第十四章 全等三角形（四大考点+五大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学“全等三角形”单元知识清单系统梳理了全等图形、全等三角形性质与判定、角平分线性质等核心内容，构建了从基础定义到性质应用再到综合易错点突破的递进式学习支架。 清单以“知识点+易错点+对点训练”三级结构呈现知识体系，如将“SSS/SAS判定”标注为核心要点，通过“易错点总结（如动点多结论问题）+注意事项（抓不变量）”培养学生推理能力与应用意识。配套的选择、填空、解答题分层训练，助力学生自主巩固，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第十四章 全等三角形 知识点一 全等图形 1. 定义：两个图形经过________、________、________后能够完全重合，就是全等图形。 1. 两大要求：________一模一样、________完全相等，缺一不可。 1. 基础结论：全等图形________、________、________全部相等。 知识点二 全等三角形及其性质 1. 全等三角形定义：能够完全________的两个三角形。 1. 书写规范：记全等时，对应顶点字母按顺序书写，方便快速找对应边、对应角。 1. 核心性质 ① 基础：________相等，________相等； ② 拓展：对应________、对应________、对应________长度相等； ③ 整体：两个全等三角形________相等、________相等。 知识点三 全等三角形的判定 1. 普通三角形四种判定方法 · SSS：________对应相等； · SAS：________和________对应相等（必须是夹角，不是对角）； · ASA：________和________对应相等； · AAS：________和其中一个角的________对应相等。 1. 直角三角形特有判定：HL，________ + 一条________对应相等即可全等。 1. 易错误区：AAA（三角相等）、SSA（两边及其中一边对角相等）不能判定三角形全等。 知识点四 角的平分线的性质 1. 性质定理（由平分线得距离相等） 如果点在角平分线上，那么该点到角两条边的________________长度相等。 1. 判定定理（由距离相等得平分线） 在角内部，到角两边垂直距离相等的点，一定在这个角的平分线上。 1. 三角形拓展：三角形三条内角平分线交于内心，内心到三角形三边距离相等。 易错点1 三角形全等中动点多结论问题 易错提醒 易错点总结 1.不会动态分析图形变化，误把“运动过程中变化的量”当成恒成立结论。 2.多结论选择题容易漏选、错选，无法区分“始终成立”和“某一时刻成立”。 3.不会利用全等不变量，忽略动点问题中边长、角度的恒定关系。 注意事项总结 1.动点问题抓核心：变的是位置，不变的是全等关系、固定角、固定边长。 2.每个结论必须验证：是否全程成立，不是只在初始位置成立。 3.优先找出恒定全等三角形，作为判断所有结论的依据。 【对点训练】1．如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（     ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 易错点2 利用三角形全等求解动点边、角问题 易错提醒 易错点总结 1.动点运动路程、速度、时间关系列式错误，找不准对应相等边。 2.运动后图形位置改变，对应边、对应角找错，导致全等条件用错。 3.不会用“时间 t“表示动态线段长度，无法列等式。 注意事项总结 1.所有动点线段先统一用 路程=速度×时间 表示为含 t 的代数式。 2.每次运动状态改变，必须重新找对应边、对应角，不能照搬原图。 3.求角度优先用全等转移角，求边长优先利用全等对应边相等。 【对点训练】2．如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 易错点3 利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题 易错提醒 易错点总结 1.最大丢分点：不分类、漏情况，只写出一种全等位置。 2.分不清动点在“线段上、端点、延长线上”三种情况。 3.对应顶点不确定，导致对应边匹配错误，方程列错。 注意事项总结 1.动点全等必须强制分类讨论： 情况一：点在线段上；情况二：点在延长线上。 2.未规定对应顶点时，要讨论不同顶点对应方案。 3.解出时间 t 后必须检验：是否符合当前运动范围，舍去不合理解。 【对点训练】3．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为（     ）． A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或 易错点4 利用三角形全等求证线段之间的关系问题 易错提醒 易错点总结 1.只会证线段相等，不会证线段和差关系（如AB+CD=EF）。 2.不会做辅助线：不会截长补短、平移构造全等。 3.证明过程跳步，全等条件写不全，扣分严重。 注意事项总结 1.线段关系分两种：相等关系、和差关系。 2.和差问题固定方法：截长补短法，构造全等转化线段。 3.证明全等严格写全三条件，对应边相等后再推线段结论。 【对点训练】4．如图1、2、3，中，，，直线经过点，，垂足为，，垂足为E．探究图中线段、、之间的数量关系． (1)如图1，请写出线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (2)直接写出下列结论： ①如图2，线段、、之间的数量关系是______； ②如图3，线段、、之间的数量关系是______． 易错点5 利用三角形全等求证角之间的关系问题 易错提醒 易错点总结 1.只会证角相等，不会证角的和差、互余、互补关系。 2.忽略公共角、对顶角、等角加减同一个角仍相等。 3.角度推导逻辑混乱，无法利用全等转移角。 注意事项总结 1.角度证明核心：用全等转移角，把未知角换成已知角。 2.灵活使用：同角/等角的余角相等、补角相等、公共角相等。 3.求证角和差关系时，先拆分角，再用全等替换等量角。 【对点训练】5．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． (1)如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为    ___________． (2)如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． (3)如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 一、单选题 1．如图，在中，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若在某一时刻能使与全等．则点Q的运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 2．如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．如图，是的边上的中线，点E在线段上，且，F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，分别以的边，为直角边，向外作等腰直角三角形，，连接，，，交于点，连接．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C．平分 D． 二、填空题 6．如图，D、E、F分别是三边上的点，平分，，，E是的中点，若的面积为，则的面积为_____； 7．如图，在四边形中，，，，过点作于点，连接，若，，，则________． 8．如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 9．如图，已知，是锐角，，，延长交于点，交于点． （1）的度数为________； （2）若，则的度数为________． 10．如图，中，于点，，过点作，，连接交于点，若，，则____________． 三、解答题 11．根据题目条件，解答下列各题： (1)观察理解：如图①，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，试说明：． (2)理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积____________； (3)类比探究：如图③，中，，，过点作于点，，连接，求的面积． 12．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 13．已知：，点，点分别在边，上，延长至点，连接，，交于点．现有四个条件： ①；②；③；④． 请从①②③④中任选三个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并证明． 请写出你的条件________（填序号）结论________（填序号），并证明． 14．如图，在中，，．D是直线上任意一点，连接，过点C作，且，过点E作，垂足为F，连接，分别交，于点M，N． (1)如图1，当点D在线段上时，与相等吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，若，． ①的长度为________； ②设的面积为，四边形的面积为，则的值为________； (3)如图2，当点D在线段的延长线上时，点M是线段的中点吗？说明理由． 15．探究下列问题： (1)小林同学在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形，如图①，已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点，．能直接得到线段，，三者之间的数量关系： ． (2)当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：； (3)老师赞赏了小林同学的探索精神，并鼓励他运用这个方法来解决问题：如图③，以的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，当时， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形 知识点一 全等图形 1. 定义：两个图形经过平移、翻折、旋转后能够完全重合，就是全等图形。 1. 两大要求：形状一模一样、大小完全相等，缺一不可。 1. 基础结论：全等图形周长、面积、对应线段长度全部相等。 知识点二 全等三角形及其性质 1. 全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形。 1. 书写规范：记全等时，对应顶点字母按顺序书写，方便快速找对应边、对应角。 1. 核心性质 ① 基础：对应边相等，对应角相等； ② 拓展：对应高、对应中线、对应角平分线长度相等； ③ 整体：两个全等三角形周长相等、面积相等。 知识点三 全等三角形的判定 1. 普通三角形四种判定方法 · SSS：三边对应相等； · SAS：两边和夹角对应相等（必须是夹角，不是对角）； · ASA：两角和夹边对应相等； · AAS：两角和其中一个角的对边对应相等。 1. 直角三角形特有判定：HL，斜边 + 一条直角边对应相等即可全等。 1. 易错误区：AAA（三角相等）、SSA（两边及其中一边对角相等）不能判定三角形全等。 知识点四 角的平分线的性质 1. 性质定理（由平分线得距离相等） 如果点在角平分线上，那么该点到角两条边的垂线段长度相等。 1. 判定定理（由距离相等得平分线） 在角内部，到角两边垂直距离相等的点，一定在这个角的平分线上。 1. 三角形拓展：三角形三条内角平分线交于内心，内心到三角形三边距离相等。 易错点1 三角形全等中动点多结论问题 易错提醒 易错点总结 1.不会动态分析图形变化，误把“运动过程中变化的量”当成恒成立结论。 2.多结论选择题容易漏选、错选，无法区分“始终成立”和“某一时刻成立”。 3.不会利用全等不变量，忽略动点问题中边长、角度的恒定关系。 注意事项总结 1.动点问题抓核心：变的是位置，不变的是全等关系、固定角、固定边长。 2.每个结论必须验证：是否全程成立，不是只在初始位置成立。 3.优先找出恒定全等三角形，作为判断所有结论的依据。 【对点训练】1．如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（     ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据题意证明，得到，，，可判断①，证明得到，，可判断②③，根据全等三角形的性质可得，，可判断④． 【详解】解：在中，为中线， ， ，， ， ， ， ，，，故①正确； ，，， ， ，即，， ，，故③正确； ， ，故②正确； ，， ，， ， ，故④正确； 综上，正确结论的序号有①②③④， 易错点2 利用三角形全等求解动点边、角问题 易错提醒 易错点总结 1.动点运动路程、速度、时间关系列式错误，找不准对应相等边。 2.运动后图形位置改变，对应边、对应角找错，导致全等条件用错。 3.不会用“时间 t“表示动态线段长度，无法列等式。 注意事项总结 1.所有动点线段先统一用 路程=速度×时间 表示为含 t 的代数式。 2.每次运动状态改变，必须重新找对应边、对应角，不能照搬原图。 3.求角度优先用全等转移角，求边长优先利用全等对应边相等。 【对点训练】2．如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 在上截取，连接，，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，然后根据直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，如图，当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 易错点3 利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题 易错提醒 易错点总结 1.最大丢分点：不分类、漏情况，只写出一种全等位置。 2.分不清动点在“线段上、端点、延长线上”三种情况。 3.对应顶点不确定，导致对应边匹配错误，方程列错。 注意事项总结 1.动点全等必须强制分类讨论： 情况一：点在线段上；情况二：点在延长线上。 2.未规定对应顶点时，要讨论不同顶点对应方案。 3.解出时间 t 后必须检验：是否符合当前运动范围，舍去不合理解。 【对点训练】3．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为（     ）． A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质及动点问题，设运动时间为，表示出、、的长，根据，分和两种情况，利用全等三角形对应边相等列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，点的运动速度为cm/s， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴分两种情况讨论： ①当时， ，， ∴，， 解得， ∴； ②当时， ∴，， ∴，， 解得， ∴； 综上所述，点的运动速度为或． 故选B． 易错点4 利用三角形全等求证线段之间的关系问题 易错提醒 易错点总结 1.只会证线段相等，不会证线段和差关系（如AB+CD=EF）。 2.不会做辅助线：不会截长补短、平移构造全等。 3.证明过程跳步，全等条件写不全，扣分严重。 注意事项总结 1.线段关系分两种：相等关系、和差关系。 2.和差问题固定方法：截长补短法，构造全等转化线段。 3.证明全等严格写全三条件，对应边相等后再推线段结论。 【对点训练】4．如图1、2、3，中，，，直线经过点，，垂足为，，垂足为E．探究图中线段、、之间的数量关系． (1)如图1，请写出线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (2)直接写出下列结论： ①如图2，线段、、之间的数量关系是______； ②如图3，线段、、之间的数量关系是______． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出是解题关键． （1）利用已知得出，进而利用得出则，即可得出； （2）①利用已知得出，进而利用得出则，即可得出与之间的数量关系． ②利用已知得出，进而利用得出则，即可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：． 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：①如图2所示：结论：． 理由：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． ②如图3所示：结论：． 理由：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 易错点5 利用三角形全等求证角之间的关系问题 易错提醒 易错点总结 1.只会证角相等，不会证角的和差、互余、互补关系。 2.忽略公共角、对顶角、等角加减同一个角仍相等。 3.角度推导逻辑混乱，无法利用全等转移角。 注意事项总结 1.角度证明核心：用全等转移角，把未知角换成已知角。 2.灵活使用：同角/等角的余角相等、补角相等、公共角相等。 3.求证角和差关系时，先拆分角，再用全等替换等量角。 【对点训练】5．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． (1)如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为    ___________． (2)如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． (3)如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． (3)， 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）略 （3）略 一、单选题 1．如图，在中，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若在某一时刻能使与全等．则点Q的运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，点D为的中点，可得，，设点、的运动时间为，分别表示出，，分和两种情况，即可求解． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴，， ∴点的对应点是点， 设点、的运动时间为，点Q的运动速度为， ∴，， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动速度为； 当时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 2．如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的性质，理解题意，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据，结合“伪全等三角形”的定义：两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此对图中的三角形分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 在和中，，，，符合“伪全等三角形”的定义； 综上所述，共有4对“伪全等三角形”． 故选：D． 3．如图，是的边上的中线，点E在线段上，且，F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中线可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断A；根据全等三角形性质可得，根据角之间的关系，结合三角形内角和定理可判断D；根据三角形面积之间的关系及全等三角形性质可判断C；根据三角形中线求三角形面积，结合三角形面积公式，即可判断B． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故A正确，不符合题意， ∵， ∴， ∴ ，故D正确，不符合题意； ， ∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴，故B错误，符合题意． 4．如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先通过角的等量代换得到，利用证明，由此推出，再结合全等三角形对应角相等、三角形内角和、对顶角性质，分别验证度数与是否成立，逐一判断4个结论正误． 【详解】解：已知， ， 即， 在和中： ， ，结论①正确； 由全等三角形对应边相等，得，结论③正确； 由，得， 已知， ， ∵， ， 即， 代入，得， 在中，，结论②错误； 延长交于点，交于点， 由，得， 又，， ， ，即， ，结论④正确， 综上，①③④正确，共3个正确结论． 5．如图，分别以的边，为直角边，向外作等腰直角三角形，，连接，，，交于点，连接．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】首先利用证明，可得，；利用三角形外角性质以及全等三角形的性质可证；利用全等三角形面积相等及底边相等可得对应高相等，进而根据角平分线的判定定理证得平分；对于，现有条件无法证明． 【详解】解：由题意得， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故D成立，不符合题意； ∵， ∴， 设与交于点，， ∵ ∴， ∴，故B成立，不符合题意； 过点作于点，过点作于点， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ， ∴平分，故C成立，不符合题意； 现有条件不足以证明，故A不一定成立，符合题意． 二、填空题 6．如图，D、E、F分别是三边上的点，平分，，，E是的中点，若的面积为，则的面积为_____； 【答案】 【分析】如图：过点D分别作于G， 于H，然后根据角平分线的性质可得，再根据三角形面积公式，即可得出；利用三角形中线的性质可得，再证明，则，最后根据的面积为即可解答． 【详解】解：如图：过点D分别作于G， 于H， ∵平分， ∴，， ∵，，， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 7．如图，在四边形中，，，，过点作于点，连接，若，，，则________． 【答案】 【分析】根据垂直可得，从而可得，，进而可得，然后利用证明，从而可得，，进而可得，根据，即可求解． 【详解】解∶， ， ， ， ， ， ， ， ； ∴ ． 8．如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 【答案】2或 【分析】分两种情况：点M在的延长线上和点M在上，两种情况都可证明只存在这种情况，则可得到，再根据线段的和差关系建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 如图所示，当点M在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴此时只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点M在上时，同理可得只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 综上所述，t的值为2或． 9．如图，已知，是锐角，，，延长交于点，交于点． （1）的度数为________； （2）若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可知，由，可得：，根据三角形内角和定理可得：； 根据全等三角形的性质可得：，根据两直线平行，内错角相等，可得：，根据角之间的关系可以求出． 【详解】解：， ， ， ， ， 在中，， ， ； 解：， ， ， ， ， 10．如图，中，于点，，过点作，，连接交于点，若，，则____________． 【答案】4 【分析】在上取一点E，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：在上取一点E，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题 11．根据题目条件，解答下列各题： (1)观察理解：如图①，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，试说明：． (2)理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积____________； (3)类比探究：如图③，中，，，过点作于点，，连接，求的面积． 【答案】(1)证明：，，垂足分别为D，E， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ； (2)50 (3)32 【分析】（1）先证明，，进而可依据“”判定； （2）同（1）证明，，得出，，，，再根据三角形的面积公式分别求出，，，，再求出，进而可求出梯形的面积为80，由此即可得出图中实线所围成的图形的面积S； （3）过点作于点H，先证明，进而依据“”判定得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）同理可得，， ，，，， ，， ，， ， ，，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 ； （3）解：过点作于点H，如图所示： ， 中，，， ， ， 于点A，， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为： 12．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到M，使，连接，如图2所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 13．已知：，点，点分别在边，上，延长至点，连接，，交于点．现有四个条件： ①；②；③；④． 请从①②③④中任选三个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并证明． 请写出你的条件________（填序号）结论________（填序号），并证明． 【答案】情况一：选取条件：①②③，结论：④ 已知：，，， 求证： 证明：， 在和中 由， ， ； 情况二：选取条件：②③④，结论：① 已知：，，， 求证： 证明：在和中 由， ， ， ； 【详解】略 14．如图，在中，，．D是直线上任意一点，连接，过点C作，且，过点E作，垂足为F，连接，分别交，于点M，N． (1)如图1，当点D在线段上时，与相等吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，若，． ①的长度为________； ②设的面积为，四边形的面积为，则的值为________； (3)如图2，当点D在线段的延长线上时，点M是线段的中点吗？说明理由． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)①2；②6 (3)解：点M是线段的中点，理由如下： ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点M是线段的中点． 【分析】（1）证明，即可得到； （2）①由全等三角形的性质得到，则可得到，，证明，即可得到；②证明，得到，则可证明，进而得到，据此根据三角形的面积公式求解即可； （3）先证明，得到，再证明，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：①由（1）得，， ∴； ∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②由（2）①得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （3）略 15．探究下列问题： (1)小林同学在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形，如图①，已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点，．能直接得到线段，，三者之间的数量关系： ． (2)当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：； (3)老师赞赏了小林同学的探索精神，并鼓励他运用这个方法来解决问题：如图③，以的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，当时， ． 【答案】(1) (2)证明：， ， ， ，， ， 在和中， ， ． ， ∴． (3) 【分析】（1）先证明，，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （3）过作于，过作的延长线于．结合由（1）和（2）的结论可知，证明，设未知数从而可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， 在和中， ， ． ， ， ． （2）略 （3）解：如图， 过作于，过作的延长线于， ， 由（1）和（2）的结论可知，，， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $