第十五课时-指数函数-同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学高一必修一第十五课时指数函数同步练，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，覆盖指数函数概念、图象性质、比较大小等核心考点，通过梯度化题型培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|指数函数概念、图象定点与单调性|选择题直接考查定义判断（如第1题）、单调性识别（第3题），夯实概念理解| |进阶层|比较大小、图象变换、定义域值域|填空题结合零点区间（第11题）、解答题求复合函数定义域（第13题），深化性质应用| |综合层|奇偶性证明、单调性论证、实际应用|解答题证明函数单调性（第14题）、解指数不等式（第15题），发展逻辑推理与模型意识|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第十五课时 指数函数 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 指数函数的概念 一般地，函数 y ＝ aˣ（a ＞ 0且a ≠ 1）叫做指数函数（exponential function），其中 x 是自变量，函数的定义域是 R。指数函数的特点是：底数 a 是大于 0 且不等于 1 的常数，指数是自变量 x。需要注意：①a ＞ 0 是为了保证当 x 为任意实数时 aˣ 都有意义；②a ≠ 1 是因为当 a ＝ 1 时，y ＝ 1ˣ ＝ 1 恒为常数，没有研究价值。指数函数 y ＝ aˣ 的图象恒过定点 (0, 1)，即当 x ＝ 0 时 y ＝ 1。判断一个函数是否为指数函数，关键是看它能否化为 y ＝ aˣ 的形式，且系数必须为 1。 考点二 指数函数的图象与性质 当 a ＞ 1 时，指数函数 y ＝ aˣ 在 R 上单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，指数函数 y ＝ aˣ 在 R 上单调递减。无论 a ＞ 1 还是 0 ＜ a ＜ 1，指数函数的值域都是 (0, ＋∞)，图象都在 x 轴上方，且恒过定点 (0, 1)。当 a ＞ 1 时：x ＞ 0 时 y ＞ 1，x ＜ 0 时 0 ＜ y ＜ 1；当 0 ＜ a ＜ 1 时：x ＞ 0 时 0 ＜ y ＜ 1，x ＜ 0 时 y ＞ 1。指数函数的图象以 x 轴为渐近线：当 a ＞ 1 时，x → －∞ 时 y → 0；当 0 ＜ a ＜ 1 时，x → ＋∞ 时 y → 0。底数 a 越大，图象在 y 轴右侧越陡峭。 考点三 比较大小 利用指数函数的单调性比较大小是常见题型。①同底数幂比较大小：构造指数函数 y ＝ aˣ，利用单调性比较。当 a ＞ 1 时，x 越大 y 越大；当 0 ＜ a ＜ 1 时，x 越大 y 越小。②同指数不同底数比较大小：当指数相同底数不同时，可利用图象或特殊值法比较。③不同底不同指数比较大小：常找中间值 0 或 1 作为桥梁。例如比较 aˣ 与 bʸ 的大小，可分别与 1 比较，或找一个中间值 c 使 aˣ 与 cˣ 比较、bʸ 与 cʸ 比较。常用的中间值有 0、1 等。 考点四 指数函数的图象变换 指数函数的图象变换包括：①平移变换：y ＝ aˣ⁺ᵏ 表示将 y ＝ aˣ 的图象向左（k ＞ 0）或向右（k ＜ 0）平移 |k| 个单位；y ＝ aˣ ＋ k 表示将 y ＝ aˣ 的图象向上（k ＞ 0）或向下（k ＜ 0）平移 |k| 个单位。②对称变换：y ＝ a⁻ˣ 的图象与 y ＝ aˣ 的图象关于 y 轴对称；y ＝ －aˣ 的图象与 y ＝ aˣ 的图象关于 x 轴对称；y ＝ －a⁻ˣ 的图象与 y ＝ aˣ 的图象关于原点对称。③翻折变换：y ＝ a^|x| 的图象保留 y 轴右侧部分，将右侧翻折到左侧。掌握图象变换有助于快速画出函数图象，分析函数性质。 考点五 指数函数的综合应用 指数函数的综合应用主要包括：①求定义域和值域，对于复合函数需注意内层函数的取值范围；②解指数方程和不等式，利用单调性转化为代数方程或不等式；③实际应用问题，如人口增长、细胞分裂、放射性衰变等，常用模型 y ＝ a(1 ＋ r)ˣ 或 y ＝ a(1 － r)ˣ。解题时需注意：指数函数的值域为 (0, ＋∞)，故 aˣ ＞ 0 恒成立；解不等式 a^(f(x)) ＞ a^(g(x)) 时，当 a ＞ 1 转化为 f(x) ＞ g(x)，当 0 ＜ a ＜ 1 转化为 f(x) ＜ g(x)。 知识结构思维导图 图1 指数函数知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数中是指数函数的是（ ） A．y ＝ x² B．y ＝ 2ˣ C．y ＝ x^(-1) D．y ＝ 2x 2．函数 f(x) ＝ 3ˣ 的图象过定点（ ） A．(0, 0) B．(0, 1) C．(1, 0) D．(1, 1) 3．函数 f(x) ＝ (1/2)ˣ 的单调性为（ ） A．在R上单调递增 B．在R上单调递减 C．在(0, ＋∞)上单调递增 D．在(0, ＋∞)上单调递减 4．比较 2^(1/2) 与 2^(1/3) 的大小（ ） A．2^(1/2) ＞ 2^(1/3) B．2^(1/2) ＜ 2^(1/3) C．2^(1/2) ＝ 2^(1/3) D．无法比较 5．函数 f(x) ＝ 2ˣ ＋ 1 的值域为（ ） A．(0, ＋∞) B．(1, ＋∞) C．[1, ＋∞) D．(－∞, ＋∞) 6．函数 f(x) ＝ 2^(x－1) 的图象由 f(x) ＝ 2ˣ 的图象（ ） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位 7．若 a ＞ 0且a ≠ 1，则 a² 与 a³ 的大小关系为（ ） A．a² ＜ a³ B．a² ＞ a³ C．a² ＝ a³ D．当a ＞ 1时a² ＜ a³，当0 ＜ a ＜ 1时a² ＞ a³ 8．函数 f(x) ＝ (1/3)^(x²－2x) 的单调递增区间为（ ） A．(－∞, 1] B．[1, ＋∞) C．(－∞, 0] D．[0, ＋∞) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．函数 f(x) ＝ 2^(x＋1) 的定义域为 ____________。 10．已知 f(x) ＝ 3ˣ，则 f(－1) ＝ ____________。 11．函数 f(x) ＝ 2ˣ － 3 的零点所在区间为 ____________（填一个区间）。 12．比较 (1/2)^(－1) 与 (1/3)^(－1) 的大小：____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）求下列函数的定义域和值域： （1）f(x) ＝ 2^(x－1)； （2）f(x) ＝ √(2ˣ － 1)。 14．（14分）已知函数 f(x) ＝ 2ˣ － 2^(－x)。 （1）求 f(0) 和 f(1) 的值； （2）判断 f(x) 的奇偶性并证明； （3）证明 f(x) 在 R 上单调递增。 15．（14分）已知函数 f(x) ＝ aˣ（a ＞ 0且a ≠ 1）的图象过点(2, 4)。 （1）求 a 的值； （2）求 f(3) 和 f(－1) 的值； （3）若 f(x) ＞ 8，求 x 的取值范围。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． B 2． B 3． B 4． A 5． B 6． B 7． D 8． A 9． R 10． 1/3 11． (1, 2) 12． (1/2)^(－1) ＜ (1/3)^(－1) ■ 详细解析 1．【答案】B 【解析】指数函数的形式为y ＝ aˣ（a ＞ 0且a ≠ 1），底数为常数a，指数为自变量x。选项A：y ＝ x²是幂函数（底数为x，指数为常数）；选项B：y ＝ 2ˣ是指数函数（底数为常数2，指数为自变量x），正确；选项C：y ＝ x^(－1)是幂函数；选项D：y ＝ 2x是一次函数。故选B。 2．【答案】B 【解析】指数函数y ＝ aˣ恒过定点(0, 1)，即当x ＝ 0时y ＝ a⁰ ＝ 1。故f(x) ＝ 3ˣ过定点(0, 1)，选B。 3．【答案】B 【解析】f(x) ＝ (1/2)ˣ，底数a ＝ 1/2，满足0 ＜ a ＜ 1，故f(x)在R上单调递减，选B。本题关键：0 ＜ a ＜ 1时指数函数单调递减。 4．【答案】A 【解析】f(x) ＝ 2ˣ，底数a ＝ 2 ＞ 1，f(x)在R上单调递增。由1/2 ＞ 1/3，得2^(1/2) ＞ 2^(1/3)，选A。本题关键：同底数幂比较大小利用单调性。 5．【答案】B 【解析】f(x) ＝ 2ˣ的值域为(0, ＋∞)，故f(x) ＝ 2ˣ ＋ 1的值域为(0 ＋ 1, ＋∞) ＝ (1, ＋∞)，选B。本题关键：2ˣ ＞ 0恒成立，故2ˣ ＋ 1 ＞ 1。 6．【答案】B 【解析】f(x) ＝ 2^(x－1)的图象由f(x) ＝ 2ˣ的图象向右平移1个单位得到（x → x－1表示右移1），选B。本题关键：y ＝ f(x－k)表示将y ＝ f(x)向右平移k个单位。 7．【答案】D 【解析】当a ＞ 1时，f(x) ＝ aˣ单调递增，由2 ＜ 3得a² ＜ a³；当0 ＜ a ＜ 1时，f(x) ＝ aˣ单调递减，由2 ＜ 3得a² ＞ a³。故选D。本题关键：分a ＞ 1和0 ＜ a ＜ 1两种情况讨论。 8．【答案】A 【解析】f(x) ＝ (1/3)^(x²－2x)，设t ＝ x²－2x ＝ (x－1)²－1。当x ≤ 1时，t单调递减；当x ≥ 1时，t单调递增。又(1/3)ˣ单调递减，故f(x) ＝ (1/3)^t的单调性与t相反。当x ≤ 1时t递减，f(x)递增；当x ≥ 1时t递增，f(x)递减。故f(x)的单调递增区间为(－∞, 1]，选A。本题关键：复合函数"同增异减"。 ■ 填空题解析 9．【答案】R 【解析】f(x) ＝ 2^(x＋1)，指数x＋1可取任意实数，故定义域为R。 10．【答案】1/3 【解析】f(－1) ＝ 3^(－1) ＝ 1/3。 11．【答案】(1, 2) 【解析】f(x) ＝ 2ˣ － 3的零点即2ˣ ＝ 3的解。f(1) ＝ 2 － 3 ＝ －1 ＜ 0，f(2) ＝ 4 － 3 ＝ 1 ＞ 0，故零点在(1, 2)内。 12．【答案】(1/2)^(－1) ＜ (1/3)^(－1) 【解析】(1/2)^(－1) ＝ 2，(1/3)^(－1) ＝ 3。由2 ＜ 3，得(1/2)^(－1) ＜ (1/3)^(－1)。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）定义域R，值域(0, ＋∞)；（2）定义域[0, ＋∞)，值域[0, ＋∞) 【解析】（1）f(x) ＝ 2^(x－1)，指数x－1可取任意实数，故定义域为R。 2^(x－1) ＞ 0恒成立，当x → －∞时2^(x－1) → 0，当x → ＋∞时2^(x－1) → ＋∞，故值域为(0, ＋∞)。 （2）f(x) ＝ √(2ˣ － 1)，根号内2ˣ － 1 ≥ 0，即2ˣ ≥ 1 ＝ 2⁰，故x ≥ 0，定义域为[0, ＋∞)。 当x ≥ 0时，2ˣ ≥ 1，2ˣ － 1 ≥ 0，√(2ˣ － 1) ≥ 0。 当x ＝ 0时f(0) ＝ √(1－1) ＝ 0；当x → ＋∞时2ˣ → ＋∞，√(2ˣ － 1) → ＋∞。 故值域为[0, ＋∞)。 本题关键：指数函数2ˣ ＞ 0恒成立，根号内需非负。 14．【答案】（1）f(0) ＝ 0，f(1) ＝ 3/2；（2）奇函数；（3）证明见解析 【解析】f(x) ＝ 2ˣ － 2^(－x)。 （1）f(0) ＝ 2⁰ － 2⁰ ＝ 1 － 1 ＝ 0。 f(1) ＝ 2¹ － 2^(－1) ＝ 2 － 1/2 ＝ 3/2。 （2）f(x)的定义域为R（关于原点对称）。 f(－x) ＝ 2^(－x) － 2^(－(－x)) ＝ 2^(－x) － 2ˣ ＝ －(2ˣ － 2^(－x)) ＝ －f(x)。 故f(x)是奇函数。 （3）证明f(x)在R上单调递增： 任取x₁, x₂ ∈ R且x₁ ＜ x₂。 f(x₁) － f(x₂) ＝ (2^(x₁) － 2^(－x₁)) － (2^(x₂) － 2^(－x₂)) ＝ (2^(x₁) － 2^(x₂)) ＋ (2^(－x₂) － 2^(－x₁))。 由x₁ ＜ x₂且2ˣ单调递增，得2^(x₁) ＜ 2^(x₂)，故2^(x₁) － 2^(x₂) ＜ 0。 由x₁ ＜ x₂得－x₂ ＜ －x₁，又2ˣ单调递增，得2^(－x₂) ＜ 2^(－x₁)，故2^(－x₂) － 2^(－x₁) ＜ 0。 故f(x₁) － f(x₂) ＜ 0，即f(x₁) ＜ f(x₂)，f(x)在R上单调递增。 本题关键：利用2ˣ的单调性判断f(x)各部分的单调性。 15．【答案】（1）a ＝ 2；（2）f(3) ＝ 8，f(－1) ＝ 1/2；（3）x ＞ 3 【解析】（1）由f(x) ＝ aˣ的图象过点(2, 4)，得a² ＝ 4。 因a ＞ 0且a ≠ 1，故a ＝ 2（a ＝ －2舍去）。 故f(x) ＝ 2ˣ。 （2）f(3) ＝ 2³ ＝ 8。 f(－1) ＝ 2^(－1) ＝ 1/2。 （3）由f(x) ＞ 8，即2ˣ ＞ 8 ＝ 2³。 因f(x) ＝ 2ˣ单调递增（a ＝ 2 ＞ 1），故x ＞ 3。 故x的取值范围为x ＞ 3。 本题关键：利用指数函数过点求底数，利用单调性解指数不等式。 高一数学必修一 · 第十五课时 指数函数 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $