精品解析：浙江省舟山市2024-2025学年下学期八年级学科素养监测 数学试题卷

2024学年第二学期八年级学科素养监测 数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷I、卷II的相应位置上，做在试题卷上无效． 温馨提示：请仔细审题，答题前仔细阅读答题纸上“注意事项”． 卷I（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 若要使有意义，则字母的值可以是（　　） A. 3 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式可得，再结合选项即可确定答案． 【详解】解：根据题意， 则， 则字母的值可以是． 故选：A． 2. 我国新能源汽车产业发展迅猛，取得了举世瞩目的成就，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B中图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； C中图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D中图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 3. 已知边形的内角和为，则的值是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．根据边形的内角和为列出关于的方程，解方程即可求出边数的值． 【详解】解：根据题意：， 解得：． 故选：B． 4. 用反证法证明命题“若，则”时，则应先假设（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题，解题关键在于根据反证法定义即可求得答案，了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设成立． 【详解】解：用反证法证明命题“若，则”时，则应先假设． 故选：A． 5. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则（　　） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．把代入，解方程即可． 【详解】解：把代入， 得：， 解得，， 故选：D． 6. 已知在中，对角线交于点，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟悉菱形的判定是解题的关键；根据菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、，则是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），故不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），故不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴是矩形，不一定能使其成为菱形，故符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是菱形，故不符合题意； 故选：C． 7. 如图，过反比例函数上一点作轴的垂线，交轴于点，点在轴上，满足四边形是平行四边形，若的面积为4，则的值是（　　） A. B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义．过点A作轴于点G，易证四边形为矩形，求出，再根据反比例函数图象得到，即可求出答案． 【详解】解：过点A作轴于点G， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵四边形为平行四边形， ∴， 由反比例函数经过第二象限，得， ∴． 故选：C． 8. 《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示： 由题意得：， 设折断处离地面的高度是尺， 由勾股定理得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 9. 如图，在中，，，点是上一点，连结，点是的中点，连结，作于点，连结，若，则的长为（　　） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线，勾股定理，先根据直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，进而求出，由题意易证是的中位线，即可解答． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：A． 10. 已知点都在反比例函数的图像上，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟知反比例函数的图像与性质是解题的关键．根据反比例函数图像上点的坐标特征研究反比例函数的性质，结合解一元一次不等式即可判断． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，则， 若，则，解得：，则； 若，则，解得：，则； 综上，若，则或，故A选项错误，不符合题意； 若，则，故B选项正确，符合题意； 若，则，故D选项错误，不符合题意； 若，则， 若，则，解得：，则； 若，则，解得：，则无解； 综上，若，则，故C选项错误，不符合题意； 故选：B． 卷II（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 化简_____． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2025． 12. 如图，在矩形中，过点作于点，则的度数为___________． 【答案】##32度 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质证明，进而可以解决问题． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 已知在温度不变的条件下，汽缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强成反比例关系，当时，，则当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，设汽缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强的关系式为，当时，，求出，即有，然后把代入求解即可，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：∵汽缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强成反比例关系， ∴设汽缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强的关系式为， 当时，， ∴，解得：， ∴汽缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强的关系式为， 当时，， 故答案为：． 14. 在一次广播操比赛中，801班、802班、803班的各项得分如下表，若对于“服装统一”、“动作整齐”、“动作准确”三个项目按进行加权计算，则得分最高的班级是___________． 服装统一 动作整齐 动作准确 801班 80 84 87 802班 98 78 80 803班 90 82 83 【答案】班 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的定义和计算公式是解题的关键．本题是一个关于权重计算的问题，需要按照给定的权重对三个项目的得分进行加权计算，然后比较三个班级的总得分，以确定得分最高的班级，可以根据表格中各个班级的得分以及对应的权重进行计算． 【详解】解：班： ∵ “服装统一”权重为，得分为，“动作整齐”权重为，得分为，“动作准确”权重为，得分为， ∴ 总得分 保留一位小数， 班： ∵ “服装统一”权重为，得分为，“动作整齐”权重为，得分为，“动作准确”权重为，得分为， ∴ 总得分 ， 班： ∵ “服装统一”权重为，得分为，“动作整齐”权重为，得分为，“动作准确”权重为，得分为， ∴ 总得分 ， ∵ ， ∴得分最高的班级是801班． 故答案为：班． 15. 定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，先根据新定义将原方程化为，然后根据方程有两个不相等的实数根列式求解即可． 【详解】∵， ∴可变为， ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，作点关于的对称点，连结交于点，连结，若是等腰直角三角形，则___________；与的面积之比是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】该题考查了轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识点，根据是等腰直角三角形，得出，在中，，，得出，根据对称可得，，证明，设，过点A作，则，，表示出，，即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 根据对称可得，， ∴， ∴， 设， 过点A作， 则， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：，． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和运算，包括平方根的计算、最简二次根式的转化以及二次根式的合并，熟练掌握二次根式的化简方法和运算法则是解题的关键． (1) 对于表达式，首先需要将各个根式化为最简形式，然后进行合并． (2) 对于表达式，首先需要将各个根式化为最简形式，然后进行乘法和加法运算． 【小问1详解】 解： = ， 【小问2详解】 解： ， 18. 小李与小王两位同学解方程的过程如下框： 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程． 【答案】 ×；× 解： ，． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】略 19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF， (1)求证：AE＝CF； (2)求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，然后可证明∠ABE=∠CDF，再利用SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF． （2）首先根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CFD，根据等角的补角相等可得∠AEF=∠CFE，然后证明AE∥CF，从而可得四边形AECF是平行四边形． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD． ∴∠ABE=∠CDF． 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）． ∴AE=CF． （2）∵△ABE≌△DCF， ∴∠AEB=∠CFD， ∴∠AEF=∠CFE， ∴AE∥CF， ∵AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法与性质． 20. 某班为选拔一名选手参加校知识竞赛，从自愿报名、综合表现等角度确定了甲、乙两名考察对象，在学校组织的辅导过程中，共安排了6次测试，满分10分，每次测试具体得分如图． 得分对象 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2） 甲 7 7 7 ③ 乙 7 ① ② 2.7 （1）将表格补充完整 （2）请结合历次测试成绩，你将推荐谁参加校知识竞赛，并说明理由． 【答案】（1）6.5，6，； （2）推荐甲谁参加校知识竞赛.理由见解析（理由不唯一，合理即可）. 【解析】 【分析】本题考查方差、算术平均数，众数和中位数，掌握相关统计量的定义是解答本题的关键. （1）分别根据中位数，众数和方差的定义解答即可； （2）根据平均数和方差的意义解答即可. 【小问1详解】 解：把乙的6次成绩从小到大排列为：5，6，6，7，8，10，故中位数为，出现次数最多的是6，故众数为， 甲的方差为： ； 【小问2详解】 解：推荐甲谁参加校知识竞赛，理由如下： ∵两人的平均数相同， ∴甲的方差比乙小，成绩更稳定， ∴推荐甲谁参加校知识竞赛.（理由不唯一，合理即可） 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，． （1）求的值和一次函数的表达式； （2）直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先把点坐标代入求出得到反比例函数解析式，再通过反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）利用函数图象，写出反比例函数在一次函数下方所对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：把代入得， 解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入得， 解得， ∴， 把，代入得， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由可知，反比例函数在一次函数下方， ∴不等式的解集或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数与一次函数的解析式，数形结合是解题的关键． 22. 观察以下式子：记，则 ①； ②； 【计算观察】（1）___________；___________．（直接写出结果即可） 【归纳验证】（2）猜想：___________（为正整数）；并证明． 【应用推广】（3）令，计算的值． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题干中的运算法则代入求解即可； （2）猜想：，根据题意得到，然后化简求解即可； （3）根据题意得到，，，然后代入求解即可． 【详解】（1） ； ； （2）猜想： 证明： ； （3）根据题意得，，， ∴ ． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 23. 如图1，有一张长为，宽为的长方形硬纸片． （1）若裁去角上的四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，当，纸盒的底面积为时，求裁去的正方形边长是多少？ （2）若裁去部分图形后，折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒，则此时的长为多少？当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等时，底面正三角形的边长是多少？ 【答案】（1） （2），底面正三角形的边长为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）设裁去的正方形边长为，由题意得：，再解一元二次方程即可； （2）延长交于点，由题意可设，设，在中，，则，那么，在中，，，则，过点作于点，则，则，而，则，解得，再代入①即可求解． 【小问1详解】 解：设裁去的正方形边长为， 由题意得：， 解得：或（不合题意，舍）， 答：裁去的正方形边长； 【小问2详解】 解：延长交于点， ∵等边， ∴， 由矩形可得： ∴设， 由题意得：四边形为矩形， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴由勾股定理得：， ∵ ∴ ∵， ∴ 过点作于点，则， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等， ， ∴， 将代入， 则 解得：， ∴等边三角形边长为． 24. 如图1，已知四边形是正方形，点分别是边上的点（不与正方形的顶点重合），且满足，连结相交于点． （1）求证：； （2）如图2，连结交于点，作的角平分线交于点． ①当时，求的值； ②试猜想之间满足的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析； （2）①；②，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质（边相等、角为直角），通过“”证，再结合角的和差关系推导 ． （2）①依据（1）的结论及等腰三角形三线合一等性质，求出相关角的度数，确定的边与角关系，作辅助线构造直角三角形，用勾股定理计算 ．②猜想、、的数量关系，通过作辅助线构造全等三角形，结合等腰直角三角形性质证明 ． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ， ． 又， ． ． ∴ ． ． 【小问2详解】 解：①由（1）知，即． ∵，， ∴平分． ∵四边形是正方形，为对角线，， ∴． ∵，， ∴． 又平分， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 过点作于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，, ∴, ∴ ∴ ②，理由如下： 过作交于 平分， ，是等腰直角三角形 ，， ∴, 由（1）知， ， 又四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， 在和中： ，， 【点睛】本题主要考查正方形性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理，熟练运用正方形性质找全等条件，结合角的关系推导特殊三角形（等腰直角三角形 ），是解题关键．通过构造全等将线段“、”转化到直角三角形中，体现“转化思想”在几何证明中的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期八年级学科素养监测 数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷I、卷II的相应位置上，做在试题卷上无效． 温馨提示：请仔细审题，答题前仔细阅读答题纸上“注意事项”． 卷I（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 若要使有意义，则字母的值可以是（　　） A. 3 B. 1 C. 0 D. 2. 我国新能源汽车产业发展迅猛，取得了举世瞩目的成就，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知边形的内角和为，则的值是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 用反证法证明命题“若，则”时，则应先假设（　　） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则（　　） A. B. 1 C. 2 D. 6. 已知在中，对角线交于点，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，过反比例函数上一点作轴的垂线，交轴于点，点在轴上，满足四边形是平行四边形，若的面积为4，则的值是（　　） A. B. 8 C. D. 8. 《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点是上一点，连结，点是的中点，连结，作于点，连结，若，则的长为（　　） A. B. C. D. 1 10. 已知点都在反比例函数的图像上，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 卷II（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 化简_____． 12. 如图，在矩形中，过点作于点，则的度数为___________． 13. 已知在温度不变的条件下，汽缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强成反比例关系，当时，，则当时，______． 14. 在一次广播操比赛中，801班、802班、803班的各项得分如下表，若对于“服装统一”、“动作整齐”、“动作准确”三个项目按进行加权计算，则得分最高的班级是___________． 服装统一 动作整齐 动作准确 801班 80 84 87 802班 98 78 80 803班 90 82 83 15. 定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 16. 如图，在中，作点关于的对称点，连结交于点，连结，若是等腰直角三角形，则___________；与的面积之比是___________． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1） （2）． 18. 小李与小王两位同学解方程的过程如下框： 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF， (1)求证：AE＝CF； (2)求证：四边形AECF是平行四边形． 20. 某班为选拔一名选手参加校知识竞赛，从自愿报名、综合表现等角度确定了甲、乙两名考察对象，在学校组织的辅导过程中，共安排了6次测试，满分10分，每次测试具体得分如图． 得分对象 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2） 甲 7 7 7 ③ 乙 7 ① ② 2.7 （1）将表格补充完整 （2）请结合历次测试成绩，你将推荐谁参加校知识竞赛，并说明理由． 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，． （1）求的值和一次函数的表达式； （2）直接写出关于的不等式的解集． 22. 观察以下式子：记，则 ①； ②； 【计算观察】（1）___________；___________．（直接写出结果即可） 【归纳验证】（2）猜想：___________（为正整数）；并证明． 【应用推广】（3）令，计算的值． 23. 如图1，有一张长为，宽为的长方形硬纸片． （1）若裁去角上的四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，当，纸盒的底面积为时，求裁去的正方形边长是多少？ （2）若裁去部分图形后，折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒，则此时的长为多少？当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等时，底面正三角形的边长是多少？ 24. 如图1，已知四边形是正方形，点分别是边上的点（不与正方形的顶点重合），且满足，连结相交于点． （1）求证：； （2）如图2，连结交于点，作的角平分线交于点． ①当时，求的值； ②试猜想之间满足的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $