精品解析：湖北荆门市京山市2025-2026学年下学期期末阶段学情自测七年级数学试题

七年级数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上指定位置．答题卡必须保持清洁，不能折叠． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的值是（ ） A. 3 B. C. 81 D. 2. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 调查汉江水质情况 B. 了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况 C. 检测一批新能源汽车电池的使用寿命 D. 对乘飞机的乘客的行李进行安检 3. 小亮从图1的电动伸缩门抽象出图2所示的几何图形，已知，，平分，交于点G．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 北斗七星位于北半球的大熊座，是大熊座的一部分，由七颗明亮的星星组成，因形状如古人盛酒的器皿“斗”而得名．这七颗星从斗身最前端开始，到斗柄的末尾，按顺序依次命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光（瑶光）；建立适当的平面直角坐标系，若表示“天玑”的点的坐标为，表示“天璇”的点的坐标为，则表示“开阳”的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，相交于点O，，垂足为O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点和点，下列结论正确的是（ ） A. 点A和点B横坐标相同 B. 点A和点B纵坐标相同 C. 点A和点B所在象限相同 D. 点A和点B到y轴的距离相等 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 互补的两个角是邻补角 B. 直线，，，若，，则 C. 直线，，，若，，则 D. 同旁内角相等，两直线平行 8. “燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，他编写的《燕几图》一书，是组合家具设计图册，也是现代益智玩具七巧板的萌芽．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，根据图中信息，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰好只有两个负整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，…，，．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为，，，，．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大．如表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 ， ， ， ， ， 两数的和 则这五张卡片中上面数字最大的一张卡片是（ ） A. 卡片 B. 卡片 C. 卡片 D. 卡片 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个绝对值小于的整数________． 12. 若是关于x，y的方程的解，则m的值为________． 13. 如图，在三角形中，，，，将三角形沿方向平移至三角形，与相交于点，连接，则图中阴影部分的两个三角形周长之和为________． 14. 如图，有一长方形纸带，E，F分别是边，上的点，（），将纸带沿折叠成图1，交于点G，再沿折叠成图2，当与的度数之和为时，的值为_____． 15. 对任意两个实数a、b，我们定义：①表示这两个数的平均数；②表示这两个数中更大的数，当时，；当时，．例如：，．（1）若，则x的取值范围是________；（2）若，则的值是________． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程组：． 17. 解不等式组：，请结合题意完成本题的解答（每空只需填写最后的结果）． 解：解不等式①，得：________． 解不等式②，得：________． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来， 原不等式组的解集为________． 18. 劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某中学为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务劳动的时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表、直方图和扇形统计图． 劳动时间t（单位：小时） 频数 12 a 24 8 根据以上已有的信息，解答下列问题： （1）直接写出m，a的值以及C组人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数； （2）请将频数分布直方图补充完整，并在图中标明相应数据； （3）若该校共有1200名学生，试估计做家务劳动的时间t在范围的学生人数． 19. 根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，，．求证：． 证明：（已知）， ∴①_____（②_____）， ③_____（④_____）． （已知） ⑤_____（等式的基本事实）， ∴⑥_____（⑦_____）， （⑧_____）． 20. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，建立平面直角坐标系，已知三角形的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点C的坐标为． （1）将三角形先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形，请画出平移后的三角形； （2）写出点，，的坐标； （3）若，则_____，此时与的位置关系为_____． 21. 在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… （1）【规律发现】_____； （2）用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； （3）【规律应用】计算：______； （4）若符合上述规律，则x的值为______． 22. 自动分拣机器人是一种利用先进传感技术和智能算法，实现对物品进行自动识别、分类和搬运的智能化设备，广泛应用于物流、电商、制造业等领域，能够显著提高分拣效率和准确性，降低人力成本．某快递中转站为提升分拣效率，引进A、B两种型号的自动分拣机器人．同时使用1台A型机器人和2台B型机器人每小时可以分拣共2800件快递；同时使用2台A型机器人和1台B型机器人每小时可以分拣共3200件快递． （1）求1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别可以分拣多少件快递？ （2）为扩大规模，若另一个快递中转站准备同时购买相同型号的A、B两种机器人共5台，该中转站送来一批快递，要求4个小时分拣快递数量不少于20000件，则该中转站至少需要购买多少台A型机器人？ 23. 在数学活动课上，善思小组的同学以“两条平行线，和一块含的直角三角板（，，逆时针方向排列，其中，）”为主题展开数学活动，点始终在直线上． （1）如图1，当时，边，分别交于点，，求的度数； （2）如图2，三角板绕点旋转，当点在下方，点在两条平行线之间时，的延长线交于点，的平分线与的平分线交于点，请探究的度数是否发生变化，并说明理由； （3）如图3，三角板的顶点在直线上，边交于点，将三角板沿翻折，点落在点处，，为边延长线上一点，连接，的平分线所在直线交于点，直接写出与之间的数量关系． 24. 如图，平面直角坐标系中，点，，且． （1）如图1，若点A的坐标为，求点B的坐标； （2）在（1）的条件下，直线与x轴交于点M，求点M的坐标； （3）如图2，点A在第二象限，与x轴交于点E，若， ①求的长（用含a的代数式表示）； ②当三角形的面积不大于15时，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上指定位置．答题卡必须保持清洁，不能折叠． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的值是（ ） A. 3 B. C. 81 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，根据算术平方根的含义可得答案． 【详解】解：， 故选：A 2. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 调查汉江水质情况 B. 了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况 C. 检测一批新能源汽车电池的使用寿命 D. 对乘飞机的乘客的行李进行安检 【答案】D 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A：调查汉江水质：江水范围极大，只能抽取多处水样抽样调查，适合抽样调查； B：冰淇淋质量检测：检测会破坏食品，不能全部检查，适合抽样调查； C：电池使用寿命检测：测试寿命会损耗电池，属于破坏性检测，适合抽样调查； D：飞机行李安检：事关飞行安全，每一位乘客的行李都必须全部检查，适合全面调查． 3. 小亮从图1的电动伸缩门抽象出图2所示的几何图形，已知，，平分，交于点G．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质、角平分线平分角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 4. 北斗七星位于北半球的大熊座，是大熊座的一部分，由七颗明亮的星星组成，因形状如古人盛酒的器皿“斗”而得名．这七颗星从斗身最前端开始，到斗柄的末尾，按顺序依次命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光（瑶光）；建立适当的平面直角坐标系，若表示“天玑”的点的坐标为，表示“天璇”的点的坐标为，则表示“开阳”的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系如下，则表示“开阳”的点的坐标为． 5. 如图，直线，相交于点O，，垂足为O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据，得出，结合，根据对顶角相等，即可作答． 【详解】解：， ， ， ， . 6. 已知点和点，下列结论正确的是（ ） A. 点A和点B横坐标相同 B. 点A和点B纵坐标相同 C. 点A和点B所在象限相同 D. 点A和点B到y轴的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点的坐标、象限的划分、点到坐标轴的距离的概念，掌握点的坐标相关特征是解题关键，逐个选项判断即可. 【详解】解：A. ∵点的横坐标为，点的横坐标为，，∴A错误，不符合题意； B. ∵点的纵坐标为，点的纵坐标为，，∴B错误，不符合题意； C. ∵点横坐标为负纵坐标为正，位于第二象限，点横坐标为正纵坐标为负，位于第四象限，象限不同，∴C错误，不符合题意； D. ∵点到轴的距离等于点横坐标的绝对值，点到轴的距离为，点到轴的距离为，距离相等，∴D正确，符合题意. 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 互补的两个角是邻补角 B. 直线，，，若，，则 C. 直线，，，若，，则 D. 同旁内角相等，两直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及邻补角定义、平行线的判定与性质、平行公理的推论等知识点，逐一判断各选项即可得到正确结果． 【详解】解：A．互补仅要求两个角的和为，邻补角还要求两个角有公共顶点和公共边，因此互补的两个角不一定是邻补角，故A是假命题，不符合题意； B．同一平面内，直线，，，若，，则，故B是假命题，不符合题意； C．根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，，，，故C是真命题，符合题意； D．两直线平行的判定定理是同旁内角互补，两直线平行，不是同旁内角相等，故D是假命题，不符合题意． 8. “燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，他编写的《燕几图》一书，是组合家具设计图册，也是现代益智玩具七巧板的萌芽．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，根据图中信息，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解图示，正确列式是关键． 根据每张桌面的宽都相等，设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，由图形结合列式即可． 【详解】解：每张桌面的宽都相等，设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，且， ∴横轴方向，， 纵轴方向，， ∴方程组为， 故选：B ． 9. 如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰好只有两个负整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴知，两个负整数解只能是，由此可确定a的取值范围． 【详解】解：根据数轴知，两个负整数解只能是， 所以数a表示的点在表示的点的左边，但不能在表示的点的左边， 即． 10. 在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，…，，．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为，，，，．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大．如表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 ， ， ， ， ， 两数的和 则这五张卡片中上面数字最大的一张卡片是（ ） A. 卡片 B. 卡片 C. 卡片 D. 卡片 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的应用，由题意得到关于的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论，熟练掌握等式的性质和不等式的应用是解答本题的关键． 【详解】解：由题意得到关于的方程，然后作差利用不等式的性质可得： 设，，，，卡片上对应的数分别为，，，，， 则，，，，， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， ，得，所以， 所以且， 所以卡片上的数最大， 故选：D． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个绝对值小于的整数________． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】先估算出的大致范围，再根据绝对值的定义找出符合条件的整数，任选一个即可． 【详解】解：， ，， 符合条件的整数为． 12. 若是关于x，y的方程的解，则m的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据方程的解满足方程，将已知解代入原方程，解一元一次方程即可求出的值． 【详解】解：将代入方程得 ， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 13. 如图，在三角形中，，，，将三角形沿方向平移至三角形，与相交于点，连接，则图中阴影部分的两个三角形周长之和为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵三角形沿方向平移至三角形， ∴，，， ∴阴影部分周长 ． 14. 如图，有一长方形纸带，E，F分别是边，上的点，（），将纸带沿折叠成图1，交于点G，再沿折叠成图2，当与的度数之和为时，的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用长方形对边平行的性质，结合两次折叠的等角关系，表示出，再根据列方程求解． 【详解】解：由长方形得，根据平行线内错角相等： ，， 第一次沿折叠（图1）：， 则， 第二次沿折叠（图2）：，折叠后， 因此， 根据题意，代入得方程： ， ， ， ． 15. 对任意两个实数a、b，我们定义：①表示这两个数的平均数；②表示这两个数中更大的数，当时，；当时，．例如：，．（1）若，则x的取值范围是________；（2）若，则的值是________． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】（1）根据的定义，可得，解一元一次不等式即可得到的取值范围; （2）根据平均数定义和的定义，将新定义方程组转化为常规二元一次方程组，求解得到和的值，再计算即可. 【详解】解：（1） 由的定义可知，若，则 移项得 系数化为得 ； （2）根据材料中的定义，结合， ，, , ,, ,即, 联立方程组得, 解得． ∴． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程组：． 【答案】这个方程组的解是 【解析】 【分析】利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：由①，得：③ 把③代入②，得： 解这个方程，得： 把代入③，得： 解得 这个方程组的解是． 17. 解不等式组：，请结合题意完成本题的解答（每空只需填写最后的结果）． 解：解不等式①，得：________． 解不等式②，得：________． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来， 原不等式组的解集为________． 【答案】；；； 【解析】 【详解】解：解不等式①，得：． 解不等式②，得：． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，略 原不等式组的解集为． 18. 劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某中学为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务劳动的时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表、直方图和扇形统计图． 劳动时间t（单位：小时） 频数 12 a 24 8 根据以上已有的信息，解答下列问题： （1）直接写出m，a的值以及C组人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数； （2）请将频数分布直方图补充完整，并在图中标明相应数据； （3）若该校共有1200名学生，试估计做家务劳动的时间t在范围的学生人数． 【答案】（1），，C组人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为 （2）补全频数分布直方图及相关数据如图所示： （3）做家务劳动的时间t在范围的学生人数为900名 【解析】 【分析】（1）根据C组的频数除以它所占的百分比得出值，再用分别减去A、C、组的频数，即可得出的值，用乘C组所占的百分比，即可得到C组人数在扇形统计图中所对应的圆心角度数； （2）根据已知条件以及（1）中求得的的值，画图即可； （3）利用总人数乘劳动时间在范围的学生（即B、C组）占样本容量的百分比，即可得出答案． 【小问1详解】 解：样本容量， ∴， C组人数在扇形统计图中所对应的圆心角度数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：劳动时间在范围的学生有：（名）． 答：估计做家务劳动的时间t在范围的学生人数有名． 19. 根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，，．求证：． 证明：（已知）， ∴①_____（②_____）， ③_____（④_____）． （已知） ⑤_____（等式的基本事实）， ∴⑥_____（⑦_____）， （⑧_____）． 【答案】①；②同旁内角互补，两直线平行；③；④两直线平行，同位角相等；⑤；⑥；⑦内错角相等，两直线平行；⑧两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】读懂推理过程，利用平行线的判定与性质即可完成填空． 【详解】解：略． 20. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，建立平面直角坐标系，已知三角形的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点C的坐标为． （1）将三角形先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形，请画出平移后的三角形； （2）写出点，，的坐标； （3）若，则_____，此时与的位置关系为_____． 【答案】（1）如图，三角形即为所求： （2），， （3）， 【解析】 【分析】（1）根据平移性质得到对应点的位置，再顺次连接即可画出图形； （2）根据（1）中得到的平移后的图形可得对应点的坐标； （3）根据平移性质，对应线段平行且相等可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图知，，，； 【小问3详解】 解：根据平移性质，，． 21. 在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… （1）【规律发现】_____； （2）用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； （3）【规律应用】计算：______； （4）若符合上述规律，则x的值为______． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据发现的规律即可求解； （2）根据发现的规律即可用代数式表示； （3）根据规律计算出每个因数，再相乘即可； （4）根据规律计算出等式左边的结果，可求得n的值，即可求得x的值． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 第n个等式：； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 22. 自动分拣机器人是一种利用先进传感技术和智能算法，实现对物品进行自动识别、分类和搬运的智能化设备，广泛应用于物流、电商、制造业等领域，能够显著提高分拣效率和准确性，降低人力成本．某快递中转站为提升分拣效率，引进A、B两种型号的自动分拣机器人．同时使用1台A型机器人和2台B型机器人每小时可以分拣共2800件快递；同时使用2台A型机器人和1台B型机器人每小时可以分拣共3200件快递． （1）求1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别可以分拣多少件快递？ （2）为扩大规模，若另一个快递中转站准备同时购买相同型号的A、B两种机器人共5台，该中转站送来一批快递，要求4个小时分拣快递数量不少于20000件，则该中转站至少需要购买多少台A型机器人？ 【答案】（1）1台A型机器人每小时可以分拣1200件快递，1台B型机器人每小时可以分拣800件快递 （2）该中转站至少需要购买3台A型机器人 【解析】 【分析】（1）设1台A型机器人每小时可以分拣a件快递，1台B型机器人每小时可以分拣b件快递，根据等量关系：同时使用1台A型机器人和2台B型机器人每小时可以分拣共2800件快递；同时使用2台A型机器人和1台B型机器人每小时可以分拣共3200件快递，列出二元一次方程组并求解即可； （2）设该中转站需要购买m台A型机器人，根据不等关系：4个小时分拣快递数量不少于20000件，列出不等式，并解不等式，最后求出最小正整数解即可． 【小问1详解】 解：设1台A型机器人每小时可以分拣a件快递，1台B型机器人每小时可以分拣b件快递，根据题意，得 ， 解得． 答：1台A型机器人每小时可以分拣1200件快递，1台B型机器人每小时可以分拣800件快递． 【小问2详解】 解：设该中转站需要购买m台A型机器人， 根据题意，得 ， 解得． 为正整数， 的最小值为3． 答：该中转站至少需要购买3台A型机器人． 23. 在数学活动课上，善思小组的同学以“两条平行线，和一块含的直角三角板（，，逆时针方向排列，其中，）”为主题展开数学活动，点始终在直线上． （1）如图1，当时，边，分别交于点，，求的度数； （2）如图2，三角板绕点旋转，当点在下方，点在两条平行线之间时，的延长线交于点，的平分线与的平分线交于点，请探究的度数是否发生变化，并说明理由； （3）如图3，三角板的顶点在直线上，边交于点，将三角板沿翻折，点落在点处，，为边延长线上一点，连接，的平分线所在直线交于点，直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1） （2）的度数不发生变化，理由如下： 分别过点，作的平行线，，如图， 设，， ∵的平分线与的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的度数不发生变化； （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质及三角形内角和即可求解； （2）的度数不发生变化；分别过点，作的平行线，，设，，利用平行线的性质及角的和差运算可求得，即； （3）由翻折得，再由可求得、的度数，由平行线的性质得，；设，则可表示出相关角，进而可得与之间的数量关系． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由翻折知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设， 则，， ∵的平分线所在直线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，平面直角坐标系中，点，，且． （1）如图1，若点A的坐标为，求点B的坐标； （2）在（1）的条件下，直线与x轴交于点M，求点M的坐标； （3）如图2，点A在第二象限，与x轴交于点E，若， ①求的长（用含a的代数式表示）； ②当三角形的面积不大于15时，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据列出方程组，将，代入即可求解； （2）作轴于，连接，过点作于，根据求出，再根据即可求出点的坐标； （3）根据，由（1）可知：，，过点作轴于点C，轴于点，过点作轴于点，轴于点，根据得出；又，所以；最后根据题意得出即可求解． 【小问1详解】 解：当点的坐标为时，，． ， ， ， ， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：作轴于，连接，过点作于， ，； ，，，点到轴的距离是2， ， ， 解得：， ， ； 【小问3详解】 解：①当时，点的坐标为， 又由（1）可知：， ， ． 过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点， 点在第二象限， ． ，， ， ， ， ，． ②由①可知：． 由题意，得：，解得：， 又， ． 的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $