第九课时-函数的概念-同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学必修一“函数的概念”课时同步练，通过选择、填空、解答题分层设计，覆盖函数概念、定义域、值域等核心考点，实现从基础理解到综合应用的知识巩固，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|函数概念辨析、简单定义域及函数值计算|如选择1（同一函数判断）、填空12（函数方程求解），夯实概念理解，培养抽象能力| |提升层|复合定义域、区间上二次函数值域|如选择6（二次函数在[0,3]值域）、填空11（区间值域），强化运算能力与推理意识| |综合层|复合函数求值、分式函数值域及参数问题|如解答15（分式函数综合），发展数学思维与应用意识，体现数学语言表达|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第九课时 函数的概念 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 函数的概念 一般地，设 A, B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f: A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（function），记作 y ＝ f(x)，x ∈ A。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域（domain）；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 {f(x) | x ∈ A} 叫做函数的值域（range）。需要强调的是，函数定义中"唯一确定"是关键，即 A 中每个元素在 B 中只能有一个对应元素，不能一对多。函数的三要素是定义域、对应关系和值域，其中定义域和对应关系确定后，值域也随之确定。 考点二 函数的判定 判断一个对应关系是否为函数，需要满足三个条件：①集合 A, B 都是非空数集；②集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有对应元素；③集合 A 中的每个元素在 B 中的对应元素是唯一的（不能一对多）。常见的不是函数的对应关系有：一对多的对应（如 x → ±√x）、A 中某些元素无对应（如 x → 1/x 中 x ＝ 0 无对应）、A 或 B 不是数集等。判断两个函数是否为同一个函数，需要看定义域和对应关系是否都相同，值域自动相同。需要注意的是，解析式形式不同但定义域和对应关系相同的函数是同一个函数，如 y ＝ |x| 与 y ＝ √(x²) 是同一个函数。 考点三 定义域的求法 函数的定义域是自变量 x 的取值范围。求函数定义域时，需要使解析式有意义，常见的限制条件有：①分式的分母不能为零，如 f(x) ＝ 1/(x－1) 中 x ≠ 1；②偶次根式的被开方数非负，如 f(x) ＝ √(x－2) 中 x ≥ 2；③对数的真数大于零（后续学习）；④零次幂的底数不为零，如 f(x) ＝ x⁰ 中 x ≠ 0。对于实际问题，还需要考虑变量的实际意义。当函数由多个部分组成时，定义域是各部分定义域的交集。求定义域的步骤：①列出所有限制条件；②解不等式（组）；③取交集；④用集合或区间表示。 考点四 值域的求法 函数的值域是所有函数值组成的集合。求函数值域的常用方法有：①观察法，对于简单函数直接观察；②配方法，对于二次函数通过配方求值域；③换元法，设新变量简化函数；④不等式法，利用不等式性质求值域；⑤利用函数的单调性，若函数在定义域上单调，则端点值即为最值。常见函数的值域：一次函数 y ＝ kx ＋ b（k ≠ 0）的值域为 R；反比例函数 y ＝ k/x（k ≠ 0）的值域为 {y | y ≠ 0}；二次函数 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c（a ＞ 0）的值域为 [f(－b/(2a)), ＋∞)。求值域时需注意定义域的限制，在给定区间上求值域时，通常利用函数的单调性或图象。 考点五 区间与函数相等 区间是表示连续数集的一种方法。设 a, b 是两个实数，且 a ＜ b，则：开区间 (a, b) ＝ {x | a ＜ x ＜ b}；闭区间 [a, b] ＝ {x | a ≤ x ≤ b}；半开半闭区间 [a, b) ＝ {x | a ≤ x ＜ b}，(a, b] ＝ {x | a ＜ x ≤ b}。无穷区间：(－∞, ＋∞) ＝ R，(－∞, a) ＝ {x | x ＜ a}，(a, ＋∞) ＝ {x | x ＞ a} 等。两个函数相等当且仅当它们的定义域相同且对应关系相同。需要注意的是，解析式形式不同但定义域和对应关系相同的函数是同一个函数，如 y ＝ x²/x（x ≠ 0）与 y ＝ x（x ≠ 0）是同一个函数，但 y ＝ x²/x（x ≠ 0）与 y ＝ x（x ∈ R）不是同一个函数，因为定义域不同。 知识结构思维导图 图1 函数的概念知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A．y ＝ x 与 y ＝ (x²)/x B．y ＝ x² 与 y ＝ (√x)⁴ C．y ＝ |x| 与 y ＝ √(x²) D．y ＝ x ＋ 1 与 y ＝ (x²－1)/(x－1) 2．函数 f(x) ＝ 1/√(x－1) 的定义域为（ ） A．{x | x ≥ 1} B．{x | x ＞ 1} C．{x | x ≠ 1} D．{x | x ≤ 1} 3．已知函数 f(x) ＝ 2x² － 3x ＋ 1，则 f(2) ＝ （ ） A．3 B．5 C．7 D．9 4．函数 f(x) ＝ √(x－2) ＋ 1/(x－3) 的定义域为（ ） A．[2, 3)∪(3, ＋∞) B．(2, 3)∪(3, ＋∞) C．[2, ＋∞) D．(2, ＋∞) 5．下列对应关系中，是函数的是（ ） A．A ＝ R，f: x → ±x B．A ＝ R，f: x → 1/x C．A ＝ R，f: x → x² D．A ＝ {x | x ＞ 0}，f: x → √(－x) 6．函数 f(x) ＝ x² － 2x（0 ≤ x ≤ 3）的值域为（ ） A．[－1, 3] B．[0, 3] C．[－1, 0] D．[0, 9] 7．已知 f(x) ＝ 3x ＋ 2，则 f(f(1)) ＝ （ ） A．5 B．17 C．8 D．11 8．函数 f(x) ＝ (2x ＋ 1)/(x － 1)（x ≠ 1）的值域为（ ） A．{y | y ≠ 1} B．{y | y ≠ 2} C．{y | y ≠ 3} D．R 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．函数 f(x) ＝ √(x ＋ 3) ＋ 1/(x ＋ 1) 的定义域为 ____________。 10．已知 f(x) ＝ x² ＋ 2x，则 f(a ＋ 1) ＝ ____________。 11．函数 y ＝ x² ＋ 1（x ∈ [－2, 1]）的值域为 ____________。 12．已知函数 f(x) ＝ 2x ＋ 3，若 f(a) ＝ 7，则 a ＝ ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）求下列函数的定义域： （1）f(x) ＝ √(x－1) ＋ 1/(x－2)； （2）f(x) ＝ (x ＋ 1)/(x²－4)。 14．（14分）已知函数 f(x) ＝ x² ＋ ax ＋ b（a, b ∈ R），f(1) ＝ 0，f(2) ＝ 3。 （1）求 a, b 的值； （2）求 f(3) 的值； （3）求 f(x) 在 [0, 2] 上的值域。 15．（14分）已知函数 f(x) ＝ (ax ＋ 1)/(x ＋ 2)（x ≠ －2），且 f(1) ＝ 2/3。 （1）求 a 的值； （2）求 f(f(0)) 的值； （3）求 f(x) 在 [0, 2] 上的值域。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． C 2． B 3． A 4． A 5． C 6． A 7． B 8． B 9． [－3, －1)∪(－1, ＋∞) 10． a²＋4a＋3 11． [1, 5] 12． 2 ■ 详细解析 1．【答案】C 【解析】两个函数相等需定义域和对应关系都相同。选项A：y ＝ x定义域为R，y ＝ x²/x ＝ x（x ≠ 0）定义域为{x | x ≠ 0}，定义域不同，不是同一函数；选项B：y ＝ x²定义域为R，y ＝ (√x)⁴定义域为{x | x ≥ 0}，定义域不同，不是同一函数；选项C：y ＝ |x|与y ＝ √(x²) ＝ |x|，定义域均为R，对应关系相同，是同一函数，正确；选项D：y ＝ x ＋ 1定义域为R，y ＝ (x²－1)/(x－1) ＝ x ＋ 1（x ≠ 1）定义域为{x | x ≠ 1}，定义域不同，不是同一函数。故选C。 2．【答案】B 【解析】函数f(x) ＝ 1/√(x－1)有意义需：①分母√(x－1) ≠ 0，即x ≠ 1；②根号内x － 1 ≥ 0，即x ≥ 1。综合①②得x ＞ 1，故定义域为{x | x ＞ 1}，选B。 3．【答案】A 【解析】f(2) ＝ 2×2² － 3×2 ＋ 1 ＝ 8 － 6 ＋ 1 ＝ 3，选A。 4．【答案】A 【解析】函数f(x) ＝ √(x－2) ＋ 1/(x－3)有意义需：①x － 2 ≥ 0即x ≥ 2；②x － 3 ≠ 0即x ≠ 3。综合①②得x ≥ 2且x ≠ 3，即[2, 3)∪(3, ＋∞)，选A。 5．【答案】C 【解析】函数要求A中每个元素在B中都有唯一确定的元素对应。选项A：x → ±x，一个x对应两个值，不是函数；选项B：f: x → 1/x，当x ＝ 0时1/x无意义，A中元素0无对应，不是函数；选项C：f: x → x²，A ＝ R中每个x在B ＝ R中都有唯一的x²对应，是函数，正确；选项D：A ＝ {x | x ＞ 0}，f: x → √(－x)，当x ＞ 0时－x ＜ 0，√(－x)无意义，不是函数。故选C。 6．【答案】A 【解析】f(x) ＝ x² － 2x ＝ (x － 1)² － 1，开口向上，对称轴x ＝ 1。在[0, 3]上，x ＝ 1时取最小值f(1) ＝ －1；端点f(0) ＝ 0，f(3) ＝ 9 － 6 ＝ 3，最大值f(3) ＝ 3。故值域为[－1, 3]，选A。 7．【答案】B 【解析】f(1) ＝ 3×1 ＋ 2 ＝ 5，f(f(1)) ＝ f(5) ＝ 3×5 ＋ 2 ＝ 17，选B。 8．【答案】B 【解析】f(x) ＝ (2x ＋ 1)/(x － 1) ＝ (2(x － 1) ＋ 3)/(x － 1) ＝ 2 ＋ 3/(x － 1)。由于x ≠ 1，故3/(x － 1) ≠ 0，f(x) ≠ 2。当x → ＋∞时f(x) → 2，但f(x)永远不等于2。故值域为{y | y ≠ 2}，选B。 ■ 填空题解析 9．【答案】[－3, －1)∪(－1, ＋∞) 【解析】函数f(x) ＝ √(x ＋ 3) ＋ 1/(x ＋ 1)有意义需：①根号内x ＋ 3 ≥ 0，即x ≥ －3；②分母x ＋ 1 ≠ 0，即x ≠ －1。综合①②得x ≥ －3且x ≠ －1，即[－3, －1)∪(－1, ＋∞)。 10．【答案】a²＋4a＋3 【解析】f(a ＋ 1) ＝ (a ＋ 1)² ＋ 2(a ＋ 1) ＝ a² ＋ 2a ＋ 1 ＋ 2a ＋ 2 ＝ a² ＋ 4a ＋ 3。本题关键：将a ＋ 1整体代入f(x) ＝ x² ＋ 2x中。 11．【答案】[1, 5] 【解析】y ＝ x² ＋ 1在[－2, 1]上，开口向上，对称轴x ＝ 0。当x ＝ 0时取最小值y ＝ 0 ＋ 1 ＝ 1；端点y(－2) ＝ 4 ＋ 1 ＝ 5，y(1) ＝ 1 ＋ 1 ＝ 2。比较端点值：y(－2) ＝ 5 ＞ y(1) ＝ 2，故最大值为5。故值域为[1, 5]。 12．【答案】2 【解析】由f(a) ＝ 7，即2a ＋ 3 ＝ 7，解得2a ＝ 4，a ＝ 2。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）{x | x ≥ 1且x ≠ 2}；（2）{x | x ≠ ±2} 【解析】（1）f(x) ＝ √(x－1) ＋ 1/(x－2)有意义需： ①根号内x － 1 ≥ 0，即x ≥ 1； ②分母x － 2 ≠ 0，即x ≠ 2。 综合①②得x ≥ 1且x ≠ 2，故定义域为{x | x ≥ 1且x ≠ 2}。 （2）f(x) ＝ (x ＋ 1)/(x²－4)有意义需分母x² － 4 ≠ 0，即x ≠ ±2。 注意：虽然分子分母可约去(x ＋ 2)，但原函数定义域需使原式有意义，故x ≠ ±2。 故定义域为{x | x ≠ ±2}。 14．【答案】（1）a ＝ 0, b ＝ －1；（2）f(3) ＝ 8；（3）[－1, 3] 【解析】（1）由f(1) ＝ 0，得1 ＋ a ＋ b ＝ 0，即a ＋ b ＝ －1。 由f(2) ＝ 3，得4 ＋ 2a ＋ b ＝ 3，即2a ＋ b ＝ －1。 两式相减得a ＝ 0，代入a ＋ b ＝ －1得b ＝ －1。 故a ＝ 0, b ＝ －1，f(x) ＝ x² － 1。 （2）f(3) ＝ 3² － 1 ＝ 9 － 1 ＝ 8。 （3）f(x) ＝ x² － 1在[0, 2]上单调递增（开口向上，对称轴x ＝ 0在区间左端）。 f(0) ＝ 0 － 1 ＝ －1，f(2) ＝ 4 － 1 ＝ 3。 故f(x)在[0, 2]上的值域为[－1, 3]。 15．【答案】（1）a ＝ 1；（2）证明见解析；（3）[1/2, 3/4] 【解析】（1）由f(1) ＝ 2/3，即(a×1 ＋ 1)/(1 ＋ 2) ＝ 2/3，得(a ＋ 1)/3 ＝ 2/3， 故a ＋ 1 ＝ 2，a ＝ 1。故f(x) ＝ (x ＋ 1)/(x ＋ 2)。 （2） 先算f(0)： 再算： 所以： （3） 证明：f(x) ＝ (x ＋ 1)/(x ＋ 2) ＝ (x ＋ 2 － 1)/(x ＋ 2) ＝ 1 － 1/(x ＋ 2)。 任取x₁, x₂ ∈ (－2, ＋∞)且x₁ ＜ x₂， f(x₁) － f(x₂) ＝ [1 － 1/(x₁ ＋ 2)] － [1 － 1/(x₂ ＋ 2)] ＝ 1/(x₂ ＋ 2) － 1/(x₁ ＋ 2)。 由x₁ ＜ x₂且x₁, x₂ ＞ －2，得x₁ ＋ 2 ＜ x₂ ＋ 2，故1/(x₁ ＋ 2) ＞ 1/(x₂ ＋ 2)。 故f(x₁) － f(x₂) ＝ 1/(x₂ ＋ 2) － 1/(x₁ ＋ 2) ＜ 0，即f(x₁) ＜ f(x₂)。 故f(x)在(－2, ＋∞)上单调递增。 （3）由（2）知f(x)在[0, 2]上单调递增。 f(0) ＝ (0 ＋ 1)/(0 ＋ 2) ＝ 1/2，f(2) ＝ (2 ＋ 1)/(2 ＋ 2) ＝ 3/4。 故f(x)在[0, 2]上的值域为[1/2, 3/4]。 本题关键：分离常数法化简函数，利用单调性求值域。 高一数学必修一 · 第九课时 函数的概念 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $