精品解析：安徽合肥市第一中学2025-2026学年第二学期期末教学质量监测高一数学试题

合肥一中2025-2026学年度第二学期期末教学质量监测 高一数学试题 （考试时长：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，列式求出. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：A 2. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确． 3. 已知圆锥的底面直径和母线均为8，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由底面直径为8得半径，母线，代入公式即可. 【详解】底面直径，则底面半径，母线. 圆锥侧面积. 4. 已知、为两个不同平面，、为两条不同的直线，下列结论正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A选项；利用线面垂直的性质定理可判断B选项；根据已知条件判断线面位置关系，可判断C选项；利用面面垂直的判定定理可判断D选项. 【详解】对于A，若，则取内任意两条相交直线、，使得，， 又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A正确； 对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确； 对于C，若，，则或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确. 故选：ABD． 5. 有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（ ） A. 甲与乙互斥 B. 丙与丁对立 C. 甲与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，共种情况； 令事件表示：第一次取出的球的数字是1，则， 令事件表示：第二次取出的球的数字是3，则， 显然，所以甲与乙不互斥，故A错误； 令事件表示：两次取出的球的数字之和是4，则， 令事件表示：两次取出的球的数字之和是5，则， 显然，所以丙与丁不对立，故B错误； 由，，，所以， 所以甲与丙不独立，故C错误； 又，， 所以乙与丁相互独立，故D正确. 6. 在中，，，则的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先由正弦定理将转化为，结合得到，再把该式整体代入三角形面积公式，直接计算出面积． 【详解】在中，记角的对边分别为， 因为， 由正弦定理可知， 所以． 7. 已知样本数据，，，的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（ ） A. 17.8 B. 18.8 C. 19.8 D. 20.8 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，，则新增数据的平均数为19，方差为0， 所以新样本数据的方差为 8. 已知平面内三个不同的单位向量，，，满足，，，则可能的取值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，求出其取值范围，再进行判断即可. 【详解】如图： 设，，因为，，，， 所以可取，，由题意点在第四象限，设，，则. 所以. 因为，所以，所以. 所以， 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某城市连续7天的最低温度（单位：）为3，5，2，0，5，7，6，则这组数据的（ ） A. 众数为5 B. 极差为7 C. 中位数为6 D. 分位数为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据众数、极差、中位数、百分位数求解即可. 【详解】对于A，数据中5出现了2次，次数最多，所以众数为5，A正确. 对于B，极差为，B正确. 对于C，将该组数据从小到大排列：0,2,3,5,5,6,7，所以中位数为，C错误. 对于D，，向上取整数为3，第3个数为3，所以分位数为3，D正确. 10. 设有下面四个命题，其中的真命题为（ ） A. 若复数，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数，则为纯虚数的充要条件是 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的定义及运算，结合特殊值法逐项分析判断即可. 【详解】对于A，若复数，则是实数，可设，共轭复数为，显然，A为真命题. 对于B，设，则， 若，则，即，此时，B为真命题. 对于C，复数，则为纯虚数的充要条件是且，C为假命题. 对于D，设，，，此时， 但不相等，D为假命题. 11. 如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点，，到的距离分别为，，，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 直线与所成角比直线与所成角大 D. 正方体的棱长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据点到面的距离证明；B选项，结合面面垂直的判定定理和面面相交的性质进行判断；C选项，通过线面角的正弦值比较大小；D选项，利用射影，构造直角三角形求解. 【详解】设，显然是、的中点， 因为平面，到平面的距离为，所以到平面的距离为， 又到平面的距离为，且点在的同侧，则，即，即A正确； 设平面，则，因为是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面，则平面， 而，所以平面平面，即B正确； 设到平面的距离为， 因为平面，是正方形，点，B到的距离分别为， 所以有，得， 设正方体的棱长为， 设直线与平面所成角为，所以， 设直线与平面所成角为，所以， 因为，则得，因,则得，故C错误； 因为平面平面，平面平面， 所以在平面的射影与共线， 显然，如图所示： 由， ， 由（负值舍去）， 故D正确， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 设随机事件、相互独立，且，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式求出的值，再利用求解即可. 【详解】因为随机事件、相互独立，且，， 则， 故. 13. 如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一铅垂平面内，飞机在点到，点的俯角分别为，，飞行3千米后，在点到，点的俯角分别为，，则测得两山顶，间距离为______千米． 【答案】 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求. 【详解】 因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 在中，已知， 由正弦定理得， 所以； 因为，则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 在中，由余弦定理得：， 故， 所以 故答案为：. 14. 已知三棱锥满足，，，且，，，则异面直线与所成夹角的余弦值为____． 【答案】 【解析】 【分析】构造两条异面直线的所成角，利用余弦定理求夹角的余弦． 【详解】由题意可知，都是直角三角形，可补形为如图所示的长方体， 过作交的延长线于点， 所以异面直线与所成夹角为或的补角， 在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， 在中，， 所以异面直线与所成夹角的余弦值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 学校正在研究基于“合一小虎”的人工智能答疑系统，更方便地帮助学生解决学习中碰到的问题．为了测试答疑系统的准确性，现利用“合一小虎”解答了份不同的模拟试卷，收集其准确率，整理得到其频率分布直方图． （1）求图中的值及这组数据的中位数； （2）若采用样本量比例分配的分层随机抽样从，两组中抽取份，再从这份中随机抽取份，求这份中至少有份的准确率在的概率． 【答案】（1），中位数为 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图总面积为列方程求出，再计算各组累计频率确定中位数所在区间，通过中位数平分总面积的来列方程算出中位数； （2）先根据两组频率比得到分层抽样抽取数量，列举所有抽取组合，统计符合条件的事件数，用古典概型公式计算至少份落在的概率． 【小问1详解】 由图知，，解得， 设中位数为， 前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 所以，则，解得， 所以估计准确率的中位数为； 【小问2详解】 由图知，准确率在两组频率比为， 由比例分配的分层随机抽样方法，分别从，两组的试卷中抽取份，份， 记中抽取的份为，中抽取的份为， 设“这份中至少有份的准确率在”为事件， 则， ， 所以事件发生的概率为， 所以这份中至少有份的准确率在的概率为． 16. 如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且． （1）证明：平面平面； （2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)1. 【解析】 【分析】(1)根据题意可得，又 BA⊥AD，利用线面垂直的判定定理证得AB⊥平面ACD，再根据面面垂直的判定定理即可证得； (2)方法一：根据平面知识求出，再求得三棱锥的高，即可根据三棱锥的体积公式求出. 【详解】（1）由已知可得，=90°，． 又BA⊥AD，且，所以AB⊥平面ACD． 又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC． （2）［方法一］：定义法 由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．又，所以． 作QE⊥AC，垂足为E，则． 由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1． 因此，三棱锥的体积为 ． ［方法二］：转化法 由（1）知，，又，所以平面，则．因为，所以．因为，所以． 【整体点评】（2）方法一：根据三棱锥的体积公式求底面积和高，是求三棱锥体积的通性通法； 方法二：根据题目的等量关系转化为求易求的三棱锥体积，也是求三棱锥体积的通性通法． 17. 甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；已知甲笔试得满分的概率为，笔试各题是否答对相互独立. （1）当时，求； （2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式得甲笔试满分的概率，列方程求解；（2）甲至少答对3道题才能够进入面试，列出所有可能求出甲能够进入面试的概率表达式，利用均值不等式求最值. 【小问1详解】 由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，所以. 【小问2详解】 由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 因为，则， 则， 整理得， 因为， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为. 18. 在中，已知． （1）求角； （2）若，，为上一点，为的平分线，求． （3）若，试确定的取值范围，使为锐角三角形． 【答案】（1）； （2）； （3）的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）将化为交叉相乘，利用两角差正弦公式得到，结合三角形内角和直接解出角； （2）先用正弦定理求出，算出，结合角平分线得到，在中判定等角对等边，求得长度； （3）利用内角代换把化为关于的表达式，根据锐角三角形列出的取值范围，结合正切单调性求出的区间． 【小问1详解】 因为， 所以， ， 即，所以或（舍去）， 所以，结合，得． 【小问2详解】 如图，在中，，，， 由正弦定理，得， 由，得，所以，  所以， 又为的平分线，且， 所以，又， 所以， 在中， 所以． 【小问3详解】 因为， 所以 ， 因为为锐角三角形，， 所以， 所以， 所以，即的取值范围为． 19. 如图是一个正三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为，已知，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）若点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置． 【答案】（1） 延长交于点，延长交于点，连接， 因为平面，平面， 所以，，所以， 即是线段上靠近的三等分点， 又因为平面，所以，， 可得，即是线段上靠近的三等分点， 因为为中点，可得是线段上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）； （3），此时为线段上靠近的三等分点． 【解析】 【分析】（1）延长截面对应边找到两平面交线，利用垂直棱平行得到相似三角形推出线段比例，证，再由线面平行判定定理完成证明； （2）先计算得到，利用等腰三角形三线合一得，结合面面交线的垂直关系确定二面角平面角，通过等腰直角三角形求出该角正弦值； （3）先证平面平面，分别找出与外心并构造外接球球心，建立外接球半径关于的表达式，转化为求最小值，进而得到外接球半径最小值与对应点位置． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直角梯形中，，，，， 可得， 在直角梯形中，，，，， 可得， 所以 又因为为中点，所以，即， 在平面中，，，， 可得，， 所以， 所以，所以， 又因为平面平面， 所以是平面与平面的夹角的平面角， 因为，，所以， 即平面与平面的夹角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，，，平面， 所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 在三棱锥中，设的外心为，的外心为， 过点作直线平面， 过点作直线平面，，交于点， 此时，，即三棱锥的外接球球心为， 在中，，，， 设外接圆半径为，则， 解得，所以， 在平面中，四边形为矩形，即， 在中，，设外接圆半径为， 由正弦定理得，即， 又因为， 所以要让三棱锥的外接球半径最小，即只要让最小， 因为在线段上，，所以， 即三棱锥的外接球半径的最小值为， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，此时为线段上靠近的三等分点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一中2025-2026学年度第二学期期末教学质量监测 高一数学试题 （考试时长：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆锥的底面直径和母线均为8，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知、为两个不同平面，、为两条不同的直线，下列结论正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（ ） A. 甲与乙互斥 B. 丙与丁对立 C. 甲与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立 6. 在中，，，则的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 6 7. 已知样本数据，，，的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（ ） A. 17.8 B. 18.8 C. 19.8 D. 20.8 8. 已知平面内三个不同的单位向量，，，满足，，，则可能的取值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某城市连续7天的最低温度（单位：）为3，5，2，0，5，7，6，则这组数据的（ ） A. 众数为5 B. 极差为7 C. 中位数为6 D. 分位数为3 10. 设有下面四个命题，其中的真命题为（ ） A. 若复数，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数，则为纯虚数的充要条件是 D. 若，则 11. 如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点，，到的距离分别为，，，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 直线与所成角比直线与所成角大 D. 正方体的棱长为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 设随机事件、相互独立，且，，则______． 13. 如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一铅垂平面内，飞机在点到，点的俯角分别为，，飞行3千米后，在点到，点的俯角分别为，，则测得两山顶，间距离为______千米． 14. 已知三棱锥满足，，，且，，，则异面直线与所成夹角的余弦值为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 学校正在研究基于“合一小虎”的人工智能答疑系统，更方便地帮助学生解决学习中碰到的问题．为了测试答疑系统的准确性，现利用“合一小虎”解答了份不同的模拟试卷，收集其准确率，整理得到其频率分布直方图． （1）求图中的值及这组数据的中位数； （2）若采用样本量比例分配的分层随机抽样从，两组中抽取份，再从这份中随机抽取份，求这份中至少有份的准确率在的概率． 16. 如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且． （1）证明：平面平面； （2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积． 17. 甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；已知甲笔试得满分的概率为，笔试各题是否答对相互独立. （1）当时，求； （2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值. 18. 在中，已知． （1）求角； （2）若，，为上一点，为的平分线，求． （3）若，试确定的取值范围，使为锐角三角形． 19. 如图是一个正三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为，已知，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）若点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $