 结合式可得，所以． 【小问2详解】 若，则，， 所以． 要使对任意的，恒有，只需， 即，故的最小值为． 【小问3详解】 若，则，所以． 令，则，，恒成立，等价于，恒成立， 所以 解得，即实数的取值范围为． 19. 如图，在四棱锥中，平面，且底面是矩形，，是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若是四棱锥外接球上的一点，求点到平面的最大距离． 【答案】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形是矩形，所以， 又平面，平面，且，所以平面， 又平面，所以， 又是的中点，，所以， 又平面，平面，且，所以平面； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证明； （2）根据等体积法先求得点到平面的距离，进而可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）取的中点，连接，，，可得为四棱锥外接球的球心，根据等体积法可求得点到底面的距离，进而可求得点到平面的最大距离． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取的中点，连接． 因为，分别为，的中点，所以，， 又平面，所以平面， 所以， 由（1）得平面，又平面，所以， 又，所以，， 又，所以， 所以． 设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为． 由，解得， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 取的中点，连接，，． 因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 因为，平面，平面， 所以平面，平面， 因为平面，平面， 所以， 所以，，均为直角三角形，为斜边的中点， 所以为四棱锥外接球的球心， 由题可知，，所以． 设点到平面的距离为， 在三棱锥中，，即， 即，解得， 设点到平面的距离为， 又点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，所以， 在三棱锥中，设点到底面的距离为， 由，可得， 即，解得， 又点到平面的最大距离为点到平面的距离加半径，即为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $