第十三课时-幂函数-同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学高一必修一第十三课时幂函数同步练，以“基础巩固-综合应用-拓展深化”分层设计，覆盖幂函数概念、图象、性质及综合应用，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|幂函数概念、定义域、图象识别|选择题1-4直接考查概念辨析，填空题9-10强化定义域与参数求解，培养抽象能力| |中档|性质应用、大小比较|选择题5-8结合单调性、奇偶性，填空题11-12提升比较大小技巧，发展推理能力| |提高|综合应用与参数问题|解答题13-15融合奇偶性、单调性及函数类型判断，深化模型意识与运算能力|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第十三课时 幂函数 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 幂函数的概念 一般地，函数 y ＝ x^α 叫做幂函数（power function），其中 x 是自变量，α 是常数。 幂函数的特点是：底数为自变量，指数为常数。 需要注意幂函数与指数函数的区别：幂函数 y ＝ x^α 中底数为自变量、指数为常数；指数函数 y ＝ a^x（a ＞ 0 且 a ≠ 1）中底数为常数、指数为自变量。 常见的幂函数有 y ＝ x，y ＝ x²，y ＝ x³，y ＝ x^(1/2)，y ＝ x^(－1) 等。 判断一个函数是否为幂函数，关键是看它能否化为 y ＝ x^α 的形式，且系数必须为 1。 考点二 幂函数的图象 幂函数 y ＝ x^α 的图象随 α 的取值不同而变化，但所有幂函数的图象都经过点(1, 1)。 当 α ＞ 0 时，图象经过原点(0, 0)和点(1, 1)，在第一象限内单调递增；当 α ＝ 1 时，图象是过原点的直线；当 α ＝ 2 时，图象是开口向上的抛物线；当 α ＝ 3 时，图象是过原点的曲线；当 α ＝ 1/2 时，图象是抛物线 y² ＝ x 的上半部分；当 α ＝ －1 时，图象是双曲线。 当 α ＜ 0 时，图象不过原点，在第一象限内单调递减，以坐标轴为渐近线。 掌握五个常用幂函数的图象特征是解题的基础。 考点三 幂函数的性质 幂函数 y ＝ x^α 的性质主要包括：①定义域：随 α 的取值而定，当 α 为正整数时定义域为 R，当 α 为负整数时定义域为{x | x ≠ 0}，当 α 为分数时需具体分析；②值域：随 α 的取值而定；③奇偶性：当 α 为偶数时为偶函数，当 α 为奇数时为奇函数，当 α 为分数时需具体分析；④单调性：当 α ＞ 0 时，在[0, ＋∞)上单调递增；当 α ＜ 0 时，在(0, ＋∞)上单调递减；⑤过定点：所有幂函数的图象都过点(1, 1)。 解题时需根据 α 的具体取值分析函数的性质。 考点四 幂函数的比较大小 利用幂函数的单调性比较大小是常见题型。 比较大小的方法有：①利用单调性，对于同一个幂函数，在单调区间内自变量大的函数值也大（或小）；②利用中间值，常以 0 或 1 为中间值进行比较；③作差法，计算两数之差的符号；④作商法，计算两数之商与 1 的关系。 比较时需注意：①确定所比较的两个数是否为同一个幂函数的函数值；②确定幂函数的单调性；③注意定义域的限制。 对于不同幂函数的函数值比较，常以(1, 1)为分界点进行分析。 考点五 幂函数的综合应用 幂函数的综合应用主要包括：①已知幂函数过某点求参数，将点坐标代入 y ＝ x^α 求 α；②利用幂函数的性质求参数范围，结合单调性和定义域分析；③幂函数与其他函数的综合，如与二次函数、分段函数等结合。 解题时需注意：①幂函数的系数必须为 1；②根据 α 的取值确定定义域和性质；③结合图象直观分析。 常用结论：幂函数 y ＝ x^α 在第一象限内，当 α ＞ 0 时单调递增，当 α ＜ 0 时单调递减；所有幂函数图象都过点(1, 1)。 知识结构思维导图 图1 幂函数知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数中是幂函数的是（ ） A．y ＝ 2^x B．y ＝ 2x C．y ＝ x² D．y ＝ x ＋ 1 2．幂函数 y ＝ x^(1/2) 的定义域为（ ） A．R B．{x | x ≥ 0} C．{x | x ＞ 0} D．{x | x ≠ 0} 3．函数 f(x) ＝ x^α 过点(2, 4)，则 α ＝ （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．幂函数 y ＝ x^(－1) 的图象是（ ） A．过原点的直线 B．双曲线 C．抛物线 D．射线 5．下列幂函数中，在(0, ＋∞)上单调递减的是（ ） A．y ＝ x² B．y ＝ x³ C．y ＝ x^(1/2) D．y ＝ x^(－1) 6．已知幂函数 f(x) ＝ x^α 的图象过点(3, 9)，则 f(2) ＝ （ ） A．2 B．4 C．8 D．16 7．比较 2^(1/2) 与 3^(1/2) 的大小，结果是（ ） A．2^(1/2) ＞ 3^(1/2) B．2^(1/2) ＜ 3^(1/2) C．2^(1/2) ＝ 3^(1/2) D．无法比较 8．幂函数 y ＝ x³ 的奇偶性为（ ） A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．既奇又偶 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．函数 y ＝ x^(－2) 的定义域为 ____________。 10．已知幂函数 f(x) ＝ x^α 过点(4, 2)，则 α ＝ ____________。 11．比较 (1/2)^(－1) 与 (1/3)^(－1) 的大小：____________。 12．幂函数 y ＝ x^α 的图象过点(2, 1/4)，则 α ＝ ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）已知幂函数 f(x) ＝ x^(m²－2m－2)（m ∈ Z）的图象过原点。 （1）求 m 的值； （2）判断 f(x) 的奇偶性； （3）求 f(x) 在[0, 2]上的值域。 14．（14分）已知幂函数 f(x) ＝ x^(α²－2α－3)（α ∈ R）。 （1）若 f(x) 为正比例函数，求 α 的值； （2）若 f(x) 为反比例函数，求 α 的值； （3）若 f(x) 在(0, ＋∞)上单调递增，求 α 的取值范围。 15．（14分）已知幂函数 f(x) ＝ x^(m＋1)（m ∈ Z）。 （1）若 f(x) 为正比例函数，求 m 的值； （2）若 f(x) 在(0, ＋∞)上单调递减，求 m 的值； （3）若 f(x) 为偶函数，求 m 的值并求 f(－2) 的值。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． C 2． B 3． B 4． B 5． D 6． B 7． B 8． B 9． {x | x ≠ 0} 10． 1/2 11． (1/2)^(－1) ＜ (1/3)^(－1) 12． －2 ■ 详细解析 1．【答案】C 【解析】幂函数的形式为y ＝ x^α，底数为自变量x，指数为常数α。选项A：y ＝ 2^x是指数函数（底数为常数2，指数为自变量x）；选项B：y ＝ 2x是正比例函数（系数2≠1，不是幂函数）；选项C：y ＝ x²是幂函数（底数为x，指数为常数2，系数为1），正确；选项D：y ＝ x ＋ 1是一次函数，不是幂函数。故选C。 2．【答案】B 【解析】幂函数y ＝ x^(1/2) ＝ ，根号内需非负，即x ≥ 0，故定义域为{x | x ≥ 0}，选B。 3．【答案】B 【解析】由f(x) ＝ x^α过点(2, 4)，得2^α ＝ 4 ＝ 2²，故α ＝ 2，选B。 4．【答案】B 【解析】幂函数y ＝ x^(－1) ＝ 1/x（x ≠ 0）是反比例函数，图象为双曲线，选B。 5．【答案】D 【解析】幂函数y ＝ x^α在(0, ＋∞)上，当α ＞ 0时单调递增，当α ＜ 0时单调递减。选项A：α ＝ 2 ＞ 0，递增；选项B：α ＝ 3 ＞ 0，递增；选项C：α ＝ 1/2 ＞ 0，递增；选项D：α ＝ －1 ＜ 0，递减，正确。故选D。 6．【答案】B 【解析】由f(x) ＝ x^α过点(3, 9)，得3^α ＝ 9 ＝ 3²，故α ＝ 2，f(x) ＝ x²。f(2) ＝ 2² ＝ 4，选B。 7．【答案】B 【解析】幂函数y ＝ x^(1/2) ＝ √x在[0, ＋∞)上单调递增（α ＝ 1/2 ＞ 0）。由2 ＜ 3，得 ＜ ，即2^(1/2) ＜ 3^(1/2)，选B。 8．【答案】B 【解析】幂函数y ＝ x³，f(－x) ＝ (－x)³ ＝ －x³ ＝ －f(x)，故f(x)是奇函数，选B。 ■ 填空题解析 9．【答案】{x | x ≠ 0} 【解析】幂函数y ＝ x^(－2) ＝ 1/x²，分母x² ≠ 0，即x ≠ 0，故定义域为{x | x ≠ 0}。 10．【答案】1/2 【解析】由f(x) ＝ x^α过点(4, 2)，得4^α ＝ 2。因4 ＝ 2²，故(2²)^α ＝ 2，即2^(2α) ＝ 2¹，2α ＝ 1，α ＝ 1/2。 11．【答案】(1/2)^(－1) ＜ (1/3)^(－1) 【解析】(1/2)^(－1) ＝ 2，(1/3)^(－1) ＝ 3。由2 ＜ 3，得(1/2)^(－1) ＜ (1/3)^(－1)。也可用幂函数单调性：幂函数y ＝ x^(－1) ＝ 1/x在(0, ＋∞)上单调递减（α ＝ －1 ＜ 0），由1/2 ＞ 1/3，得(1/2)^(－1) ＜ (1/3)^(－1)，即2 ＜ 3。故(1/2)^(－1) ＜ (1/3)^(－1)。 12．【答案】－2 【解析】由f(x) ＝ x^α过点(2, 1/4)，得2^α ＝ 1/4 ＝ 2^(－2)，故α ＝ －2。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）m ＝ 3或m ＝ －1；（2）奇函数；（3）[0, 2] 【解析】（1）幂函数f(x) ＝ x^(m²－2m－2)的图象过原点，需指数m²－2m－2 ＞ 0。 解m²－2m－2 ＞ 0，得m ＜ 1－或m ＞ 1 ＋ 。 因m ∈ Z，1－ ≈ －0.73，1 ＋ ≈ 2.73，故m ≤ －1或m ≥ 3。 当m ＝ －1时，m²－2m－2 ＝ 1 ＋ 2 － 2 ＝ 1，f(x) ＝ x，过原点，符合。 当m ＝ 3时，m²－2m－2 ＝ 9 － 6 － 2 ＝ 1，f(x) ＝ x，过原点，符合。 但需进一步确定，取m ＝ 3（使指数为正整数），f(x) ＝ x，符合题意。 （2）当m ＝ 3时，f(x) ＝ x，f(－x) ＝ －x ＝ －f(x)，故f(x)是奇函数。 （3）f(x) ＝ x在[0, 2]上单调递增，f(0) ＝ 0，f(2) ＝ 2。 故f(x)在[0, 2]上的值域为[0, 2]。 本题关键：幂函数过原点需指数为正，结合m为整数确定m的值。 14．【答案】（1）α ＝ 1 ＋ √5或α ＝ 1 － √5；（2）α ＝ 1 ＋ √3或α ＝ 1 － √3；（3）α ＜ －1或α ＞ 3 【解析】幂函数f(x) ＝ x^(α²－2α－3)。 （1）若f(x)为正比例函数y ＝ x，需指数α²－2α－3 ＝ 1。 即α²－2α－4 ＝ 0，解得α ＝ (2 ± √20)/2 ＝ 1 ± √5。 （2）若f(x)为反比例函数y ＝ 1/x，需指数α²－2α－3 ＝ －1。 即α²－2α－2 ＝ 0，解得α ＝ (2 ± √12)/2 ＝ 1 ± √3。 （3）若f(x)在(0, ＋∞)上单调递增，需指数α²－2α－3 ＞ 0。 解α²－2α－3 ＞ 0，即(α－3)(α＋1) ＞ 0，得α ＜ －1或α ＞ 3。 本题关键：正比例函数指数为1，反比例函数指数为－1，单调递增需指数为正。 15．【答案】（1）m ＝ 0；（2）m ≤ －2；（3）m为奇数，如m ＝ 1时f(－2) ＝ 4 【解析】幂函数f(x) ＝ x^(m＋1)（m ∈ Z）。 （1）若f(x)为正比例函数y ＝ x，需指数m ＋ 1 ＝ 1，解得m ＝ 0。 验证：m ＝ 0时f(x) ＝ x¹ ＝ x，是正比例函数，符合题意。 （2）若f(x)在(0, ＋∞)上单调递减，需指数m ＋ 1 ＜ 0，即m ＜ －1。 因m ∈ Z，故m ≤ －2。 （3）若f(x)为偶函数，需f(－x) ＝ f(x)，即(－x)^(m＋1) ＝ x^(m＋1)。 当m ＋ 1为偶数时，(－x)^(m＋1) ＝ x^(m＋1)，f(x)为偶函数。 故m ＋ 1为偶数，即m为奇数。 取m ＝ 1，则f(x) ＝ x²，f(－2) ＝ (－2)² ＝ 4。 本题关键：正比例函数指数为1，单调递减需指数为负，偶函数需指数为偶数。 高一数学必修一 · 第十三课时 幂函数 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $