第十三章 三角形（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学三角形复习讲义通过思维导图和表格系统梳理知识体系，涵盖三角形概念、分类、三边关系、三线（中线、角平分线、高）、内角和定理及外角性质等核心知识点，明确标注重难点，构建清晰的知识内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，每个知识点配套典例与变式练习，如通过“三角形三边关系判断线段能否组成三角形”“中线分面积问题”培养推理意识和几何直观，基础题巩固知识，拓展题（如飞镖模型）提升思维，助力教师实施精准教学，满足不同学生复习需求。

第十三章 三角形复习讲义 教学目标 1. 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念； 2. 探索并证明三角形内角和定理，并掌握其推论； 3. 证明三角形两边的和大于第三边； 4. 探索并掌握直角三角形的性质； 5. 了解三角形的稳定性及三角形重心的概念． 教学重难点 1. 重点 （1）三角形两边的和大于第三边； （2）三角形的内角和定理． 2. 难点 （1）证明过程的规范表达； （2）推理论证． 知识点01 三角形的相关概念及表示 1．定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 2．有关概念及其表示方法 ①组成三角形的线段叫作三角形的边．如图所示，线段，，叫做的三条边． ②相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点．如图所示，点A，B，C叫做的三个顶点． ③相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角．如图所示，，，叫做的三个内角，简称三角形的角． ④如图所示，，，所对的边分别是，，；反过来，三条边，，所对的角分别是，，； ⑤顶点是A，B，C的三角形，记作“”，读作“三角形ABC”． 注意： ①由三角形的定义可知，三角形有三个特征：三条线段；不在同一条直线上；首尾顺次相接． ②用符号“”时，其后必须紧跟表示三角形三个顶点的大写字母，不能单独使用．如“三角形的角”不能写成“的角”． ③表示三角形三个顶点的字母的次序可以任意排列，也可以写成“”或“”等，通常情况下习惯按照英文字母的顺序排列． 知识点02 三角形的分类 1．等腰三角形 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角． 2．等边三角形 三边相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形． 3．三角形的分类 按边的相等关系分类： 按角的大小分类： 注意： ①等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形；不等边三角形是指三条边都不相等的三角形． ②无论按哪一标准对三角形进行分类，都必须做到不重复、不遗漏． ③三角形的两种分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别．如等腰直角三角形既是等腰三角形，又是直角三角形． 知识点03 三角形的三边关系 1．三边关系的性质 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边．三角形的三边关系反映了任意三角形边的限制关系． 2．三边关系的应用 ①判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；否则不能组成三角形． ②已知三角形两边长，求第三边长的取值范围． ③解决线段的不等关系问题（如证明几何不等式）． 注意： ①这里的“两边”指的是任意的两边． ②三角形的三边关系的依据是“两点之间，线段最短”． 知识点04 三角形的稳定性 1. 三角形三条边确定后，三角形的形状和大小就唯一确定，这个性质叫三角形的稳定性． 知识点05 三角形的中线 1．三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线． 2．三角形的中线的几何表达形式 如图所示，是的边上的中线，或是的中线，或． 3．三角形中线的数量和交点的位置 三角形有三条中线，三条中线都在三角形的内部，它们相交于一点，三角形三条中线的交点也在三角形的内部． 4．三角形的重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 5．三角形的一条中线分成的两三角形的面积和周长的关系 如图所示，是的中线，是的高，则，， 因为，所以， 即． 因为的周长为，的周长为， 所以的周长－的周长=． 注意： ①三角形的中线是一条线段． ②三角形每一条边上的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，这两个三角形的周长差等于另两边长的差． ③三角形的重心一定在三角形的内部． 知识点06 三角形的角平分线 1．三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 2．三角形的角平分线的几何表达形式 如图所示，是的角平分线，或且点D在上． 注意： ①三角形的角平分线是一条线段，可以度量；角的平分线是一条射线，不可以度量． 3．三角形角平分线的数量和交点的位置 三角形有三条角平分线，三条角平分线都在三角形的内部，它们相交于一点，三角形三条角平分线的交点也在三角形的内部． 知识点07 三角形的高 1．三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．三角形的高线简称三角形的高． 2．三角形的高的几何表达形式 如图所示，是的边上的高，或是的高，或于点D，或． 注意： ①三角形的高是一条线段，垂线是一条直线． 3．三角形高的数量及交点的位置 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高的延长线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点． 知识点08 三角形的内角和定理 1．定理 三角形三个内角的和等于． 2．定理的推理论证 已知：． 求证：． 证明：如图所示，过点A作直线． ∵， ∴，（两直线平行，内错角相等）． ∵，，组成平角， ∴（平角定义）． ∴． 注意： ①三角形的内角和定理适用于任意三角形． ②三角形的内角和定理是关于以三角形为背景的题目的隐含条件． ③由三角形的内角和定理可知，三角形的三个内角中至少有两个锐角，最多有一个直角或钝角，且三角形中最大的内角不小于． 知识点09 直角三角形的性质与判定 1．直角三角形表示方法 直角三角形可以用符号“”表示，直角三角形ABC可以写成．用符号“”表示时，后面必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用． 2．直角三角形的性质 直角三角形两个锐角互余． 3．直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形． 如图所示，在中，如果，那么是直角三角形． 知识点10 三角形的外角 1．三角形外角的定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，如图所示，是的一个外角． 2．三角形外角的性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 注意： ①三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角． ②三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角．因为三角形的每个外角和与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是，可推出三角形的三个外角和是． ③三角形内角和定理与三角形外角的性质是角的有关计算及推理论证时经常使用的理论依据． 题型01 三角形相关概念及分类 【典例1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】图中共有（    ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【典例2】如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【典例3】如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式3】在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 【典例4】已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4】已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 题型02 三角形的三边关系的应用 【典例1】下列各组线段长度，不能够构成三角形三边的是（    ） A．2，4，5 B．4，6，9 C．5，5，9 D．3，6，9 【变式1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．3，3，6 B．2，5，8 C．3，5，7 D．9，2，2 【典例2】在中，，，则边的长度可以是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】等腰的周长为18，若的长为8，则的不可能是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 【典例3】已知的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若等腰三角形的两边长分别为a，b，且满足，则该等腰三角形的周长为________． 【变式4】已知的三边长分别为a，b，c． （1）若，，且c为整数，求周长的最大值． （2）化简：． 题型03 与三角形中线相关的问题 【典例1】如图，是的边上的中线，已知，． （1）边的取值范围是__________； （2）若的周长为30，求的周长． 【变式1】如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 【典例2】 如图，为的中线，为的中线．若的面积为20，则的面积是______． 【变式2】 如图，在中，是的中点，，若的面积为4，则的面积为________． 【变式3】如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是、、的中点，那么阴影部分的面积为________． 【变式4】如图，在中，已知D为上一点，E，F分别为，的中点，若，则的面积为______． 【典例3】 如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（     ） A．D B．E C．F D．G 【变式5】如图，点O是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 题型04 与三角形高相关的问题 【典例1】中边上高的作法正确的是（      ） A． B． C． D． 【典例2】如图，，以下说法不正确的是（      ） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 【变式1】如图，四个图形中，线段是的高的图是（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，的边上的高是（      ） A． B． C． D． 【变式3】下列说法中正确的是（     ） A．三角形的三条高线的交点一定在三角形内部 B．同旁内角相等，两直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补 【典例3】如图，点A，B在直线l上，且，的面积为．若P是直线l上任意一点，连接，则线段的最小长度为______． 【典例4】如图，在中，，该三角形的面积为18，O是边上任意一点，于点E，于点F，则等于______． 【变式4】如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，的面积是6，则的长为（      ） A．3 B．4 C．6 D．12 【变式5】如图，在中，，，的高与的比值是________． 题型05 三角形的稳定性 【典例1】为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（      ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 【变式1】年射击世界杯德国慕尼黑站，张常鸿获得男子10米气步枪冠军．在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________________． 题型06 三角形三线的综合应用 【典例1】如图所示，，，下列结论中错误的是（      ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【典例2】下列叙述正确的个数是（      ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫重心；④三角形的三条高交于一点． A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3】 如图，是的边上的高，平分，若，，则______ 【变式1】如图，在中，和的平分线交于点，过作，分别交于点，交于点，若，，则线段的长为_____________． 【变式2】如图，的面积为14，，．求阴影部分的面积． 【变式3】在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 题型07 三角形内角和定理的应用 【典例1】如图，直线，于点D，若，则等于（      ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【变式2】如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【典例2】 如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【变式3】 如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【变式4】如图，在中，，，点，分别是，上动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在上．若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【典例3】如图，在中，，，是边，上两点，将沿翻折，使点落在点处，交于点．若，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【变式5】如图，中，，，、分别是边、上的点，将沿着折叠，得到，当时，的度数是_________________． 【典例4】 如图，将长方形纸片沿折叠（折线交，于，），点、分别对应点，，交于，再将四边形沿折叠，点、分别对应点、，交于．若，则的度数为________（用含的代数式表示）． 【典例5】如图，若，则________． 【变式6】已知直线，点A、B在直线a上（B在A左侧），点C在直线b上，E点在直线b的下方，连接交直线b于点D． （1）如图1，若，，_______（填度数）； （2）如图2，的邻补角的角平分线与的角平分线所在的直线交于点M，设，则_______（用含有的代数式表示） 【变式7】如图①，已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）试说明：； （2）如图②，若和的平分线和相交于点P，与，相交于点，．若，，求的度数． 题型08 直角三角形性质与判定的综合应用 【典例1】如图，在中，是斜边上的高，，则为________． 【变式1】如图，在直角三角形与直角三角形中，，比大，则________． 【典例2】下列条件中，不能判定是直角三角形的是（      ） A． B． C． D．是边上的高 【变式2】满足下列条件的不是直角三角形的是（      ） A． B． C． D． 题型09 三角形外角性质的应用 【典例1】如图，是的外角，若，，则_______ 【变式1】如图，若，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【变式2】在如图标出的四个角中，最大的角是（      ） A． B． C． D． 题型10 三角形内角和定理及外角性质的综合应用 【典例1】如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【变式1】 如图，在中，是边上的动点，过点作交于，交的延长线于点． （1）若，，则________，________； （2）在点运动的过程中，探究是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 题型11 三角形内角和定理、外角性质及三线的综合应用 【典例1】如图，在中，是边上的高，，． （1）求的度数； （2）若是的角平分线，交于点，求的度数． 【变式1】如图，在中，，交于点，且． （1）判断与的位置关系，说明理由； （2）若平分，且分别交，于点，．求证：． 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（      ） A． B． C． D． 2．如图，小明为估计池塘岸边A，B间的距离，在池塘一侧选取了一点O，测得，，那么A，B间的距离可能是（      ） A． B． C． D． 3．如图，在中，边上的高是（      ） A． B． C． D． 4．如图，已知，，平分，且，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 5．将一把直尺按如图所示的方式叠放在一块三角形纸片上，直尺的两个顶点，分别落在，边上，并与交于点和，若，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 6．如图，在中，和的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论中，错误的是（      ） A． B． C． D． 7．太空漫步机是一种有氧运动器材，可以增强人体的心肺功能及下肢、腰部肌肉力量如图，一种双人漫步机的支架设计为三角形，这种设计应用的几何原理是__________． 8．如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为14，则阴影部分图形的面积为________． 9．下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的有________（填序号）． 10．如图，，为垂足，，为垂足，，，，那么点到的距离是_______，点到的距离是_____． 11．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 12．如图，，． （1）证明：； （2）当，时，求的度数． 1．【模型认识】如图，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 （1）如图，已知，，，求的度数． 【归纳结论】 （2）、、和的数量关系是________． 【深入探究】 （3）如图，若，，且，直接写出的度数． 2．【问题背景】已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、B均不与点O重合． （1）【探究结论】如图1，平分，平分． ①若．则________． ②在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． （2）【拓展应用】如图2，平分交于点I，平分，的反向延长线交的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，直接写出的度数：若变化，直接写出的度数的变化范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形复习讲义 教学目标 1. 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念； 2. 探索并证明三角形内角和定理，并掌握其推论； 3. 证明三角形两边的和大于第三边； 4. 探索并掌握直角三角形的性质； 5. 了解三角形的稳定性及三角形重心的概念． 教学重难点 1. 重点 （1）三角形两边的和大于第三边； （2）三角形的内角和定理． 2. 难点 （1）证明过程的规范表达； （2）推理论证． 知识点01 三角形的相关概念及表示 1．定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 2．有关概念及其表示方法 ①组成三角形的线段叫作三角形的边．如图所示，线段，，叫做的三条边． ②相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点．如图所示，点A，B，C叫做的三个顶点． ③相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角．如图所示，，，叫做的三个内角，简称三角形的角． ④如图所示，，，所对的边分别是，，；反过来，三条边，，所对的角分别是，，； ⑤顶点是A，B，C的三角形，记作“”，读作“三角形ABC”． 注意： ①由三角形的定义可知，三角形有三个特征：三条线段；不在同一条直线上；首尾顺次相接． ②用符号“”时，其后必须紧跟表示三角形三个顶点的大写字母，不能单独使用．如“三角形的角”不能写成“的角”． ③表示三角形三个顶点的字母的次序可以任意排列，也可以写成“”或“”等，通常情况下习惯按照英文字母的顺序排列． 知识点02 三角形的分类 1．等腰三角形 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角． 2．等边三角形 三边相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形． 3．三角形的分类 按边的相等关系分类： 按角的大小分类： 注意： ①等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形；不等边三角形是指三条边都不相等的三角形． ②无论按哪一标准对三角形进行分类，都必须做到不重复、不遗漏． ③三角形的两种分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别．如等腰直角三角形既是等腰三角形，又是直角三角形． 知识点03 三角形的三边关系 1．三边关系的性质 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边．三角形的三边关系反映了任意三角形边的限制关系． 2．三边关系的应用 ①判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；否则不能组成三角形． ②已知三角形两边长，求第三边长的取值范围． ③解决线段的不等关系问题（如证明几何不等式）． 注意： ①这里的“两边”指的是任意的两边． ②三角形的三边关系的依据是“两点之间，线段最短”． 知识点04 三角形的稳定性 1. 三角形三条边确定后，三角形的形状和大小就唯一确定，这个性质叫三角形的稳定性． 知识点05 三角形的中线 1．三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线． 2．三角形的中线的几何表达形式 如图所示，是的边上的中线，或是的中线，或． 3．三角形中线的数量和交点的位置 三角形有三条中线，三条中线都在三角形的内部，它们相交于一点，三角形三条中线的交点也在三角形的内部． 4．三角形的重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 5．三角形的一条中线分成的两三角形的面积和周长的关系 如图所示，是的中线，是的高，则，， 因为，所以， 即． 因为的周长为，的周长为， 所以的周长－的周长=． 注意： ①三角形的中线是一条线段． ②三角形每一条边上的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，这两个三角形的周长差等于另两边长的差． ③三角形的重心一定在三角形的内部． 知识点06 三角形的角平分线 1．三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 2．三角形的角平分线的几何表达形式 如图所示，是的角平分线，或且点D在上． 注意： ①三角形的角平分线是一条线段，可以度量；角的平分线是一条射线，不可以度量． 3．三角形角平分线的数量和交点的位置 三角形有三条角平分线，三条角平分线都在三角形的内部，它们相交于一点，三角形三条角平分线的交点也在三角形的内部． 知识点07 三角形的高 1．三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．三角形的高线简称三角形的高． 2．三角形的高的几何表达形式 如图所示，是的边上的高，或是的高，或于点D，或． 注意： ①三角形的高是一条线段，垂线是一条直线． 3．三角形高的数量及交点的位置 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高的延长线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点． 知识点08 三角形的内角和定理 1．定理 三角形三个内角的和等于． 2．定理的推理论证 已知：． 求证：． 证明：如图所示，过点A作直线． ∵， ∴，（两直线平行，内错角相等）． ∵，，组成平角， ∴（平角定义）． ∴． 注意： ①三角形的内角和定理适用于任意三角形． ②三角形的内角和定理是关于以三角形为背景的题目的隐含条件． ③由三角形的内角和定理可知，三角形的三个内角中至少有两个锐角，最多有一个直角或钝角，且三角形中最大的内角不小于． 知识点09 直角三角形的性质与判定 1．直角三角形表示方法 直角三角形可以用符号“”表示，直角三角形ABC可以写成．用符号“”表示时，后面必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用． 2．直角三角形的性质 直角三角形两个锐角互余． 3．直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形． 如图所示，在中，如果，那么是直角三角形． 知识点10 三角形的外角 1．三角形外角的定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，如图所示，是的一个外角． 2．三角形外角的性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 注意： ①三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角． ②三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角．因为三角形的每个外角和与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是，可推出三角形的三个外角和是． ③三角形内角和定理与三角形外角的性质是角的有关计算及推理论证时经常使用的理论依据． 题型01 三角形相关概念及分类 【典例1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式1】图中共有（    ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：如图， 三角形有，，，，，一共有6个． 【典例2】如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∵D是延长线上一点， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共4个． 【变式2】图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【答案】 8；，，，；和 【详解】解：图中共有，，，，，，，，8个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和的内角． 故答案为：8；，，，；和 【典例3】如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 【变式3】在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 【答案】D 【详解】解：A．①，故①是不等边三角形，分类正确，不符合题意； B．②，故②是等腰三角形，分类正确，不符合题意； C．③，故③是等边三角形，分类正确，不符合题意； D．②是等腰三角形，③是等边三角形，分类错误，符合题意； 故选：D． 【典例4】已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为x、， 情况1：当顶角为x时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，即顶角度数为； 情况2：当顶角为时，两个底角均为x， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，，即顶角度数为； 因此该等腰三角形的顶角度数为或． 【变式4】已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 【答案】42 【详解】解：∵等腰三角形底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为． 题型02 三角形的三边关系的应用 【典例1】下列各组线段长度，不能够构成三角形三边的是（    ） A．2，4，5 B．4，6，9 C．5，5，9 D．3，6，9 【答案】D 【详解】解：∵选项A中，，满足三边关系，能构成三角形； 选项B中，，满足三边关系，能构成三角形； 选项C中，，满足三边关系，能构成三角形； 选项D中，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形． 【变式1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．3，3，6 B．2，5，8 C．3，5，7 D．9，2，2 【答案】C 【详解】解：选项A：，等于第三边，不能组成三角形； 选项B：，和小于第三边，不能组成三角形； 选项C：，满足三边关系，能组成三角形； 选项D：，和小于第三边，不能组成三角形． 【典例2】在中，，，则边的长度可以是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：设的长度为x． ∵ ，， ∴ ，代入得 ，即． 观察选项，只有B选项的4满足． 【变式2】等腰的周长为18，若的长为8，则的不可能是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵是等腰三角形，周长为18，，分三种情况讨论： 1．若，则，此时，三边为8，8，2，满足，符合三角形三边关系和等腰三角形要求，因此可能，排除D． 2．若，则，此时，三边为8，8，2，满足三角形三边关系和等腰三角形要求，因此可能，排除A． 3．若，则，三边为8，5，5，满足，符合要求，因此可能，排除B． 当时，，三边为8，6，4，不存在相等的两边，无法构成等腰三角形，因此不可能． 【典例3】已知的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵a、b、c是的三边长， ∴，， ∴，， ∴． 【变式3】若等腰三角形的两边长分别为a，b，且满足，则该等腰三角形的周长为________． 【答案】7 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，． 当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，符合题意； 当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，不符合题意，此种情况舍去； ∴等腰三角形的周长为：． 【变式4】已知的三边长分别为a，b，c． （1）若，，且c为整数，求周长的最大值． （2）化简：． 【答案】（1）27 （2） 【详解】（1）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴ ． 题型03 与三角形中线相关的问题 【典例1】如图，是的边上的中线，已知，． （1）边的取值范围是__________； （2）若的周长为30，求的周长． 【答案】（1） （2）27 【详解】（1）解：∵中，，， ∴，即； （2）解：∵的周长为30，， ∴， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式1】如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 【答案】17 【详解】解：∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长为20， ∴，即， ∴， ∴的周长． 【典例2】 如图，为的中线，为的中线．若的面积为20，则的面积是______． 【答案】5 【详解】解：∵为的中线，， ∴， ∵为的中线， ∴． 【变式2】 如图，在中，是的中点，，若的面积为4，则的面积为________． 【答案】6 【详解】解：∵，的面积为4， ∴的面积为， ∵E是的中点， ∴． 【变式3】如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是、、的中点，那么阴影部分的面积为________． 【答案】12 【详解】解：如图，连接、、， ∵的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点， ∴，，， ∴，，， ∴阴影部分的面积为． 【变式4】如图，在中，已知D为上一点，E，F分别为，的中点，若，则的面积为______． 【答案】16 【详解】解：∵点F为的中点， ∴， ∵点E为的中点， ∴，， ∴． 【典例3】 如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（     ） A．D B．E C．F D．G 【答案】D 【详解】解：由图可知边、边上的中线交于点G， 即正好与的重心位置重合的白棋是G． 【变式5】如图，点O是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【答案】8 【详解】解：∵点O是的重心， ∴，，是的中线， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，，， ∴阴影部分的面积之和． 题型04 与三角形高相关的问题 【典例1】中边上高的作法正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项中，作的是边上的高，不符合题意； B选项中，没有经过顶点A，不符合题意； C选项中，不垂直，不符合题意； D选项中，过点A且垂直，符合题意． 【典例2】如图，，以下说法不正确的是（      ） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 【答案】B 【详解】解：A．∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∴是的边上的高，不是边上的高，故该选项说法错误，符合题意； C．∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； D．∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意． 【变式1】如图，四个图形中，线段是的高的图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可得，线段是的高的图是D选项． 【变式2】如图，的边上的高是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，边为底边，从顶点C向所在直线作垂线，垂足为F，因此边上的高是线段． 【变式3】下列说法中正确的是（     ） A．三角形的三条高线的交点一定在三角形内部 B．同旁内角相等，两直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补 【答案】D 【详解】解：A．钝角三角形三条高线所在直线的交点在三角形外部，直角三角形三条高线的交点在三角形的直角顶点上，只有锐角三角形高线交点在三角形内部，该说法错误，不符合题意； B．两直线平行的判定定理是同旁内角互补，两直线平行，并非同旁内角相等，该说法错误，不符合题意； C．只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，选项缺少前提条件，该说法错误，不符合题意； D．如图， 的两边与的两边分别平行，即，， ∴，， ∴； 的两边与的两边分别平行，即，， ∴，， 故． ∴若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，该说法正确，符合题意． 【典例3】如图，点A，B在直线l上，且，的面积为．若P是直线l上任意一点，连接，则线段的最小长度为______． 【答案】4 【详解】解：设点C到距离为， ∵垂线段最短， ∴线段的最小长度为， ∵，三角形的面积为， ∴， 解得， ∴线段的最小长度为． 【典例4】如图，在中，，该三角形的面积为18，O是边上任意一点，于点E，于点F，则等于______． 【答案】4 【详解】解：如图所示：连接， ∵，，，， ∴， ∴， ∴． 【变式4】如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，的面积是6，则的长为（      ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【详解】解：∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴． 【变式5】如图，在中，，，的高与的比值是________． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，则， ∴的高与的比值是． 题型05 三角形的稳定性 【典例1】为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（      ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【详解】解：A选项：“两点之间线段最短”用于最短路径相关问题，不是该操作的依据． B选项：“两点确定一条直线”是画直线的原理，不是该操作的依据． C选项：原来的木框是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形；钉上斜拉木条后，在木框中构造出了三角形，而三角形具有稳定性，因此可以防止木框变形． D选项：“三角形两边之和大于第三边”用于判断三边能否构成三角形，不是该操作的依据． 【变式1】年射击世界杯德国慕尼黑站，张常鸿获得男子10米气步枪冠军．在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________________． 【答案】稳定性 【详解】解：生活中利用三角形构造支撑结构，应用了三角形具有稳定性的原理，因此该应用的数学原理是三角形具有稳定性． 题型06 三角形三线的综合应用 【典例1】如图所示，，，下列结论中错误的是（      ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【详解】解：A．由，得是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； B．由得：是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； C．由得：，故本选项正确，不符合题意； D．由得：是的角平分线，故本选项错误，符合题意； 【典例2】下列叙述正确的个数是（      ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫重心；④三角形的三条高交于一点． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：① 三角形的角平分线是三角形一个角的顶点与对边交点之间的线段，不是射线，故①错误； ② 三角形的中线将原三角形分成两个等底同高的小三角形，面积相等，②正确； ③ 三角形三条中线的交点才叫作三角形的重心，三条角平分线的交点不是重心，故③错误； ④ 只有三角形三条高所在的直线交于一点，三条高作为线段不一定交于同一点，故④错误； 综上，正确的结论只有1个， 故选：A． 【典例3】 如图，是的边上的高，平分，若，，则______ 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】如图，在中，和的平分线交于点，过作，分别交于点，交于点，若，，则线段的长为_____________． 【答案】 【详解】解：∵和的平分线交于点E， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：8． 【变式2】如图，的面积为14，，．求阴影部分的面积． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：阴影部分的面积为． 【变式3】在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 题型07 三角形内角和定理的应用 【典例1】如图，直线，于点D，若，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，直线，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图：∵直线，， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【典例2】 如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴． 【变式3】 如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． 【变式4】如图，在中，，，点，分别是，上动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在上．若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得． 【典例3】如图，在中，，，是边，上两点，将沿翻折，使点落在点处，交于点．若，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5】如图，中，，，、分别是边、上的点，将沿着折叠，得到，当时，的度数是_________________． 【答案】或 【详解】∵中，，， ∴， 如图，当点在下方时， ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴； 如图，当点在上方时， ∵， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴； 综上可知，的度数是或． 【典例4】 如图，将长方形纸片沿折叠（折线交，于，），点、分别对应点，，交于，再将四边形沿折叠，点、分别对应点、，交于．若，则的度数为________（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴． 【典例5】如图，若，则________． 【答案】 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式6】已知直线，点A、B在直线a上（B在A左侧），点C在直线b上，E点在直线b的下方，连接交直线b于点D． （1）如图1，若，，_______（填度数）； （2）如图2，的邻补角的角平分线与的角平分线所在的直线交于点M，设，则_______（用含有的代数式表示） 【答案】（1）/45度；（2） 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）设． ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵平分， ∴， ∵平分的邻补角， ∴， 在中， ， ． 【变式7】如图①，已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）试说明：； （2）如图②，若和的平分线和相交于点P，与，相交于点，．若，，求的度数． 【答案】（1） 见详解 （2） 【详解】（1）证明：∵，，， ∴； （2）解：以M为交点“8字型”中，有， 以N为交点“8字型”中，有， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 题型08 直角三角形性质与判定的综合应用 【典例1】如图，在中，是斜边上的高，，则为________． 【答案】35 【详解】解：∵在中，是斜边上的高， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】如图，在直角三角形与直角三角形中，，比大，则________． 【答案】/15度 【详解】解：∵，， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴． 【典例2】下列条件中，不能判定是直角三角形的是（      ） A． B． C． D．是边上的高 【答案】C 【详解】解：对于选项A：由可得，根据三角形内角和定理可得，则是直角三角形，故A不符合题意； 对于选项B：∵， 又∵， ∴，即， ∴是直角三角形，故B不符合题意； 对于选项C：∵， 设，，， ∴， ∴、、无法构成三角形，故C符合题意； 对于选项D：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故D不符合题意． 【变式2】满足下列条件的不是直角三角形的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形． B．∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． C．∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． D．∵， ∴是直角三角形． 题型09 三角形外角性质的应用 【典例1】如图，是的外角，若，，则_______ 【答案】30 【详解】解：∵是的外角，，， ∴， ∴． 【变式1】如图，若，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】在如图标出的四个角中，最大的角是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：延长交于点T， 由三角形的外角性质可得，，，，， ∴最大的角是． 题型10 三角形内角和定理及外角性质的综合应用 【典例1】如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）略 （2）． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1】 如图，在中，是边上的动点，过点作交于，交的延长线于点． （1）若，，则________，________； （2）在点运动的过程中，探究是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）65，25 （2）是定值，定值为 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）是定值，定值为． ∵是的外角， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， 即是定值，定值为． 题型11 三角形内角和定理、外角性质及三线的综合应用 【典例1】如图，在中，是边上的高，，． （1）求的度数； （2）若是的角平分线，交于点，求的度数． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴； （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 【变式1】如图，在中，，交于点，且． （1）判断与的位置关系，说明理由； （2）若平分，且分别交，于点，．求证：． 【答案】（1）略 （2） 略 【详解】（1）解：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B．三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C．三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D．符合三角形的概念． 故选：D． 2．如图，小明为估计池塘岸边A，B间的距离，在池塘一侧选取了一点O，测得，，那么A，B间的距离可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在中，，， ∴根据三角形的三边关系可得： ， 即 ，选项中只有符合该范围． 3．如图，在中，边上的高是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图知：在中，边上的高是． 4．如图，已知，，平分，且，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长交于点R， ∵， ∴，，， ∵平分， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 5．将一把直尺按如图所示的方式叠放在一块三角形纸片上，直尺的两个顶点，分别落在，边上，并与交于点和，若，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，在中，和的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论中，错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， 故A正确； 平分， ∴， ∵D，C，E共线，B，C，F共线， ∴， 在中， ，故B错误； ∵，分别平分，， ∴，， ∴，故C正确； 由上可知，，， ∴，故D正确． 7．太空漫步机是一种有氧运动器材，可以增强人体的心肺功能及下肢、腰部肌肉力量如图，一种双人漫步机的支架设计为三角形，这种设计应用的几何原理是__________． 【答案】三角形具有稳定性 【详解】解：太空漫步机是一种有氧运动器材，它的三角形支架设计应用的几何原理是三角形具有稳定性． 8．如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为14，则阴影部分图形的面积为________． 【答案】2 【详解】解：连接，，， ∵点D、E、F分别是线段、、的中点， ∴，，，， ∴， ∵的面积为14， ∴， 故答案为：2． 9．下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的有________（填序号）． 【答案】②③ 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 故答案为：②③． 10．如图，，为垂足，，为垂足，，，，那么点到的距离是_______，点到的距离是_____． 【答案】6；4.8 【详解】解：∵，垂足为C， ∴点A到的垂线段为， 又∵， ∴点A到的距离是6． ∵在中，，，， ∴． ∵，垂足为D， ∴点C到的距离是的长度， 此时，已知， ∴，解得， ∴点C到的距离是4.8． 11．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】②③④ 【详解】解：∵是的中线， ∴， 故②正确，符合题意； ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故④正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ∵是角平分线， ∴， 不能推出， 故①错误，不符合题意； 故答案为：②③④ 12．如图，，． （1）证明：； （2）当，时，求的度数． 【答案】（1）略； （2） 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴． 1．【模型认识】如图，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 （1）如图，已知，，，求的度数． 【归纳结论】 （2）、、和的数量关系是________． 【深入探究】 （3）如图，若，，且，直接写出的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）解：如图1所示，连接并延长到点E， ∴，， ∴， ∵，，， ∴； （2）解；由（1）可得； （3）解：由（1）得， ， ∵，， ∴， ∵且， ∴， ∴． 2．【问题背景】已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、B均不与点O重合． （1）【探究结论】如图1，平分，平分． ①若．则________． ②在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． （2）【拓展应用】如图2，平分交于点I，平分，的反向延长线交的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，直接写出的度数：若变化，直接写出的度数的变化范围． 【答案】（1）①25，②不变， （2）不变， 【详解】（1）①∵直线与互相垂直， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴． ②的大小不会发生变化， ∵平分，平分， ∴，． ∴． ； （2）的大小不会发生变化， ∵平分， ∴； ∵平分， ∴， ∴ ． 故的大小不变，为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $