26.2.2.1二次函数y=ax2+k 的图象和性质 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2+k\)的图象和性质，通过回顾配方法解一元二次方程启发转化思想，建立与\(y=ax^2\)的联系，引导学生从已知探究新知，搭建学习支架。 其亮点在于通过“描点法”作图、对比分析图象关系培养几何直观和抽象能力，用表格归纳性质、例题辨析深化推理意识，结合中考链接和剪纸艺术实例渗透应用意识。系统的知识梳理和分层习题设计，帮助学生理解应用，教师可高效开展教学。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月13日 26.2.2.1二次函数y=ax2+k 的图象和 性质 第二十六章 二次函数 26.2.2.1 二次函数\(y=ax^2+k\)的图象和性质 同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 函数基本图象特征 二次函数\(y=ax^2+k(a eq0)\)的图象是抛物线，由基础抛物线\(y=ax^2\)上下平移得到。图象对称轴仍为y轴（直线\(x=0\)），无左右平移，顶点坐标为\((0,k)\)，相较于\(y=ax^2\)仅改变顶点纵坐标，开口形状、宽窄完全不变。 2. 平移规律（上加下减） 在\(y=ax^2\)基础上，\(k>0\)时，图象向上平移\(k\)个单位；\(k<0\)时，图象向下平移\(|k|\)个单位。平移只改变图象上下位置，不改变开口方向、开口宽窄和对称轴。 3. 函数核心性质（\(a\)决定开口与增减性） 当\(a>0\)时，抛物线开口向上，顶点\((0,k)\)是最低点，当\(x=0\)时，函数有最小值\(y=k\)；\(x<0\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小；\(x>0\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大。 当\(a<0\)时，抛物线开口向下，顶点\((0,k)\)是最高点，当\(x=0\)时，函数有最大值\(y=k\)；\(x<0\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大；\(x>0\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小。 4. 开口宽窄规律 和基础函数一致，仅由\(|a|\)决定，\(|a|\)越大开口越窄，\(|a|\)越小开口越宽，与\(k\)的取值无关。 二、基础巩固习题 （一）选择题 1. 抛物线\(y=2x^2+3\)的顶点坐标是（ ） A. \((3,0)\) B. \((0,3)\) C. \((-3,0)\) D. \((0,-3)\) 2. 相较于抛物线\(y=4x^2\)，抛物线\(y=4x^2-2\)的平移方式是（ ） A. 向上平移2个单位 B. 向下平移2个单位 C. 向左平移2个单位 D. 向右平移2个单位 （二）填空题 3. 二次函数\(y=-3x^2+5\)的开口方向为________，对称轴为________，最大值为________。 4. 已知抛物线\(y=ax^2-4\)由\(y=2x^2\)平移得到，则\(a=\)________。 三、综合提升习题 （三）解答题 5. 已知二次函数\(y=ax^2+k\)的图象经过点\((1,2)\)和\((0,-1)\)，求该函数解析式。 6. 已知抛物线\(y=-x^2+4\)，判断其开口方向、最值、增减性，并比较点\(A(-2,y_1)\)、\(B(1,y_2)\)的函数值大小。 四、参考答案与详细解析 1. B 解析：\(y=ax^2+k\)顶点坐标为\((0,k)\)，本题\(k=3\)，故顶点为\((0,3)\)。 2. B 解析：根据“上加下减”原则，\(k=-2\)，图象由原抛物线向下平移2个单位。 3. 向下；y轴（直线\(x=0\)）；5 解析：\(a=-3<0\)开口向下，顶点在\(y\)轴上，顶点纵坐标\(5\)为函数最大值。 4. 2 解析：上下平移不改变二次项系数，故\(a=2\)。 5. 解：将\((0,-1)\)代入解析式，得\(k=-1\)，函数为\(y=ax^2-1\)；再将\((1,2)\)代入得\(a-1=2\)，解得\(a=3\)。综上，解析式为\(y=3x^2-1\)。 6. 解：\(a=-1<0\)，抛物线开口向下，对称轴为y轴，当\(x=0\)时，函数最大值为4；\(x<0\)时\(y\)随\(x\)增大而增大，\(x>0\)时\(y\)随\(x\)增大而减小。代入求值：\(y_1=-(-2)^2+4=0\)，\(y_2=-1^2+4=3\)，故\(y_1<y_2\)。 五、本节易错点总结 1. 平移规律混淆：仅上下平移，只变顶点纵坐标，对称轴始终为y轴，无左右平移； 2. 最值易错：最值是\(k\)值而非0，开口向上最小值为\(k\)，开口向下最大值为\(k\)； 3. \(k\)只改变图象位置，不改变开口大小和增减性变化规律。 学习目标 1.会画二次函数 y = ax2 + k 的图象.（重点） 2.掌握二次函数 y = ax2 + k 的性质并会应用.（难点） 3.理解 y = ax² 与 y = ax² + k 之间的联系.（重点） 学习目标 在研究了 y = ax² 的图象和性质之后，我们进一步探讨当 b，c 不全为 0 时，二次函数 y = ax² + bx + c 的图象和性质. 如何研究呢？能否将 y = ax² + bx + c 转化为类似 y = ax² 的简单形式? 回想一下，上一章是如何通过配方法解一元二程ax² + bx + c = 0 的？由此，你得到了什么启发？ 通过配方，可以将“ax² + bx + c”转化为 “a(x - h)2 + k”的形式，即将二次函数 y = ax² + bx + c 转化为 y = a(x - h)2 + k 的形式.当分别讨论 h，k 的取值时，就可以建立起 y = a(x - h)2 + k 与 y = ax² 的联系了. 先来讨论当 h = 0，k≠0 二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质. 思考 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. (2) 抛物线 y = + 2，y = - 2 y = + 2，y = - 2 与抛物线 y = 有什么关系？ 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 x ··· −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· ··· ··· 6.5 2.5 4 2.5 2 4 6.5 2.5 0 −1.5 0 −1.5 −2 2.5 解：列表如下： 10 6 10 6 用“描点法”法作图 y=+2 y=-2 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 描点、连线，画出这两个函数的图象. y=+2 y=-2 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _________________； 抛物线 向上 y 轴 (0，2)， (0，−2) y=+2 y=-2 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 (5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最小值分别为_______、________； (6) 函数的增减性的共性： ___________________________ ___________________________. 低 小 −2 2 对称轴左侧 y 随 x 增大而减小， 对称轴右侧 y 随 x 增大而增大 想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k (a＞0) 的性质是什么？ y=+2 y=-2 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. (2) 抛物线 y = - + 2，y = - - 2 y = - + 2，y = - - 2 与抛物线 y = - 有什么关系？ 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _________________； 抛物线 向下 y 轴 (0，2)， (0，−2) 【想一想】 y=-+2 y=--2 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 y=-+2 y=--2 (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、________. (6) 函数的增减性共性： __________________________ ___________________________. 高 大 −2 2 对称轴左侧 y 随 x 增大而增大， 对称轴右侧 y 随 x 增大而减小 想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k (a＜0) 的性质是什么？ 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 【归纳总结】 二次函数 y = ax2 + k (a ≠ 0) 的性质 y = ax2 + k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 y 轴 y 轴 (0，k) 当 x = 0 时，y最小值 = k 当 x = 0 时，y最大值 = k 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 x＜0时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小 (0，k) 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 例1 关于二次函数 y = 2x2 + 4，下列说法错误的是 ( ) A．其图象的开口方向向上 B．当 x = 0 时，y 有最大值 4 C．其图象的对称轴是 y 轴 D．其图象的顶点坐标为 (0，4) B 分析：当 x = 0 时，y 有最小值 4 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 例2 关于抛物线 y = −x2 + 1 与 y = x2 − 1，下列说法正确的是（　　） A．开口方向相同 B．顶点相同 C．对称轴相同 D．当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大 C 分析： y = −x2 + 1 y = x2 − 1 开口方向： 顶点： 对称轴： 增减性： 向下 向上 (0，1) (0，−1) y 轴 y 轴 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 探究点2： 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象及平移 y=+2 y=-2 y= 探究：观察上述图象，说说它们之间的区别与联系. 解析式 y = x2 y = x2 + 2 y = x2 − 2 +2 −2 点的坐标 函数对应值表 x … −2 0 2 … … … … … … … 2 4 0 0 2 -2 (x， ) (x， ) (x， ) x2−2 x2 x2 + 2 从数的角度探究 4 2 0 y=+2 y=-2 y= 探究点2： 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象及平移 从形的角度探究 可以发现，把抛物线y = x2 向 平移 2 个单位长度，就得到抛物 线 ；把抛物线 y = x2 向 平移 2 个单位长度，就得到抛物线 . 下 y = x2 + 2 上 y = x2 - 2 y=+2 y=-2 y= 探究点2： 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象及平移 【想一想】 1. 抛物线 y = ax2 + k (a≠0) 与抛物线 y = ax2 有什么关系？ y = ax2 y = ax2 + k (k＞0) y = ax2 y = ax2 - k (k＞0) 向上平移 k 个单位 向下平移 k 个单位 上下平移规律： 二次项不变，常数项上加下减. 探究点2： 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象及平移 1. 将二次函数 y = -2x2﹣2 的图象向上平移 3 个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是 . y = -2x2 + 1　 【链接中考】 2. 抛物线 y = ax2 + k (a≠0) 中的 a 决定什么？k 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ a 决定开口方向和大小，k 决定顶点的纵坐标； 对称轴为 y 轴；顶点坐标为 (0，k). 【想一想】 探究点2： 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象及平移 知识点1 二次函数 的图象 1. 对于抛物线与 的说法如下，则 正确的有( ) ①对称轴都是 轴；②开口大小相同；③顶点坐标相同 C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 中考考法 21 2. 函数和 为常数，且 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( ) D A. B. C. D. 【点拨】方法一:分类讨论 的符号推图象的位置;方法二:由图 象的位置推 的符号. 中考考法 22 3. 剪纸是我国的民间传统艺 术，能为节日增加许多喜庆的氛围.剪纸中 有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮 廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图， 这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶， C A. B. C. D. 建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的,,, 四点落在 抛物线 上，则下列结论正确的是( ) 中考考法 23 知识点2 二次函数 的性质 4. 对于二次函数,当时, 的取 值范围是( ) C A. B. C. D. 中考考法 24 5.已知关于的二次函数 有最值6，且 当时，随 的增大而减小，则该二次函数的解析式是 _____________. 中考考法 25 知识点3 抛物线与 间的关系 6. 下列各组抛物线中能够通过互相平移得到 的是( ) D A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 中考考法 26 （第7题） 7.如图，将抛物线 沿 轴向下平移一段距离后，得到一 条新的抛物线 .若曲线 段平移至曲线段，曲线段 所扫过的区域为阴影部分，则阴影 部分的面积是____. 16 中考考法 27 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 图象 性质 与 y = ax2 (a≠0)的关系 1. 开口方向由 a 的符号决定； 2. k 决定顶点位置； 3. 对称轴是 y 轴 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 平移规律： 上加下减 课堂小结 $