第09讲 画轴对称的图形（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2026年暑假人教版八年级数学上册衔接讲义

第09讲 画轴对称的图形（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 画轴对称图形 典型例题二 镜面对称问题 典型例题三 坐标系中的对称 典型例题四 坐标与图形变化——轴对称 典型例题五 线段问题(轴对称综合题) 典型例题六 面积问题(轴对称综合题) 典型例题七 角度问题(轴对称综合题) 典型例题八 其他问题(轴对称综合题) 知识点01 作轴对称图形 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 2.具体步骤： ①找图形的关键点。 ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的 对应点 。 ③按照原图形连接各对应点。 【即时训练】 1．（24-25八年级·江苏·期中）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查轴对称的性质，解题关键在于根据题意画出图形． 根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与成轴对称的格点三角形，从而得解． 【详解】解：如图所示，对称轴有四种位置，与成轴对称的格点三角形有4个． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，是一个轴对称汉字的一半，请你想象出它的另一半并写出这个字：______． 【答案】共 【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握相关知识．根据轴对称图形的特征即可求解． 【详解】解：由题意可得这个字是共， 故答案为：共． 知识点02 关于坐标轴对称的点的坐标的特点 1.特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y). 2.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出坐标—写出对称点的坐标； （2）描点—根据对称点的坐标描点； （3）连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可求解. 【详解】解：∵点的坐标为，横坐标为，纵坐标为，的相反数是 ， ∴点关于轴对称的点的坐标为 . 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）已知点的坐标是，则关于轴对称点的坐标为____________；关于轴对称点的坐标为________． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，点关于轴对称的坐标特征为：横坐标不变，纵坐标互为相反数；点关于轴对称的坐标特征为：纵坐标不变，横坐标互为相反数． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点关于轴对称点的坐标为，点关于轴对称点的坐标为． 【典型例题一 画轴对称图形】 【例1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在如图的方格纸上画有2条线段，再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，这样线段的添法有（   ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形：轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．根据定义即可求解． 【详解】解：如图所示： 故选：B 【例2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为轴对称图形．满足这样条件的白色小方格个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．    故选：D． 【点睛】此题考查轴对称图案，解题关键在于利用对称轴找出对称图案即可． 【例3】（2025九年级·北京·专题练习）如图，在6×6的正方形网格中，选取13个格点，以其中的三个格点A、B、C为顶点画．若在图中以选取的格点为顶点再画出一个，使与成轴对称，这样的点P有________个． 【答案】2 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解题意，画出图形解决问题． 根据轴对称图形的性质画出图形即可． 【详解】如答图，满足条件的点P有2个． 故答案为：2． 【例4】（24-25八年级上·北京海淀·期中）在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如图是一个格点三角形．请在图中画出一个与成轴对称的格点三角形．并画出对称轴． 【答案】图见详解 【分析】根据轴对称的性质作出图形即可． 【详解】解：如图1中，即为所求（答案不唯一）． 【点睛】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）以直线l为对称轴在如图所示的网格中画出下面图形的另一半． 【答案】如图所示即为所求 【分析】根据轴对称图形的作法画图即可． 【详解】略 2．（25-26八年级上·四川达州·期中）在方格图中画出、、、四个点，顺次连接A、B、C、D，再以线段所在的直线为对称轴，画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形． 【答案】如图即为所求． 【分析】先根据题意画出四边形，再以为对称轴画的轴对称图形即可． 【详解】略 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图所示，在边长为个单位长度的正方形网格中，作出该图形关于直线对称的图形． 【答案】如图的即为所作 【分析】根据轴对称的性质作出相应格点关于直线l的对称点，再顺次连接即可. 【详解】略. 【典型例题二 镜面对称问题】 【例1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解决本题的关键． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，与成轴对称， ∴此时实际时刻为． 故选D． 【例2】（24-25七年级下·福建三明·期末）在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称，平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，那么实物与其像的连线与镜面垂直，据此可得答案． 【详解】解：∵平面镜成像中，实物与其像成镜面对称， ∴实物与其像的连线与镜面垂直， ∴四个选项中只有D选项中的图形不是镜面对称图形， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·甘肃武威·期中）小明从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示 ，这时的时刻应是_________．      【答案】20：01 【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字． 【详解】∵是从镜子中看， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵5的对称数字为2，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是20：01． 故答案为：20：01． 【点睛】考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2． 【例4】（25-26八年级上·全国·单元测试）小明上午在理发店时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时的时间是________． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称的原理与性质．解题的关键是掌握镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右对换，且关于镜面对称．据此解答． 【详解】解：小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？ 【答案】120＋85＝205 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】由题意可知，该算式的实际情况是：120＋85＝205. 【点睛】本题考查了镜面对称，物体平行对着镜子时，镜中的成像改变了物体的左右位置，即关于一条竖直的直线对称，镜中的像与原像之间实际上只是进行了左右翻折. 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式？”很长时间没人答出．小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这个问题．你知道她是怎么做的吗？ 【答案】小兰利用镜面对称（轴对称），将镜子放在如图位置，镜子中就会得到正确的等式，如图所示， 【详解】略 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）操作与探究． (1)分别画出图①中“”和“”关于直线l的对称图形(画出示意图即可)． (2)图②中小冬和小亮上衣上印的字母分别是什么？ (3)把字母“”和“”写在薄纸上，观察纸的背面，写出你看到的字母背影． (4)小明站在五个学生的身后，这五个学生正向前方某人用手势示意一个五位数，从小明站的地方看(如图③所示)，这个五位数是23456．请你判断出他们示意的真实五位数是多少？ 【答案】（1）详见解析；(2)见解析；(3) “”和“”；(4)他们示意的真实五位数是42635，图见解析. 【分析】（1）对应点应到的距离相等，找出几个关键点画出即可； （2）实物和镜子里的像，是关于镜面成轴对称，利用（1）即可求解； （3）正反两面的字关于这张纸成轴对称，利用（1）求解； （4）这5个数和所求的5个数同（3）一样，是成轴对称的； 【详解】（1）如图所示， (2)图②中小冬和小亮上衣上印的字母分别是“”和“”． (3) 把字母“”和“”写在薄纸上，观察纸的背面，看到的字母背影分别是“”和“”． (4)他们示意的真实五位数是42635，如图所示． 【典型例题三 坐标系中的对称】 【例1】（2026·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据规律直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点关于x轴的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点关于x轴的对称点的坐标为． 【例2】（2026·浙江湖州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据点关于y轴的对称点的特点，横坐标变为相反数，纵坐标不变得到，点关于y轴的对称点的坐标是， 故选：D ． 【例3】 （25-26八年级上·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征．关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，可求出点B的坐标，进而计算的值即可． 【详解】解：∵点关于轴对称的点的坐标为， ∴，， 即， ∴． 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据平面镜成像原理，点与关于轴对称，根据对称的性质可列方程求出的数值，代入计算即可求解． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）观察你在第1题中写出的各点的坐标，关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系？关于y轴对称的两点的坐标之间有什么关系？关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系？ 【答案】 关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点横、纵坐标分别互为相反数 【详解】略． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）新考法  如图，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点为轴正半轴上一动点，点为第一象限的一点，且，的延长线交轴于点，当点运动时，点的坐标是否也随着变化？若不变，求出点的坐标；若变化，请说明理由． 【答案】点E的坐标不变，点E的坐标为 【分析】本题主要考查坐标与图形及全等三角形的性质与判定，熟练掌握图形与坐标及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而可得，则有，最后问题可求解． 【详解】解：点E的坐标不变．理由如下： ， ． ， ， ． 又， ， ， ， ． 又， ， ， ∴点E的坐标为． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴，给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点．    (1)已知，，则它们关于轴和直线的二次反射点的坐标分别是___________ (2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间的距离，解题的关键是掌握新定义二次反射点的理解和运用． （1）根据二次反射点的定义直接得出答案； （2）根据二次反射点的定义得出坐标，利用两点之间的距离则可得出答案． 【详解】（1）解：关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴； 关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：当时，关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； 当时，关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； 当时，关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； 综上，的长为6． 【典型例题四 坐标与图形变化——轴对称】 【例1】（25-26八年级下·福建漳州·期中）在直角坐标系中，点关于x轴对称的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点关于x轴对称的点是． 【例2】（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）已知平面镜中的像与物体关于平面镜对称．如图，以水平地面为x轴，竖直放置的平面镜为y轴建立平面直角坐标系．若物体A的坐标是，此时对应的像的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点关于y轴对称点为即可求解． 【详解】解：点关于y轴对称点为， ． 【例3】（25-26八年级上·甘肃陇南·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为__________． 【答案】 【分析】此题考查关于轴对称的点的坐标规律. 解题的关键是掌握对称点的坐标规律：关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数. 根据该规律即可解答本题. 【详解】解：根据关于轴对称的点的坐标规律，可得对称点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数.， 原来点坐标为，原横坐标为，其相反数为，纵坐标保持不变， 因此点关于轴对称的点的坐标为. 【例4】（25-26八年级下·河北唐山·期中）灯笼是一种传统工艺品，如图，将一个轴对称灯笼放在平面直角坐标系中，图案关于y轴对称，如果点A的坐标为，其对称点B的坐标为______． 【答案】 【详解】解：如果点A的坐标为，则其关于y轴对称的点B的坐标为． 1．（25-26八年级下·全国·单元复习）已知点与点关于轴对称，求的值． 【答案】 【分析】直接利用关于轴对称点的性质得出的值． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ． 2．（2026·河南周口·二模）如图，在方格纸中，已知线段的两个端点为，． (1)画出线段关于y轴对称后的线段； (2)写出点的坐标； (3)若将线段再向下平移2个单位，写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标变为相反数，纵坐标不变画出图形即可； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特征进行解答即可； （3）根据“上加下减”即可得到答案． 【详解】（1） 解： （2）解：关于y轴对称的点横坐标变为相反数，纵坐标不变， ； （3）解：将线段再向下平移2个单位， ． 3．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为． (1)画出与关于轴对称的图形，并直接写出三个顶点的坐标： (2)若中存在一点，则点关于轴对称后其对应点的坐标是___________． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：∵点， ∴点关于轴对称后其对应点的坐标是． 【典型例题五 线段问题(轴对称综合题)】 【例1】（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，某城镇的主干道为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区和．现计划在上设立一个公交站，要求区和区的居民到车站的总路程最短．已知上有四个候选站点位置（依次自西向东排列），则车站应设在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据题意，取关于的对称点，连接，交于点，即可求解． 【详解】解：如图，取关于的对称点，连接，交于点，则点与点重合， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末），两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 【例3】（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在Rt中，，D为上一点且是的平分线，E，P分别是上的动点，则的最小值为 _____． 【答案】/4.8 【分析】过点E作的垂线交于点G，交于点，连接，可得，当C，P，三点共线时最小，即C，P，三点构成直线且垂直于时最小，根据勾股定理可得答案． 【详解】过点E作的垂线交于点G，交于点E'，连接， ∵是的角平分线，是的垂线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 最小就是最小， 当C，P，三点共线时最小，即C，P，三点构成直线且垂直于时最小， 即Rt边上的高h． 在Rt中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 的最小值为 ． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、勾股定理的运用以及全等三角形的判定和性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【例4】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）如图，在四边形中，，在、上分别找一点、，使的周长最短时，的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称−最短路线问题以及等腰三角形的性质等知识，根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，连接，即可得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值，如图： ， ， ， ， ， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在正方形网格中有一个． (1)作关于直线对称的轴对称图形； (2)请在直线上找一点，使的长最短． 【答案】(1)如图即为所求； (2)如图所示，点即为所求． 【分析】（1）利用轴对称的性质画图； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时的长最短． 【详解】（1）略； （2）略． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图是某果树树苗基地的平面示意图，，分别是桃树苗、杏树苗，中间为笔直的小路，为工具室，为笔直的水渠，灌溉沟． (1)在水渠上找一点，使从杏树苗到水渠，然后从水渠到工具室行走的总路程最短，在图中找出点 ，并画出行走路线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； (2)现要在小路上修建一处诱虫处（点），要求诱虫处点到，的距离都相等，请确定点 的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质． （1）根据题意作关于的对称点，连接交于点，连接，则即为所求 （2）根据题意连接，作的垂直平分线，即可求解． 【详解】（1）解：如图点，即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 3．（25-26七年级下·上海虹口·期末）“十五五”规划纲要明确提出推动“低空经济”发展，通过无人机高效率配置资源，辐射助推农业、物流和应急提质发展．近日，首条无人机邮路正式实现常态化运营，为山区居民带来极大便利，也为解决偏远地区物流“最后一公里”难题提供了新思路．如图，已知A、B两个山村位于道路的同一侧，为解决山路物流难题，现要在道路边建造一座低空物流驿站． (1)若要使低空物流驿站到两个山村的总路程最短，驿站应选在哪个位置？（在图中分别标出驿站位置，保留作图痕迹，不用证明）． (2)已知购买1架甲型无人机3万元，1架乙型无人机4万元；甲型无人机平均每小时运送快递40件，乙型无人机平均每小时运送快递50件，现需要购买20架无人机，要求这批无人机每小时至少运送快递930件，那么如何购买甲型和乙型无人机，才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1) 如图所示，点位置即为驿站 (2)当甲型无人机购买7架，乙型无人机购买13架时，总费用最少，最少费用为73万元 【分析】(1)作点A关于道路(直线)的对称点，连接交道路(直线)于点P，连接即可； (2)设甲型无人机购买x架，则乙型无人机购买架，根据题意列出关于x的不等式组，得到x可以取得的值，再逐次计算总费用即可得出结论． 【详解】（1）解：根据作图痕迹可知点A关于道路(直线)的对称点为， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，可知即为所求，此时点即为驿站； （2）解：设甲型无人机购买x架，则乙型无人机购买架， 根据题意，得， 解得， ∵x为自然数， ∴x可以取得的值为， 当甲型无人机购买0架，乙型无人机购买20架时，总费用为(万元)； 当甲型无人机购买1架，乙型无人机购买19架时，总费用为(万元)； 当甲型无人机购买2架，乙型无人机购买18架时，总费用为(万元)； 当甲型无人机购买3架，乙型无人机购买17架时，总费用为(万元)； 当甲型无人机购买4架，乙型无人机购买16架时，总费用为(万元)； 当甲型无人机购买5架，乙型无人机购买15架时，总费用为万(元)； 当甲型无人机购买6架，乙型无人机购买14架时，总费用为(万元)； 当甲型无人机购买7架，乙型无人机购买13架时，总费用为(万元)； 综上，当甲型无人机购买7架，乙型无人机购买13架时，总费用最少，最少费用为73万元． 【典型例题六 面积问题(轴对称综合题)】 【例1】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）在中，已知，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为（如图所示）．则下列结论：①②的周长等于7③④，其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】由折叠的性质得到，继而得到，根据题意，据此判断①错误；由折叠的性质得到DC=DE，BE=BC=6，求得的周长为：AD+AE+DE=AC+AE=7，可判断②；设点D到AB的距离为h，根据三角形面积公式得到，可判断③；设点B到AC的距离为m，根据三角形面积公式得到，可判断④． 【详解】解：沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处， 不垂直AB，故①错误； 由折叠的性质可知DC=DE，BE=BC=6 的周长为：AD+AE+DE=AC+AE=7，故②正确； 设点D到AB的距离为h， ，故③正确； 设点B到AC的距离为m， ，故④错误， 故选：Ｂ． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形周长的求法、三角形的面积公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，是正六边形的两条对称轴，将该正六边形先竖直向上平移个单位长度，再水平向左平移个单位长度后，将正六边形分成了①，②，③，④四个区域，①，②，③，④的面积分别记为，若，则____________． 【答案】 【分析】作平移后正六边形的对称轴，分别作关于对称的直线，结合图形的对称性列式计算即可． 【详解】解：作平移后正六边形的对称轴，分别作关于对称的直线 由题意得：，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：. 【例3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，难度一般，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题． 连接，，根据轴对称的性质得到，，，求出，根据面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， 点P、关于对称，点P、关于对称，， ，，， ， 的面积， 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知网格上最小的正方形的边长为1． (1)作△ABC关于y轴对称的图形，并分别写出三点的坐标； (2)求A，，C，构成图形的面积． 【答案】(1)见解析， ， ， (2)12 【分析】本题主要考查了作轴对称图形、借助网格线计算图形的面积． （1）分别作出点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到，借助平面直角坐标系中的网格线可以求出点、、的坐标； （2）根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示，分别作出点、、关于轴的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求， 从网格图中可以看出：    ； （2）解：． 1．（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他点同理作图即可． （2）设交于点，延长交于点，根据轴对称的性质可得，，，，则与关于点成中心对称，可得，，，，进而可得．根据三角形的面积公式可得，则可得的面积． 【详解】（1）解：如图，作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他同理， 即为所求． （2）设交于点，延长交于点， 点关于的对称点为， ，． 点关于的对称点为， ， 点关于的对称点为， ， 与关于点成中心对称， ，， ，， ． 的面积为， ， 的面积是． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的， (2)连接、，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)图见解析； (2)35 【分析】本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换及面积计算，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征以及利用割补法求面积． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，找到、、的对称点，再连接成三角形； （2）利用割补法求面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作图形； （2）解：连接、， 四边形的面积为：． 3．（24-25八年级上·福建福州·期中）在边长为的小正方形网格中，的顶点均在格点上，    (1)作出关于轴对称的图形； (2)请直接写出点和点的坐标分别为 ； (3)求出的面积． 【答案】(1)见解析图； (2)，； (3)． 【分析】（1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）根据作图后即可得出点的坐标； （3）直接利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】（1）如图，    （2）由上图可知： 故答案为：，， （3）， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． 【典型例题七 角度问题(轴对称综合题)】 【例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，则的值为（　　） A．7 B． C． D．8 【答案】D 【分析】作点关于的对称点，连接，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质求得，进而等面积法即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，过点作于点， ∵ ∴在的延长线上，，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据等面积法求得是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质；由轴对称图形的性质可得，进而结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：与关于直线成轴对称， ， ，， ， ， ，与关于直线成轴对称， ， ， ． 故选：C． 【例3】（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段检测）如图，点关于、的对称轴分别为、，连接，交于，交于．，求________．    【答案】/88度 【分析】首先求出证明，，，推出，可得结论． 【详解】解：∵关于、的对称轴分别为、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【例4】（24-25八年级上·湖北黄冈·期末）已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______． 【答案】60°/60度 【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN， ∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+ （180°﹣β）， ∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β）， ∴β﹣α＝60°， 故答案为：60． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题． 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，，O为内部的一点，连接． (1)作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：M，C，N三点在同一条直线上． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据要求作出图形， （2）证明即可， 本题考查轴对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵关于对称， ， ∵关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴共线． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在小正方形网格的格点上． (1)画出关于轴的对称图形（点、、的对应点分别为，，）； (2)画，点在第二象限内的格点上，且，画出所有符合条件的图形，并写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析； (2)或． 【分析】（）根据题意，确定，，的位置，然后顺次连接即可； （）根据网格及等腰直角三角形的性质作图即可； 此题考查了轴对称图形的作法及等腰三角形的定义，理解题意，结合图形求解是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，确定，，，的位置如图所示，然后顺次连接， ∴即为所求； （2）取，连接，， ∵为小正方形的对角线， ∴； 取，连接，， 由图得，， ∴， ∴点的坐标为或． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知:在中,,点为线段上一动点（不与､重合）． (1)如图1,若,交延长线于点,当,时,的面积为______; (2)如图2,若,是上的一点,且满足,当时,交于点时,判断与的数量关系,并说明理由; (3)如图3,若,点､分别为､边上的动点,当周长取最小值时,求的度数． 【答案】(1) (2),理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题意利用全等三角形判定及性质,再代入三角形面积公式,即可算出结果; （2）如图在线段上取一点,使得,连接利用全等三角形的判定及性质得到,继而得出结论; （3）如图,作点关于直线的对称点F,作点关于的对称点E,连接交于点,交于点,此时的周长最小,继而利用三角形内角和定理及垂直平分线性质可得结论． 【详解】（1）解:∵,,交延长线于点, ∴, ∴,, 在和中, , ∴, ∵,, ∴,, ∴面积为:． （2）解:判断:, 证明:如图4中,在线段上取一点,使得,连接, ∵,, ∴是等腰三角形,即, ∵,, ∴, 又∵, ∴, ∴, 在和中, , ∴, ∴, ∴． （3）解:如图5,作点关于直线的对称点F,作点关于的对称点E,连接交于点,交于点,此时的周长最小, ∵,,, ∴, 又∵, ∴, ∴, ∴, ∵,, ∴,, ∴, ∴, ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形性质及判定,三角形面积公式,等腰三角形性质及判定,三角形内角和定理,轴对称,垂直平分线性质,正确做出辅助线是解出本题的关键． 【典型例题八 其他问题(轴对称综合题)】 【例1】（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】如图：连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的面积可得，再根据垂直平分线的性质、轴对称的性质可得，进而说明的最小值为即可解答． 【详解】解：如图所示：连接．    ∵，D是中点， ∴于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为6． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，确定的长度的最小值是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在四边形ABCD中，，，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点A关于CD的对称点H，作点A关于CB的对称点G，连接GH，与CD、CB分别相交于点F、点E，此时的周长最小，通过三角形的内角和定理，可求出∠G+∠H的度数，进而求出∠AEF+∠AFE的度数．最后即可求出的度数． 【详解】 如图，作点A关于CD的对称点H，作点A关于CB的对称点G，连接GH，与CD、CB分别相交于点F、点E； ∵∠BAD=140°， ∴∠G+∠H=180°-140°=40°， ∵点G和点H为点A的对称点， ∴AD=DH，AB=GB， ∵∠EBA=∠FDA=90°，即FD⊥AH，EB⊥AG， ∴FH=FA，EA=EG， ∴∠H=∠FAD，∠G=∠EAB， ∵∠AEF=∠G+∠EAB=2∠G，∠AFE=∠H+∠FAD=2∠H， ∴=180°-（2∠G+2∠H）=100°， 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用轴对称确定最短路径问题，熟练地掌握用轴对称图形的作法，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质是解题的关键． 【例3】（24-25七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是______．    【答案】/ 【分析】由轴对称的性质可知，，点M在以A为圆心，5为半径的圆上，进而得出当点M在上时，长度最小，即可得到答案． 【详解】解：是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点， ， 点M在以A为圆心，5为半径的圆上， 当点M在上时，长度最小，此时， 故答案为：．    【点睛】本题考查了轴对称的性质和轨迹问题，解题关键是利用轴对称的性质确定点M的运动轨迹． 【例4（24-25八年级上·天津津南·期中）如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1）__________； （2）当的周长最小时，的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，四边形内角和为，三角形外角的性质． （1）利用四边形内角和为，即可作答； （2）首先作点关于，的对称点，，延长到点，根据轴对称的性质可得，，，，由“两点之间线段最短”可知当，，，四点共线时，的周长最小，由四边形内角和为可得，再由三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，进行角的和差计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图，作点关于，的对称点，，延长到点， 则，，，， 的周长， 当，，，四点共线时，的周长最小， ，， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 1．（2025八年级·全国·专题练习）在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 【答案】见解析 【分析】先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点． 【详解】解：如图所示：（1）作点B关于直线l的对称点；（2）连接交直线l于点M；（3）点M即为所求的点． 【点睛】本题考查轴对称中的最短路径，利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质求解． 2．（24-25八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)画出格点关于直线对称的； (2)请用无刻度的直尺和圆规作中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在上画出点P，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，尺规作图—作垂线，熟练掌握相关性质和作图步骤是解题的关键． （1）先画出点A、B、C关于对称的对应点，再依次连接即可； （2）以点C为圆心，长为半径画弧，交于一点，再以该点和点B为圆心，大于该点到点B距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点C和两弧交点，交于点H，即为所求； （3）连接A、，与的交点即为所求点P． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点P即为所求． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【问题情境】如图1，把一块三角板（，）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，线段与的数量关系为___________． 【变式探究】如图2，在中，点D、E、F分别在边上，若，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中一组，并说明理由． 【拓展应用】如图3，在中，，点D、F分别是边 上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接． ①试判断线段之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，点G是的中点，，连接，则的最小值为___________． 【答案】，见解析，①，见解析，② 【分析】问题情境：证明 即可解答； 变式探究：利用等量代换即可求解； 拓展应用：①用等量代换即可求解；②如图5，在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接、，先证明 ，得到，在求出，即可确定E点在射线CE上运动，当A、E、N三点共线时，的值最小，最小值为，在中求出即可． 【详解】问题情境： 解：，理由如下： ∵ ， ， ， ， ∵， ， ∴． 故答案为. 变式探究： ,理由如下： ∵， ∴， ∴. 拓展应用： ①， ， ， ， ②在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接、， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴E点在射线上运动， ∵G点与N的关于对称， ∴， ∴， ∴当A、E、N三点共线时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， 由对称性可知，， ∴， ∵点G是的中点，， ∴， ∴， 在中,， ∴的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称求最短距离的方法等知识点，掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 1．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题关键是结合轴对称的性质确定墙上时钟时间．根据轴对称的性质分别确定墙上时钟时间，比较即可获得答案． 【详解】解：A.墙上的时钟时间约为，最接近，符合题意； B. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； C. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； D. 墙上的时钟时间约为，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、坐标与图形变化-对称、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作轴于点F，作交FA的延长线于点E，由，得，由翻折得，则可证明，得，则，求得，即可解答． 【详解】解：作轴于点F，作交FA的延长线于点E，如图 ， ∵， ∴． ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵点C的横坐标为7，纵坐标为， ∴． 故选C． 3．（2025·河北秦皇岛·一模）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形，并且只有一条对称轴，这个位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义和对称轴的条数两个角度思考判断． 【详解】当放置在①位置时，构成的图形是轴对称图形，且有两条对称轴， ∴A不符合题意； 当放置在②位置时，构成的图形不是轴对称图形， ∴B不符合题意 当放置在③位置时，构成的图形是轴对称图形，且有一条对称轴， ∴C符合题意 当放置在④位置时，构成的图形不是轴对称图形， ∴D不符合题意 故选C． 【点睛】本题考查了拼图中的轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义，准确确定对称轴的条数是解题的关键． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇，铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是 方案4：作于点，连接，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，即可求解． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 则点为所求燃气站的位置．即铺设管道路径最短的方案是方案3 故选：C； 5．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故选：B． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示,这时的时间应是______．    【答案】 【分析】在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，由此可解． 【详解】解：题中所给的“”与“”成轴对称，这时的时间应是． 故答案为：． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 7．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形________．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．根据轴对称图形的性质画图即可． 【详解】解：根据轴对称图形的性质画出图形即可：    8．（25-26八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点的坐标为，点的坐标为，为第一象限内的整点．若连接不共线的，，三点构成轴对称图形，则点的坐标为______（写出一个即可），在网格图中符合要求的点的个数为______． 【答案】 （任写一个即可） 7 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，坐标与图形的变化，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键． 由不共线的，，P三点构成轴对称图形，则是等腰三角形，再根据两圆一中垂可解决问题． 【详解】解：依题意，由不共线的，，P三点构成轴对称图形， 是等腰三角形， 则以为圆心，为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的P点； 或以为圆心，为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的P点； 或为底边，作其垂直平分线，与网格顶点相交，即为满足条件的P点； 如图，共有符合要求的点P有7个． 其中点P坐标为， 故答案为：（任写一个即可）；7． 9．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 【答案】8 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 10．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，有一条笔直的河流，两岸EFGH，在河岸EF的同侧有一个管理处A和物资仓库B，管理人员每天需要从管理处A出发，先到物资仓库B领取物资，接着到达河岸EF上的C点，乘坐停放在C点的快艇，把物资送到对岸GH的对接点D，然后调头返回河岸EF上的C点，再返回管理房A．请你设计一条线路，使得管理员每天经过的路程最短．若用作图的方式来确定点C和点D，则确定点C和点D的步骤是：_____________． 【答案】作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求． 【分析】作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求． 【详解】解：如图，点C，点D即为所求． 故答案为：作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型． 11．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点B关于x轴的对称点为点C．若点A的坐标为，请你在如图所示的直角坐标系中画出，设与y轴的交点为D，求的值． 【答案】见解析，． 【分析】本题考查了轴对称的性质． 根据轴对称的性质得到点B、点C的坐标，连接交y轴于点D，连接，，可知点D的坐标为，求出，，即可求出的值． 【详解】解：∵点A的坐标为，点A关于y轴的对称点为点B， ∴点B的坐标为， ∵点B关于x轴的对称点为点C， ∴点C的坐标为． 如图所示，连接交y轴于点D，连接，，则点D的坐标为， 由图可知 ，，，， ∴，， ∴． 12．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，直线，垂足为O，请按下列要求作图，并解答问题． (1)作出点与点A关于直线对称，点与点A关于直线对称； (2)点与点有怎样的对称关系？请说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)点与点关于点O成中心对称，见解析 【分析】（1）根据轴对称的作图方法作图即可； （2）由轴对称的性质得，，，，进而得，，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图， （2）如图，点与点关于点O成中心对称，理由如下： ∵点与点A关于直线对称， ∴，， ∵点与点A关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， 即点、的连线经过点O，且， ∴点与点关于点O成中心对称． 13．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，点在直线 上，直线 ，相交于点． (1)画关于直线 成轴对称的； (2)在直线 上画出点 ，使 的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． （1）依据轴对称的性质，即可得到关于直线对称的△； （2）先作点关于直线的对称点，连接，交直线与点，此时根据两点之间，线段最短，即可得到的最小值等于线段的长． 【详解】（1）如图所示，分别做点、的对称点，连接、、，则即为所求； （2）如图所示，作点关于直线的对称点，连接，交直线与点，点即为所求． 14．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在如图所示的正方形网格中，的顶点都在网格线的交点上． (1)在图中建立平面直角坐标系，使点B的坐标为，且点C的坐标为； (2)在（1）的条件下，画出关于轴对称的（点A、B、C的对应点分别是点D、E、F）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标规律、作轴对称图形，正确画出坐标轴是解题的关键． （1）根据点和点坐标建立坐标系即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标规律即可． 【详解】（1）解：如图，平面直角坐标系即为所求． （2）解：如图，即为所求． 15．（24-25七年级下·江西吉安·阶段检测）已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．    【答案】(1) (2) (3)的度数为或． 【分析】（1）由题意可得，，根据角的和差得出，计算即可求解； （2）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，求得，根据角的和差即可得到结论； （3）①在内部，②当在外部，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵射线，关于射线对称．射线，关于射线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，    ∵射线，关于射线对称， ∴． 又∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴； （3）的度数为或． ①如图，当射线在的内部时，    ∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当射线在的外部时， ∵射线，关于射线对称， ∴． 当射线在的下方时，． ∵， ∴射线不在射线的下方． 当射线在射线的上方时， 如图，，    ∴， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 画轴对称的图形（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 画轴对称图形 典型例题二 镜面对称问题 典型例题三 坐标系中的对称 典型例题四 坐标与图形变化——轴对称 典型例题五 线段问题(轴对称综合题) 典型例题六 面积问题(轴对称综合题) 典型例题七 角度问题(轴对称综合题) 典型例题八 其他问题(轴对称综合题) 知识点01 作轴对称图形 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 2.具体步骤： ①找图形的关键点。 ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的 对应点 。 ③按照原图形连接各对应点。 【即时训练】 1．（24-25八年级·江苏·期中）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，是一个轴对称汉字的一半，请你想象出它的另一半并写出这个字：______． 知识点02 关于坐标轴对称的点的坐标的特点 1.特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y). 2.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出坐标—写出对称点的坐标； （2）描点—根据对称点的坐标描点； （3）连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）已知点的坐标是，则关于轴对称点的坐标为____________；关于轴对称点的坐标为________． 【典型例题一 画轴对称图形】 【例1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在如图的方格纸上画有2条线段，再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，这样线段的添法有（   ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【例2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为轴对称图形．满足这样条件的白色小方格个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（2025九年级·北京·专题练习）如图，在6×6的正方形网格中，选取13个格点，以其中的三个格点A、B、C为顶点画．若在图中以选取的格点为顶点再画出一个，使与成轴对称，这样的点P有________个． 【例4】（24-25八年级上·北京海淀·期中）在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如图是一个格点三角形．请在图中画出一个与成轴对称的格点三角形．并画出对称轴． 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）以直线l为对称轴在如图所示的网格中画出下面图形的另一半． 2．（25-26八年级上·四川达州·期中）在方格图中画出、、、四个点，顺次连接A、B、C、D，再以线段所在的直线为对称轴，画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图所示，在边长为个单位长度的正方形网格中，作出该图形关于直线对称的图形． 【典型例题二 镜面对称问题】 【例1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·福建三明·期末）在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·甘肃武威·期中）小明从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示 ，这时的时刻应是_________．      【例4】（25-26八年级上·全国·单元测试）小明上午在理发店时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时的时间是________． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？ 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式？”很长时间没人答出．小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这个问题．你知道她是怎么做的吗？ 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）操作与探究． (1)分别画出图①中“”和“”关于直线l的对称图形(画出示意图即可)． (2)图②中小冬和小亮上衣上印的字母分别是什么？ (3)把字母“”和“”写在薄纸上，观察纸的背面，写出你看到的字母背影． (4)小明站在五个学生的身后，这五个学生正向前方某人用手势示意一个五位数，从小明站的地方看(如图③所示)，这个五位数是23456．请你判断出他们示意的真实五位数是多少？ 【典型例题三 坐标系中的对称】 【例1】（2026·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·浙江湖州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例3】 （25-26八年级上·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，则的值为______． 【例4】（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则________． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）观察你在第1题中写出的各点的坐标，关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系？关于y轴对称的两点的坐标之间有什么关系？关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系？ 2．（2025八年级上·全国·专题练习）新考法  如图，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点为轴正半轴上一动点，点为第一象限的一点，且，的延长线交轴于点，当点运动时，点的坐标是否也随着变化？若不变，求出点的坐标；若变化，请说明理由． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴，给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点．    (1)已知，，则它们关于轴和直线的二次反射点的坐标分别是___________ (2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长． 【典型例题四 坐标与图形变化——轴对称】 【例1】（25-26八年级下·福建漳州·期中）在直角坐标系中，点关于x轴对称的点是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）已知平面镜中的像与物体关于平面镜对称．如图，以水平地面为x轴，竖直放置的平面镜为y轴建立平面直角坐标系．若物体A的坐标是，此时对应的像的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·甘肃陇南·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为__________． 【例4】（25-26八年级下·河北唐山·期中）灯笼是一种传统工艺品，如图，将一个轴对称灯笼放在平面直角坐标系中，图案关于y轴对称，如果点A的坐标为，其对称点B的坐标为______． 1．（25-26八年级下·全国·单元复习）已知点与点关于轴对称，求的值． 2．（2026·河南周口·二模）如图，在方格纸中，已知线段的两个端点为，． (1)画出线段关于y轴对称后的线段； (2)写出点的坐标； (3)若将线段再向下平移2个单位，写出点的坐标． 3．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为． (1)画出与关于轴对称的图形，并直接写出三个顶点的坐标： (2)若中存在一点，则点关于轴对称后其对应点的坐标是___________． 【典型例题五 线段问题(轴对称综合题)】 【例1】（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，某城镇的主干道为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区和．现计划在上设立一个公交站，要求区和区的居民到车站的总路程最短．已知上有四个候选站点位置（依次自西向东排列），则车站应设在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例2】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末），两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在Rt中，，D为上一点且是的平分线，E，P分别是上的动点，则的最小值为 _____． 【例4】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）如图，在四边形中，，在、上分别找一点、，使的周长最短时，的度数是______． 1．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在正方形网格中有一个． (1)作关于直线对称的轴对称图形； (2)请在直线上找一点，使的长最短． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图是某果树树苗基地的平面示意图，，分别是桃树苗、杏树苗，中间为笔直的小路，为工具室，为笔直的水渠，灌溉沟． (1)在水渠上找一点，使从杏树苗到水渠，然后从水渠到工具室行走的总路程最短，在图中找出点 ，并画出行走路线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； (2)现要在小路上修建一处诱虫处（点），要求诱虫处点到，的距离都相等，请确定点 的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． 3．（25-26七年级下·上海虹口·期末）“十五五”规划纲要明确提出推动“低空经济”发展，通过无人机高效率配置资源，辐射助推农业、物流和应急提质发展．近日，首条无人机邮路正式实现常态化运营，为山区居民带来极大便利，也为解决偏远地区物流“最后一公里”难题提供了新思路．如图，已知A、B两个山村位于道路的同一侧，为解决山路物流难题，现要在道路边建造一座低空物流驿站． (1)若要使低空物流驿站到两个山村的总路程最短，驿站应选在哪个位置？（在图中分别标出驿站位置，保留作图痕迹，不用证明）． (2)已知购买1架甲型无人机3万元，1架乙型无人机4万元；甲型无人机平均每小时运送快递40件，乙型无人机平均每小时运送快递50件，现需要购买20架无人机，要求这批无人机每小时至少运送快递930件，那么如何购买甲型和乙型无人机，才能使总费用最少？并求出最少费用． 【典型例题六 面积问题(轴对称综合题)】 【例1】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）在中，已知，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为（如图所示）．则下列结论：①②的周长等于7③④，其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，是正六边形的两条对称轴，将该正六边形先竖直向上平移个单位长度，再水平向左平移个单位长度后，将正六边形分成了①，②，③，④四个区域，①，②，③，④的面积分别记为，若，则____________． 【例3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 【例4】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知网格上最小的正方形的边长为1． (1)作△ABC关于y轴对称的图形，并分别写出三点的坐标； (2)求A，，C，构成图形的面积． 1．（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的， (2)连接、，直接写出四边形的面积． 3．（24-25八年级上·福建福州·期中）在边长为的小正方形网格中，的顶点均在格点上，    (1)作出关于轴对称的图形； (2)请直接写出点和点的坐标分别为 ； (3)求出的面积． 【典型例题七 角度问题(轴对称综合题)】 【例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，则的值为（　　） A．7 B． C． D．8 【例2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段检测）如图，点关于、的对称轴分别为、，连接，交于，交于．，求________．    【例4】（24-25八年级上·湖北黄冈·期末）已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______． 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，，O为内部的一点，连接． (1)作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：M，C，N三点在同一条直线上． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在小正方形网格的格点上． (1)画出关于轴的对称图形（点、、的对应点分别为，，）； (2)画，点在第二象限内的格点上，且，画出所有符合条件的图形，并写出点的坐标． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知:在中,,点为线段上一动点（不与､重合）． (1)如图1,若,交延长线于点,当,时,的面积为______; (2)如图2,若,是上的一点,且满足,当时,交于点时,判断与的数量关系,并说明理由; (3)如图3,若,点､分别为､边上的动点,当周长取最小值时,求的度数． 【典型例题八 其他问题(轴对称综合题)】 【例1】（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 【例2】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在四边形ABCD中，，，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是______．    【例4（24-25八年级上·天津津南·期中）如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1）__________； （2）当的周长最小时，的度数为__________． 1．（2025八年级·全国·专题练习）在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 2．（24-25八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)画出格点关于直线对称的； (2)请用无刻度的直尺和圆规作中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在上画出点P，使最小． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【问题情境】如图1，把一块三角板（，）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，线段与的数量关系为___________． 【变式探究】如图2，在中，点D、E、F分别在边上，若，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中一组，并说明理由． 【拓展应用】如图3，在中，，点D、F分别是边 上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接． ①试判断线段之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，点G是的中点，，连接，则的最小值为___________． 1．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 3．（2025·河北秦皇岛·一模）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形，并且只有一条对称轴，这个位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇，铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是 方案4：作于点，连接，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 5．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示,这时的时间应是______．    7．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形________．     8．（25-26八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点的坐标为，点的坐标为，为第一象限内的整点．若连接不共线的，，三点构成轴对称图形，则点的坐标为______（写出一个即可），在网格图中符合要求的点的个数为______． 9．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 10．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，有一条笔直的河流，两岸EFGH，在河岸EF的同侧有一个管理处A和物资仓库B，管理人员每天需要从管理处A出发，先到物资仓库B领取物资，接着到达河岸EF上的C点，乘坐停放在C点的快艇，把物资送到对岸GH的对接点D，然后调头返回河岸EF上的C点，再返回管理房A．请你设计一条线路，使得管理员每天经过的路程最短．若用作图的方式来确定点C和点D，则确定点C和点D的步骤是：_____________． 11．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点B关于x轴的对称点为点C．若点A的坐标为，请你在如图所示的直角坐标系中画出，设与y轴的交点为D，求的值． 12．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，直线，垂足为O，请按下列要求作图，并解答问题． (1)作出点与点A关于直线对称，点与点A关于直线对称； (2)点与点有怎样的对称关系？请说明你的理由． 13．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，点在直线 上，直线 ，相交于点． (1)画关于直线 成轴对称的； (2)在直线 上画出点 ，使 的值最小． 14．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在如图所示的正方形网格中，的顶点都在网格线的交点上． (1)在图中建立平面直角坐标系，使点B的坐标为，且点C的坐标为； (2)在（1）的条件下，画出关于轴对称的（点A、B、C的对应点分别是点D、E、F）． 15．（24-25七年级下·江西吉安·阶段检测）已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．    学科网（北京）股份有限公司 $