第五章《 二元一次方程组》暑假单元自测卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 《二元一次方程组》暑假单元自测卷，以基础巩固为核心，融合文化传承（《九章算术》算筹图）、社会热点（“双减”政策）及跨学科应用（密码学），通过分层设计实现知识与能力的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|方程组的解、代入消元、图像法解方程组|第3题结合一次函数图像交点考查解的几何意义，体现几何直观| |填空题|6题/18分|实际问题建模、弹簧长度函数关系|第12题师生参观人数问题培养模型意识，第14题通过表格数据抽象函数关系| |解答题|8题/72分|整体代入法、购物方案设计、一次函数与面积综合、密码学应用|第20题体育用品购买方案渗透运算能力，第24题密码学加密解密综合考查创新意识与应用能力|

第五章《 二元一次方程组》暑假单元自测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知方程，下列选项中是此方程的解的是（   ） A． B． C． D． 2．由可以得到用表示的式子是（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 4．定义一种新运算：，若，且关于，的二元一次方程，当，取不同值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，那么公共解为（  　  ） A． B． C． D． 5．在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 6．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数和的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是类似的，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为（   ） A． B． C． D． 7．为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，红星小学某社团计划购买一批篮球和足球用于开展课后服务训练．经了解，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团的购买方案的种数一共有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 8．已知关于，的方程组的解和的解相同，则的值为（     ） A． B． C．2026 D．1 9．在解关于，的方程组时，甲看错①中的，解得，；乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．已知关于的方程组的解是．则关于的方程组的解是（） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知二元一次方程，当时，_____． 12．某校师生200人到甲、乙两地参观学习，到甲地的人数比到乙地的人数的2倍少4，则到两地的人数各为多少？设到甲地的人数为x，到乙地的人数为y，根据题意可得方程组__________． 13．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是_____． 14．某弹簧在不挂物体时的长度是．下表描述了在弹簧弹性限度内，弹簧长度与所挂物体的质量的对应关系．当所挂物体质量为时，弹簧长度为__________． 物体的质量 1 2 4 弹簧长度 15.5 16 17 15．若关于x，y的方程组的解是，则关于a，b的方程组的解是________． 16．若关于、的方程组和关于、的方程组有相同的解，则的值为______． 三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分） 17．解下列方程组： (1) (2) 18．4月16日至24日，2026年山西省全民阅读大会暨全民阅读活动周在晋城举办．某校举办“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动，计划给图书馆添置书籍，已知购买4本《论语》和购买5本《诗经》的费用相同，购买2本《论语》比购买3本《诗经》少8元，求《论语》和《诗经》的单价分别是多少． 19．阅读材料： 王星同学在解二元一次方程组时，是用以下方法解的： 解：由①，得 把③代入②，得，解得 把代入③，得，解得． 原方程组的解为． 这种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”， 请用此方法解方程组：． 20．某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送3根跳绳，买1个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为6元，某日售卖两款足球总计盈利300元，那么该日销售A、B两款足球各多少个？ 21．对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． (1)若有一个“开心”方程组的解为，则的值为__________； (2)下列方程组是“开心”方程组的是__________；（填序号） ①，②，③， (3)若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值． 22．阅读下面资料，解决问题． 解方程组，若设，，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)知识迁移：请用这种方法解方程组； (2)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为__________． 23．如图在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C．直线与直线交于点． (1)求，的值； (2)求的面积； (3)直线上存在一点E使，求点的坐标； 24．阅读材料，回答问题． 密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．在密码学中，明文是未经过加密处理的原始信息，密文由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字1～26后进行数学变换从而获得密文．现按照以下加密规则进行加密： ①选择一个“乘密钥”a和一个“加密钥” a，b均为整数）； ②对明文中的每个字母，先将其对应数字m乘a，再加上b，得到一个总和S，即 ③对每个字母得到的总和S逐个进行判断：若S在1到26之间，则S 就是该字母加密后的密文所对应的数字；若S 大于26，则不断减去26，直到结果落在1～26之间； ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文．例如：设a＝3，b＝4，我们可以将明文中字母L（ m＝12）转换成所对应的密文． 计算：S＝3×12＋4＝40. ∵14对应字母N，∴明文中字母L对应的密文是字母N． 请你根据以上材料，完成探究： (1)若密钥为a＝2，b＝5，则明文“HI”加密后的密文为 ； (2)在某次加密中，使用的“乘密钥”a＝3．小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”b的值为 ； (3)小华截获了一段密文“OK”，它是由明文“GC”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“G”加密成“O”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）与由“C”加密成“K”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）一致．求加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值； (4)利用（ 3）中求得的加密规则中的密钥a和b，求密文“TN”解密获得的明文． 参考答案 一、选择题 1．A 解：A、把代入方程得，， ∴是方程的解，该选项符合题意； B、把代入方程得，， ∴不是方程的解，该选项不合题意； C、把代入方程得，， ∴不是方程的解，该选项不合题意； D、把代入方程得，， ∴不是方程的解，该选项不合题意． 2．B ∵原方程为 ，题目要求用表示， 移项得 ， 等式两边同时乘以， 得 ． 3．B 解：∵直线与直线交于点， ∴方程组的解是：． 4．D 解：∵，且， ∴，即， 将代入方程，得，， 整理得：， ∵取不同值时，方程都有公共解，即等式对任意恒成立， ∴， 解得， ∴公共解为． 5．D 解：∵点，点在一次函数图象上，点在第一象限内， ∴， 解得：， 、当时， 当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意； 、当时， 当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意； 、当时，则， ∵点在第一象限内， ∴，， ∴，故该选项判断错误，不符合题意； 、当时，则， ∵点在第一象限内， ∴，， ∴，故该选项判断正确，符合题意； 6．D 解：根据题意，图②所示的算筹图表示的方程组为 ， 故选：D ． 7．C 解：设购买篮球个，足球个，，均为正整数， 根据题意列方程，得 ， 化简，得 ， 整理，得 ， ∵，均为正整数， 为整数， 又与互质， 是的倍数， 由得 ，解得， 又，因此的可取的值为，对应为，均符合要求， 因此该社团共有种购买方案． 8．D 解：∵关于，的方程组的解和的解相同， ∴可得新方程组， 解得， 代入，得， 解得：， ∴． 9．A 解：∵甲看错①中的，解得，， ∴将，代入②，得 ， 解得； ∵乙看错②中的，解得，， ∴将，代入①，得 ， 解得； ∴，． 10．D 解：变形为， 由题意得：， 解得：． 二、填空题 11． 解：把代入得：， ∴． 12． 解：设到甲地的人数为x，到乙地的人数为y， 由题意得，． 13． 解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴， 解得， ∴， ∴的解是． 14．16.5 解：由题意可得，是的一次函数，设. 已知弹簧不挂物体时长度为 ，即当时，，因此. 将 代入解析式得： . 解得. 因此函数解析式为 . 当 时， . 15． 解：∵关于x，y的方程组的解是，， ∴， 解得． 16． 解：把方程组中不含、的两个方程联立得， ， ，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含、的两个方程联立得， ， 把代入，得， ，得， ∴． 三、解答题 17．（1）解： 将①代入②得， ， ， ， ， 方程组的解为； （2）解： 3×①+②得， ， 将代入①得， 2×+b=3 ， 方程组的解为． 18．解：设《论语》的单价为元，《诗经》的单价为元． 根据题意，得 解得 答：《论语》的单价为20元，《诗经》的单价为16元． 19．解：由②，得                      ③ 将①变形得  ④ 把③代入④，得                        把代入③，得                         这个方程组的解是 20．（1）解：根据题意可得：， 解得：， 答：的值为，的值为； （2）解：根据题意可得：， 化简得， 总利润为（元）， 答：该商场可获利1200元； （3）解：设该日销售A款足球个，B款足球个，其中均为非负整数． 根据题意，单个A款足球利润为（元），单个B款足球利润为（元）， 因此得方程：， 化简得， 即， ∵均为非负整数， ∴是9的非负倍数， 只有或符合要求， 答：该日销售A款足球3个，B款足球13个或A款足球12个，B款足球2个． 21．（1）解：∵有一个“开心”方程组的解为， ∴ ， 解得或； （2）解：①由可知 ，不是“开心”方程组； ②由得可知，是“开心”方程组； ③两方程相加得，化简得，可知，是“开心”方程组； 综上，是“开心”方程组的是②③； （3）解：， 得 ． ． 关于，的方程组是“开心”方程组， ．     解得或． 22．（1）解：方程组， 设，， 则原方程组化为， 得，， ， 解得， ，解得． （2）解：方程组， 可化为， 设，， 则该方程组化为， 关于，的二元一次方程组的解为， ， ，解得． 23．（1）解：点在直线上， 将点代入可得， 点的坐标为， 将点代入可得，解得． 综上，，． （2）解：根据（1）可知，， 分别令，， 解得，， 则点的坐标为，点的坐标为， 由可得． （3）解：如图，过点作轴，交于点， 当时，，解得：，则 将代入，则 ∴，则 设， ∵ ∴，即 解得：或 ∴或 24．（1）解：∵，，将明文中字母H（）转换成所对应的密文， 则， ∵， ∴21对应的字母是U， ∴明文中字母H对应的密文是字母U； 同理，明文中字母I对应的密文是字母W； ∴“”加密后的密文是“”； （2）解：根据题意可知， ∵M对应的数是， ∴， 解得； （3）根据题意，得， 解得； 根据题意，得， 解得，不是整数，不符合题意， 根据题意，得， 解得，不符合题意； （4）解：∵T和N对应的数是20，14，且，，设明文对应的数是x，y， ∴，， 解得，， ∵12对应的字母是L，6对应的字母是F， ∴密文“”解密获得的明文为“”． 学科网（北京）股份有限公司 $