第九课时-函数的概念-同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修一 · 课时同步训练

第九课时  函数的概念

 

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【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。

核心考点清单

考点一  函数的概念

一般地，设 A, B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f: A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（function），记作 y ＝ f(x)，x ∈ A。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域（domain）；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 {f(x) | x ∈ A} 叫做函数的值域（range）。需要强调的是，函数定义中"唯一确定"是关键，即 A 中每个元素在 B 中只能有一个对应元素，不能一对多。函数的三要素是定义域、对应关系和值域，其中定义域和对应关系确定后，值域也随之确定。

考点二  函数的判定

判断一个对应关系是否为函数，需要满足三个条件：①集合 A, B 都是非空数集；②集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有对应元素；③集合 A 中的每个元素在 B 中的对应元素是唯一的（不能一对多）。常见的不是函数的对应关系有：一对多的对应（如 x → ±√x）、A 中某些元素无对应（如 x → 1/x 中 x ＝ 0 无对应）、A 或 B 不是数集等。判断两个函数是否为同一个函数，需要看定义域和对应关系是否都相同，值域自动相同。需要注意的是，解析式形式不同但定义域和对应关系相同的函数是同一个函数，如 y ＝ |x| 与 y ＝ √(x²) 是同一个函数。

考点三  定义域的求法

函数的定义域是自变量 x 的取值范围。求函数定义域时，需要使解析式有意义，常见的限制条件有：①分式的分母不能为零，如 f(x) ＝ 1/(x－1) 中 x ≠ 1；②偶次根式的被开方数非负，如 f(x) ＝ √(x－2) 中 x ≥ 2；③对数的真数大于零（后续学习）；④零次幂的底数不为零，如 f(x) ＝ x⁰ 中 x ≠ 0。对于实际问题，还需要考虑变量的实际意义。当函数由多个部分组成时，定义域是各部分定义域的交集。求定义域的步骤：①列出所有限制条件；②解不等式（组）；③取交集；④用集合或区间表示。

考点四  值域的求法

函数的值域是所有函数值组成的集合。求函数值域的常用方法有：①观察法，对于简单函数直接观察；②配方法，对于二次函数通过配方求值域；③换元法，设新变量简化函数；④不等式法，利用不等式性质求值域；⑤利用函数的单调性，若函数在定义域上单调，则端点值即为最值。常见函数的值域：一次函数 y ＝ kx ＋ b（k ≠ 0）的值域为 R；反比例函数 y ＝ k/x（k ≠ 0）的值域为 {y | y ≠ 0}；二次函数 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c（a ＞ 0）的值域为 [f(－b/(2a)), ＋∞)。求值域时需注意定义域的限制，在给定区间上求值域时，通常利用函数的单调性或图象。

考点五  区间与函数相等

区间是表示连续数集的一种方法。设 a, b 是两个实数，且 a ＜ b，则：开区间 (a, b) ＝ {x | a ＜ x ＜ b}；闭区间 [a, b] ＝ {x | a ≤ x ≤ b}；半开半闭区间 [a, b) ＝ {x | a ≤ x ＜ b}，(a, b] ＝ {x | a ＜ x ≤ b}。无穷区间：(－∞, ＋∞) ＝ R，(－∞, a) ＝ {x | x ＜ a}，(a, ＋∞) ＝ {x | x ＞ a} 等。两个函数相等当且仅当它们的定义域相同且对应关系相同。需要注意的是，解析式形式不同但定义域和对应关系相同的函数是同一个函数，如 y ＝ x²/x（x ≠ 0）与 y ＝ x（x ≠ 0）是同一个函数，但 y ＝ x²/x（x ≠ 0）与 y ＝ x（x ∈ R）不是同一个函数，因为定义域不同。

  知识结构思维导图

图1  函数的概念知识结构图

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ）

A．y ＝ x 与 y ＝ (x²)/x	B．y ＝ x² 与 y ＝ (√x)⁴
C．y ＝ |x| 与 y ＝ √(x²)	D．y ＝ x ＋ 1 与 y ＝ (x²－1)/(x－1)

2．函数 f(x) ＝ 1/√(x－1) 的定义域为（    ）

A．{x | x ≥ 1}	B．{x | x ＞ 1}
C．{x | x ≠ 1}	D．{x | x ≤ 1}

3．已知函数 f(x) ＝ 2x² － 3x ＋ 1，则 f(2) ＝ （    ）

A．3	B．5
C．7	D．9

4．函数 f(x) ＝ √(x－2) ＋ 1/(x－3) 的定义域为（    ）

A．[2, 3)∪(3, ＋∞)	B．(2, 3)∪(3, ＋∞)
C．[2, ＋∞)	D．(2, ＋∞)

5．下列对应关系中，是函数的是（    ）

A．A ＝ R，f: x → ±x	B．A ＝ R，f: x → 1/x
C．A ＝ R，f: x → x²	D．A ＝ {x | x ＞ 0}，f: x → √(－x)

6．函数 f(x) ＝ x² － 2x（0 ≤ x ≤ 3）的值域为（    ）

A．[－1, 3]	B．[0, 3]
C．[－1, 0]	D．[0, 9]

7．已知 f(x) ＝ 3x ＋ 2，则 f(f(1)) ＝ （    ）

A．5	B．17
C．8	D．11

8．函数 f(x) ＝ (2x ＋ 1)/(x － 1)（x ≠ 1）的值域为（    ）

A．{y | y ≠ 1}	B．{y | y ≠ 2}
C．{y | y ≠ 3}	D．R

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上）

9．函数 f(x) ＝ √(x ＋ 3) ＋ 1/(x ＋ 1) 的定义域为 ____________。