第四章 整式的加减（5大考点+6大易错+易错训练）（知识清单）数学人教版2024七年级上册

第四章 整式的加减 知识点一 单项式及相关概念 1. 单项式：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 2. 单项式的系数：单项式中的数字因数称为这个单项式的系数。 3. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 知识点二 多项式及整式相关概念 1. 多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 2. 多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 3. 整式：单项式与多项式统称整式。 知识点三 同类项及合并同类项 1. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。 2. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。合并同类项的法则是同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 知识点四 去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 知识点五 整式的加减 1. 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算。 2. 整式加减实际上就是去括号、合并同类项。 3. 整式加减的一般步骤：如果有括号，那么先去括号；观察有无同类项；利用加法的交换律和结合律，分组同类项；合并同类项。 易错点1 多项式系数、指数中字母求值 1. 确定系数、指数时，要明确单项式中数字因数是系数，所有字母指数和是次数，多项式里每一项的系数（包括符号）和次数需准确判断。 2. 字母求值时，代入前先化简式子，保证代入的数值与字母对应，计算过程中符号和运算顺序不能出错。 例题1．若关于的整式是三次二项式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查多项式的项数和次数，根据多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数求解即可． 【详解】解：∵多项式是三次二项式， ∴，， ∴． 故答案为：． 易错点2 已知同类项求指数中字母或代数式的值 1. 确定同类项时，要严格遵循所含字母相同且相同字母的指数也相同的原则，不能遗漏或错误判断字母及指数。 2. 求字母或代数式的值时，先根据同类项定义列方程，再求解，过程中注意符号和运算准确性，代入后要检验是否符合同类项要求。 例题2．若单项式与单项式的和仍是单项式，则 ． 【答案】25 【分析】此题主要考查了同类项的定义．根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得x的指数要相等，y的指数也要相等，即可得到m，n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是单项式， ∴与是同类项， ∴， 解得， ∴． 故答案为：25． 易错点3 整式加减中的无关型问题 1.易错总结 在整式加减的无关型问题中，常因对同类项合并不彻底，导致误判结果与某些字母有关；化简过程中，去括号时忽略括号前的负号，使各项符号出错，进而影响对“无关”结论的判断。 2.注意事项 一是仔细合并同类项，确保所有同类项都正确合并 ；二是在去括号、添括号时，严格遵循符号变化规则，准确处理每一项的符号，化简到最简形式后，再根据结果判断与哪些字母无关。 例题3．已知代数式，． (1)计算； (2)当，时，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式的加减运算、整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减于化简求值； （1）根据去括号，合并同类项进行计算即可求解； （2）将，代入（1）中化简结果进行计算，即可求解； （3）根据题意，（1）中代数式的系数为，得出，即可求解． 【详解】（1）解： ， ． （2）当，时，原式． （3）原式， 因为的取值与无关，所以， 所以． 易错点4 与单项式有关的规律探究问题 1易错总结 常因忽略单项式系数的符号规律（如正负交替），或误判字母的指数变化（如指数递增/递减的间隔），导致规律归纳错误；也会因未验证规律是否适用于所有项，仅通过前几项就草率下结论。 2.注意事项 先分别分析单项式的系数（符号、绝对值）和字母部分（种类、指数）的变化规律，再整合；归纳出规律后，需代入后续项验证正确性，确保规律具有普遍性，避免以偏概全。 例题5．观察下列单项式：，，，，，…，按此规律，这列单项式中的第9个为 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查单项式规律题，分别找到单项式的系数和字母指数的变化规律求解即可． 【详解】解：观察所给前几个单项式的系数和指数，发现第n个单项式的系数为，字母指数为n， ∴这列单项式中的第9个为， 故答案为：． 易错点5 与图形有关的规律探究问题 1.易错总结 易因只观察图形表面特征，忽略数量变化的本质规律（如小图形增减的实际数量）；也常因未统一计数标准，导致不同图形阶段的数量统计混乱，无法准确归纳出代数式。 2.注意事项 先按统一标准（如个数、层数）统计不同阶段图形的数量，列出数据；再对比数据找变化规律，尝试用代数式表示；最后代入后续图形验证，确保规律能准确反映数量变化。 例题6．如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推… (1)第n个图案有________个正方形，________个等边三角形． (2)现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 【答案】(1)n； (2)674个 【知识点】图形类规律探索 【分析】（1）观察发现第1个图案：正方形有1个，等边三角形有4个；第2个图案：正方形有2个，等边三角形有个；依次计算可解答； （2）由（1）中的规律可知：等边三角形剩余最少为1块，则，求出n的值即可． 本题以等边三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【详解】（1）第1个图案：正方形有1个，等边三角形有4个， 第2个图案：正方形有2个，等边三角形有（个）， 第3个图案：正方形有3个，等边三角形有（个）， 第4个图案：正方形有4个，等边三角形有（个）， …… 第n个图案：正方形有n个，等边三角形有个． 故答案为：n；； （2）要使等边三角形剩余最少，则最少为1块， ， ， ∴按此规律镶嵌图案，等边三角形剩余最少1块，这时需要正方形674个． 易错点6 与数字有关的规律探究问题 1.易错总结 易忽略数字序列的符号规律（如正负交替），或误判数字间的运算关系（如错把和差关系当倍数关系）；也常因仅依据前2-3项就归纳规律，未验证是否适配后续项，导致规律片面。 2.注意事项 先拆分数字的符号、绝对值分别找规律，再整合；列出前5-6项数据，对比分析运算关系（和、差、积、幂）；归纳后代入后续项验证，确保规律对整个序列成立。 例题7．观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据题目所给等式，总结出变化规律是解题的关键． （1）根据题目所给的前几个等式，即可写出第五个等式； （2）根据题目所给的等式，总结出变化规律，即可解答； （3）根据题目所给的等式变化规则，分别计算和，两者相减即可得到． 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …， ∴第n个等式： 故答案为：； （3）解：∵ 又∵ ∴ 一、单选题 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知为有理数，若多项式是三次三项式，则该多项式的常数项为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的次数和项数定义，根据三次三项式的定义，多项式需满足最高次数为3且共有三个项。通过分析各项的次数及存在性，确定有理数m的值，进而求出常数项． 【详解】解：∵多项式是三次三项式， ∴且， ∴且， 解得：． ∴该多项式的常数项为． 故选：B． 2．（2025七年级上·四川·专题练习）(24-25七上·四川德阳中江县·期中)两个单项式与相加等于0，则的值是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项，同类项的定义，代数式求值，根据题意可得单项式与是同类项且两个单项式的系数互为相反数，据此求出a、b、c的值进一步即可得到答案． 【详解】解：∵单项式与相加等于0， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）已知，，若的值与a的取值无关，则b的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减-化简求值．将化为，即可得，求出的值即可． 【详解】解： ∵的值与的取值无关， ， 解得：． 故选：C． 4．（2025·云南临沧·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给单项式，发现其系数及次数的变化规律是解题的关键．观察所给单项式的系数及次数，发现规律：第个单项式的系数为；第个单项式的次数为，即可解决问题． 【详解】解：根据前几项单项式排列可知：各单项式的系数可表示为：，，，，，， 各单项式字母的部分规律为：． 第个单项式是． 故选：A． 5．（2025·河南郑州·三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成 的有机化合物，如图是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种化合物的分子结构模型中有4个氢原子，第2种化合物的分子结构模型中有6个氢原子，第3种化合物的分子结构模型中有8个氢原子……按照这一规律，这类化合物中某种化合物的分子结构模型中碳原子和氢原子的个数之和不可能是（   ） A．101 B．251 C．300 D．380 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化类—规律型，根据图形总结出第种化合物的分子结构模型中氢原子和碳原子个数和为， 从根据所给图形发现氢原子的个数依次增加个是解题的关键． 根据所给图形，依次求出模型中氢原子和碳原子的个数，总结规律即可解决问题． 【详解】解：第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为1， 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为2， 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为3， 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为4， ， 第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：，碳原子个数为n， ∴第种化合物的分子结构模型中氢原子和碳原子个数和为， 由得， 由得， 由得， 由得， 故选C ． 二、填空题 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若单项式与是同类项，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同类项的定义，解一元一次方程，代数式求值，理解题意，熟练掌握各个运算法则是解题关键．首先根据同类项的定义（两个单项式含有相同字母且相同字母的指数相同），得出方程求解，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ，， ，， ， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如果 是关于x，y的五次三项式，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中次数最高的项的次数为多项式的次数．根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 【详解】解：多项式是关于，的五次三项式， ，， ． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）已知代数式，，若的值与的取值无关，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先把，代入，进行化简，然后根据的值与x的取值无关，列出关于n的方程，解方程求出n即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵的值与x的取值无关， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）观察下列单项式：，，，，，… 按此规律，第个单项式是 ，第个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字因数和字母的指数的变化特点，写出相应的单项式． 根据题目中的单项式可以发现数字因数和字母的指数的变化特点，即可写出第n个单项式，从而可以写出第2025个单项式． 【详解】解：∵一列单项式：，，，，，… ∴第n个单项式为：， 当时，这个单项式是， 故答案为：，． 10．（24-25七年级下·江苏徐州·开学考试）观察下面三幅圆点图，按照这样的规律，第10 幅图中有 个圆点，第 n 幅图中有 个圆点． 【答案】 33 【分析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．根据图形找出规律求解即可． 【详解】解：第1个点阵图中点的个数是：（个）， 第2个点阵图中点的个数是：（个）， 第3个点阵图中点的个数是：（个）， ……， 第n个点阵图中点的个数是：个， 所以第10个点阵图中点的个数是：（个）． 故答案为：33，． 三、解答题 11．（24-25七年级上·广东深圳·期中）已知单项式与单项式是同类项，是多项式的次数． (1)______，______，______； (2)若关于的二次三项式的值是3，求代数式的值． 【答案】(1)1；3；2 (2)2022 【分析】此题考查同类项的定义，多项式的次数的定义，已知代数式的值求整式的值，根据同类项的定义，多项式的次数的定义列式计算是解题的关键； （1）根据同类项的定义可得，根据多项式的次数的定义可得，即可求出a，b，c的值； （2）先求出，再整体代入变形后的代数式即可． 【详解】（1）解：单项式与单项式是同类项， ， 解得， c是多项式的次数， ， （2）解：由（1）可得：， ， ， 代数式的值为． 12．（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知多项式是六次四项式． (1)写出n的值；并将多项式按x的升幂排列； (2)求该多项式各项系数之和． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了多项式的概念及降幂排列．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （1）利用多项式的定义即可求出n的值，然后根据升幂排列的定义求解； （2）计算各项系数之和即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式是六次四项式， ∴， ∴； 按x的升幂排列为； （2）解：∵多项式， ∴多项式各项系数之和． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）按照规律填上所缺的单项式并回答问题： (1)、、、，______； (2)试写出第2024个单项式； (3)试写出第个单项式． 【答案】(1) (2) (3)第个单项式为： 【分析】此题考查了找单项式规律．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）通过观察题意可得：每一项都是单项式，字母是a，a的指数比前面那个单项式的次数大的值，系数比前面那个单项式系数的绝对值大，奇数为正，偶数为负；由此可解出本题； （2）根据观察出的规律可以得到第2024个单项式即可； （3）通过观察题意可得：每一项都是单项式，其中系数为，字母是a，a的指数为n的值；由此可解出本题． 【详解】（1）解：根据观察发现后面的单项式为：； （2）解：第2024个单项式为：； （3）解：每一项都是单项式，其中系数为，字母是a，a的指数为n， 故第n个单项式为． 14．（24-25七年级上·江西上饶·阶段练习）已知多项式． (1)若多项式的值与字母x的取值无关，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，求多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）去括号，合并同类项，根据多项式的值与字母x的取值无关，得到含有字母的项的系数为0，进行求解即可； （2）去括号，合并同类项后，再将的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ， ∵多项式的值与字母x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：原式 ， 当时， 原式 ． 15．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）已知多项式． (1)若多项式的值与字母x的取值无关，求a、b的值； (2)在（1）的条件下，求多项式的值； (3)在（1）的条件下，求 ． 【答案】(1) (2) (3)62 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先把原多项式去括号，然后合并同类项，再根据多项式的值与字母x的取值无关得到含字母x的项的系数为0，据此列式求解即可； （2）把原多项式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可； （3）把原多项式变形得到，进一步变形得到，据此化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵多项式的值与字母x的取值无关， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式； （3）解： ， 当时，原式． 16．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．    (1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 【答案】(1)16， (2)①；② 【分析】本题考查了图形类找规律，列代数式，代数式求值，整式的加减，找到规律是解题的关键． （1）分别求出前几个图形内圆的个数，发现规律进而求得第n个正方形中圆的个数； （2）①根据正方形的面积减去圆的面积求解即可；②同理可知第n个图中的阴影部分面积也是为，将代入中求解即可． 【详解】（1）解：第1个正方形内圆的个数是， 第2个正方形内圆的个数是， 第3个正方形内圆的个数是， 第4个正方形内圆的个数是， …… 第个正方形内圆的个数是． （2）①第1个正方形中，， 第个正方形中，． ②从以上计算看出各个正方形中阴影部分的面积均相等，与圆的个数无关． 第个正方形中阴影部分的面积， 当时，第2024个正方形中阴影部分的面积为． 17．（23-24七年级上·山西临汾·期中）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 请根据上述规律完成下列问题： (1)第6个等式为_______，第10个等式为________； (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）； (3)利用上述规律，直接写出结果：______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字规律，用代数式表示数、图形的规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干式子，直接作答即可； （2）根据（1）以及题干过程，即可作答． （3）观察式子，得出则，故原式，再进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察前面4个等式，得出第6个等式为 即 第10个等式为， 即． （2）解：根据（1）以及题干过程得出第n个等式：， （3）解：依题意， ∵ ∴ 同理可得 ， ……， ， ∴ ． 18．（2025·安徽蚌埠·三模）[观察思考] 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 n层． [规律总结] 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 （1）如果图1中的圆圈共有10层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ； [问题解决] （2）如果图1中的圆圈共有12层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和． 【答案】（1）46；（2） 【分析】本题主要考查了图形变化类规律与数字类规律探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法． （1）根据题意找到每一层最后一个数的规律，进而求出第9层最后一个数，即可得到第10层最左边的数； （2）首先求出12层共有78个数，其中23个负数，1个0，54个正数，然后求绝对值之和即可． 【详解】解：（1）∵第1层最后一个数是1； 第2层最后一个数是； 第3层最后一个数是； 第4层最后一个数是； ∴第9层最后一个数是； ∴第10层最左边的数是； （2）12层共有（个）数， 其中23个负数，1个0，54个正数， 按题图4方式填数后所有圆圈中各数的绝对值之和 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 整式的加减 知识点一 单项式及相关概念 1. 单项式：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 2. 单项式的系数：单项式中的数字因数称为这个单项式的系数。 3. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 知识点二 多项式及整式相关概念 1. 多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 2. 多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 3. 整式：单项式与多项式统称整式。 知识点三 同类项及合并同类项 1. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。 2. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。合并同类项的法则是同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 知识点四 去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 知识点五 整式的加减 1. 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算。 2. 整式加减实际上就是去括号、合并同类项。 3. 整式加减的一般步骤：如果有括号，那么先去括号；观察有无同类项；利用加法的交换律和结合律，分组同类项；合并同类项。 易错点1 多项式系数、指数中字母求值 1. 确定系数、指数时，要明确单项式中数字因数是系数，所有字母指数和是次数，多项式里每一项的系数（包括符号）和次数需准确判断。 2. 字母求值时，代入前先化简式子，保证代入的数值与字母对应，计算过程中符号和运算顺序不能出错。 例题1．若关于的整式是三次二项式，则 ． 易错点2 已知同类项求指数中字母或代数式的值 1. 确定同类项时，要严格遵循所含字母相同且相同字母的指数也相同的原则，不能遗漏或错误判断字母及指数。 2. 求字母或代数式的值时，先根据同类项定义列方程，再求解，过程中注意符号和运算准确性，代入后要检验是否符合同类项要求。 例题2．若单项式与单项式的和仍是单项式，则 ． 易错点3 整式加减中的无关型问题 1.易错总结 在整式加减的无关型问题中，常因对同类项合并不彻底，导致误判结果与某些字母有关；化简过程中，去括号时忽略括号前的负号，使各项符号出错，进而影响对“无关”结论的判断。 2.注意事项 一是仔细合并同类项，确保所有同类项都正确合并 ；二是在去括号、添括号时，严格遵循符号变化规则，准确处理每一项的符号，化简到最简形式后，再根据结果判断与哪些字母无关。 例题3．已知代数式，． (1)计算； (2)当，时，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 易错点4 与单项式有关的规律探究问题 1易错总结 常因忽略单项式系数的符号规律（如正负交替），或误判字母的指数变化（如指数递增/递减的间隔），导致规律归纳错误；也会因未验证规律是否适用于所有项，仅通过前几项就草率下结论。 2.注意事项 先分别分析单项式的系数（符号、绝对值）和字母部分（种类、指数）的变化规律，再整合；归纳出规律后，需代入后续项验证正确性，确保规律具有普遍性，避免以偏概全。 例题5．观察下列单项式：，，，，，…，按此规律，这列单项式中的第9个为 ． 易错点5 与图形有关的规律探究问题 1.易错总结 易因只观察图形表面特征，忽略数量变化的本质规律（如小图形增减的实际数量）；也常因未统一计数标准，导致不同图形阶段的数量统计混乱，无法准确归纳出代数式。 2.注意事项 先按统一标准（如个数、层数）统计不同阶段图形的数量，列出数据；再对比数据找变化规律，尝试用代数式表示；最后代入后续图形验证，确保规律能准确反映数量变化。 例题6．如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推… (1)第n个图案有________个正方形，________个等边三角形． (2)现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 易错点6 与数字有关的规律探究问题 1.易错总结 易忽略数字序列的符号规律（如正负交替），或误判数字间的运算关系（如错把和差关系当倍数关系）；也常因仅依据前2-3项就归纳规律，未验证是否适配后续项，导致规律片面。 2.注意事项 先拆分数字的符号、绝对值分别找规律，再整合；列出前5-6项数据，对比分析运算关系（和、差、积、幂）；归纳后代入后续项验证，确保规律对整个序列成立。 例题7．观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 一、单选题 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知为有理数，若多项式是三次三项式，则该多项式的常数项为（    ） A．或 B． C． D． 2．（2025七年级上·四川·专题练习）(24-25七上·四川德阳中江县·期中)两个单项式与相加等于0，则的值是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）已知，，若的值与a的取值无关，则b的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·云南临沧·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河南郑州·三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成 的有机化合物，如图是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种化合物的分子结构模型中有4个氢原子，第2种化合物的分子结构模型中有6个氢原子，第3种化合物的分子结构模型中有8个氢原子……按照这一规律，这类化合物中某种化合物的分子结构模型中碳原子和氢原子的个数之和不可能是（   ） A．101 B．251 C．300 D．380 二、填空题 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若单项式与是同类项，则 ． 7．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如果 是关于x，y的五次三项式，那么 ． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）已知代数式，，若的值与的取值无关，则的值为 ． 9．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）观察下列单项式：，，，，，… 按此规律，第个单项式是 ，第个单项式是 ． 10．（24-25七年级下·江苏徐州·开学考试）观察下面三幅圆点图，按照这样的规律，第10 幅图中有 个圆点，第 n 幅图中有 个圆点． 三、解答题 11．（24-25七年级上·广东深圳·期中）已知单项式与单项式是同类项，是多项式的次数． (1)______，______，______； (2)若关于的二次三项式的值是3，求代数式的值． 12．（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知多项式是六次四项式． (1)写出n的值；并将多项式按x的升幂排列； (2)求该多项式各项系数之和． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）按照规律填上所缺的单项式并回答问题： (1)、、、，______； (2)试写出第2024个单项式； (3)试写出第个单项式． 14．（24-25七年级上·江西上饶·阶段练习）已知多项式． (1)若多项式的值与字母x的取值无关，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，求多项式的值． 15．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）已知多项式． (1)若多项式的值与字母x的取值无关，求a、b的值； (2)在（1）的条件下，求多项式的值； (3)在（1）的条件下，求 ． 16．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．    (1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 17．（23-24七年级上·山西临汾·期中）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 请根据上述规律完成下列问题： (1)第6个等式为_______，第10个等式为________； (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）； (3)利用上述规律，直接写出结果：______． 18．（2025·安徽蚌埠·三模）[观察思考] 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 n层． [规律总结] 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 （1）如果图1中的圆圈共有10层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ； [问题解决] （2）如果图1中的圆圈共有12层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $