第四章 指数函数与对数函数 强化训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 该高中数学第四章单元卷（45分钟/100分），通过函数零点、对数指数运算、实际应用等题型，融合数学眼光观察现实、思维分析问题、语言表达模型，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6/30|函数零点判断（题2）、对数运算（题3）|结合2026上海模拟题，基础巩固| |多选|2/12|总产量函数图像分析（题7）|图表信息解读，能力提升| |填空|4/20|数据拟合（题10）、二分法（题11）|联系研究性学习，应用意识| |解答|3/38|树木生长模型（题15）|实际问题建模，综合创新|

第四章 强化训练 (时间：45分钟　分值：100分) 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1. (2026·上海) 为不为的任意实数，则 A.  B.  C.  D.  2. 函数f(x)＝－x3－2在区间(－1，0)内的零点个数是(　 　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 点声源亦称“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量ΔL(单位：dB)与传播距离r(单位：m)的关系式为ΔL＝10lg ，则r从5 m变化到80 m时，衰减量的增加值约为(参考数据：lg 5≈0.7)(　 　) A. 18 dB B. 20 dB C. 24 dB D. 27 dB 4. 已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　 　) A. (－∞，－1) B. (－∞，1) C. (－1，0) D. [－1，0) 5. 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　 　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数f(x)＝x＋ln x与g(x)＝ex＋x的零点分别为a，b，则下列说法中，正确的是(　 　) A. a＋b＜0 B. 0＜a＜ C. ab＋b＞a＋1 D. eb＋ln a＝0 二、多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 7. 某电子公司7年来生产智能手机总产量y(单位：万台，即前t年年产量的和)与时间t(单位：年)的函数关系式如图所示，下列说法中，正确的是(　 　) A. 前3年中，产量增长的速度越来越快 B. 前3年中，产量增长的速度越来越慢 C. 第3年后，这种产品停止生产 D. 第3年后，年产量保持为100万台 8. (2026高一上·东莞期末) 下列计算正确的是 (　 　) A.  B.  C.  D.  三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9. 函数f(x)＝2x－的零点个数为　 　，不等式f(x)＞0的解集为　 　.  10. 某同学参加研究性学习活动，得到如下数据： x 1 2 4 8 y 0.01 0.99 2.02 3 现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，给出下列函数模型：①y＝log2x；②y＝2x；③y＝x2＋2x－3；④y＝2x－3.其中最合适的是　 　(填序号).  11. (2024·海南中学高一月考)已知f(x)＝－ln x在区间(n，n＋1)(n∈Z)上有一个零点x0，则n＝　 　，若用二分法求x0的近似值(精确度为0.1)，则至少需要将初始区间等分　 　次.  12. (2024·浙江9＋1联盟高一期中)已知函数f(x)＝|3x－1|，g(x)＝4x2－ax＋1.若方程g[f(x)]＝0有4个不相同的实数根，则实数a的取值范围是　 　.  四、解答题(本大题共3小题，共38分) 13. (10分)已知f(x)＝ (1)在如图所示的坐标系中作出y＝f(x)的图象； (2)观察图象，求使方程f(x)＝k的实数解个数为3的k的取值范围. 14. (13分)已知函数f(x)＝log2x＋x－2. (1)判断函数f(x)的零点的个数并说明理由； (2)求函数f(x)零点所在的一个区间(a，b)，使b－a≤. 15. (15分)某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为树木的高度f(x)(单位：m)与生长年限x(单位：年)满足关系式f(x)＝(x≥0).该种树木栽种时的高度为 m，1年后的高度达到 m. (1)求f(x)的函数解析式； (2)问：从栽种之日起，第几年树木生长得最快? 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 强化训练 (时间：45分钟　分值：100分) 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1. (2026·上海) 为不为的任意实数，则 A.  B.  C.  D.  【解析】由，则.. 2. 函数f(x)＝－x3－2在区间(－1，0)内的零点个数是(　B　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】∵y＝和y＝－x3在定义域上单调递减，∴f(x)＝－x3－2在区间(－1，0)内连续且为减函数，又f(－1)＝－(－1)3－2＝1＞0，f(0)＝－(0)3－2＝－1＜0，故f(x)在区间(－1，0)内的零点个数是1. 3. 点声源亦称“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量ΔL(单位：dB)与传播距离r(单位：m)的关系式为ΔL＝10lg ，则r从5 m变化到80 m时，衰减量的增加值约为(参考数据：lg 5≈0.7)(　C　) A. 18 dB B. 20 dB C. 24 dB D. 27 dB 【解析】当r＝5时，ΔL＝10lg ，当r＝80时，ΔL＝10lg(1 600π)，则衰减量的增加值为10lg(1 600π)－10lg ＝80lg 2＝80(lg 10－lg 5)≈80×(1－0.7)＝24(dB). 4. 已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　D　) A. (－∞，－1) B. (－∞，1) C. (－1，0) D. [－1，0) 【解析】当x＞0时，f(x)＝3x－1有一个零点为，因此，当x≤0时，f(x)＝ex＋a有一个零点.由ex＋a＝0(x≤0)，得a＝－ex(x≤0)，∴函数y＝－ex在(－∞，0]上的图象与直线y＝a有一个交点，则－1≤a＜0. 5. 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　B　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】令f(x)＝0，可得|lox|＝，作出函数y＝|log0.5x|与y＝的图象如图所示.由图可知两函数的图象有2个交点，∴函数f(x)的零点个数为2. 6. 已知函数f(x)＝x＋ln x与g(x)＝ex＋x的零点分别为a，b，则下列说法中，正确的是(　D　) A. a＋b＜0 B. 0＜a＜ C. ab＋b＞a＋1 D. eb＋ln a＝0 【解析】根据题意，f(a)＝a＋ln a＝0，∴ln a＝－a，则a＝e－a.∵g(b)＝eb＋b＝0，∴eb＝－b，则b＝ln(－b).对比e－a＝a和eb＝－b，∵y＝ex和y＝－x的图象只有一个交点，∴b＝－a，故a＋b＝0，A错误； ∵y＝x，y＝ln x在定义域上单调递增，∴f(x)＝x＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，若0＜a＜，则f(a)＜f－1＜0，与a是f(x)的零点矛盾，B错误；若ab＋b＝a(－a)＋(－a)＞a＋1，则－a2－2a－1＞0，即a2＋2a＋1＜0，即(a＋1)2＜0，显然不成立，C错误；∵eb＝－b＝a＝－ln a，∴eb＋ln a＝0，D正确. 二、多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 7. 某电子公司7年来生产智能手机总产量y(单位：万台，即前t年年产量的和)与时间t(单位：年)的函数关系式如图所示，下列说法中，正确的是(　BC　) A. 前3年中，产量增长的速度越来越快 B. 前3年中，产量增长的速度越来越慢 C. 第3年后，这种产品停止生产 D. 第3年后，年产量保持为100万台 【解析】在区间[0，3]上，函数图象越来越远离y轴，则前3年中，产量增长的速度越来越慢，A错误，B正确；在区间[3，7]上，函数图象是平行于x轴的线段，说明没有变化，∴在第3年后，这种产品停止生产，C正确，D错误. 8. . (2026高一上·东莞期末) 下列计算正确的是 (　ABD　) A.  B.  C.  D.  【解析】对于A，因为，所以A正确；对于B，因为，所以B正确；对于C，因为，所以C错误；对于D，因为，所以D正确.. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9. 函数f(x)＝2x－的零点个数为　1　，不等式f(x)＞0的解集为　(－∞，0)∪(1，＋∞)　.  【解析】易知f(x)＝2x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＞0恒成立.令f(x)＝0，可得2x＝，解得x＝1，则函数f(x)的零点个数为1.f(x)＞0即为2x＞，解得x＜0，或x＞1，即不等式的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞). 10. 某同学参加研究性学习活动，得到如下数据： x 1 2 4 8 y 0.01 0.99 2.02 3 现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，给出下列函数模型：①y＝log2x；②y＝2x；③y＝x2＋2x－3；④y＝2x－3.其中最合适的是　①　(填序号).  【解析】根据题中数据画出散点图，如图所示.图上的点大致分布在函数y＝log2x的图象附近，故y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律，即①最合适. 11. (2024·海南中学高一月考)已知f(x)＝－ln x在区间(n，n＋1)(n∈Z)上有一个零点x0，则n＝　1　，若用二分法求x0的近似值(精确度为0.1)，则至少需要将初始区间等分　4　次.  【解析】f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝1＞0，f(2)＝－ln 2＜0，∴x0∈(1，2)，故n＝1.设需要等分m次，则＜0.1，且m∈N*，解得m≥4，故至少需要等分4次. 12. (2024·浙江9＋1联盟高一期中)已知函数f(x)＝|3x－1|，g(x)＝4x2－ax＋1.若方程g[f(x)]＝0有4个不相同的实数根，则实数a的取值范围是　(4，5)　.  【解析】令|3x－1|＝t，作出f(x)＝|3x－1|的图象如图所示.由图知，当t＜0时，方程|3x－1|＝t无解；当t＝0，或t≥1时，方程|3x－1|＝t有1个解；当0＜t＜1时，方程|3x－1|＝t有2个解，故方程g[f(x)]＝0有4个不相同的实数根，等价于方程g(x)＝0在区间(0，1)上有2个不同实根，则解得4＜a＜5，∴实数a的取值范围是(4，5). 四、解答题(本大题共3小题，共38分) 13. (10分)已知f(x)＝ (1)在如图所示的坐标系中作出y＝f(x)的图象； (2)观察图象，求使方程f(x)＝k的实数解个数为3的k的取值范围. 答案图 解：(1)根据函数解析式，分别在x≤0和x＞0时作出函数的图象，描出关键点(－3，0)，(－1，－4)，(0，－3)，(1，0)， 根据函数类型即可画出图象如图所示. (2)当y＝f(x)的图象与直线y＝k有3个交点时，方程f(x)＝k有3个实数解.由图知，当k∈(－4，－3]时，方程f(x)＝k有3个实数解，即k的取值范围是(－4，－3]. 14. (13分)已知函数f(x)＝log2x＋x－2. (1)判断函数f(x)的零点的个数并说明理由； (2)求函数f(x)零点所在的一个区间(a，b)，使b－a≤. 解：(1)∵f(x)＝log2x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)在(0，＋∞)上至多有一个零点.又f(1)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，由零点存在定理可知，函数f(x)在(1，2)上必有一个零点.∴函数f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点. (2)由(1)知函数f(x)在(1，2)上必有一个零点，且f(1)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，又f＝log2＝log23－＝log2－log2＞0，故函数零点所在的一个区间为，又f＝log2＝log25－＝log2－log2＜0，故函数零点所在的一个区间为，而≤，即函数f(x)零点所在的一个区间为. 15. (15分)某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为树木的高度f(x)(单位：m)与生长年限x(单位：年)满足关系式f(x)＝(x≥0).该种树木栽种时的高度为 m，1年后的高度达到 m. (1)求f(x)的函数解析式； (2)问：从栽种之日起，第几年树木生长得最快? 解：(1)由已知得即 ∴解得k＝－1，b＝4，∴f(x)＝(x≥0). (2)令x∈N，g(x)＝f(x＋1)－f(x)＝. 问题化为当x∈N时，求函数g(x)的最大值. 又g(x)＝＝ ≤＝41(2－). 当且仅当3x＝37－x，即x＝时，上式取等号， 又x∈N，∴g(3)＝g(4)＝， 故从栽种之日起，第4年与第5年树木生长得最快. 学科网（北京）股份有限公司 $