第十七章 因式分解（必备知识+5大易错+易错训练）（知识清单）数学人教版2024八年级上册

第十七章 因式分解 知识点01 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。需注意分解对象是多项式，结果必须是积的形式且因式为整式，是恒等变形，还要分解到每个因式都不能再分解为止，它与整式乘法是互逆变形。 知识点02 因式分解的方法 1.提公因式法：pa + pb + pc = p(a + b + c)。确定公因式时，系数取多项式各项系数的最大公约数，字母取各项中都含有的相同字母，相同字母的指数取各项中最小的一个。 2.公式法：平方差公式为a2 - b2 = (a + b)(a - b)，适用于两项、符号相反、均为平方形式的多项式；完全平方公式为a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ，a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 ，适用于三项、含两个平方项、中间项为两倍乘积的多项式。 3.十字相乘法：a2+(p + q)a + pq=(a + p)(a + q)。 知识点03 因式分解的步骤 可概括为“一提、二套、三查”。首先看多项式的各项是否有公因式，若有则先提取公因式；然后在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数，两项式可尝试运用平方差公式分解因式，三项式可尝试运用完全平方公式或十字相乘法分解因式，四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；最后检查分解是否彻底，必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 知识点04 因式分解的应用 因式分解在简化运算、代数式求值、实际问题建模等方面有重要应用，例如在计算一些复杂的数值时，通过因式分解可以将式子化简，从而更方便地进行计算。 易错一、已知因式分解的结果求参数 易错点总结 1. 符号问题：忽略括号内的负号，导致平方差或完全平方公式应用错误。 2. 漏项：提取公因式后，括号内漏掉了系数为1或-1的项。 3. 公因式提取不彻底：只提取了字母部分，忘记系数的最大公约数。 4. 公式混淆：完全平方公式与平方差公式混用，特别是中间项的处理。 解题技巧 1. 待定系数法：设出原式，展开后与已知多项式比较系数，建立方程求解参数。 2. 赋值法：给字母赋一个简单值（如0或1），代入等式两边求解参数。 3. 利用恒等变形：利用因式分解与整式乘法的互逆关系，将分解结果乘开，再对比原式系数。 例题1．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 解得： ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1) (2)，另一个因式是 (3)，另一个因式是 【分析】本题考查了因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算． （1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解， （2）设另一个因式为，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， （3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为， 则， ，解得，， 另一个因式是； （3）解：设另一个因式是，则 ， 则，解得，， 另一个因式是． 易错二、因式分解要彻底分解 易错点总结 1. 提取公因式不彻底：只提取了字母部分，忽略了系数的最大公约数。 2. 分解后括号内仍可分解：分解结果中的某个因式本身还能继续分解。 3. 混淆分解终点：误以为只要用了公式就分解彻底了，没有进行最终检查。 解题技巧 1. "一提再提"：提取公因式后，立即检查括号内的多项式是否还有公因式。 2. 优先提公因式：无论后续使用什么公式，都先检查并提取所有项的公因式。 3. 养成检查习惯：分解完成后，逐项检查每个因式是否还能继续分解。 例题2．因式分解 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，利用了平方差公式，完全平方公式，结合提公因式法求解； （1）提公因式法结合平方差公式，可分解因式； （2）根据完全平方公式，可分解因式． 【详解】（1）解： （2）解： ． 易错三、十字相乘法因式分解 易错点总结 1. 符号处理不当：当常数项为负数时，容易把两个因数的符号搞混。 2. 漏看系数：只分解常数项，忽略了二次项系数不是1的情况。 3. 验证步骤缺失：凑出数字后，忘记交叉相乘再相加来验证是否等于一次项系数。 解题技巧 1. 先提后叉：先检查多项式各项是否有公因式，如有先提取，再用十字相乘法。 2. 列表尝试：将常数项分解成两个因数，列出所有可能组合，再逐一验证。 3. 二次项系数分解：当二次项系数不为1时，将其也分解，然后交叉组合尝试。 例题3．等式是数学学习中常见的代数模型． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式； (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式2．． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到． 请根据上述方法，将多项式分解因式． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，因式分解． （1）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可； （2）画出图形，根据面积的不同求法证明即可； （3）仿照题中给出的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：根据多项式的乘法：； （2）解：如图所示为所画的图形， 大长方形的面积有两种表示方法：一种整体表示为：长宽， 另一种是四块小长方形面积之和：， 即； （3）解：如图， ∴． 易错四、分组分解法因式分解 易错点总结 1. 分组无目的：盲目分组，未考虑分组后能提取公因式或用公式。 2. 符号错误：分组后去括号时，忽略括号前的负号，导致项的符号出错。 3. 分解不彻底：分组分解出部分因式后，未检查整体是否还能继续分解。 解题技巧 1. 目标导向分组：按“能提公因式”或“能用公式”的原则分组（如二二分组、一三分组）。 2. 符号预处理：分组前若有负项，先提取负号，再调整项的顺序后分组。 3. 分步检查：每一步分解后，检查所有因式是否还能进一步分解。 例题4．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答，同学们经过小组活动交流，得到了如下答案： （1） （分成两组） （提公因式） （提公因式） （2） （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求的值； (3)若的三边，，满足，则是什么三角形？ 【答案】(1) (2) (3)等腰三角形 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组分解法，是解题的关键： （1）利用分组分解法，进行因式分解即可； （2）利用分组分解法，进行因式分解，整体代入法求值即可； （3）利用分组分解法，进行因式分解，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 当时： 原式； （3）解： 、、为的三边 即； 为等腰三角形． 易错五、因式分解的应用 易错点总结 1. 思路僵化：遇到化简、求值或证明题时，想不到可以用因式分解来解决。 2. 公式用错：在应用中，因为紧张或不熟练，导致因式分解的公式用错，比如符号出错。 3. 分解不彻底：在解题过程中，因式分解没有进行到最后一步，导致结果出错。 解题技巧 1. 观察特征：看到多项式求值、整除问题或复杂的分数化简时，优先考虑因式分解。 2. 先分解再代入：对于代数式求值，先将式子因式分解，再代入数值计算，会更简便。 3. 利用整除性：在解决整除或余数问题时，可通过因式分解，将式子表示成要求的因数形式。 例题5．阅读材料：若，求m、n的值．解：∵，∴，，∴且，∴ ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则_____，______； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)1，0 (2)4 (3)11 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系，根据三角形三边的关系得到的范围，熟练掌握是解题的关键． （1）根据配方法和非负数的性质求解； （2）根据配方法和非负数的性质求出，代入代数式求值即可； （3）根据配方法和非负数的性质求出：，，根据三角形三边的关系得到c的范围，根据c是正整数得到c的值，从而得到周长的值． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，， ∴，， 故答案为：1，0； （2）解：∵， ， 即， 则，， 解得， ； （3）解：∵， ， ， 则，， 解得，， ∵， 即，且c是正整数， ∴， 即三角形三边分别为1，5，5， ∴的周长为． 一、单选题 1．分解因式的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据因式分解排除选项． 【详解】解：； 故选：D． 2．多项式因式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将二次三项式因式分解，需找到两个数使其积为常数项，和为一次项系数，逐项验证即可． 【详解】解：分解条件：设分解形式为， 需满足：，， 寻找整数解：可能的因数组合为：和（和为，积为）， 验证选项：选项B：，展开得，与原式一致， 其他选项均不符合条件， 故选：B． 3．已知多项式可因式分解为，则的值为（   ）． A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解以及多项式乘法法则，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．将多项式分解后的形式展开，与原式比较对应项的系数，解方程确定m的值即可． 【详解】解： ， 多项式可因式分解为， ，， ， 故选：A． 4．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别表示枣、爱、我、庄、丽、美．现分解因式，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美丽 B．美丽枣庄 C．我爱枣庄 D．枣庄美丽 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．先进行因式分解，找出依次表示的字，即可求解． 【详解】解：原式 ， 依次呈现的字是：我、爱、庄、枣， 结果呈现的密码信息可能是：我爱枣庄， 故选：C． 二、填空题 5．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，综合利用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值也为0，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为， ∴当时，的值也为0， ∴当时，的值也为0， ∴， ∴， 故答案为：． 7．已知的三边长分别为，，；试判断是 数（填“正”或“负”）． 【答案】负 【分析】此题主要考查因式分解的应用及三角形的三边关系．把代数式因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断． 【详解】解： ， 因为为三角形三边长，所以，， 所以，即原式为负． 故答案为：负． 8．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先分组，再运用完全平方公式与平方差公式相结合求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 三、解答题 9．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，熟练掌握十字乘法分解因式是解决本题的关键． （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 10．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． （1）直接利用平方差公式进行分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式进行分解即可； （3）利用平方差公式进行分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 11．两个差为2的正整数的积与1的和总是一个正整数的平方． (1)是正整数______的平方； (2)设较小的一个正整数为，写出这两个正整数的积与1的和，并说明它是一个正整数的平方； (3)两个差为12的正偶数，设较小的数为（为正整数），若它们的积与常数的和是一个正整数的平方，求的值． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查的是完全平方式的应用，把所求代数式合并成完全平方式的形式是解答此题的关键． （1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解； （2）用代数式把连续的正整数表示出来，按照题中给出的关系列出式子，进行验证，只要会把最后形式写成一个完全平方式的形式就能证明此结论； （3）可根据此结果是平方数求出常数的值． 【详解】（1）解：∵； ∴是3的平方； （2）解：设较小的正整数为，则另一个正整数为， 这两个数的积与1的和为， ∴ ， ∴原式为正整数的平方． （3）解：设较小的正偶数为，则另一个正偶数为， 它们的积与常数a的和为， ∴ ， 由配方法可知， ∴， 原式． 综上：． 12．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 【答案】(1) (2)图见解析，，，，16 【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可； （2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可． 【详解】（1）解：，常数项， ， ， 故答案为：； （2）解：，常数项， 画“十字图”如下：   ，，，16． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键． 13．因式分解： 解：令．(解题过程将“”看成整体的“整体思想”是数学学习中常见的一种思想方法．) 则原式 将代入得： 原式 (1)仿照上述方法因式分解： (2)若为正整数，说明代数式的值为一个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是根据示例的整体思想解决问题． （1）令，代入式子得； （2），令，原式，据此证明． 【详解】（1）解：令， ； （2） ， 令， 原式 ， 所以代数式的值为一个整数的平方． 14．仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1) (2)9 (3)； 【分析】本题考查的是多项式的乘法与因式分解，待定系数法的运用，理解题意是解本题的关键． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出n和k的值及另一个因式． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）∵， ∴； （3）设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，k的值为12． 15．“弘毅”数学小组在对多项式进行因式分解时发现，其前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了．具体过程为： ． 通过查阅相关资料得知，这种因式分解的方法叫作“分组分解法”，受此启发，请你尝试解决以下问题． (1)分解因式：； (2)已知：，．求的值； (3)若的三边a，b，c满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为等边三角形．理由见解析 【分析】本题考查了分组分解法分解因式，平方差公式，完全平方公式，等边三角形的判定，熟练掌握分组分解法分解因式是解题的关键． （1）将前两项组合和后两项组合提取公因式，再提取公因式即可． （2）将前两项组合利用公式法分解因式，将后两项组合提取公因式，再利用提公因式法分解因式，再将其值代入即可． （3）根据，推导出，进而可得，则，由此可判断． 【详解】（1）解： ． （2）解：， 当，时， 原式． （3）解：为等边三角形． 理由如下： ， ， ． ，b，c是的三边， ∴ ， 是等边三角形． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 因式分解 知识点01 因式分解的定义 把一个多项式化成几个 的 的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。需注意分解对象是多项式，结果必须是积的形式且因式为 ，是 ，还要分解到每个因式都不能再分解为止，它与整式乘法是互逆变形。 知识点02 因式分解的方法 1. ：pa + pb + pc = p(a + b + c)。确定 时，系数取多项式各项系数的 ，字母取各项中都含有的 ，相同字母的指数取各项中 的一个。 2. ：平方差公式为a2 - b2 = (a + b)(a - b)，适用于两项、符号相反、均为平方形式的多项式；完全平方公式为a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ，a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 ，适用于三项、含两个平方项、中间项为两倍乘积的多项式。 3. ：a2+(p + q)a + pq=(a + p)(a + q)。 知识点03 因式分解的步骤 可概括为“ 、 、 ”。首先看多项式的各项是否有公因式，若有则先提取公因式；然后在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数，两项式可尝试运用平方差公式分解因式，三项式可尝试运用完全平方公式或十字相乘法分解因式，四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；最后检查分解是否彻底，必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 知识点04 因式分解的应用 因式分解在 、 、 等方面有重要应用，例如在计算一些复杂的数值时，通过因式分解可以将式子化简，从而更方便地进行计算。 易错一、已知因式分解的结果求参数 易错点总结 1. 符号问题：忽略括号内的负号，导致平方差或完全平方公式应用错误。 2. 漏项：提取公因式后，括号内漏掉了系数为1或-1的项。 3. 公因式提取不彻底：只提取了字母部分，忘记系数的最大公约数。 4. 公式混淆：完全平方公式与平方差公式混用，特别是中间项的处理。 解题技巧 1. 待定系数法：设出原式，展开后与已知多项式比较系数，建立方程求解参数。 2. 赋值法：给字母赋一个简单值（如0或1），代入等式两边求解参数。 3. 利用恒等变形：利用因式分解与整式乘法的互逆关系，将分解结果乘开，再对比原式系数。 例题1．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 解得： ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 易错二、因式分解要彻底分解 易错点总结 1. 提取公因式不彻底：只提取了字母部分，忽略了系数的最大公约数。 2. 分解后括号内仍可分解：分解结果中的某个因式本身还能继续分解。 3. 混淆分解终点：误以为只要用了公式就分解彻底了，没有进行最终检查。 解题技巧 1. "一提再提"：提取公因式后，立即检查括号内的多项式是否还有公因式。 2. 优先提公因式：无论后续使用什么公式，都先检查并提取所有项的公因式。 3. 养成检查习惯：分解完成后，逐项检查每个因式是否还能继续分解。 例题2．因式分解 (1)； (2) 易错三、十字相乘法因式分解 易错点总结 1. 符号处理不当：当常数项为负数时，容易把两个因数的符号搞混。 2. 漏看系数：只分解常数项，忽略了二次项系数不是1的情况。 3. 验证步骤缺失：凑出数字后，忘记交叉相乘再相加来验证是否等于一次项系数。 解题技巧 1. 先提后叉：先检查多项式各项是否有公因式，如有先提取，再用十字相乘法。 2. 列表尝试：将常数项分解成两个因数，列出所有可能组合，再逐一验证。 3. 二次项系数分解：当二次项系数不为1时，将其也分解，然后交叉组合尝试。 例题3．等式是数学学习中常见的代数模型． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式； (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式2．． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到． 请根据上述方法，将多项式分解因式． 易错四、分组分解法因式分解 易错点总结 1. 分组无目的：盲目分组，未考虑分组后能提取公因式或用公式。 2. 符号错误：分组后去括号时，忽略括号前的负号，导致项的符号出错。 3. 分解不彻底：分组分解出部分因式后，未检查整体是否还能继续分解。 解题技巧 1. 目标导向分组：按“能提公因式”或“能用公式”的原则分组（如二二分组、一三分组）。 2. 符号预处理：分组前若有负项，先提取负号，再调整项的顺序后分组。 3. 分步检查：每一步分解后，检查所有因式是否还能进一步分解。 例题4．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答，同学们经过小组活动交流，得到了如下答案： （1） （分成两组） （提公因式） （提公因式） （2） （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求的值； (3)若的三边，，满足，则是什么三角形？ 易错五、因式分解的应用 易错点总结 1. 思路僵化：遇到化简、求值或证明题时，想不到可以用因式分解来解决。 2. 公式用错：在应用中，因为紧张或不熟练，导致因式分解的公式用错，比如符号出错。 3. 分解不彻底：在解题过程中，因式分解没有进行到最后一步，导致结果出错。 解题技巧 1. 观察特征：看到多项式求值、整除问题或复杂的分数化简时，优先考虑因式分解。 2. 先分解再代入：对于代数式求值，先将式子因式分解，再代入数值计算，会更简便。 3. 利用整除性：在解决整除或余数问题时，可通过因式分解，将式子表示成要求的因数形式。 例题5．阅读材料：若，求m、n的值．解：∵，∴，，∴且，∴ ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则_____，______； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 一、单选题 1．分解因式的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．多项式因式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 3．已知多项式可因式分解为，则的值为（   ）． A．3 B．2 C．1 D． 4．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别表示枣、爱、我、庄、丽、美．现分解因式，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美丽 B．美丽枣庄 C．我爱枣庄 D．枣庄美丽 二、填空题 5．分解因式： ． 6．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则的值为 ． 7．已知的三边长分别为，，；试判断是 数（填“正”或“负”）． 8．分解因式： ． 三、解答题 9．分解因式： (1)； (2)． 10．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 11．两个差为2的正整数的积与1的和总是一个正整数的平方． (1)是正整数______的平方； (2)设较小的一个正整数为，写出这两个正整数的积与1的和，并说明它是一个正整数的平方； (3)两个差为12的正偶数，设较小的数为（为正整数），若它们的积与常数的和是一个正整数的平方，求的值． 12．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 13．因式分解： 解：令．(解题过程将“”看成整体的“整体思想”是数学学习中常见的一种思想方法．) 则原式 将代入得： 原式 (1)仿照上述方法因式分解： (2)若为正整数，说明代数式的值为一个整数的平方． 14．仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 15．“弘毅”数学小组在对多项式进行因式分解时发现，其前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了．具体过程为： ． 通过查阅相关资料得知，这种因式分解的方法叫作“分组分解法”，受此启发，请你尝试解决以下问题． (1)分解因式：； (2)已知：，．求的值； (3)若的三边a，b，c满足，请判断的形状并说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $