第十八章 分式（必备知识+5大易错+易错训练）（知识清单）数学人教版2024八年级上册

该初中数学分式单元知识清单系统梳理了第十八章分式的核心内容，涵盖分式的概念与基本性质、运算规则、整数指数幂、分式方程的定义解法及应用五大知识范畴，为学生搭建了从“概念理解”到“性质运用”再到“方程求解与实际应用”的递进式学习支架。 清单采用“基础清单+易错突破+例题巩固”的分级架构呈现知识体系，清单01-05依次细化分式概念、性质、运算、指数幂、方程等基础知识点，突出完整性与条理性。易错部分聚焦分式值正负、增根问题等五大易错类型，每个类型包含易错总结、方法技巧（如“符号法则法”判断分式正负）和典型例题，培养学生的抽象能力与推理意识。如求分式值为零时强调“分子为零且分母不为零”的双重条件，通过分步拆解帮助不同基础学生掌握，既便于学生自主查漏补缺，也为教师教学设计提供精准参考。

第十八章 分式 清单01 分式的概念及基本性质 1.分式的概念 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 5.约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． 6.通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 7.最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 8.最简公分母 （1）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 清单02 分式的运算 1．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 2．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 3．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 4．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 清单03 整数指数幂 1.负指数幂、零指数幂： ①，（m，n是正整数）； ②，（m，n是正整数） ③，（m是正整数）； ④，（a≠0，m、n是正整数，m>n） ⑤，（n是正整数）； ⑥ 若按照④运算，当m<n时。如：；根据指数幂的定义 针对这种现象，我们规定，当n为正整数时，（a≠0） 注：无意义 2.科学记数法表示绝对值小于1的数 一般，一个小于1的数可以表示为a×的形式，其中 步骤：确定a值的大小。；确定n的值。原数变为a后，小数点向前移动x位，则原数相应扩大了10x倍。故n=-x 清单04 分式方程定义及解法 1．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 2．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 3．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 4．换元法解分式方程 （1）解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． （2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 5．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 清单05 分式方程的应用 1．分式方程的应用 （1）列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． （2）要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【易错一】求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 一、易错总结（2点） 1. 忽略分母不为0的前提：只关注分子符号，忘记分母不能为0，导致取值范围包含使分式无意义的解。 2. 不等号方向错误：解不等式时，两边乘除负数未变号，或联立不等式组时写错不等关系，如误将“分子正且分母正”写成“分子正或分母正”。 二、方法技巧（2点） 1. 符号法则法：分式正负由分子、分母符号共同决定，“正”需分子分母同号（均正或均负），“负”需分子分母异号（一正一负），分情况列不等式组求解。 2. 转化整式法：先确定分母不为0，再将分式不等式转化为整式不等式（分子×分母＞0或＜0），解整式不等式后结合分母限制，确定最终取值范围。 【例1】已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】本题考查分式值的正负性问题，也考查了解一元一次不等式．根据的值是非负数得到且，进而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且． 故选：D． 【易错二】求使分式值为整数时未知数的整数值 一、易错总结（2点） 1. 忽略分母不为0的限制：只计算使分子能被分母整除的未知数，未排除使分母为0的取值，导致结果包含无意义的解。 2. 漏解整数情况：未考虑整除的正负性，如求\(\frac{x+1}{2}\)为整数时，只算正整数解，漏了负整数和0的情况。 二、方法技巧（2点） 1. 整除定义法：设分式值为整数\(k\)，将分式化为“分子 = 分母×k”的整式形式，解出未知数用\(k\)表示，再结合未知数为整数确定\(k\)的可能值，进而求未知数。 2. 因式分解法：对分子分母因式分解，若分母是分子的因式，直接分析整除条件；若不是，通过变形让分母整除分子，再结合整数性质确定未知数取值。 【例2-1】对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】解：由题意，，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 【例2-2】若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】或或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为，分别代值计算，即可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 分式的值为整数，且x是整数， 或 或或， 解得：或或或， 故答案：或或或． 【易错三】分式方程无解与增根 一、易错总结（2点） 1. 混淆“无解”与“增根”概念：认为增根就是无解，忽略“整式方程无解时，分式方程也无解”的情况，如\(\frac{1}{x-1}=\frac{x}{x-1}+2\)，整式方程无解，分式方程也无解，而非增根。 2. 漏验增根：解分式方程去分母后，只解整式方程，未将解代入最简公分母检验是否为增根，导致错误保留无意义的解。 二、方法技巧（2点） 1. 概念辨析法：增根是“使最简公分母为0的整式方程的解”，仅出现在整式方程有解的情况；无解包含“有增根”和“整式方程本身无解”两类，通过判断整式方程是否有解及解是否为增根，区分两者。 2. 检验三步法：解分式方程后，①将整式方程的解代入最简公分母；②若公分母为0，此解是增根，分式方程无解；③若公分母不为0，此解是分式方程的解，据此快速判断。 【例3-1】若关于x的分式方程无解，则实数 ． 【答案】0或3 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题、解分式方程 【分析】本题考查分式方程的解．熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键． 分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， ①当无解时，m=0； ②当整式方程的解为分式方程的增根时， ，，矛盾； 或，， ∴． 故答案为：0或3． 【例3-2】（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）关于x的分式方程有增根，则m为 ． 【答案】4或0 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴， 解分式方程： 去分母得：， 当时， ， 当时， ， 故m的值为4或0． 故答案为∶ 4或0． 【易错四】已知方程的根的情况求参数的取值范围 一、易错总结（2点） 1. 忽略分式分母不为0的限制：仅根据整式方程根的情况求参数，未排除使原分式分母为0的参数值，导致取值范围包含无效解。 2. 混淆“无解”对应的参数情况：误将“分式方程有增根”等同于“分式方程无解”，忽略“整式方程本身无解时，分式方程也无解”的情况，漏算参数取值。 二、方法技巧（2点） 1. 分类讨论法：先将分式方程化为整式方程，分两类讨论：①整式方程无解时，求对应参数值；②整式方程有解时，排除使分母为0的参数值，结合根的要求（如整数根、正数根）确定范围。 2. 代入检验法：若已知方程有增根，先求增根（令最简公分母为0的解），代入整式方程求参数；若方程无解，需同时考虑整式方程无解和有增根两种情况，整合参数范围。 【例4】（24-25八年级上·重庆永川·期末）若分式方程有正数解，则的取值范围为 ． 【答案】且 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解、一元一次不等式的解集，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．将分式方程化为整式方程，解得，再利用原方程的解为正数，得到且，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：， 去分母得，， 解得：， 分式方程有正数解， 且， 且， 且且， 且． 故答案为：且． 【易错五】与分式及分式运算有关的新定义型问题 一、易错总结（2点） 1. 误解新定义规则：未逐字分析题干中“新运算符号”的定义（如分子分母对应关系、运算顺序），直接套用常规分式运算，导致步骤错误。 2. 忽略隐含限制条件：新定义问题常隐含分母不为0的要求，解题时只关注新运算流程，漏查运算中所有分式的分母（包括新定义里的分母），出现无意义的解。 二、方法技巧（2点） 1. 拆解定义法：将新定义内容拆解为“已知条件”和“运算规则”，用具体字母或数值代入规则，转化为熟悉的分式化简、求值问题，再按常规步骤计算。 2. 双重验证法：完成运算后，先验证结果是否符合新定义的形式要求，再检查所有分式的分母是否为0，确保运算过程和结果均有效，避免隐含错误。 【例5-1】（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”． 例如：与 ，， 是的“关联分式”． (1)已知分式，则__________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)求分式的“关联分式”； (3)观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础． （1）根据关联分式的定义判断； （2）仿照和谐小组成员的方法，设的关联分式是N，则，求出N即可； （3）根据（1）（2）的结果找出规律，再利用规律求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的“关联分式”． 故答案为：是； （2）解：设的关联分式是N，则： ， ∴， ∴ ∴； （3）解：由（1）（2）知：的关联分式为：． 故答案为：． 【例5-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例如，，则是“好看分式”．根据上述定义，解决问题． (1)分式、，其中是“好看分式”的是________． (2)①若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； ②若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； (3)若分式（、为常数且）是一个“好看分式”，且、都是正整数，直接写出的所有可能结果． 【答案】(1) (2)①；② (3)1，2，3 【分析】本题主要考查了分式的约分，解题时要能根据所给新定义问题结合所学分式的知识进行化简是关键． （1）依据题意，由，分式分母无法在实数范围内分解，分子分母无公因式，无法约分为常数分子，进而可以判断得解； （2）①依据题意，分母分解：，结合题意分子需与分母中的或有公因式，从而，则，进而可以判断得解； ②依据题意，分母分解：需分解为，使常数项为，即，从而分母为，对应，即可判断得解； （3）依据题意，由分式分母分解：设，则，故需等于，即，从而此时分式化简为正整数解：①，则；②，则；③，则，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，符合“好看分式”定义． 又 ∵分式分母无法在实数范围内分解，分子分母无公因式，无法约分为常数分子， ∴分式不符合“好看分式”定义． 故答案为：． （2）解：①由题意，分母分解：． 又 ∵分式为“好看分式”， ∴分子需与分母中的或有公因式． ∵，则， ∴此时分式化简为，符合定义． ∴． ②由题意，分母分解：需分解为，使常数项为，即， ∴分母为，对应． （3）解：由题意，∵分式分母分解： 设， 则． ∴需等于，即． ∴此时分式化简为， 正整数解： ①，则； ②，则 ； ③，则． ∴的可能值为． 一、单选题 1．（25-26七年级上·上海·期中）已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查分式值的正负性，解一元一次不等式等知识点，若对于分式（）时，说明分子、分母同号；分式（）时，分子、分母异号． 根据分式的值是非负数，分母恒为正数，因此只需分子是非负数即可． 【详解】解：∵，的值是非负数， ∴，即． ∴的取值范围是． 故选：B． 2．（24-25八年级下·河南开封·期末）下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，的值不可能为整数 D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式的值为零、分式值为整数的情况以及分式的符号判断．分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，分母不是0． 【详解】A. 当时，分母，分式无意义，故A错误； B. 分式有意义需分母，与无关，故B错误； C. 只有当时，，此时值为整数，故C错误； D. 分母，分子为3，分式的值总为正数，故D正确； 故答案选：D． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若关于的方程有增根．则增根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求分式方程的增根，分式方程的增根是使分式方程分母为零的未知数的值，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有增根， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程化为整式方程，解方程得到，根据方程的解为正数且分母不为0列式求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵原方程的解是正数，且分母不为0，即, ∴，且 ∴且， 故选：C． 5．（24-25八年级下·福建泉州·期末）我们定义：若两个分式与的和为常数，且，则称是的“和约分式”，称为关于的“和约分式值”．如分式，，，则是的“和约分式”，．已知分式，，且是为的“和约分式”，则关于的“和约分式值”是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的新定义，分式的加法运算，根据分式的加法运算法则求出的值即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴关于的“和约分式值”是， 故选：． 二、填空题 6．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，分式的值为正数，由于分子恒为正，因此分母必须为正，解不等式即可． 【详解】分式 的分子为 1，是正数，因此分式值为正数时，分母 必须大于 0，即 ． 解得：． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数，确定出k的范围即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵分式方程的解为负数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 【答案】 任意实数 3或2 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，解一元一次方程，掌握分式的性质是解题关键． （1）由分式的值为正，得到，解不等式即可； （2）根据平方的非负性以及分式的性质，即可求解； （3）由分式的值为正整数，得到或，即可求解． 【详解】解：（1）分式的值为正， ， ， 故答案为： （2）， ， ， 的取值为任意实数， 故答案为：任意实数； （3）分式的值为正整数， 或， 或2， 故答案为：3或2． 9．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把原方程去分母化为整式方程得到，分式方程无解有两种情况，当和当时，分式方程有增根，据此分情况讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵关于的分式方程无解， ∴当，即时，原方程无解； 当，即时， 则 ∵原方程无解， ∴原方程有增,即或 解得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 10．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为正数，则满足条件的所有整数的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解以及分式方程的求解与应用． 分别求出不等式组有解时的取值范围和分式方程的解为正数时的取值范围，再取交集确定满足条件的的整数值． 【详解】解：解不等式，解得， 解不等式，解得， 因为不等式组有解，所以（根据“大小小大中间找”，且有解，则要大于）， 解分式方程， 解得， 因为分式方程的解为正数，所以，解得． 又因为分母不能为0，即，解得． 结合不等式组得到的和分式方程得到的且，满足条件的整数为， 将这些整数相加：， 综上，满足条件的所有整数的值的和为． 故答案为：． 11．（2025八年级下·全国·专题练习）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，涉及到分式有意义的条件的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先根据新定义，对原分式进行化简整理得到为整数，则可得到，解得或，结合分式分式有意义条件，可得到． 【详解】解： • ， ∵分式的值为整数， ∴2的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∴或， ∵当时，分式无意义， ∴． 故答案为：． 三、解答题 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件，熟练掌握分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． （1）根据分式值为0的条件解答即可； （2）分式的值为正即分子分母同号，由，得，从而得出，解答即可； （3）分式的值为负即分子分母异号，由，得，从而得出，解答即可． 【详解】解：（1）由，得， 当时，； ∴当时，分式的值为0； （2）由分式的值为正，得与同号， ∵， ∴， ∴， 解得： （3）由分式的值为负，得与异号， ∵， ∴， ∴， 解得：， 13．（22-23八年级上·全国·月考）已知分式方程． (1)当取何值时，方程的解为正数？ (2)当取何值时，方程无解？ 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查分式方程：将分式方程去分母整理为，然后： （1）方程的解为正数，则解为正数且不为增根4，据此列出不等式组求解即可； （2）分为0和不为0两种情况讨论即可． 【详解】（1）去分母得： 整理得：． ∵方程的根为正数， ∴且， 解得：且； （2）分式方程化为：， ∵方程无解， ∴方程有增根或等式不成立， ①当方程有增根时，即， 即， ∴， ②当时，等式不能成立， ∴， 综上所述，a的值为． 14．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，求实数m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求值，由不等式组解集的情况求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理不等式组，得，因为不等式组的解集为，故，结合关于y的分式方程有非负数解，即且，故，且，再解得实数m的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵ ∴解得：， ∵不等式组的解集为， ∴； ∵ ∴去分母得：， 解得：y， ∵由分式方程有非负数解， ∴且， 即，且， 解得：，且， 综上所述：满足条件的m的取值范围是． 15．（25-26八年级上·河北衡水·阶段练习）定义．若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ；（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)是，当时，该式的值为整数 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握“和谐分式”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义解答即可； （2）根据“和谐分式”的定义把分式化简即可； （3）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式为整数求出x的值即可． 【详解】（1）解：①，故是“和谐分式”； ②不是分式，故不是“和谐分式”； ③，故是“和谐分式”； ④，故是“和谐分式”； 属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ； （3）解： ， ∵该式的值为整数， ∴， 解得或或1或， 又∵， ∴， 即当时，该式的值为整数． 16．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3)或； (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和是解题的关键． （1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料整理得即可求解； （3）根据材料整理得，由题意得，据此求解即可； （4）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵分式的值为整数， ∴， ∴或； （4）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 分式 清单01 分式的概念及基本性质 1.分式的概念 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 5.约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． 6.通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 7.最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 8.最简公分母 （1）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 清单02 分式的运算 1．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 2．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 3．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 4．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 清单03 整数指数幂 1.负指数幂、零指数幂： ①，（m，n是正整数）； ②，（m，n是正整数） ③，（m是正整数）； ④，（a≠0，m、n是正整数，m>n） ⑤，（n是正整数）； ⑥ 若按照④运算，当m<n时。如：；根据指数幂的定义 针对这种现象，我们规定，当n为正整数时，（a≠0） 注：无意义 2.科学记数法表示绝对值小于1的数 一般，一个小于1的数可以表示为a×的形式，其中 步骤：确定a值的大小。；确定n的值。原数变为a后，小数点向前移动x位，则原数相应扩大了10x倍。故n=-x 清单04 分式方程定义及解法 1．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 2．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 3．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 4．换元法解分式方程 （1）解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． （2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 5．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 清单05 分式方程的应用 1．分式方程的应用 （1）列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． （2）要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【易错一】求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 一、易错总结（2点） 1. 忽略分母不为0的前提：只关注分子符号，忘记分母不能为0，导致取值范围包含使分式无意义的解。 2. 不等号方向错误：解不等式时，两边乘除负数未变号，或联立不等式组时写错不等关系，如误将“分子正且分母正”写成“分子正或分母正”。 二、方法技巧（2点） 1. 符号法则法：分式正负由分子、分母符号共同决定，“正”需分子分母同号（均正或均负），“负”需分子分母异号（一正一负），分情况列不等式组求解。 2. 转化整式法：先确定分母不为0，再将分式不等式转化为整式不等式（分子×分母＞0或＜0），解整式不等式后结合分母限制，确定最终取值范围。 【例1】已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【易错二】求使分式值为整数时未知数的整数值 一、易错总结（2点） 1. 忽略分母不为0的限制：只计算使分子能被分母整除的未知数，未排除使分母为0的取值，导致结果包含无意义的解。 2. 漏解整数情况：未考虑整除的正负性，如求\(\frac{x+1}{2}\)为整数时，只算正整数解，漏了负整数和0的情况。 二、方法技巧（2点） 1. 整除定义法：设分式值为整数\(k\)，将分式化为“分子 = 分母×k”的整式形式，解出未知数用\(k\)表示，再结合未知数为整数确定\(k\)的可能值，进而求未知数。 2. 因式分解法：对分子分母因式分解，若分母是分子的因式，直接分析整除条件；若不是，通过变形让分母整除分子，再结合整数性质确定未知数取值。 【例2-1】对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【例2-2】若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【易错三】分式方程无解与增根 一、易错总结（2点） 1. 混淆“无解”与“增根”概念：认为增根就是无解，忽略“整式方程无解时，分式方程也无解”的情况，如\(\frac{1}{x-1}=\frac{x}{x-1}+2\)，整式方程无解，分式方程也无解，而非增根。 2. 漏验增根：解分式方程去分母后，只解整式方程，未将解代入最简公分母检验是否为增根，导致错误保留无意义的解。 二、方法技巧（2点） 1. 概念辨析法：增根是“使最简公分母为0的整式方程的解”，仅出现在整式方程有解的情况；无解包含“有增根”和“整式方程本身无解”两类，通过判断整式方程是否有解及解是否为增根，区分两者。 2. 检验三步法：解分式方程后，①将整式方程的解代入最简公分母；②若公分母为0，此解是增根，分式方程无解；③若公分母不为0，此解是分式方程的解，据此快速判断。 【例3-1】若关于x的分式方程无解，则实数 ． 【例3-2】（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）关于x的分式方程有增根，则m为 ． 【易错四】已知方程的根的情况求参数的取值范围 一、易错总结（2点） 1. 忽略分式分母不为0的限制：仅根据整式方程根的情况求参数，未排除使原分式分母为0的参数值，导致取值范围包含无效解。 2. 混淆“无解”对应的参数情况：误将“分式方程有增根”等同于“分式方程无解”，忽略“整式方程本身无解时，分式方程也无解”的情况，漏算参数取值。 二、方法技巧（2点） 1. 分类讨论法：先将分式方程化为整式方程，分两类讨论：①整式方程无解时，求对应参数值；②整式方程有解时，排除使分母为0的参数值，结合根的要求（如整数根、正数根）确定范围。 2. 代入检验法：若已知方程有增根，先求增根（令最简公分母为0的解），代入整式方程求参数；若方程无解，需同时考虑整式方程无解和有增根两种情况，整合参数范围。 【例4】（24-25八年级上·重庆永川·期末）若分式方程有正数解，则的取值范围为 ． 【易错五】与分式及分式运算有关的新定义型问题 一、易错总结（2点） 1. 误解新定义规则：未逐字分析题干中“新运算符号”的定义（如分子分母对应关系、运算顺序），直接套用常规分式运算，导致步骤错误。 2. 忽略隐含限制条件：新定义问题常隐含分母不为0的要求，解题时只关注新运算流程，漏查运算中所有分式的分母（包括新定义里的分母），出现无意义的解。 二、方法技巧（2点） 1. 拆解定义法：将新定义内容拆解为“已知条件”和“运算规则”，用具体字母或数值代入规则，转化为熟悉的分式化简、求值问题，再按常规步骤计算。 2. 双重验证法：完成运算后，先验证结果是否符合新定义的形式要求，再检查所有分式的分母是否为0，确保运算过程和结果均有效，避免隐含错误。 【例5-1】（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”． 例如：与 ，， 是的“关联分式”． (1)已知分式，则__________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)求分式的“关联分式”； (3)观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． 【例5-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例如，，则是“好看分式”．根据上述定义，解决问题． (1)分式、，其中是“好看分式”的是________． (2)①若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； ②若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； (3)若分式（、为常数且）是一个“好看分式”，且、都是正整数，直接写出的所有可能结果． 一、单选题 1．（25-26七年级上·上海·期中）已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 2．（24-25八年级下·河南开封·期末）下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，的值不可能为整数 D．无论为何值，的值总为正数 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若关于的方程有增根．则增根为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 5．（24-25八年级下·福建泉州·期末）我们定义：若两个分式与的和为常数，且，则称是的“和约分式”，称为关于的“和约分式值”．如分式，，，则是的“和约分式”，．已知分式，，且是为的“和约分式”，则关于的“和约分式值”是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 7．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 9．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 10．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为正数，则满足条件的所有整数的值的和为 ． 11．（2025八年级下·全国·专题练习）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 三、解答题 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 13．（22-23八年级上·全国·月考）已知分式方程． (1)当取何值时，方程的解为正数？ (2)当取何值时，方程无解？ 14．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，求实数m的取值范围． 15．（25-26八年级上·河北衡水·阶段练习）定义．若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ；（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当取什么整数时，该式的值为整数． 16．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $