26.2.2.1二次函数y=ax2+k+的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+k的图象和性质，通过复习y=ax²的对称轴、顶点、开口方向等特征导入，以问题过渡建立新旧知识联系，为学生搭建学习支架。 其亮点在于通过“列表-描点-连线”探究画图，结合几何直观培养数学眼光，用对比表格归纳性质发展推理意识，以平移关系总结强化数学语言表达。例如探究y=2x²±1图象，学生能直观理解数形结合，教师可借助清晰流程提升教学效率。

26.2.2.1 二次函数y=ax2+k 的图象和性质 第26章 二次函数 导入课题 问题:说说二次函数y=ax2的图象的特征. 2 6 8 y 4 y=ax2 -8 -4 -2 -6 O -2 2 x 4 -4 （2）当a>0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 ; 当a<0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 ; |a|越大，抛物线的开口 . （1）抛物线y=ax2的对称轴是 ，顶点是 . y轴 原点 向上 最低点 向下 最高点 越小 那么y=ax2+k 呢？ 新课讲解 知识点1 二次函数 的图象 探究1 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数  y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2+1 … … y=2x2-1 … … 5.5 1.5 3 1.5 1 3 5.5 1.列表 3.5 1 -0.5 1 -0.5 -1 3.5 10 4 x y O -2 2 2 4 6 -4 8 -2 y = 2x2+1 y = 2x2-1 2.描点 3.连线 可以看出，抛物线  y=x2+2 的开口向上，对称轴是y轴，顶点是 (0，2)；抛物线 y=x2-2 的开口向上，对称轴是y轴，顶点是  (0，-2). 新课讲解 探究2 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数，的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 如图所示 可以看出，抛物线的开口向下，对称轴是y轴，顶点是 (0，2)；抛物线的开口向下，对称轴是y轴，顶点是  (0，-2). 知识点1 二次函数y = ax2 +k的图象的画法 例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。 解：先列表： x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y =2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 … 5 x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y = 2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 … 然后描点画图： 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y = 2x2 -1 y = 2x2+1 -1 抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 思考1 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2 , y=x2+1, y=x2-1的图象. 【解析】 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=x2+1 … … y=x2-1 … … 10 5 2 1 2 5 10 8 3 0 -1 0 3 8 探究新知 二次函数y=ax2+k图象的画法 知识点 1 1.列表： 7 7 y=x2+1 10 8 6 4 2 -2 -5 5 x y y=x2-1 y=x2 O 2.描点，连线： 探究新知 8 8 新课讲解 一般地，当 a>0 时，抛物线的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是(0，)，顶点是抛物线的最低点. 一般地，当 a<0 时，抛物线的开口向下，对称轴是 y 轴；顶点是(0，) ，顶点是抛物线的最高点. 越大，抛物线的开口越小. 归纳 知识点1 二次函数 的图象 1. 对于抛物线与 的说法如下，则 正确的有( ) ①对称轴都是 轴；②开口大小相同；③顶点坐标相同 C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10 2. 函数和 为常数，且 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( ) D A. B. C. D. 【点拨】方法一:分类讨论 的符号推图象的位置;方法二:由图 象的位置推 的符号. 11 【思考】抛物线y=x2 ，y=x2+1，y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？ 解： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=x2 向上 x=0 (0,0) y=x2+1 向上 x=0 (0，1) y=x2-1 向上 x=0 (0，-1) 探究新知 12 12 新课讲解 知识点2 二次函数 的性质 从二次函数的图象可以看出： 在对称轴的_____，抛物线从左到右下降； 在对称轴的_____，抛物线从左到右上升. 也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____； 当x＞0时，y随x的增大而_____. 左侧 右侧 减小 增大 你还能从图象中看出什么？ 思考 10 4 x y O -2 2 2 4 6 -4 8 -2 y = 2x2+1 y = 2x2-1 新课讲解 从二次函数的图象可以看出： 在对称轴的_____，抛物线从左到右上升； 在对称轴的_____，抛物线从左到右下降. 也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____； 当x＞0时，y随x的增大而_____. 左侧 右侧 减小 增大 你还能从图象中看出什么？ 思考 一般地，当 a>0 且 x<0 时，y随x的增大而减小；当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. 一般地，当 a<0 且 x<0 时，y随x的增大而增大；当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小. 归纳 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 抛物线y = ax2+k 与抛物线y=ax2 有什么关系？ 思考3 y O x y = ax2 +k(k<0) y = ax2+k (k>0) y = ax2 k k 结论： 抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移 个单位. 向上 向下 |k| 在同一坐标系中，画出二次函数 ， ， 的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，指明抛物线 通 过怎样的平移可得到抛物线 . 练习 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 如图所示 二次函数y = ax2 +k的图象的画法 例 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = x2 +2， y = x2 -2的图象. 解析 先列表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y =x2 +2 … 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 … y = x2 -2 … 6 2.5 0 -1.5 -2 -1.5 0 2.5 6 … 素养考点 探究新知 17 然后描点画图： 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y =x2 -2 y = x2 +2 -2 探究新知 10 抛物线y = x2 +2, y = x2 -2的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 【思考】 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=x2 +2 向上 y轴 （0,2） y=x2 -2 向上 y轴 （0，-2） 解答： 探究新知 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y =x2 -2 y = x2 +2 -2 10 19 新课讲解 例 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 ______ ______ _____ 最____值：___ ______ ________ _____ 最____值：____ 向下 轴 大 6 向上 轴 小 2. 填表. 新课讲解 例 A. B. C. D. 3. 对于二次函数，当时， 的取值范围是 ( ) 方法点拨：求二次函数的最值时，要确定函数在自变量取值范围内的增减性，如果所给范围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最大（小）值；如果所给范围不包含顶点的横坐标，则利用函数增减性确定最值. C 二次函数y = ax2 +k的图象和性质: 归纳 a的符号 a>0 a<0 图象 k>0 k<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 向上 向下 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） （0，k） （0，k） x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k 开口方向：向上 对 称 轴：y轴（或直线x=0） 顶点坐标：（0，k） 最 值：当x=0时，有最小值，y=k 增 减 性：当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 探究新知 二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质 二次函数y=ax2+k的性质 知识点 2 在同一坐标系中，画出二次函数 ， ， 的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标. -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 如图所示 巩固练习 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y= -x2 向下 y轴 （0,0） y= -x2 +2 向下 y轴 （0,2） y= -x2 -2 向下 y轴 （0，-2） 新课讲解 总结 a，k的符号 a>0，k>0 a>0，k<0 a<0，k>0 a<0，k<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的 增减性 最值 向上 向下 y轴（直线 x=0） （0，k） 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>0 时，y 随 x的增大而增大. 当 x<0 时，y 随 x的增大而增大；当 x> 0时，y 随 x的增大而减小. x=0时，y最小值=k. x=0时，y最大值=k. 二次函数 y=ax2+k(a≠0) 的图象和性质 O y x O y x O y x O y x 新课讲解 知识点3 抛物线与 间的关系 思考 抛物线 y=x2+2， y=x2-2 与抛物线 y=x2 有什么关系？ y=x2+2 y=x2-2 可以发现，把抛物线y=x2 （图中的虚线图形）向上平移 2 个单位长度，就得到抛物线 y=x2+2； 把抛物线向下平移 2 个单位长度，就得到抛物线 y=ax2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） 顶点坐标 （0,k） （0,k） 最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； x＞0时，y随x的增大而增大 当x＞0时，y随x的增大而减小； x＜0时，y随x的增大而增大 探究新知 二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质 复习y=ax2 探索y=ax2+k的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 y轴（直线x=0） （0,k） a>0,开口向上 a<0,开口向下 $