第十五章 轴对称（四大考点+五大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学“轴对称”单元知识清单系统梳理了轴对称图形、线段垂直平分线、等腰三角形及最短路径问题等核心内容，构建了从基础概念、性质定理到作图应用、综合拓展的递进式学习支架。 清单通过“知识点分级细化+易错点分类剖析”呈现知识体系，如将等腰三角形“三线合一”标注为核心性质，5个易错点均配“注意事项总结”及“对点训练”，培养学生推理意识与几何直观。设计“将军饮马”模型步骤分解及拓展应用，助力不同学生高效掌握，教师可直接用于课堂重难点突破与分层教学。

第十五章 轴对称 知识点一 轴对称图形 1. 基础概念 1. 轴对称图形 单个图形沿一条直线__________，直线两侧部分能够__________，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫__________。 例：圆、等腰三角形、正方形、角、线段。 1. 两个图形成轴对称 两个独立图形，沿某条直线折叠后能够完全重合，称这两个图形关于这条直线对称。 2. 核心性质 ① 对称点连线被对称轴__________； ② 对称线段__________、对称角__________，对称的两个图形__________； ③ 若两条对称线段相交，交点一定落在对称轴上。 3. 画轴对称图形步骤 ① 标出原图顶点、拐点等关键点； ② 过每个关键点作对称轴垂线，延长截取等长，得到对称点； ③ 按原图顺序依次连接所有对称点，得到对称图形。 知识点二 线段垂直平分线 1. 定义 既__________于线段，又__________该线段的直线，叫做线段的垂直平分线（中垂线）。 2. 性质定理 若点在线段垂直平分线上，则该点到线段两个端点的__________相等。 用途：直接证明两条线段相等。 3. 判定定理 若一个点到一条线段两个端点距离相等，则这个点一定在这条线段的垂直平分线上。 用途：证明直线是垂直平分线、证明点共线。 4. 拓展 任意三角形三条边的垂直平分线交于同一点，叫__________；外心到三角形三个顶点__________相等，是外接圆圆心。 知识点三 等腰三角形 1. 定义 两边__________相等的三角形称为等腰三角形； 相等两边：__________；第三条边：__________； 两腰夹角：__________；腰与底边夹角：__________。 2. 两大核心性质 1. 等边对等角：等腰三角形两底角__________相等； 1. 三线合一：等腰三角形顶__________、底边上的__________、底边上的__________是同一条直线，这条直线也是等腰三角形唯一__________。 3. 判定方法 1. 定义判定：有__________相等的三角形是等腰三角形； 1. 等角对等边：三角形中两个__________相等，则这两个角所对的__________相等，三角形为等腰三角形。 4. 特殊等腰三角形——等边三角形 1. 性质：三边全部相等，三个内角都是 ；三条对称轴，同样满足三线合一； 1. 判定： ① __________都相等； ② __________都相等； ③ 有一个内角是__________ 的__________三角形。 知识点四 最短路径（将军饮马） 1.核心原理 两点之间线段最短；垂线段最短。 基础模型 1：直线同侧两点，求直线上一点使 最小 解题方法：作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 交点即为所求 ，此时 最小。 原理：，，两点之间线段最短。 基础模型 2：直线两侧两点 直接连接两点，线段与直线交点即为最短点，无需作对称。 2.拓展模型 1. 造桥选址：两条平行线间搭建垂直桥梁，平移端点转化为将军饮马； 1. 周长最小问题：三角形、四边形周长最小，需作两次对称，拼接线段求最短； 易错点1 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 易错提醒 易错点总结 1. 已知等腰三角形两边长，直接默认谁是腰、谁是底，不分类讨论。 2. 求出边长后忘记检验三边关系，出现“两短边之和小于第三边”的无效三角形，不舍去错解。 3. 只算一种情况，漏掉另一组合法周长，导致答案不完整。 注意事项总结 1. 等腰三角形边长未知时，必须分两类讨论：① 已知长为腰；② 已知长为底。 2. 每一种情况必须检验三边关系，不满足“两边之和大于第三边”直接舍去。 3. 最终只保留合法图形的周长，杜绝无效解。 【对点训练】1．已知等腰三角形的底边长为，上的中线把其周长分为差是的两部分，求等腰三角形的周长． 易错点2 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 易错提醒 易错点总结 1. 题目只给一个内角度数，不区分该角是顶角还是底角，直接单解作答。 2. 忽略底角必须是锐角，出现“底角≥90°“的错误角度，不会排除。 3. 角度计算后不验证内角和为 180°，出现逻辑错误。 注意事项总结 1. 已知一个内角求等腰三角形角度，固定分两种情况：该角为顶角 / 该角为底角。 2. 严格遵守规则：等腰三角形最多一个钝角或直角（只能是顶角）。 3. 算出角度后必须验证：三个角和为 180°、底角必须为锐角，不合理解舍去。 【对点训练】2．若等腰三角形的一个角是，则它的一个底角是______． 易错点3 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 易错提醒 易错点总结 1.题干只说“等腰三角形”，未明确腰、顶点、位置，学生习惯性默认一种图形，漏多解。 2.动点、找点构造等腰三角形时，不讨论哪两条边相等，导致答案不全。 3.不会三种分类模型，经常少 1～2 种情况丢分。 注意事项总结 1.构造等腰三角形必须三分类： ① PA=PB ② AP=AB ③ BP=AB 2.只要题目没有固定腰和底，一律默认多解，绝不只写一个答案。 3.每种分类单独计算，最后统一舍去不成立、超范围的解。 【对点训练】3．等腰三角形周长为，若有一边长为，则等腰三角形其它两边长为____． 易错点4 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 易错提醒 易错点总结 1. 题干只说“三角形高线”，默认是锐角三角形的高，忽略钝角三角形高在外部。 2. 高线位置不确定，不区分高在形内、形外，导致角度、边长计算完全错误。 3. 等腰三角形一腰上的高，不会区分顶角锐角、顶角钝角两种图形。 注意事项总结 1. 无图题、形状不明题，必须双分类：锐角三角形（高在内部）、钝角三角形（高在外部）。 2. 等腰三角形腰上的高：顶角锐角→高在形内；顶角钝角→高在形外。 3. 有高线参与的角度、长度计算，必须画图辅助，避免思维定式。 【对点训练】4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，它的底角为________． 易错点5 等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 易错提醒 易错点总结 1. 遇到新定义（优美三角形、倍角三角形、特征三角形等），只会套常规等腰模型，不会结合新定义分类。 2. 不清楚新定义对应的边、角关系，盲目计算，漏多种符合条件的情况。 3. 忽略新定义限制条件，算出不符合题意的解不剔除。 注意事项总结 1. 新定义题型第一步：先翻译定义，列出边角关系，再结合等腰三角形分类讨论。 2. 严格按照“腰底不明、角度不明、位置不明”三原则全面分类。 3. 所有解必须双重检验：符合等腰性质 + 符合题目新定义要求。 【对点训练】5．定义：经过三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”． (1)如图1，，，，请在图中画出“和谐分割线”，与一边交于点，则_________是等腰三角形，底角为______度． (2)如图2，在中，线段是的“和谐分割线”，若是等腰三角形，，求的度数． 一、单选题 1．一个等腰三角形的底角是，则它的顶角为（   ） A． B． C．或 D．不能确定 2．如果等腰三角形有一个角是，则它的顶角是（   ） A． B． C． D．或 3．一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为（     ） A． B． C．或 D． 4．如图，在等腰中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，点P是上的动点，点Q是上的动点，则的最小值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 二、填空题 6．如图，将两个全等的等腰三角形和的顶角顶点重合，且．点、分别在的两侧，与交于点，分别与、交于点、．当为等腰三角形时，的度数为______． 7．等腰三角形的两边长a、b满足，则该等腰三角形的周长是________． 8．如图，在中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，的对应边与线段相交于点，若为等腰三角形，则的度数为______________． 9．如图，等腰的底边的长为，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点为的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为___________． 10．如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点F，的垂直平分线交于点G，交于点H．则____________． 三、解答题 11．如图，已知：是的平分线上一点，，，、是垂足，连接，且交于点． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若，请你探究线段与线段之间有什么数量关系？并证明你的结论． 12．（1）如图1，线段的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． （2）如图1，如果与直线l所成的锐角为60°，以为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． 想一想：如图2，中， ，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画　 　条． 算一算：如图3，在中，，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数． 13．【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，证明：． 【深入研究】（2）与都是等腰三角形，，，且，证明：； 【深化模型】（3）如图3，，，，求的长． 14．阅读与思考 下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 内嵌共边等腰三角形组【概念理解】 如果两个等腰三角形有一条公共边，且其中较小的等腰三角形的另一个顶点落在外侧较大等腰三角形的某一边上，那么称二者为内嵌共边等腰三角形组． 例如，图1中的和均为等腰三角形，，，且的顶点在的边上，我们称图1中和为内嵌共边等腰三角形组． 【问题解决】 问题1：在如图1中，若平分，则__________°． 问题2：如图2，中，，点为平面内外一点（与点不重合），连接，，．作的垂直平分线，垂足为，交直线于，当点在直线上时，求的度数． 在研究过程中，小明同学利用图形的旋转得到满足条件的图形，如图3． 任务： (1)问题1中的__________°； (2)求出图3中的度数； (3)补全问题2的情况，在草稿纸上画出图形并在答题纸上直接写出的度数． 15．【理解问题】 如图1，在和中，，，点，在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形．叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，，若，请直接写出的度数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 知识点一 轴对称图形 1. 基础概念 1. 轴对称图形 单个图形沿一条直线对折，直线两侧部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫对称轴。 例：圆、等腰三角形、正方形、角、线段。 1. 两个图形成轴对称 两个独立图形，沿某条直线折叠后能够完全重合，称这两个图形关于这条直线对称。 2. 核心性质 ① 对称点连线被对称轴垂直平分； ② 对称线段相等、对称角相等，对称的两个图形全等； ③ 若两条对称线段相交，交点一定落在对称轴上。 3. 画轴对称图形步骤 ① 标出原图顶点、拐点等关键点； ② 过每个关键点作对称轴垂线，延长截取等长，得到对称点； ③ 按原图顺序依次连接所有对称点，得到对称图形。 知识点二 线段垂直平分线 1. 定义 既垂直于线段，又平分该线段的直线，叫做线段的垂直平分线（中垂线）。 2. 性质定理 若点在线段垂直平分线上，则该点到线段两个端点的距离相等。 用途：直接证明两条线段相等。 3. 判定定理 若一个点到一条线段两个端点距离相等，则这个点一定在这条线段的垂直平分线上。 用途：证明直线是垂直平分线、证明点共线。 4. 拓展 任意三角形三条边的垂直平分线交于同一点，叫外心；外心到三角形三个顶点距离相等，是外接圆圆心。 知识点三 等腰三角形 1. 定义 两边长度相等的三角形称为等腰三角形； 相等两边：腰；第三条边：底边； 两腰夹角：顶角；腰与底边夹角：底角。 2. 两大核心性质 1. 等边对等角：等腰三角形两底角度数相等； 1. 三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是同一条直线，这条直线也是等腰三角形唯一对称轴。 3. 判定方法 1. 定义判定：有两边相等的三角形是等腰三角形； 1. 等角对等边：三角形中两个内角相等，则这两个角所对的边长相等，三角形为等腰三角形。 4. 特殊等腰三角形——等边三角形 1. 性质：三边全部相等，三个内角都是 ；三条对称轴，同样满足三线合一； 1. 判定： ① 三边都相等； ② 三个内角都相等； ③ 有一个内角是 的等腰三角形。 知识点四 最短路径（将军饮马） 1.核心原理 两点之间线段最短；垂线段最短。 基础模型 1：直线同侧两点，求直线上一点使 最小 解题方法：作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 交点即为所求 ，此时 最小。 原理：，，两点之间线段最短。 基础模型 2：直线两侧两点 直接连接两点，线段与直线交点即为最短点，无需作对称。 2.拓展模型 1. 造桥选址：两条平行线间搭建垂直桥梁，平移端点转化为将军饮马； 1. 周长最小问题：三角形、四边形周长最小，需作两次对称，拼接线段求最短； 易错点1 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 易错提醒 易错点总结 1. 已知等腰三角形两边长，直接默认谁是腰、谁是底，不分类讨论。 2. 求出边长后忘记检验三边关系，出现“两短边之和小于第三边”的无效三角形，不舍去错解。 3. 只算一种情况，漏掉另一组合法周长，导致答案不完整。 注意事项总结 1. 等腰三角形边长未知时，必须分两类讨论：① 已知长为腰；② 已知长为底。 2. 每一种情况必须检验三边关系，不满足“两边之和大于第三边”直接舍去。 3. 最终只保留合法图形的周长，杜绝无效解。 【对点训练】1．已知等腰三角形的底边长为，上的中线把其周长分为差是的两部分，求等腰三角形的周长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的周长求解，三角形中线的性质以及三角形三边的关系，分类讨论两部分是哪一部分减哪一部分是解决本题的关键． 根据中线的性质可得，再分类讨论求出另外两边长度，结合三角形三边的关系进行取舍即可． 【详解】解：为的边上的中线， ． 分两种情况讨论： ①当时， 即． ， ， 周长为； ②当时， 即． ， ， 当时，三边长分别为， 而，不能构成三角形，故舍去． 综上，等腰三角形的周长为． 易错点2 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 易错提醒 易错点总结 1. 题目只给一个内角度数，不区分该角是顶角还是底角，直接单解作答。 2. 忽略底角必须是锐角，出现“底角≥90°“的错误角度，不会排除。 3. 角度计算后不验证内角和为 180°，出现逻辑错误。 注意事项总结 1. 已知一个内角求等腰三角形角度，固定分两种情况：该角为顶角 / 该角为底角。 2. 严格遵守规则：等腰三角形最多一个钝角或直角（只能是顶角）。 3. 算出角度后必须验证：三个角和为 180°、底角必须为锐角，不合理解舍去。 【对点训练】2．若等腰三角形的一个角是，则它的一个底角是______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得，等腰三角形的顶角为，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：若为底角时， 由于， ∴不可能为底角， ∴等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的底角为， 故答案为：． 易错点3 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 易错提醒 易错点总结 1.题干只说“等腰三角形”，未明确腰、顶点、位置，学生习惯性默认一种图形，漏多解。 2.动点、找点构造等腰三角形时，不讨论哪两条边相等，导致答案不全。 3.不会三种分类模型，经常少 1～2 种情况丢分。 注意事项总结 1.构造等腰三角形必须三分类： ① PA=PB ② AP=AB ③ BP=AB 2.只要题目没有固定腰和底，一律默认多解，绝不只写一个答案。 3.每种分类单独计算，最后统一舍去不成立、超范围的解。 【对点训练】3．等腰三角形周长为，若有一边长为，则等腰三角形其它两边长为____． 【答案】，或， 【分析】根据已知周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，分两种情况进行分析求解即可． 【详解】当为腰长时，则另一腰长为， ∴底边长为：， ∵， ∴能构成三角形； 当为底边时，则腰长为：， ∵， ∴能构成三角形． 则等腰三角形其他两边长分别为，或，． 故答案为：，或，． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验． 易错点4 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 易错提醒 易错点总结 1. 题干只说“三角形高线”，默认是锐角三角形的高，忽略钝角三角形高在外部。 2. 高线位置不确定，不区分高在形内、形外，导致角度、边长计算完全错误。 3. 等腰三角形一腰上的高，不会区分顶角锐角、顶角钝角两种图形。 注意事项总结 1. 无图题、形状不明题，必须双分类：锐角三角形（高在内部）、钝角三角形（高在外部）。 2. 等腰三角形腰上的高：顶角锐角→高在形内；顶角钝角→高在形外。 3. 有高线参与的角度、长度计算，必须画图辅助，避免思维定式。 【对点训练】4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，它的底角为________． 【答案】 或 【分析】需分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，分别计算即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，设等腰三角形，为边上的高， ， ， ， ， ， ； 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，设等腰三角形，为延长线上的高， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，该等腰三角形的底角为或． 易错点5 等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错 易错提醒 易错点总结 1. 遇到新定义（优美三角形、倍角三角形、特征三角形等），只会套常规等腰模型，不会结合新定义分类。 2. 不清楚新定义对应的边、角关系，盲目计算，漏多种符合条件的情况。 3. 忽略新定义限制条件，算出不符合题意的解不剔除。 注意事项总结 1. 新定义题型第一步：先翻译定义，列出边角关系，再结合等腰三角形分类讨论。 2. 严格按照“腰底不明、角度不明、位置不明”三原则全面分类。 3. 所有解必须双重检验：符合等腰性质 + 符合题目新定义要求。 【对点训练】5．定义：经过三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”． (1)如图1，，，，请在图中画出“和谐分割线”，与一边交于点，则_________是等腰三角形，底角为______度． (2)如图2，在中，线段是的“和谐分割线”，若是等腰三角形，，求的度数． 【答案】(1)；； (2)的度数为或． 【分析】（1）作的平分线交于点，根据三角形内角和得到，可知的三个内角与的三个内角相等，根据可知是等腰三角形，则是“和谐分割线”； （2）分三种情况根据“和谐分割线”的定义计算即可． 【详解】（1）解：作的平分线交于点，图略； ，， ， ， 在中，， 的三个内角与的三个内角相等， ， ∴， 是等腰三角形， 是“和谐分割线”； （2）解：如图，分三种情况： ①当时，， ∵是的“和谐分割线”， ∴ ∴； ②当时， ∵， ∴， ∵是的“和谐分割线”， ∴， 则， ∴； ③当时，，则， 那么（舍去）， 故的度数为或． 一、单选题 1．一个等腰三角形的底角是，则它的顶角为（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及内角和； 等腰三角形两个底角相等，已知底角为，结合三角形内角和，可求顶角． 【详解】解：∵ 等腰三角形两底角相等，且底角为， ∴ 两底角之和为， ∴ 顶角 ， 故选：B． 2．如果等腰三角形有一个角是，则它的顶角是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．等腰三角形中，已知角可能是顶角或底角，需分情况讨论顶角． 【详解】解：∵等腰三角形有一个角是， ∴当为顶角时，顶角为； 当为底角时，另一个底角也为，顶角为． ∴顶角为或， 故选D． 3．一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】已知内角没有说明是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论计算． 【详解】分两种情况讨论：情况1：当的内角为顶角时，顶角就是； 情况2：当的内角为底角时， ∴ 顶角为； 综上，该等腰三角形的顶角为或． 4．如图，在等腰中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明为等边三角形，得出，，再证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，点P是上的动点，点Q是上的动点，则的最小值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，当点B、P、共线时取等号， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的值最小，最小值为． 二、填空题 6．如图，将两个全等的等腰三角形和的顶角顶点重合，且．点、分别在的两侧，与交于点，分别与、交于点、．当为等腰三角形时，的度数为______． 【答案】或 【分析】先得出，，再分三种情况：①，②和③，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在两个全等的等腰三角形和中，， ∴，， ①如图1，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴； ③如图3，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴，此时与重合，不符合题意，舍去； 综上，的度数为或． 7．等腰三角形的两边长a、b满足，则该等腰三角形的周长是________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出，的值，分情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长. 【详解】解：，且，， ，解得， 该三角形是等腰三角形， 三边长为或， ，不满足三角形三边关系，该情况不合题意，舍去， 等腰三角形的周长为． 8．如图，在中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，的对应边与线段相交于点，若为等腰三角形，则的度数为______________． 【答案】或 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，由折叠的性质得出，，， 设，由角的和差关系以及三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质等知识表示出，再根据等腰三角形的定义分三种情况求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ 由折叠的性质可知：，，， 设， ∴，，， ∴，， ∴， 当时， 则，即， 解得，不符合题意，舍去． 当时， 则，即， 解得， ∴， 当时， 则，即， 解得， ∴． 综上：的度数为或． 9．如图，等腰的底边的长为，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点为的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为___________． 【答案】 【分析】连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到，说明，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴， ∴当三点共线时，， ∵点D为的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为： ． 10．如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点F，的垂直平分线交于点G，交于点H．则____________． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，利用线段垂直平分线的性质得出，，最后利用角的和差关系求解． 【详解】解： 在中，， 根据三角形内角和定理，得 是的垂直平分线， . 同理可得， ， ． 三、解答题 11．如图，已知：是的平分线上一点，，，、是垂足，连接，且交于点． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若，请你探究线段与线段之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)是的平分线上一点，，， ， ∵， ， ， 是等腰三角形， 是的平分线， 是的垂直平分线； (2)是的平分线，， ， ，， ，， ， ， ， ． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出，，确定是等腰三角形，再由等腰三角形的性质即可证明； （2）根据题意得出，确定，，确定，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 12．（1）如图1，线段的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． （2）如图1，如果与直线l所成的锐角为60°，以为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． 想一想：如图2，中， ，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画　 　条． 算一算：如图3，在中，，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数． 【答案】（1）4；（2）2；想一想：5；算一算：5°或20°或80°或140°或42.5°． 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，两条边相等的三角形是等腰三角形即可得到结论； （2）同（1）原理，理论上可以画4个，但是重合，由此即可得到答案； 想一想：分五种情况：①当，②当，③当，④当，⑤时，于是得到结论； 算一算：如图3，当，分三种情况：①当时；②当时；③当时；如图4，当时；如图5，当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，①，②；③，④，这样的等腰三角形能画4个． 故答案为：4； （2）同（1）可知满足题意的点有4个， ∵与直线l所成的锐角为60°， ∴都是等边三角形， ∴三点重合， ∴满足题意的点只有2个， 故答案为：2； 想一想：①当，②当，③当，④当，⑤时，过顶点C作一条直线，能分割出一个等腰三角形， ∴过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条， 故答案为：5； 算一算：如图3，当时， ∴， ∴， ∴①当时，； ②当时，； ③当时，； 如图4，①当，时， ∵， ∴， ∴， 如图5所示，当时， ∴， ∴ 综上所述，存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，∠B的度数为5°或20°或80°或140°或42.5°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与定义，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键． 13．【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，证明：． 【深入研究】（2）与都是等腰三角形，，，且，证明：； 【深化模型】（3）如图3，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）9 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等知识，综合性强，难度较大． （1）证明，进而证明，即可得到； （2）证明，进而证明，得到，根据得到，问题得证； （3）在上截取，连接，则．先证明，都是等腰三角形，得到，进而证明，即可求出． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2） ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图，在上截取，连接，则． ∵，，， ∴，都是等腰三角形， ∴， ∴， 即． 在和中， ∴， ∴． 14．阅读与思考 下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 内嵌共边等腰三角形组【概念理解】 如果两个等腰三角形有一条公共边，且其中较小的等腰三角形的另一个顶点落在外侧较大等腰三角形的某一边上，那么称二者为内嵌共边等腰三角形组． 例如，图1中的和均为等腰三角形，，，且的顶点在的边上，我们称图1中和为内嵌共边等腰三角形组． 【问题解决】 问题1：在如图1中，若平分，则__________°． 问题2：如图2，中，，点为平面内外一点（与点不重合），连接，，．作的垂直平分线，垂足为，交直线于，当点在直线上时，求的度数． 在研究过程中，小明同学利用图形的旋转得到满足条件的图形，如图3． 任务： (1)问题1中的__________°； (2)求出图3中的度数； (3)补全问题2的情况，在草稿纸上画出图形并在答题纸上直接写出的度数． 【答案】(1)36 (2) (3)或 【分析】（1）设，根据角平分的意义和等腰三角形两底角相等，可以用的代数式表示其它的角，再根据三角形内角和等于即可列出方程，求出答案； （2）设，由垂直平分线的性质，可到等腰三角形，再根据等腰三角形两底角相等，可以用的代数式表示其它的角，再利用角的等量关系列方程求解即可； （3）分两种情况，情况一：当在下方，落在点左侧，情况二：当在下方，落在点右侧，画出对应图形，利用角之间的数量关系列方程求解即可． 【详解】（1）平分， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）设， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 即． （3）解：当在下方，落在点左侧时，如图所示 设. ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， 当在下方，落在点右侧时，如图所示， 设， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，解决第三小题的关键是根据条件进行分类讨论并画出对应的图形． 15．【理解问题】 如图1，在和中，，，点，在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形．叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)证明：和是美好等腰三角形， ，， ，， ，即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上， ，所在直线是线段的垂直平分线； (2)证明：如图，作射线交于点． ， ． . ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 点在线段上，且，则和是美好等腰三角形 (3) 【分析】（1）利用美好等腰三角形的性质得，得，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线交于点．由已知，则．再证明得，即可得证； （3）证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 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