精品解析：山西晋中市昔阳县2025-2026学年第二学期八年级期末质量测评数学试卷

昔阳县2025—2026学年第二学期八年级期末质量测评题（卷） 数学 【温馨提示】 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在本试卷上完成． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 若分式有意义，则实数x必须满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的定义，分式有意义时分母不能为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：分式有意义的条件为分母不等于， ，解得． 2. 博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意． 故选：D． 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，判断各选项是否将一个多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解： 选项A：，等式不成立，不符合题意； 选项B：该变形是整式乘法，从积的形式化为多项式，不符合因式分解的定义； 选项C：等式右边为，是和的形式，不是几个整式的积，不符合定义； 选项D：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且等式成立，符合因式分解的定义． 4. 用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．验证这一结论的过程中，与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂线的性质得到和都是直角三角形，根据全等直角三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：根据题意得：、 在和中 ． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再确定公共部分，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为， 表示在数轴上：处为实心点且方向向右，处为空心圈且方向向左， 观察选项，只有B选项符合． 6. 在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据点A及其对应点的坐标，确定线段的平移规律，再按规律计算点B对应点的坐标即可. 【详解】解：∵点平移后的对应点为， ∴横坐标变化为，纵坐标变化为，即平移规律为横坐标减，纵坐标加， ∵点， ∴的横坐标为，纵坐标为，即的坐标为． 7. 如图，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意逐项分析． 【详解】解：A、旋转前后图像全等，对应线段相等，即，选项说法正确，不符合题意； B、旋转前后图像全等，对应角相等，即，选项说法正确，不符合题意； C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法错误，符合题意； D、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法正确，不符合题意． 8. 如图，某桥梁的钢架结构可抽象为平行四边形，对角线与相交于点．已知，，，则的长度为（ ） A. 6 B. 10 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分得，，再结合勾股定理求出即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，对角线与相交于点，，，， ∴，， ∴， ∴． 9. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从函数图象的角度看，求关于的不等式的解集就是确定直线在上方部分对应x的取值范围．因此先将点代入函数，求出n的值，再根据图象即可解答． 【详解】解：∵直线过点 ∴，解得， ∴直线与直线交于点， ∴由图象可得，关于的不等式的解集为． 10. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点和点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若的面积为6，则的面积是（ ）． A. 10 B. 1 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】作交于点E，由作图过程可知，平分，则，根据30度角的性质得到，进而得到，即可求出的面积． 【详解】解：如图，作交于点E， 由作图过程可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， 即． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 蜜蜂的蜂巢精巧规整、美观有序，从入口望去，整体由无数规整的正六边形紧密拼接而成．如图所示，则正六边形的内角和为___________． 【答案】##720度 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式即可求解． 【详解】解：正六边形的内角和为． 13. 如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为______________． 【答案】##度 【解析】 【分析】先在中利用等边对等角求出的度数，然后根据垂直平分线的性质可得，再利用等边对等角得出，最后结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 又， ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的等边对等角是解题的关键． 14. 为提升作业批改效率，张老师使用智能批改系统辅助批改数学作业．使用该系统后平均每小时批改的题目数是原来平均每小时批改的题目数的1.5倍，且批改120道题目所用时间比原来节省了2小时，求张老师原来平均每小时批改多少道题目．设张老师原来平均每小时批改x道题目，根据题意列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：设张老师原来平均每小时批改x道题目， 则． 15. 如图，在中，，于点，点在边上，且，，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，解三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，根据平行四边形的性质得出，然后解三角形确定，，得出，过点A作于点M，过点E作于点N，设，利用全等三角形的判定和性质得出，，根据解三角形及各边之间的关系得出，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 过点A作于点M，过点E作于点N， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当时，，（不符合题意，舍去） ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程以及解一元一次不等式组．熟练掌握解分式方程的步骤和确定一元一次不等式组的解集的方法是解题的关键． （1）利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化，检验，解分式方程即可； （2）分别解两个一元一次不等式，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：（1） 经检验，是原方程的解； 解：（2）， 由①得， 由②得， 不等式组的解集是． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【解析】 【分析】先根据分式混合运算进行化简，再代入数值进行计算即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 18. 晋剧的文化魅力不仅体现在剧情上，演员的服饰也备受大家喜爱．近期，以晋剧戏盔“状元帽”为原型的文创产品发热桌垫、立体拼图十分畅销，学校计划用不超过6000元的经费购买这两种文创产品共80件作为奖品，奖励在“晋剧进校园”活动中表现优秀的同学．已知两种文创产品的价格如图所示．求学校最多可购买立体拼图多少件？ 【答案】学校最多可购买立体拼图59件 【解析】 【分析】设学校购买立体拼图x件，则购买发热桌垫件，根据题意列出不等式并求解，再结合实际情况即可解答． 【详解】解：设学校购买立体拼图x件，则购买发热桌垫件， 根据总经费不超过6000元列出不等式：， 解得， 因为为正整数， 所以x的最大值为59， 答：学校最多可购买立体拼图59件． 19. 如图，的对角线、相交于点O，E，F在上，且． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，推出，然后利用证明全等即可； （2）根据平行四边形的性质得到，，然后推出，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． 20. 如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）将向左平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到．画出平移后得到的；如果把这个过程看成是经过一次平移，则平移距离为______个单位长度； （2）画出关于原点对称的； （3）将绕着点顺时针旋转画出旋转后得到的 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析 （3）图见解析 【解析】 【分析】（1）根据平移规则画出；利用勾股定理求出平移距离即可； （2）根据中心对称的性质，画出即可； （3）根据旋转的性质，画出； 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 由题意，把这个过程看成是经过一次平移，则平移距离为个单位长度； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 21. 现有两种热门文创产品：青铜器书签和青花瓷钥匙扣．某校决定购买这两种文创产品作为运动会的奖品．已知购买4个青铜器书签的费用与购买5个青花瓷钥匙扣的费用相同，用320元购买青铜器书签的数量比用320元购买青花瓷钥匙扣的数量少2个．求青铜器书签和青花瓷钥匙扣的单价． 【答案】青铜器书签的单价为40元，则青花瓷钥匙扣的单价为32元． 【解析】 【分析】设青铜器书签的单价为x元，则青花瓷钥匙扣的单价为元，根据数量差列方程并 解方程即可． 【详解】解：设青铜器书签的单价为x元，则青花瓷钥匙扣的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：青铜器书签的单价为40元，则青花瓷钥匙扣的单价为32元． 22. 阅读与思考 请阅读下面的材料并完成相应的学习任务 某中学数学兴趣小组，在《三角形的中位线》一课的学习后，对中位线定理的证明产生了很大的兴趣，在课后进行了延伸探究． 已知：如图（1），在中，、分别是、的中点． 求证：，且． 下面是三位同学的探究过程： 甲：过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． 乙：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． 丙：延长至点，使，连接、、． 任务： （1）任务一：三位同学的方案，能证明三角形的中位线定理的有___________________．（填人名） （2）任务二：请选择一位同学的方案，并将证明过程补充完整． （3）任务三：该兴趣小组在某公园开展“测距”为主题的小队活动时，发现、两地被某人工湖隔开，如图所示，由于只有工具：一把皮尺（测量长度略小于），某同学提出方案“我们可以在与平行的人行步道上的点、处作好标记，通过皮尺找到与的中点、，通过皮尺测量，的长度，就可以估算出、两点间的距离了”．若测得，，请直接写出、两点间的距离_________________．（用含、的代数式表示） 【答案】（1）甲乙丙 （2）解：选择甲； 过点E作，交于点G，过点A作的平行线交的延长线于点F． ，， ∴四边形是平行四边形， ，， ， ， 、E分别是、的中点， ，， 在和中， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质结合全等三角形的判定与性质即可判断； （2）甲：先证明四边形 是平行四边形；再证明，然后证明四边形是平行四边形即可； 乙：证明，，是平行四边形即可； 丙：先证明，再证明四边形是平行四边形即可； （3）连接并延长，交延长线于点P ，证明，得到是的中位线，根据中位线的性质即可得解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：选择甲略； 选择乙： 证明：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． ． 是的中点， ， 在和中， ， ，． 同理，，，， ， ，． ，． ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，； 选择丙： 证明：延长至点，使，连接、、． 是的中点， ， 在和中， ， ，， ， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ； 【小问3详解】 解：连接 并延长，交延长线于点P ， ∵ 点是的中点， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ​ ∴， ∴，，即点是的中点， ∵ 点是的中点， ∴是的中位线， ∴ ，即  ， ∴  ， 即 B 、 C 两点间的距离为． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，老师组织同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究，已知，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中与重合，此时A，B，D三点恰好共线，点A，D在点B异侧． 初步探究：（1）小颖在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B按逆时针方向旋转角度，延长交延长线于点G．如图2，判断的数量关系并说明理由； 深入探究：（2）小军在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转角度，延长交延长线于点G．如图3，判断，的数量关系并说明理由； 拓展探究：（3）若，．小彬进行了如下的操作：如图4，两个三角形重合，点A，B，C分别与点D，F，E重合，保持不动，绕点B按逆时针方向旋转一周，在整个旋转过程中，若所在直线恰好经过的一个顶点，直接写出此时的长度为______． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，得到，得出由，得到，即可求解； （2）先证明，推出，进而得到，再根据，得到，即可求出，从而证明； （3）分两种情况：当经过点时，当所在直线经过点时，分别求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图：连接， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）如图，当经过点时，过点作，交的延长线于点，则， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 当所在直线经过点时，如图： ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昔阳县2025—2026学年第二学期八年级期末质量测评题（卷） 数学 【温馨提示】 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在本试卷上完成． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 若分式有意义，则实数x必须满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．验证这一结论的过程中，与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，某桥梁的钢架结构可抽象为平行四边形，对角线与相交于点．已知，，，则的长度为（ ） A. 6 B. 10 C. 8 D. 9. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点和点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若的面积为6，则的面积是（ ）． A. 10 B. 1 C. 12 D. 13 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式的结果是______． 12. 蜜蜂的蜂巢精巧规整、美观有序，从入口望去，整体由无数规整的正六边形紧密拼接而成．如图所示，则正六边形的内角和为___________． 13. 如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为______________． 14. 为提升作业批改效率，张老师使用智能批改系统辅助批改数学作业．使用该系统后平均每小时批改的题目数是原来平均每小时批改的题目数的1.5倍，且批改120道题目所用时间比原来节省了2小时，求张老师原来平均每小时批改多少道题目．设张老师原来平均每小时批改x道题目，根据题意列方程为_________． 15. 如图，在中，，于点，点在边上，且，，若，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 晋剧的文化魅力不仅体现在剧情上，演员的服饰也备受大家喜爱．近期，以晋剧戏盔“状元帽”为原型的文创产品发热桌垫、立体拼图十分畅销，学校计划用不超过6000元的经费购买这两种文创产品共80件作为奖品，奖励在“晋剧进校园”活动中表现优秀的同学．已知两种文创产品的价格如图所示．求学校最多可购买立体拼图多少件？ 19. 如图，的对角线、相交于点O，E，F在上，且． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）将向左平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到．画出平移后得到的；如果把这个过程看成是经过一次平移，则平移距离为______个单位长度； （2）画出关于原点对称的； （3）将绕着点顺时针旋转画出旋转后得到的 21. 现有两种热门文创产品：青铜器书签和青花瓷钥匙扣．某校决定购买这两种文创产品作为运动会的奖品．已知购买4个青铜器书签的费用与购买5个青花瓷钥匙扣的费用相同，用320元购买青铜器书签的数量比用320元购买青花瓷钥匙扣的数量少2个．求青铜器书签和青花瓷钥匙扣的单价． 22. 阅读与思考 请阅读下面的材料并完成相应的学习任务 某中学数学兴趣小组，在《三角形的中位线》一课的学习后，对中位线定理的证明产生了很大的兴趣，在课后进行了延伸探究． 已知：如图（1），在中，、分别是、的中点． 求证：，且． 下面是三位同学的探究过程： 甲：过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． 乙：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． 丙：延长至点，使，连接、、． 任务： （1）任务一：三位同学的方案，能证明三角形的中位线定理的有___________________．（填人名） （2）任务二：请选择一位同学的方案，并将证明过程补充完整． （3）任务三：该兴趣小组在某公园开展“测距”为主题的小队活动时，发现、两地被某人工湖隔开，如图所示，由于只有工具：一把皮尺（测量长度略小于），某同学提出方案“我们可以在与平行的人行步道上的点、处作好标记，通过皮尺找到与的中点、，通过皮尺测量，的长度，就可以估算出、两点间的距离了”．若测得，，请直接写出、两点间的距离_________________．（用含、的代数式表示） 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，老师组织同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究，已知，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中与重合，此时A，B，D三点恰好共线，点A，D在点B异侧． 初步探究：（1）小颖在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B按逆时针方向旋转角度，延长交延长线于点G．如图2，判断的数量关系并说明理由； 深入探究：（2）小军在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转角度，延长交延长线于点G．如图3，判断，的数量关系并说明理由； 拓展探究：（3）若，．小彬进行了如下的操作：如图4，两个三角形重合，点A，B，C分别与点D，F，E重合，保持不动，绕点B按逆时针方向旋转一周，在整个旋转过程中，若所在直线恰好经过的一个顶点，直接写出此时的长度为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $